朱鈺婷，張文宇，2，侯俊杰，張仁杰

1.中國航天系統(tǒng)科學(xué)與工程研究院，北京 100048

2.西安郵電大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，西安 710061

隨著參與決策人數(shù)的增加，決策過程變得更復(fù)雜，因而多屬性群決策（multi-attribute group decision making，MAGDM）在現(xiàn)代決策理論和決策科學(xué)中發(fā)展為一個(gè)極為重要的研究領(lǐng)域，在工程、物流、醫(yī)學(xué)及軍事等諸多方面都有著廣泛的應(yīng)用。1965 年，Zadeh[1]提出模糊集（fuzzy sets，F(xiàn)Ss）理論以來，這一理論常用于處理實(shí)際生活中具有模糊性和不確定性的問題。Atanassov[2]定義了直覺模糊集（intuitionistic fuzzy sets，IFSs），該模糊集認(rèn)為隸屬度與非隸屬度之和應(yīng)小于等于1[3]。Yager[4]提出的畢達(dá)哥拉斯模糊集（pythagorean fuzzy sets，PFSs），將隸屬度和非隸屬度范圍擴(kuò)大至平方和小于等于1[5]?？紤]到?jīng)Q策者在決策過程中可能會(huì)對(duì)隸屬度值存在猶豫的現(xiàn)象，Torra[6]提出了猶豫模糊集（Hesitant fuzzy sets，HFSs）。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)猶豫模糊集[7-8]進(jìn)行了較為廣泛的研究，Zhu 等[9]通過定義可能隸屬度與可能非隸屬度提出對(duì)偶猶豫模糊集（dual hesitant fuzzy sets，DHFSs）。Xu 等[10]在猶豫模糊集的基礎(chǔ)上提出了概率猶豫模糊集（probabilistic hesitant fuzzy sets，PHFSs），不僅提供了每個(gè)評(píng)價(jià)方案的所有隸屬度，并且提供了各個(gè)隸屬度對(duì)應(yīng)的概率。Hao 等[11]在概率猶豫模糊集和對(duì)偶猶豫模糊集的基礎(chǔ)上定義了概率對(duì)偶猶豫模糊集（probabilistic dual hesitant fuzzy sets，PDHFSs），該模糊集既能夠從隸屬度與非隸屬度角度收集決策信息，又包含了對(duì)應(yīng)的概率信息[12]。與PHFSs、DHFSs等猶豫模糊集相比，概率對(duì)偶猶豫模糊集對(duì)決策者的猶豫不決與心理偏好表達(dá)得更加準(zhǔn)確，減少了決策過程中評(píng)價(jià)信息缺失的情況，PDHFSs作為2017年提出的理論，相關(guān)的理論研究及實(shí)際應(yīng)用亟需豐富。

Brans 等[13]提出的偏好順序結(jié)構(gòu)評(píng)估法（preference ranking organization method for enrichment evaluations，PROMETHEE），是一種建立在“級(jí)別高于關(guān)系”的多準(zhǔn)則決策方法。相比常用的信息集結(jié)算子，如加權(quán)平均算子[14]、加權(quán)幾何平均算子[15]等，PROMETHEE 方法思路清晰、簡單有效，對(duì)環(huán)境具有靈活性和適應(yīng)性，能夠保證方案決策結(jié)果的穩(wěn)定性與可靠性，已經(jīng)成功地運(yùn)用于各種領(lǐng)域，例如醫(yī)療服務(wù)[16]、輿情管控方案評(píng)選[17]、FMEA風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估[18]、水資源方案評(píng)估[19]等研究。

多屬性群決策問題考慮的是個(gè)人視角很難完成的決策，需要從多視角去做出判斷的問題。因此，多屬性群決策算法的研究對(duì)現(xiàn)代決策的發(fā)展十分必要，尤其是模糊信息和猶豫決策這兩個(gè)方面已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界的重要研究領(lǐng)域。目前尚未發(fā)現(xiàn)有研究基于概率對(duì)偶猶豫模糊集與PROMETHEE 擴(kuò)展的模糊信息評(píng)價(jià)算法，并用來解決多屬性群決策問題。綜上，本文提出一種基于概率對(duì)偶猶豫模糊集與PROMETHEE結(jié)合的多屬性決策算法（以下簡稱PDHFSs-PROMETHEE）。該算法首先通過概率對(duì)偶猶豫模糊語言描述決策信息，根據(jù)改進(jìn)的得分函數(shù)和偏差函數(shù)集成概率對(duì)偶猶豫模糊元素，解決了決策信息難以定量化表達(dá)的問題；其次通過PDHFWA算子將各決策者的決策信息聚合為概率對(duì)偶猶豫模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣；最后通過PROMETHEE 方法判斷航空災(zāi)難事故應(yīng)急響應(yīng)備選方案的優(yōu)先級(jí)，得到最優(yōu)決策方案。

1 基本概念

1.1 概率對(duì)偶猶豫模糊集

如果S(pd1)＜S(pd2)，則pd1＜pd2；

如果S(pd1)=S(pd2)，則：

（1）如果σ(pd1)＜σ(pd2)，則認(rèn)為pd1優(yōu)于pd2，記為pd1＞pd2。

（2）如果σ(pd1)=σ(pd2) ，則認(rèn)為pd1與pd2無差別，記為pd1～pd2。

定義5 概率對(duì)偶猶豫模糊元素的偏離度能夠反映所有信息的穩(wěn)定性，為了在得分函數(shù)中能夠充分考慮概率對(duì)偶猶豫模糊元素的偏離度，對(duì)概率對(duì)偶猶豫模糊元素的得分函數(shù)提出改進(jìn)。改進(jìn)的得分函數(shù)不僅克服了原始得分函數(shù)的兩步計(jì)算法與忽略偏離度的問題，只需要一步計(jì)算即可得到信息比較的結(jié)果，并且考慮了猶豫信息對(duì)隸屬度與非隸屬度不同的影響，使信息比較結(jié)果更加具有可靠性。

設(shè)pd=h?,g?=h|p,g|q為一個(gè)概率對(duì)偶猶豫模糊元素，改進(jìn)的概率對(duì)偶猶豫模糊元素的得分函數(shù)表示為：

其中，γi∈h、pi∈p分別表示隸屬度部分的隸屬度值與相應(yīng)的概率，ηj∈g、qj∈q分別表示非隸屬度部分的非隸屬度值與相應(yīng)的概率。#h?(x)和#g?(x)分別表示隸屬度和非隸屬度中相應(yīng)元素的個(gè)數(shù)。

定義6 基于定義5中改進(jìn)的得分函數(shù)，兩個(gè)概率對(duì)偶猶豫模糊元素pd1和pd2之間的比較可以表示為：

（1）如果S*(pd1)＞S*(pd2)，則認(rèn)為pd1優(yōu)于pd2，記為pd1＞pd2。

（2）如果S*(pd1)＜S*(pd2)，則pd1＜pd2。

（3）如果S*(pd1)=S*(pd2)，則說明pd1與pd2無法區(qū)分，記為pd1～pd2。

概率對(duì)偶猶豫模糊加權(quán)平均算子（PDHFWA）的集成結(jié)果是概率對(duì)偶猶豫模糊元，且滿足下列優(yōu)良性質(zhì)：

（1）置換不變性：令αi=ωi pdi，設(shè)(β1,β2,…,βn)是(α1,α2,…,αn)的任一置換，則PDHFWA(α1,α2,…,αn)=PDHFWA(β1,β2,…,βn)。

（2）有界性：設(shè)αi=ωih?i(x),ωig?i(x) (i=1,2,…,n)為一組加權(quán)概率對(duì)偶猶豫模糊數(shù)，αmin≤PDHFWA(α1,α2,…,αn)≤αmax。

（3）單調(diào)性：設(shè)α′i=ωih?′i(x),ωig?′i(x) (i=1,2,…,n)為另一組PDHFWA，若αi≤α′i，則PDHFWA(α1,α2,…,αn)≤PDHFWA(α′1,α′2,…,α′n)。

（4）冪等性：令pdi=＜h?i(x),g?i(x)＞(i=1,2,…,n)為一組PDHF，如果對(duì)于所有的i=1,2,…,n，都有hi=h={γ}，gi=g={η}，pd1=pd2=…=pdn=pd，可得：

1.2 PROMETHEE方法

PROMETHEE 方法通過引入優(yōu)先函數(shù)來描述在同一屬性Cj上關(guān)于決策的優(yōu)先程度，即根據(jù)各決策屬性值之間差距的大小來判斷決策對(duì)之間的優(yōu)劣程度[22]。

PROMETHEE 方法中有6 種形式的偏好函數(shù)[23]，具體如下所示。

（1）一般準(zhǔn)則為：

（5）線性無差別區(qū)間準(zhǔn)則為：

無論選擇哪種偏好函數(shù)，都應(yīng)計(jì)算dj(Ai,Ak)=f(Ai)-f(Ak)，其表征任何兩種備選方案之間的偏好差異。因此，PROMETHEE方法對(duì)每一個(gè)指標(biāo)定義一個(gè)優(yōu)先函數(shù)，函數(shù)值值域?yàn)?～1，函數(shù)值越小，方案Ai和Ak之間的差異越?。划?dāng)函數(shù)值為0 時(shí)，方案Ai和Ak無差異；其值越接近1，方案Ai優(yōu)于方案Ak的程度就越高；而當(dāng)函數(shù)值為1時(shí)，方案Ai嚴(yán)格優(yōu)于方案Ak。

2 基于概率對(duì)偶猶豫模糊PROMETHEE的多屬性群決策算法

本章主要介紹了PDHFSs-PROMETHEE 多屬性群決策算法的步驟。首先得到各位決策專家為相關(guān)決策問題提供的評(píng)價(jià)信息；其次，利用概率對(duì)偶猶豫模糊集理論的相關(guān)知識(shí)將其集結(jié)成綜合決策信息矩陣；最后通過PROMETHEE 方法計(jì)算各個(gè)決策方案的流出值、流入值和凈流值，并根據(jù)各對(duì)決策的凈流值大小，確定決策間的級(jí)別關(guān)系從而得到?jīng)Q策結(jié)果。

PDHFSs-PROMETHEE 多屬性群決策算法對(duì)應(yīng)的流程圖如圖1所示。

圖1 PDHFSs-PROMETHEE多屬性群決策算法流程圖Fig.1 PDHFSs-PROMETHEE multi-attribute group decision-making method solution flow chart

基于PDHFSs-PROMETHEE 多屬性群決策算法的具體步驟如下：

步驟1 構(gòu)建概率對(duì)偶猶豫模糊決策信息矩陣。

其中，1 ≤i≤m,1 ≤j≤n,1 ≤j*≤n。

步驟3 用熵值法計(jì)算指標(biāo)屬性C={Cj}的權(quán)重。

信息熵是對(duì)系統(tǒng)無序程度的度量，采用熵值法確定指標(biāo)的變異程度及指標(biāo)水平的綜合測(cè)度，可以有效避免人工確定指標(biāo)權(quán)重的主觀性[25]。在指標(biāo)矩陣X中，指標(biāo)的熵值越大，表明該項(xiàng)指標(biāo)的變異程度越大。熵值法計(jì)算的步驟如下：

（1）用功效系數(shù)法對(duì)決策方案的指標(biāo)數(shù)據(jù)矩陣X進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

步驟4 計(jì)算綜合決策評(píng)價(jià)矩陣。

（1）根據(jù)定義7 中的PDHFWA 算子，計(jì)算出各專家在每個(gè)方案下根據(jù)各指標(biāo)的綜合評(píng)價(jià)值。

在具體的多屬性決策問題中，選定線性的優(yōu)先函數(shù)，可以得到pj(AI,AK) 的值，進(jìn)而求得Π(AI,AK)的值。

3 算例

3.1 算例分析

近年來航空災(zāi)難事故頻發(fā)，為降低航空災(zāi)難事故造成的人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失，某應(yīng)急管理機(jī)構(gòu)擬在幾個(gè)備選方案中選擇一個(gè)有效的應(yīng)急響應(yīng)方案[26]。經(jīng)調(diào)查研究，現(xiàn)有4個(gè)應(yīng)急響應(yīng)方案（A1,A2,A3,A4）進(jìn)入最終的評(píng)估范圍，備選方案的評(píng)估準(zhǔn)則（指標(biāo)屬性）為：指揮能力（C1）、救援能力（C2）、響應(yīng)能力（C3）、預(yù)測(cè)能力（C4）。依托4 位行業(yè)經(jīng)驗(yàn)豐富的專家、高級(jí)官員（E1,E2,E3,E4）為應(yīng)急響應(yīng)方案評(píng)估提供智力支持。本節(jié)采用PDHFSs-PROMETHEE 多屬性群決策算法對(duì)備選應(yīng)急響應(yīng)方案進(jìn)行評(píng)估，具體求解步驟及結(jié)果如下：

步驟1 各位決策專家Ek根據(jù)指標(biāo)屬性Cj對(duì)4 個(gè)應(yīng)急響應(yīng)方案Ai給出評(píng)價(jià)信息，得到模糊決策信息矩陣PD(k)(k=1,2,3,4)，表1～4 分別表示各決策專家的概率對(duì)偶猶豫模糊評(píng)價(jià)決策矩陣。

表1 決策專家E1 給出的評(píng)價(jià)值決策矩陣Table 1 Evaluation value decision matrix given by decision expert E1

步驟2 基于最大離差法，確定4位決策專家分別在每個(gè)指標(biāo)屬性下的客觀權(quán)重，如表5所示。

表5 各決策專家在不同指標(biāo)屬性下的客觀權(quán)重Table 5 Objective weights of decision-making experts on different index attributes

表2 決策專家E2 給出的評(píng)價(jià)值決策矩陣Table 2 Evaluation value decision matrix given by decision expert E2

表3 決策專家E3 給出的評(píng)價(jià)值決策矩陣Table 3 Evaluation value decision matrix given by decision expert E3

表4 決策專家E4 給出的評(píng)價(jià)值決策矩陣Table 4 Evaluation value decision matrix is given by decision expert E4

步驟3 基于熵值法，確定指標(biāo)屬性C={Cj}的權(quán)重wj，計(jì)算結(jié)果如表6所示。

表6 各指標(biāo)屬性的權(quán)重Table 6 Weights of each indicator attribute

步驟4 根據(jù)權(quán)重與PDHFWA 算子，得到各決策專家的綜合決策評(píng)價(jià)矩陣，如表7所示。

表7 各決策專家的綜合決策評(píng)價(jià)矩陣Table 7 Comprehensive decision-making evaluation matrix of each decision-making expert

步驟5 計(jì)算優(yōu)先指數(shù)。選擇具有線性優(yōu)先關(guān)系準(zhǔn)則確定優(yōu)先函數(shù)，按照式（23）計(jì)算每一對(duì)方案Ai,Ak∈A的優(yōu)先指數(shù)Π(Ai,Ak)，結(jié)果如表8所示。

表8 優(yōu)先指數(shù)Π( Ai,Ak)Table 8 Priority index Π( Ai,Ak)

步驟6 按照式（24）、（25）與式（26）計(jì)算每個(gè)應(yīng)急響應(yīng)方案的流出、流入和凈流值，計(jì)算結(jié)果如表9所示。

表9 各方案的流出值φ+、流入值φ-和凈流值φTable 9 Outflow value φ+，inflow value φand net flow value φ of each scheme

步驟7 通過計(jì)算決策集A上各對(duì)決策的流出值、流入值與凈流值，凈流值計(jì)算結(jié)果越大，方案越優(yōu)。

故基于本文提出的PDHFSs-PROMETHEE 多屬性群決策算法，4 個(gè)備選應(yīng)急響應(yīng)方案的排序?yàn)锳2＞A4＞A3＞A1，可以確定最優(yōu)應(yīng)急響應(yīng)方案為A2。

3.2 算法對(duì)比

在接下來的部分，對(duì)本文提出的算法與現(xiàn)有的多屬性決策算法進(jìn)行比較。在已有的研究中，王應(yīng)明等[27]提出了基于前景理論的TOPSIS 決策算法，應(yīng)用于評(píng)估創(chuàng)新型企業(yè)的問題；陳秀明等[28]提出改進(jìn)的VIKOR 決策算法，對(duì)電影推薦項(xiàng)目進(jìn)行排序；Hao 等[11]提出應(yīng)用PDHFS 決策算法，對(duì)北極地緣政治風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行評(píng)估。本節(jié)將以上3種多屬性決策算法應(yīng)用于本文3.1節(jié)提出的航空災(zāi)難事故應(yīng)急響應(yīng)方案評(píng)估算例，本文算法與3種多屬性決策算法的比較如表10所示。

表10 4種多屬性群決策算法比較Table 10 Comparison of four multi-attribute group decision algorithms

為了增強(qiáng)算法的可對(duì)比性，專家的重要程度與指標(biāo)屬性的權(quán)重向量值與本文3.1節(jié)中的計(jì)算結(jié)果一致，3種決策算法的計(jì)算過程如下：

（1）TOPSIS決策算法

通過文獻(xiàn)[27]所提TOPSIS 決策算法，計(jì)算可得各應(yīng)急響應(yīng)方案Ai分別到正理想解和負(fù)理想解的猶豫模糊歐幾里得距離集，如表11和表12所示。

表11各方案到正理想解的距離集Table 11 Set of distances from each scheme to positive ideal solution

表12 各方案到負(fù)理想解的距離集Table 12 Set of distances from each scheme to negative ideal solution

通過計(jì)算可得各應(yīng)急響應(yīng)方案Ai的收益損失比值Ci，如表13所示。

表13 收益損失比值Table 13 Profit loss ratio

最后按照Ci值的大小對(duì)各方案進(jìn)行排序，計(jì)算出的Ci值越大，方案越優(yōu)。故基于前景理論TOPSIS決策法得應(yīng)急響應(yīng)方案的排序?yàn)锳3＞A2＞A4＞A1，方案A3為最優(yōu)應(yīng)急響應(yīng)方案。

（2）VIKOR決策算法

通過文獻(xiàn)[28]所提VIKOR決策算法，計(jì)算可得各應(yīng)急響應(yīng)方案Ai的正理想點(diǎn)m+和負(fù)理想點(diǎn)m-，正負(fù)理想點(diǎn)的具體值見表14。

表14 各方案群體偏好的理想點(diǎn)Table 14 Ideal point of preference for each program group

設(shè)決策機(jī)制系數(shù)為0.5 時(shí)，通過計(jì)算可得群體效用變量MU，個(gè)體遺憾變量MR與妥協(xié)解變量MC，計(jì)算結(jié)果如表15所示。

表15 模糊語言信息的MU、MR與MC值Table 15 MU，MR and MC values of fuzzy linguistic information

最后按照群體效用變量MC值的大小對(duì)方案進(jìn)行排序，方案的MC值越大，則判斷方案越優(yōu)。故基于改進(jìn)的VIKOR 決策算法得到應(yīng)急響應(yīng)方案的排序?yàn)锳2＞A3＞A1＞A4，方案A2為最優(yōu)應(yīng)急響應(yīng)方案。

（3）PDHFS決策法

通過文獻(xiàn)[11]所提PDHFS決策算法，計(jì)算概率對(duì)偶猶豫模糊信息原始得分函數(shù)可得各應(yīng)急響應(yīng)方案Ai的得分值，結(jié)果如表16所示。

表16 4個(gè)應(yīng)急響應(yīng)方案的得分值Table 16 Scores for four emergency response options

最后按照得分值的大小對(duì)方案進(jìn)行排序，計(jì)算出的得分值越大，方案越優(yōu)。故基于PDHFS 決策算法得到方案的排序?yàn)锳2＞A4＞A3=A1，方案A2為最優(yōu)應(yīng)急響應(yīng)方案。

3.3 結(jié)果分析

本文基于TOPSIS、VIKOR、PDHFS 與PDHFSs-PROMETHEE 這4 種決策算法對(duì)航空災(zāi)難事故應(yīng)急響應(yīng)方案的決策評(píng)估結(jié)果如表17所示，4種決策算法中各備選方案的效用值分布趨勢(shì)如圖2所示。

表17 4種算法的決策評(píng)估結(jié)果Table 17 Decision evaluation results of four methods

圖2 4種算法下各備選方案的效用值分布趨勢(shì)圖Fig.2 Utility value distribution trend diagram of each alternative under four methods

由計(jì)算結(jié)果可見，TOPSIS 決策算法判斷A3優(yōu)于A2，可能因?yàn)楹雎粤朔桨窤3在C2指標(biāo)屬性下評(píng)價(jià)不佳。VIKOR 決策算法判斷方案A3優(yōu)于A4，可能由于折衷理論在計(jì)算最終效用值上具有局限性。PDHFS決策算法在模糊信息元素比較中忽略了偏離函數(shù)的影響，最終無法判斷方案A1與A3的優(yōu)先等級(jí)。此外，應(yīng)急響應(yīng)方案A1在TOPSIS、PDHFS與PDHFSs-PROMETHEE這3種決策算法的排序中排名均處于最后一位，應(yīng)急響應(yīng)方案A2在VIKOR、PDHFS與PDHFSs-PROMETHEE這3種決策算法的排序中排名均處于第一位，說明最終決策結(jié)果的有效性。不同決策算法中的具體排名略有不同，是由于決策算法各自的特性及側(cè)重點(diǎn)差異所導(dǎo)致的。本文提出的PDHFSs-PROMETHEE 算法在進(jìn)行決策的過程中，對(duì)于不同的指標(biāo)屬性賦權(quán)，得到的決策結(jié)果不完全一樣，這與實(shí)際情況相符。該算法充分考慮決策者對(duì)屬性的偏好情況，且計(jì)算結(jié)果區(qū)分度大、直觀性強(qiáng)，決策結(jié)果更具有說服力[29-31]。每個(gè)備選的航空災(zāi)難事故應(yīng)急響應(yīng)方案都有自己的優(yōu)勢(shì)，各指標(biāo)屬性權(quán)重可以根據(jù)不同城市與航空災(zāi)難事故的等級(jí)，對(duì)應(yīng)急響應(yīng)效果確定具體需求，從而評(píng)估得到最優(yōu)的應(yīng)急響應(yīng)方案。

由以上結(jié)果可以看出，本文應(yīng)用的PDHFSs-PROMETHEE 多屬性群決策算法具有可行性，能夠決策出最佳的應(yīng)急響應(yīng)方案。與現(xiàn)有研究中的決策算法相比，本文采用的決策算法提出將概率對(duì)偶猶豫模糊集與PROMETHEE方法相結(jié)合，在概率對(duì)偶猶豫模糊元素信息比較中同步考慮了得分函數(shù)與偏離函數(shù)的計(jì)算，并通過PROMETHEE方法判斷決策方案的優(yōu)先級(jí)。該算法能夠解決多個(gè)不同類型的多屬性信息問題，得到準(zhǔn)確的決策評(píng)價(jià)結(jié)果，具有可靠性與有效性。

4 結(jié)束語

研究基于概率對(duì)偶猶豫模糊集與PROMETHEE 結(jié)合的多屬性決策算法及其應(yīng)用。主要工作體現(xiàn)在三個(gè)方面：（1）提出了將PROMETHEE方法拓展至概率對(duì)偶猶豫模糊集的概念；（2）研究了基于概率對(duì)偶猶豫模糊PROMETHEE的多屬性群決策算法，包括提出改進(jìn)的得分函數(shù)，PDHFWA聚合算子與權(quán)重確定等方法，為猶豫模糊信息領(lǐng)域提供了一類新的研究途徑；（3）通過評(píng)估航空災(zāi)難事故應(yīng)急響應(yīng)方案，驗(yàn)證了本文所提PDHFSs-PROMETHEE多屬性群決策算法的有效性，并與現(xiàn)有的幾種決策算法進(jìn)行了對(duì)比，證明了決策結(jié)果的可靠性。本文提出的概率對(duì)偶猶豫模糊PROMETHEE多屬性群決策算法可以應(yīng)用到應(yīng)急決策、物流管理、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等諸多領(lǐng)域，是對(duì)猶豫模糊多屬性群決策研究領(lǐng)域的豐富與拓展。今后，將結(jié)合更多的實(shí)際問題拓展概率對(duì)偶猶豫模糊PROMETHEE多屬性群決策算法的應(yīng)用研究。