劉吉敏,劉元飛,付曉暢

(1.安徽理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院,安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學(xué) 礦山地下工程教育部工程研究中心,安徽 淮南 232001)

0 引 言

鉆井井壁豎向穩(wěn)定性是煤礦深立井建井中的技術(shù)難題，也是鉆井法應(yīng)用與推廣中的瓶頸，深入研究井壁結(jié)構(gòu)豎向穩(wěn)定性對提升鉆井法鑿井技術(shù)的理論基礎(chǔ)和工程應(yīng)用具有重大意義。多年來相關(guān)學(xué)者從不同的角度對該問題進(jìn)行了大量研究，其中最具代表性的理論有彈性力學(xué)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論及能量法。文獻(xiàn)[1-2]最早提出該問題，并將井壁視為一個兩端鉸支的細(xì)長桿，假定井壁截面等剛度且井筒內(nèi)注滿配重水，建立了等斷面滿水鉆井井壁豎向穩(wěn)定臨界深度計算公式，為后續(xù)研究奠定了良好的研究基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[3]也將配重水視為自重，基于井壁斷面連續(xù)變化的假定，建立了變斷面鉆井井壁結(jié)構(gòu)在滿水和非滿水情況下的臨界深度計算公式，其結(jié)論同采礦設(shè)計手冊[4]。文獻(xiàn)[5-6]將內(nèi)側(cè)配重水壓力和外側(cè)泥漿的壓力視為側(cè)向均布荷載，分別建立了等斷面滿水和非滿水鉆井井壁結(jié)構(gòu)豎向穩(wěn)定臨界深度計算公式；文獻(xiàn)[7-8]用外推法進(jìn)一步建立了變斷面鉆井井壁豎向穩(wěn)定臨界深度計算公式，并首次采用ABAQUS數(shù)值模擬計算方法驗證了理論解；文獻(xiàn)[9-10]將井壁結(jié)構(gòu)視為上端自由、下端固定的壓桿，分別考慮井壁自重和泥漿浮力作用，建立了臨界深度計算公式；文獻(xiàn)[11-12]通過穩(wěn)定系數(shù)判定鉆井井壁穩(wěn)定性的各項影響因素，并考慮了由于測量誤差和井壁的收縮變形造成的初始缺陷對井壁豎向穩(wěn)定性的影響。上述理論研究通過建立不同的力學(xué)模型由能量法確立了井壁臨界深度，在一定程度上解釋了井壁豎向失穩(wěn)的力學(xué)機(jī)制。但研究方法較集中且單一，工程實(shí)際推廣力度不夠，解決工程實(shí)際問題還需要做一定的工作。因此，對于鉆井井壁豎向失穩(wěn)機(jī)理仍需開展深入的研究。

隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，非線性理論和突變理論也被應(yīng)用到巖體系統(tǒng)失穩(wěn)領(lǐng)域，尤其是煤巖體系統(tǒng)的失穩(wěn)分析。基于鉆井井壁懸浮下沉至井底后失穩(wěn)的突變性和不可逆性的特征，提出采用突變理論分析井壁豎向失穩(wěn)的力學(xué)機(jī)理，嘗試從突變模型失穩(wěn)控制的角度對井壁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定進(jìn)行監(jiān)控和有效防治，為鉆井井壁結(jié)構(gòu)豎向穩(wěn)定性的理論研究提供一種新的定量分析方法。

1 突變理論及其應(yīng)用

1972年法國數(shù)學(xué)家THOM運(yùn)用分叉理論、奇異性、拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)工具提出的突變理論，強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的非線性、不可逆性及突發(fā)性，解釋了各種形態(tài)、結(jié)構(gòu)的非連續(xù)性突變現(xiàn)象，研究了系統(tǒng)從一種穩(wěn)定組態(tài)躍遷到另一種穩(wěn)定組態(tài)的現(xiàn)象和規(guī)律[13-15]。基于此，穆成林等[16]基于巷道頂部圍巖受力的非線性和突變特征，給出了巷道層狀圍巖的失穩(wěn)機(jī)制及判據(jù)。文獻(xiàn)[17-18]采用突變理論研究了露天礦邊坡開挖穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[19-22]利用尖點(diǎn)突變模型分析了采空區(qū)礦柱-護(hù)頂層支撐體系的破壞機(jī)制，給出了支撐體系的失穩(wěn)準(zhǔn)則。均取得了良好的研究效果。

鉆井井壁在漂浮下沉過程中的豎向失穩(wěn)破壞是一個由漸變到突變的演化過程，隨著井壁結(jié)構(gòu)的不斷接長和井筒內(nèi)注入的配重水不斷增多，井壁結(jié)構(gòu)開始積聚彈性能，且井壁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)積累的總勢能保持的穩(wěn)定平衡具有動態(tài)和不確定性。當(dāng)系統(tǒng)彈性勢能積聚到一定程度時，處于動態(tài)平衡狀態(tài)的井壁結(jié)構(gòu)在外界擾動的作用下就會誘發(fā)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，只要有微小的偏心或橫向力都會使井壁突然傾斜、滑移，進(jìn)而造成井壁結(jié)構(gòu)豎向失穩(wěn)，且具有明顯的突發(fā)性，破壞后不可逆。因此，突變理論也可用于分析鉆井井壁結(jié)構(gòu)豎向穩(wěn)定性問題。

突變理論通過給出系統(tǒng)在突變過程的勢能函數(shù)，討論相應(yīng)的突變模型，特別是控制空間中突變集的幾何形狀，應(yīng)用于不連續(xù)現(xiàn)象的定性和定量研究。托姆分類定理進(jìn)一步指出，對于控制空間不超過四維、狀態(tài)空間不超過二維的系統(tǒng)，只有7種基本災(zāi)變形式。其中只有2個控制變量和1個狀態(tài)變量的尖點(diǎn)災(zāi)變形式最為常見。其勢函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式是

(1)

其中：x為狀態(tài)變量，m、n為控制變量。令勢函數(shù)Π(x)一階導(dǎo)數(shù)為0，即

Π′(x)=x3+mx+n=0

(2)

使勢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)就是最簡單的奇點(diǎn)，或稱為臨界點(diǎn)。所有的臨界點(diǎn)所組成的曲面則為平衡曲面M。而臨界點(diǎn)不一定是穩(wěn)定點(diǎn)，臨界點(diǎn)可能使系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定。只有使勢函數(shù)取惟一極值的點(diǎn)才是穩(wěn)定點(diǎn)，因此要想使系統(tǒng)穩(wěn)定，還需要同時滿足方程

Π″(x)=3x2+m=0

(3)

聯(lián)立式(2)和式(3)，得到分叉集方程式(4)。滿足方程(4)的點(diǎn)組成了奇點(diǎn)集S。S在控制空間C中的投影B稱為分歧點(diǎn)集B。

Δ=4m3+27n2=0

(4)

圖1繪出了尖點(diǎn)突變模型的平衡曲面M及分歧點(diǎn)集B，其中平衡曲面M是一個由狀態(tài)變量x，控制變量m、n組成的流行曲面。且臨界點(diǎn)x可以看作m、n的單值或多值函數(shù)，記作x=f(m,n)。這是一個有光滑折痕的曲面，其上每一點(diǎn)代表所研究系統(tǒng)的一種平衡狀態(tài)，且該平衡曲面被分成了上、中、下3葉。下葉是彈性勢能增加失穩(wěn)孕育的階段，中葉為突變不穩(wěn)定狀態(tài)，上葉為失穩(wěn)后的新穩(wěn)定態(tài)[13]。

圖1 尖點(diǎn)突變模型平衡曲面及分叉集示意Fig.1 Diagram of equilibrium surface and bifurcation setof cusp catastrophe model

2 鉆井井壁豎向失穩(wěn)突變模型

2.1 基本假定及力學(xué)模型

為方便，這里只討論等斷面鉆井井壁的豎向穩(wěn)定問題，并做如下基本假定：

1)井壁材料線彈性，且服從虎克定律。

4)井壁與泥漿間無摩擦力和黏聚力。

圖2 懸浮下沉井壁受力分析Fig.2 Mechanism analysis of shaft lining during sinking

由基本假定2及上述的受力分析，可得等斷面鉆井井壁變形撓度曲線及穩(wěn)定性分析計算簡圖如圖3所示。

圖3 井壁穩(wěn)定性分析Fig.3 Analysis of shaft lining stability

2.2 系統(tǒng)總勢能函數(shù)

鉆井井壁結(jié)構(gòu)的總勢能Π為結(jié)構(gòu)豎向撓曲變形釋放的應(yīng)變能U與外力勢能V之和，系統(tǒng)總勢能函數(shù)可表示為

Π=U+V

(5)

由材料力學(xué)[23]及基本假定3可知，系統(tǒng)的應(yīng)變能為

(6)

(7)

此時，系統(tǒng)的總勢能為

(8)

2.3 井壁失穩(wěn)突變模型

對式(8)做等量變換，令

(9)

(10)

A1=Q

(11)

同時，引入無量綱參數(shù)x，m，n，有

(12)

(13)

(14)

則系統(tǒng)總勢能函數(shù)可表示為

(15)

該式有2個控制變量m、n，1個狀態(tài)變量x，根據(jù)托姆分類定理等斷面鉆井井壁結(jié)構(gòu)符合尖點(diǎn)突變數(shù)學(xué)模型。

3 井壁結(jié)構(gòu)突變失穩(wěn)機(jī)制分析及臨界深度參數(shù)設(shè)計

3.1 突變失穩(wěn)機(jī)制分析

在鉆井井壁穩(wěn)定性分析中，一般將建井過程劃分為3個階段，即懸浮下沉階段、懸浮下沉至井底但尚未固井充填階段、固井充填階段。其中懸浮下沉階段和固井充填階段的井壁結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定平衡的[2]，懸浮下沉至井底后至壁后充填前井壁結(jié)構(gòu)處于隨遇穩(wěn)定平衡狀態(tài)。因此，可以認(rèn)為懸浮下沉階段的鉆井井壁位于圖2中平衡曲面M的下葉；固井充填階段的鉆井井壁位于平衡曲面M的上葉，而懸浮下沉至孔底但尚未固井充填階段的鉆井井壁位于平衡曲面的中葉。

在突變理論中，控制變量m,n的取值直接決定系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)跨越分叉集時，系統(tǒng)才有發(fā)生豎向失穩(wěn)的可能。而由控制變量組成的分叉集方程則是判定系統(tǒng)失穩(wěn)的關(guān)鍵。當(dāng)Δ>0時，控制變量(m,n)落在分歧點(diǎn)集B外部，系統(tǒng)位于平衡曲面的上葉和下葉，井壁結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。當(dāng)Δ<0時，控制變量(m,n)落在分歧點(diǎn)集B內(nèi)部，系統(tǒng)位于平衡曲面的中葉，井壁結(jié)構(gòu)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。當(dāng)Δ=0時，控制變量(m,n)落在分歧點(diǎn)集B的邊界上，井壁結(jié)構(gòu)處于臨界穩(wěn)定平衡狀態(tài)。

這里

(16)

則

(17)

若Δ>0，井壁結(jié)構(gòu)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；若Δ<0，井壁結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；當(dāng)Δ=0時，井壁結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)。

3.2 臨界深度參數(shù)設(shè)計

(18)

此結(jié)論與《采礦設(shè)計手冊》(中冊)等斷面井壁臨界深度計算公式完全相同[4]。

在井壁施工中，配重水是控制井壁結(jié)構(gòu)豎向穩(wěn)定性的重要因素，在實(shí)際工程中有時并不需要加滿配重水[24]，若在井筒內(nèi)注入的配重水最大高度為Hw，則配重水做的外力功為

(19)

此時的勢能函數(shù)為

(20)

當(dāng)井壁結(jié)構(gòu)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)時，由Δ=0判得非滿水狀態(tài)下井壁失穩(wěn)臨界深度為

(21)

且在上式中，當(dāng)H=Hw時，其結(jié)果同式(18),說明式(21)更具有一般性。

4 基于Python語言的突變失穩(wěn)分析流程

利用突變理論得出的鉆井井壁失穩(wěn)機(jī)制及臨界深度計算公式能有效指導(dǎo)鉆井法施工，合理控制井壁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，防止或避免井壁傾斜、滑移，側(cè)向位移突然增大，提供監(jiān)測預(yù)報或提出有效的防治措施。既可以對已有的井壁結(jié)構(gòu)和井型參數(shù)(如井壁深度、井壁厚度、配重水高度、截面剛度等)做穩(wěn)定性判定，也可以對即將施工的井壁結(jié)構(gòu)提供優(yōu)化設(shè)計，對實(shí)際工程提出建設(shè)性意見，如調(diào)整配重水的注入量、控制井壁厚度、選擇井壁材料等。

為更有效地組織現(xiàn)場施工，推廣理論研究成果在實(shí)際工程中的應(yīng)用，采用Python語言編寫了計算流程，設(shè)定了判定循環(huán)邏輯。通過設(shè)置交互式對話框，輸入基本計算參數(shù)(如鋼筋、混凝土、泥漿、配重水的彈性模量和密度，井筒內(nèi)外直徑，當(dāng)前井壁高度等)，計算當(dāng)前最小配重水高度，井壁單位自重、配重水自重及井壁單位長度的浮力，截面剛度和臨界深度，即可給出井壁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的判定結(jié)論。部分源程序如下：

if Jg > a：

print(’井壁結(jié)構(gòu)處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)’)

elif Jg == a:

print(’井壁結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定平衡臨界狀態(tài)’)

else:

print(’井壁結(jié)構(gòu)處理穩(wěn)定平衡狀態(tài)’)

doc=open(’out.txt’,’a’,encoding=’utf-8’)

print(’##############’,file=doc)

print(’當(dāng)前計算井深：{}m’.format(Jg),file=doc)

print(’按高度修正的井壁井彈性模量{}’.format(E1),file=doc)

print(’按高度修正的井壁井截面慣性矩{}’.format(I1),file=doc)

print(’最小配重水的高度：{}m’.format(Hw),file=doc)

print(’非滿水狀態(tài)下的鉆井井壁豎向穩(wěn)定臨界深度：{}m’.format(a),file=doc)

print(’##############’,file=doc)

doc.close()

5 工程實(shí)例對比分析

5.1 工程背景

文獻(xiàn)[1]中井筒深度H=300 m，外直徑D=5.3 m，內(nèi)直徑d=4.6 m，井壁彈性模量E=3.3×109kg/m2，截面慣性矩I=16.75 m4，單位長度井壁自重為pc=14.15×103kg/m，配重水自重pw=16.62×103kg/m，配重水最小高度Hw=222.4 m。

由式(21)求得在非滿水狀態(tài)下井壁的臨界深度為

5.2 理論分析對比

將上述計算結(jié)果分別與文獻(xiàn)[1，4]對比，得表1。從表1可以發(fā)現(xiàn)，該計算結(jié)果與文獻(xiàn)[1](基于能量法的滿水狀態(tài)臨界深度)計算結(jié)果相差0.396%，與文獻(xiàn)[4](基于能量法的非滿水狀態(tài)臨界深度)計算結(jié)果相差7.15%，吻合度較高。

表1 穩(wěn)定性計算結(jié)果對比分析

6 結(jié) 論

1)鉆井井壁結(jié)構(gòu)施工期豎向失穩(wěn)是井壁結(jié)構(gòu)平衡穩(wěn)定狀態(tài)由漸變到突變的變化過程，因此借助突變理論可以定量地分析井壁豎向失穩(wěn)的機(jī)理，為鉆井井壁穩(wěn)定性研究提供一種新的理論分析方法。

2)基于等斷面鉆井井壁穩(wěn)定性分析力學(xué)模型可求得井壁總勢能函數(shù)，確立井壁失穩(wěn)突變模型。以突變模型為依據(jù)，推導(dǎo)了滿水和非滿水狀態(tài)下井壁豎向穩(wěn)定臨界深度計算公式，確立了井壁結(jié)構(gòu)突變失穩(wěn)判定準(zhǔn)則。

3)為解決工程實(shí)際問題，更有效地指導(dǎo)現(xiàn)場施工，確立了井壁失穩(wěn)計算的判定流程。借助大數(shù)據(jù)技術(shù)，由python語言編寫了井壁穩(wěn)定性計算流程。

4)通過工程實(shí)例計算及對比分析發(fā)現(xiàn)，基于突變理論的臨界深度計算結(jié)果與能量法計算結(jié)果基本相同，從而驗證了突變理論在鉆井井壁穩(wěn)定性理論研究中的可靠性。