汪冰冰

(南京師范大學數(shù)學科學學院，江蘇南京，210023)

著名哲學家卡爾·波普爾說：“錯誤中往往蘊含著比正確更重要的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新因素”，在課堂教學中，學生收獲知識與教師精心的教學設(shè)計密不可分，但教師的預(yù)設(shè)并不能代表學生的思維過程，學生很有可能會在知識生成過程中出現(xiàn)偏謬，教師若能有效利用差錯這類隱性課程資源，便會促進學生對知識的理解，甚至激發(fā)學生的創(chuàng)新能力.將課堂中的差錯轉(zhuǎn)化為教學資源這種教學方式稱為“化錯教學”，此教學方式由我國著名的特級教師華應(yīng)龍老師提出.

由于國內(nèi)外關(guān)于化錯教學的研究多傾向于小學階段，且在觀摩高中數(shù)學課堂實錄中發(fā)現(xiàn)教師在處理學生的差錯時存在不當之處，因此本文擬結(jié)合高中數(shù)學課堂的特點與高中生的心理特征，探析數(shù)學課堂中化錯教學的內(nèi)涵、理論基礎(chǔ)與其施教意義，并結(jié)合具體教學案例反思當前高中數(shù)學教學實踐中撥正錯誤時存在的問題，進而希望能夠提升教師的教學能力和學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

1 化錯教學的內(nèi)涵

1.1 內(nèi)涵詮釋

化錯教學有三層要義[1]：一是錯誤應(yīng)隨機融入教學進程而非依賴于教師提前設(shè)計；二是重視差錯的教學意義而非一言以蔽之；三是利用差錯潛移默化影響學生的視誤觀.因此化錯教學的內(nèi)涵特征可概括為三點：(1)隨機融入；(2)促進認知發(fā)展；(3)提升價值觀.其中隨機融入的特征易于理解，下面僅對化錯教學要義的第二、第三層面進行闡釋.

1.1.1 認知層面

皮亞杰的認知發(fā)展理論表明學習者認知水平的差異與學習階段相關(guān)，教學要基于學生的認知水平搭建利于學生建構(gòu)知識的平臺，化錯教學作為一種教學方式抑或是教學策略[2]也應(yīng)如是.

從認知角度來看，任何一種教學進程都可視為“螺旋上升式”. 錯誤出現(xiàn)意味著學生已有的認知水平與解決問題所需的認知水平有距離，為糾正學生的錯誤認知，分析差錯產(chǎn)生的原因、重新理解問題、再次解決問題等一系列教學活動都會被錯誤牽引出來，最終差錯消除標志著認知發(fā)展.此外，化錯教學肯定差錯存在的合理性，挖掘差錯的意義將會豐富課堂教學資源，對于學生的認知發(fā)展來說是錦上添花.

1.1.2 價值觀層面

教育具有德育功能，數(shù)學教育作為教育的子類具有獨特的育人價值[3].調(diào)查研究表明多數(shù)學生以二元對立的觀點看待錯誤[1]，將錯誤與“失敗”“丟臉”等消極詞匯聯(lián)系起來.因此化錯教學作為一種以錯誤中的合理成分為教學起點的教學方式，可以幫助學生樹立正確的視錯觀，培養(yǎng)學生求真求實的品質(zhì).

1.2 內(nèi)涵辨析

課堂中出現(xiàn)錯誤是正常普遍的現(xiàn)象，通過文獻檢索發(fā)現(xiàn)針對錯誤進行教學的方式主要有糾錯教學、示錯教學、化錯教學，辨析它們內(nèi)涵的異同對于深刻理解化錯教學、判別教學方式是有幫助的.不同研究者對示錯教學的涵義有不同界定[4，5]，一種定義方式與化錯教學無異，另一種定義方式能夠明顯區(qū)分二者，本文采用有區(qū)分度的示錯教學的定義.

課堂中犯錯的主體可能是學生也可能是教師，出現(xiàn)錯誤的方式可能是有意也可能是無意.圖1表示了三種教學方式的區(qū)別與聯(lián)系.其中示錯教學與其他兩種教學方式區(qū)別較大，它是指教師基于教學經(jīng)驗和學情分析，將學生易出現(xiàn)的錯誤設(shè)計在教學過程中，以引發(fā)學生思考、討論，最終改正錯誤[4].此種教學方式屬于教師有意提前在教學設(shè)計中融入錯誤，這與化錯教學的隨機融入截然不同.

糾錯教學與化錯教學的涵義相差不遠，二者最大的區(qū)別之處在于是否發(fā)現(xiàn)錯誤中的合理成分后生成教學資源.糾錯教學關(guān)注的是錯誤的認知，是以消除錯誤、強調(diào)正確認知為導向的[6]，這種教學方式會在短時間內(nèi)起到強化正確認知的作用.而化錯教學能夠發(fā)現(xiàn)錯誤中的合理成分，并以此作為契機引導學生進一步探究、思考.

圖1 三種針對課堂錯誤教學的方式

2 化錯教學的理論基礎(chǔ)

西方的理性批判主義思想為化錯教學提供了哲學基礎(chǔ)，使得人們能夠辯證地看待錯誤.弗洛伊德的錯誤心理學認為錯誤的發(fā)生并不是偶然事件，必有其原因與意義[7]，這一學說鋪設(shè)了化錯教學的心理學基礎(chǔ).除此以外，下述理論也為化錯教學在教學意義上提供了豐富的理論基礎(chǔ).

2.1 產(chǎn)婆術(shù)

產(chǎn)婆術(shù)是古希臘哲學家蘇格拉底為尋求普遍知識而發(fā)明的對話方法，以期在連續(xù)問答過程中，不斷激發(fā)學生的理性思考.產(chǎn)婆術(shù)有兩項重要原則：“使自以為知者知其不知”和“使自以為不知者知其所知”[8].聯(lián)系化錯教學的內(nèi)涵來看，可以說產(chǎn)婆術(shù)是化錯教學最早的雛形.學生的錯誤解答是有緣由的，且很有可能學生認為自己的思考是正確的，此時教師不應(yīng)快速批駁學生的答案，而應(yīng)通過反問、追問等理答方式或組織學生討論使學生逐步明晰癥結(jié)，這與產(chǎn)婆術(shù)的“使自以為知者知其不知”原則吻合；在明確錯誤后，教學自然轉(zhuǎn)入化解錯誤階段，教師根據(jù)學情通過連續(xù)的引導性提問輔助學生找到錯誤原因與解決辦法，這一階段符合產(chǎn)婆術(shù)的“使自以為不知者知其所知”原則.

產(chǎn)婆術(shù)還有一個關(guān)鍵的對話藝術(shù)是教師處于“無知”的狀態(tài)，即在探討過程中教師應(yīng)以學習的態(tài)度與學生對話而不是以師者傳道的角色灌輸自己的觀點[8].化錯教學中教師更多起到的是導引作用，尋錯、化錯的過程應(yīng)由學生自主探索，為使學生深度思考，教師應(yīng)裝作“不知所以然”反問學生的思路來源或思考依據(jù)，圍繞學生思維中的偏頗之處追問下去，推進思考進程，這樣教學才可達到化錯的深度而不僅僅是糾正錯誤.

2.2 認知負荷理論

從認知心理學層面來看，已有研究者指出數(shù)學錯誤與問題解決過程中認知資源及其工作記憶容量的有限性相關(guān)[9]，這為學生在學習過程中出現(xiàn)錯誤給予了合理的解釋.認知負荷包括外在負荷、內(nèi)在負荷、有效負荷三個基本成分，教學設(shè)計應(yīng)遵循降低外在、內(nèi)在負荷和增加有效負荷的原則.且有效負荷主要來源是學習者自身，因此喚醒學習者的認知投入是增加有效負荷的關(guān)鍵[10].化錯教學的精妙之處在于生成新的教學資源融入后續(xù)教學過程，即有新教學資源的生成，學生的認知投入也會增多，產(chǎn)生實質(zhì)性的認知操作活動，利于學生構(gòu)建更為完整的知識圖式，達到增加有效認知負荷的目的.

3 高中數(shù)學課堂化錯教學的施教意義

3.1 提升數(shù)學思維品質(zhì)培育理性精神

課程標準在描述課程性質(zhì)時指出：“數(shù)學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用”[11]，這表明了數(shù)學教學的本質(zhì)目標和教育價值.化錯教學將錯誤看作一種教學資源，旨在從學生的認知現(xiàn)狀出發(fā)，通過師生之間的對話或數(shù)學活動促進學生反省，而反省恰是理性思維的外在表現(xiàn)之一.美國教育家杜威在《思維與教學》一書中說：“反省的思維是對于問題反復而嚴正地、持續(xù)地思考的一種過程”[12]，這啟示教學要能夠圍繞一個點深度思考，而不應(yīng)過度追求完成既定的教學任務(wù).

同時化錯教學能夠提升數(shù)學思維品質(zhì)的各方面，對于錯誤的審視和分析表現(xiàn)出思維批判性、嚴謹性的特征，且錯誤與正確背后涉及的是知識的內(nèi)在聯(lián)系或區(qū)別、思想方法的異同，這使得學生在化錯教學中思維的廣闊性、靈活性也能夠得到鍛煉，關(guān)于思維的“獨創(chuàng)性”，或者當前關(guān)注的熱點“創(chuàng)造性思維”，華應(yīng)龍老師更是指出“沒有‘化錯’何來創(chuàng)新”[1]，化錯教學肯定差錯的價值，能夠激勵學生大膽嘗試，在錯誤中開辟新思路.

就教學內(nèi)容而言，高中數(shù)學與初中數(shù)學有著明顯的差別.高中數(shù)學知識密度與知識難度陡增，對學生的思維品質(zhì)提出了更高的要求；高中數(shù)學更加強調(diào)理性思維，而非簡單的感性認識[13].鑒于此，化錯教學更應(yīng)作為一種有益的教學方式在高中數(shù)學課堂中發(fā)揮價值.

3.2 優(yōu)化評價方式擺脫題海戰(zhàn)術(shù)

課程評價是數(shù)學教育中的一項重要內(nèi)容，高中數(shù)學課程標準指出“只有通過觀察學生的學習行為和思維過程，才能發(fā)現(xiàn)學生思維活動的特征及教學中存在的問題，及時調(diào)整學與教的行為，改進學生的學習方法和思維習慣”[11].化錯教學以過程性學習為導向，不拘泥于標準的教學模式，當學生的思維出現(xiàn)偏差時能夠圍繞問題展開教學，這實際是對學生的思維活動做出及時的過程性評價.

強調(diào)過程性學習而非結(jié)果的識記是數(shù)學教育不懈的追求，這一點也愈發(fā)體現(xiàn)在考試評價中.高中數(shù)學概念、公式、定理繁多，多數(shù)考生選擇刷題這一戰(zhàn)略應(yīng)對考試，但題海戰(zhàn)術(shù)無法提高學生的數(shù)學認知理解水平，反而會起到阻礙作用，而且學生無暇反省自己的學習[14].正如波利亞所說：“教師在課堂上講什么固然重要，然而學生想的是什么則更加千百倍的重要”，學生對數(shù)學知識的理解反饋到教師主要是通過兩種途徑：作業(yè)批改和課堂問答，且作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的問題也會在課堂上講解，如若教師提供的是精準化教學，即能將學生的錯誤作為教學資源，那么教學就會變得高度有效.鑒于此，化錯教學的合理應(yīng)用能夠使得學生深度理解學習內(nèi)容，聚焦學生思維上的偏頗之處，感悟數(shù)學學習中的思想本質(zhì)，讓學生能夠反思自己在已學習內(nèi)容中存在的問題，而不是一味地追逐做題數(shù)量，擺脫盲目的“題海戰(zhàn)術(shù)”.

3.3 緩釋數(shù)學學習焦慮促進良性循環(huán)

就高中生心理特征而言，數(shù)學學習焦慮是目前多數(shù)高中生面臨的心理難題，數(shù)學學習焦慮感一方面是高中數(shù)學學科的特點、內(nèi)容性質(zhì)引發(fā)的，也有一方面源于高中生的心理特征.高中階段屬于青年初期，他們有較強的自尊心，自我要求高，關(guān)注外界評價，往往會因為自己一時的失誤導致對自己能力的懷疑，從而產(chǎn)生強烈的焦慮情緒[15，16].基于高中生的不良情緒特點，數(shù)學教師應(yīng)在課堂中引導學生正確看待差錯，培養(yǎng)學生數(shù)學學習的信心.化錯教學肯定差錯的合理性，學生在化錯的過程中尋找到正確的認知，這使得獨立人格較強的高中生能夠擯棄錯誤可恥的觀點、樹立正視錯誤的勇氣、鍛煉求真求實的品質(zhì).

案例1：對數(shù)的概念

在學生說出：“2x=1、2x=2、2x=4……，x等于多少”一系列問題的答案后，教師提問：“如果2x=3，這里的x存在嗎？”，學生思考一段時間后，教師請一位學生發(fā)表觀點，該生答：“x不存在”，教師緊接著追問：“為什么不存在”，學生回答：“因為找不到”，此時教師理答：“哦，很好，因為找不到，好像確實找不到”，(停頓數(shù)秒)老師問：“找不到就是不存在嗎？照這樣看，在初中學習無理數(shù)時，我們剛開始也不能在數(shù)軸上找到無理數(shù)，那我就能說在數(shù)軸上無法表示有理數(shù)，是這樣嗎？”，生齊答：“不是”，師問：“哦不是，怎么找到的呢？”，生2回答：“無理數(shù)π是滾動圓周找到的”，師問：“那我們能不能用類似的方法找x呢？”，此時生1舉手答：“我剛才的回答不對，我們作出y=2x與y=3的圖象，此時x的值就是交點的橫坐標”，教師對生1豎起了大拇指.

從此教學中可看出，教師對于學生的差錯采取了化錯的方式.面對學生的錯誤認知教師并沒有急于反駁，而是詢問學生思考的依據(jù)是什么，隨后教師肯定了學生所犯錯誤的合理性(學生現(xiàn)有關(guān)于數(shù)的認知未能解決此問題)，隨后教師用在數(shù)軸上找到無理數(shù)的學習啟發(fā)學生，讓學生頓悟數(shù)的存在性可從形上解決，深化了數(shù)形結(jié)合的思想.而且學生也沒有因為差錯感到氣餒失落，主動承認錯誤并改正，教師采取鼓勵式理答.

4 高中數(shù)學課堂解決錯誤的實踐反思

基于對高中數(shù)學課堂案例的分析與相關(guān)研究，可以發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學課堂中解決學生錯誤認知的教學存在偏頗之處，有待一線教師與研究人員進一步探索.

4.1 教師理答等待時間過短而轉(zhuǎn)問過快

基于課時原因，高中數(shù)學課堂內(nèi)容多、節(jié)奏快，面對學生出現(xiàn)錯誤的情況，教師擔心深究學生的錯誤會妨礙課堂計劃的完成，所以會急于撥正教學的指南針，這樣學生還未來得及思考錯誤的原因就被緊湊的教學進程牽引著向前走.此外，根據(jù)古德和布羅菲開發(fā)的課堂觀察量表[17]觀察教師在化錯教學中的理答方式，可以發(fā)現(xiàn)多數(shù)教師會采取轉(zhuǎn)問的方式，即讓其他學生延續(xù)此問題作答，采用轉(zhuǎn)問的理答方式無可厚非，但過快的轉(zhuǎn)問會搶占錯誤者的思考空間，同時還有可能挫傷錯誤者學習數(shù)學的自信心，在接下來的數(shù)學課堂學習中易產(chǎn)生緊張感.

在新知探索環(huán)節(jié)，學生往往會因為與以往的知識混淆不清、思維定勢或者推理能力不足等原因出現(xiàn)錯誤，這個錯誤或許不是特別繁雜的，等待數(shù)十秒的時間學生就會自己反省過來，亦或者有些認知錯誤需要教師層層引導，轉(zhuǎn)問過快會使得正確的答案快速烙入錯誤者的腦海中，學生反思的過程被壓縮.因此，針對學生在探索環(huán)節(jié)出現(xiàn)的差錯，教師應(yīng)留給學生適當?shù)淖晕业菇赖臅r間，當然教師也可以通過簡單反問、提示使學生更快洞悉錯誤的原因，確保數(shù)學課堂探究是過程性的學習而非結(jié)果的識記.

在解題練習環(huán)節(jié)，學生可能會因為疏忽限制條件、定理理解不透徹等原因出現(xiàn)錯解的情況，此時若教師快速地轉(zhuǎn)向其他學生提供的正確解法，有價值的錯誤資源被淹沒，甚至使得犯錯誤的學生出現(xiàn)“今日做題多，明日仍多錯”的學習困境.因此教師在講解練習時應(yīng)給予學生一定的自我反思時間，將學生的錯誤轉(zhuǎn)化為教學資源，以辨析、正反對比、變式練習等揭示錯誤原因，而不是用正確的答案充斥學生的頭腦.

4.2 教師理答語言藝術(shù)運用不當

在解決錯誤的教學中，教師理答語言藝術(shù)運用不當有兩方面的表現(xiàn)：(1) 話語權(quán)過多.蘇霍姆林斯基曾說：“任何一種教育現(xiàn)象，學生在其中越少感覺到教育者的意圖，效果越好.”誠然，藝術(shù)需要適當?shù)牧舭祝n堂中教師理答的語言藝術(shù)也不例外[18].(2) 語氣、語詞不當.當學生出現(xiàn)錯誤時，教師驚訝、失望的語氣和語詞無形中會加重錯誤者的心理負擔，因著緊張學生可能會大腦空白、無法有效思考.

教師話語權(quán)過多是講授法的典型特征，講授法固然可以解決錯誤，但講授法是以教師為中心，是將教師的理解灌輸給學生，學生只會“知其然而不知其所以然”，甚至相隔一段時間后會有復現(xiàn)錯誤的可能.究其原因，是因為在解決錯誤時教師的話語權(quán)過多，學生只是被動地接受而非主動地思考，沒有達到深度學習的層次.教師可組織小組討論或追問，學生發(fā)表觀點后教師再引導補充相關(guān)知識或思想.

高中數(shù)學內(nèi)容多、難度大且比較抽象，加上升學的壓力，高中生在數(shù)學學習過程中比較敏感[11]，教師溫柔善意的理答可以增加學生數(shù)學學習的信心.當學生出現(xiàn)錯誤時，教師可以站在學生的視角順著學生回答，比如“哦，可能真沒有解”“嗯，有道理”之類的積極性理答既肯定了學生回答中的合理成分，也緩解了學生的緊張情緒，這樣，教師隨后的引導才能有效調(diào)動學生的思考.

4.3 糾錯過多而化錯不滿

隨著診斷性教學與評價的深入開展，學生在學習過程中出現(xiàn)的錯誤得到了多數(shù)數(shù)學教師的重視，教師也會采取一些方式降低學生的錯誤率，如讓學生整理錯題集、錯題評講課等.但教師更多的是抱著防錯、避錯的心理揭示錯誤原因、強調(diào)正確答案，此時教學只達到了糾錯的層次.華應(yīng)龍老師說：“正確有可能是一種簡單的模仿，但錯誤絕對是一種創(chuàng)新體驗”，學生經(jīng)歷糾錯教學后可能不再犯錯，但也可能是習得了程序，通過模仿解決問題.著名的數(shù)學教育家斯托利亞爾指出：“數(shù)學教學是數(shù)學活動(思維活動)的教學，而不僅僅是數(shù)學活動的結(jié)果”，在課堂中解決學生錯誤時，揭示誤因、指明正確答案只屬于數(shù)學活動的結(jié)果，而學生的錯誤在一定程度上反映了學生的思維過程，顯然過程蘊含的信息量更多，教師若能洞悉差錯背后的教學價值，采取合理的教學方式，那么教學就能達到“潤物細無聲”的化錯境界.

案例2：函數(shù)的奇偶性

在該案例中，看起來教師快速解決了學生的錯誤，也讓學生明白了錯誤原因是未注意到函數(shù)的概念，但教學只達到了糾正錯誤的層次.學生錯誤的背后蘊含著“函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則有f(0)=0”這一重要性質(zhì).若教師能夠在糾錯之后追加幾組正反例讓學生體會f(0)值的個數(shù)和數(shù)值對于一個函數(shù)、奇函數(shù)的影響，此時學生的錯誤就被轉(zhuǎn)化為了教學資源，教學達到了化錯的層次.

5 結(jié)語

高中數(shù)學課程改革以學生的數(shù)學素養(yǎng)為指導方針，關(guān)注學生的學習過程，強調(diào)學生自我構(gòu)建知識，化錯教學是滿足這些要求的一個很好的教學方式. 應(yīng)當指出的是化錯教學全面考驗了數(shù)學教師的數(shù)學教學內(nèi)容知識(MPCK)，即化錯教學不僅需要教師具備扎實的數(shù)學內(nèi)容知識，也需要良好的教學法知識.達到化錯的層次雖有一定難度，但它的教學價值值得所有數(shù)學教育工作者不斷鉆研.

本文探討了化錯教學的基礎(chǔ)理論、化錯教學對于高中數(shù)學課堂的意義，并結(jié)合具體案例反思了當前高中數(shù)學課堂教學中解決錯誤時存在的問題.但本文的思考只是初步的，對案例的考量還有待進一步深入，日后會結(jié)合更多教學案例修正、完善教學建議.