靳 朋,嚴(yán)艷華，夏小剛

(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽(yáng)，550025)

1 習(xí)題解答，探究性學(xué)習(xí)起始點(diǎn)

人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)《5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換》一節(jié)中，練習(xí)第2題是一道求扇形內(nèi)接矩形面積的習(xí)題，它是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)、和(差)角公式、二倍角公式和輔助角公式等必備知識(shí)的基礎(chǔ)上呈現(xiàn)的.在課堂教學(xué)中，教師不應(yīng)只滿足于簡(jiǎn)單地就題論題的講解、分析、總結(jié)，這樣只能讓學(xué)生簡(jiǎn)單鞏固所學(xué)內(nèi)容，而很難達(dá)到對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的深度學(xué)習(xí).教師可以將課本例題和習(xí)題作為探究性學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生尋找探究學(xué)習(xí)中有關(guān)聯(lián)的學(xué)習(xí)素材，做好類比、歸納等變式教學(xué)，找準(zhǔn)探究性學(xué)習(xí)的恰當(dāng)時(shí)機(jī)，只有這樣，才能對(duì)例題和習(xí)題作探究式學(xué)習(xí)，不但可以提升學(xué)生問(wèn)題探究的思維活躍度，還可以提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

例1要在半徑為R的圓形場(chǎng)地內(nèi)建一個(gè)矩形花壇，用什么方法截取才能使花壇的面積最大？

圖1

分析：將圓形場(chǎng)地內(nèi)建成一個(gè)最大矩形花園就是求圓內(nèi)接最大矩形.如圖1，當(dāng)邊AB固定時(shí)，內(nèi)接矩形面積的大小取決于點(diǎn)C所在圓弧上的位置，而∠BAC的大小又決定點(diǎn)C所在的位置.由此可先建立矩形面積關(guān)于∠BAC的函數(shù)，再求此函數(shù)的最大值即得圓內(nèi)接最大矩形的面積.

啟示：數(shù)學(xué)知識(shí)既是數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)，又是數(shù)學(xué)思考的結(jié)果.通過(guò)對(duì)上面題目的分析和解答，可以看出，內(nèi)接矩形面積的大小可以由圓弧上點(diǎn)的位置來(lái)確定：先設(shè)圓心角，建立起內(nèi)接矩形面積關(guān)于圓心角的三角函數(shù)，再通過(guò)三角函數(shù)的有界性找出特殊點(diǎn)，從而求出內(nèi)接矩形面積的最大值.所以，在實(shí)際教學(xué)中，我們不應(yīng)該只滿足于對(duì)三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用和基礎(chǔ)知識(shí)鞏固，更要擅于歸納、整理和提煉其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.探究始于問(wèn)題、問(wèn)題引領(lǐng)探究，正如課程標(biāo)準(zhǔn)中指出“在倡導(dǎo)積極主動(dòng)的探究式學(xué)習(xí)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力”[1].因此在數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)當(dāng)帶動(dòng)學(xué)生參與問(wèn)題的探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的思維能力和知識(shí)遷移能力.

2 方法類比，探究性學(xué)習(xí)關(guān)鍵點(diǎn)

類比是在事物之間進(jìn)行的，由特殊到特殊的推理形式[2].類比思維強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)的共通與轉(zhuǎn)化，主要包括聯(lián)想和比較兩種形式，聯(lián)想是指依據(jù)新信息聯(lián)想起舊知識(shí)，比較是指在新舊知識(shí)間建立聯(lián)系，找出相似點(diǎn)或不同點(diǎn)[3].它不僅是科學(xué)探究中最常用的基本方法之一，也是進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的初級(jí)過(guò)程和必備知識(shí)要求.

類比思維注重由典型例題引出新問(wèn)題，即由特殊題目類比聯(lián)想，猜想到一般性的結(jié)論并加以證明，使得探究環(huán)環(huán)相扣，并且做到由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì).通過(guò)不斷嘗試、探究，既能讓學(xué)生鞏固之前所學(xué)的知識(shí)，又能體會(huì)數(shù)形結(jié)合、歸納類比，多題歸一等數(shù)學(xué)方法，達(dá)到“既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林”的效果.

2.1 從圓內(nèi)接矩形類比到半圓內(nèi)接矩形

變式1如圖2，要在半徑為R的半圓形場(chǎng)地內(nèi)建一個(gè)矩形的花壇，應(yīng)怎樣截取，才能使花壇的面積最大？

分析：在半圓形場(chǎng)地內(nèi)建一個(gè)面積最大矩形的花壇.可以先確定半圓內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，則剩下三個(gè)頂點(diǎn)也隨之而定，所以此時(shí)只要設(shè)出圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，便能求解.

圖2

啟示：將圓類比得到一個(gè)半圓后，同樣可通過(guò)角來(lái)設(shè)圓上點(diǎn)，利用三角函數(shù)的有界性，求圓內(nèi)接最大矩形的面積，通過(guò)改變題目條件或結(jié)論，進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，可以有效提升學(xué)生對(duì)所學(xué)方法的靈活應(yīng)用能力，激活解題思維.

2.2 從半圓內(nèi)接矩形類比為四分之一圓內(nèi)接矩形

圖3

變式2如圖3，要在半徑為R的四分之一圓形場(chǎng)地內(nèi)建一個(gè)矩形的花壇，應(yīng)怎樣截取，才能使花壇的面積最大？

分析：由變式1可以看出，圖形具有很好的對(duì)稱性質(zhì)，對(duì)于本題也是一種啟發(fā)，可以采用“先猜后證”，即，先根據(jù)特殊點(diǎn)(弧中點(diǎn))，特殊圖形(正方形)猜出結(jié)論，再證明一般情況.

啟示：用三角函數(shù)和基本不等式來(lái)探求多種解法，幫助學(xué)生樹(shù)立用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí)，學(xué)生在探究過(guò)程中能更深刻感悟知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系.在理解鞏固并靈活運(yùn)用知識(shí)的基礎(chǔ)上，深層次啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的多向思維、歸納能力和創(chuàng)造性思維.

2.3 從四分之一圓類比到圓心角為60°的扇形

圖4

分析：矩形ABCD因C而定，因此設(shè)置參數(shù)α.只需要借助參數(shù)和半徑表示出矩形ABCD的相鄰兩邊長(zhǎng)，再應(yīng)用三角恒等變換，將面積表示為三角函數(shù)，最后利用三角函數(shù)性質(zhì)直接求解.

啟示：波利亞認(rèn)為，類比是偉大的引路人.通過(guò)課本例題，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入手，引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法探索新知識(shí).由圓類比到半圓，由半圓到四分之一圓，再到圓心角為60°的扇形，在圓的解題方法和思想中得到了其他圖形的解題方法，具有很好的教育價(jià)值.不難看出，在圓類比的過(guò)程中也蘊(yùn)含了普遍性與特殊性的辯證關(guān)系，學(xué)生在無(wú)形中也運(yùn)用了哲學(xué)思想來(lái)思考問(wèn)題，看待問(wèn)題的角度和方式也更科學(xué)合理.

3 分類討論探究性學(xué)習(xí)接力點(diǎn)

把所有探究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決.這種按不同情況分類，然后再逐一探究解決的數(shù)學(xué)思想，被稱為分類討論思想[4].分類討論思想可以應(yīng)用于多種題型，除應(yīng)用于四分之一圓內(nèi)接矩形這一情形外，還可用于四分之一圓內(nèi)接矩形在圓弧上有兩個(gè)頂點(diǎn)的情形，所以求四分之一圓最大內(nèi)接矩形需按圓弧上點(diǎn)的個(gè)數(shù)為一個(gè)或兩個(gè)進(jìn)行分類討論，這是開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的主干內(nèi)容之一，也是支撐探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)順利開(kāi)展的關(guān)鍵點(diǎn)和支撐點(diǎn).

3.1 從內(nèi)接矩形一個(gè)頂點(diǎn)在弧上變?yōu)閮蓚€(gè)頂點(diǎn)在圓弧上

圖5

變式4如圖5，要在半徑為R的四分之一圓形場(chǎng)地內(nèi)建一個(gè)矩形的花壇，A，B兩點(diǎn)在圓弧上，求這個(gè)花壇的面積最大值.

解：過(guò)點(diǎn)O作矩形AB邊的垂線OP交圓弧于點(diǎn)P，則根據(jù)對(duì)稱性，點(diǎn)P為四分之一圓弧的中點(diǎn).設(shè)∠BOP=θ，則

3.2 從圖形語(yǔ)言表述轉(zhuǎn)向文字語(yǔ)言表述

變式5求四分之一圓內(nèi)接矩形面積的最大值.

分析：因?yàn)閳A弧上只有一個(gè)或兩個(gè)矩形的頂點(diǎn)，所以四分之一圓內(nèi)接矩形有且只有變式2和變式4兩種情形，因而求四分之一圓內(nèi)接矩形面積的最大值，只需比較兩種情形下的最大值即可.

分析：由圓弧上只有一個(gè)或兩個(gè)矩形的頂點(diǎn)可知，半徑為R、圓心角為60°的扇形內(nèi)接矩形有且只有兩種情形，如圖6所示.

圖6

4 歸納拓展，探究性學(xué)習(xí)的延伸點(diǎn)

歸納是從個(gè)別性的前提推導(dǎo)出一般性結(jié)論的推理方法，其實(shí)質(zhì)是從已經(jīng)驗(yàn)證過(guò)的事物中推斷出未經(jīng)驗(yàn)證的事物，它是從特殊推向一般的合情推理.在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，有選擇性地讓學(xué)生體驗(yàn)探究一些歸納拓展的推理過(guò)程十分重要，它往往是探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中的生長(zhǎng)點(diǎn).

分析：本題是求扇形內(nèi)接矩形面積的最大值，可以理解為在扇形中如何裁剪出最大的矩形，可以看出，矩形的頂點(diǎn)至少有一個(gè)在扇形的圓弧上才能使其面積最大，所以要分在圓弧上的頂點(diǎn)為一個(gè)或兩個(gè)來(lái)求內(nèi)接矩形面積的最大值，再比較兩種情形下的最大值，從而求得扇形內(nèi)接矩形面積的最大值.

圖7

啟示：在教學(xué)中，教師應(yīng)借“題”發(fā)揮，小“題”大做，引導(dǎo)學(xué)生全面、深入、創(chuàng)造性地研究經(jīng)典例題.正如蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家?jiàn)W加涅相所說(shuō)：“很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展其教育功能的可能性……，從解本題到轉(zhuǎn)向獨(dú)立地提出類似的問(wèn)題和解答這些問(wèn)題，這個(gè)過(guò)程顯然在擴(kuò)大解題的‘武器庫(kù)’，學(xué)生利用類比和概括的能力在形成；辯證思想的獨(dú)立性以及創(chuàng)造素質(zhì)也在發(fā)展.”因此，讓學(xué)生在理解題目的基礎(chǔ)上，多角度、全方位深層次地針對(duì)習(xí)題開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，并獨(dú)立地提出一些與此有關(guān)的問(wèn)題或結(jié)論，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑之一.

5 教學(xué)啟示

5.1 解答習(xí)題，發(fā)掘研究性學(xué)習(xí)素材

關(guān)注習(xí)題解答，是提高教師教學(xué)效率的重要方式，更是提升學(xué)生解題能力的重要途徑.通過(guò)對(duì)教材的挖掘、探究、拓展、變式的思想理念，為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”提供機(jī)會(huì)，讓學(xué)生把具有共性的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行條理化和系統(tǒng)化，以達(dá)到優(yōu)化知識(shí)、開(kāi)拓視野、活躍思維的目的.同時(shí)在開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與提升，總結(jié)出解題的通性通法，為下一步的探究做好準(zhǔn)備，讓學(xué)生的“再創(chuàng)造”過(guò)程從被動(dòng)轉(zhuǎn)為主動(dòng).

5.2 類比求解，揭示類比數(shù)學(xué)思想方法與思維的形成

張奠宙教授指出：“數(shù)學(xué)教育的核心是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì).”數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么？從教育者角度看，數(shù)學(xué)的本質(zhì)應(yīng)該包括數(shù)與形的客觀規(guī)律、知識(shí)所處的背景、地位、作用、聯(lián)系、區(qū)別及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、思維過(guò)程[5].應(yīng)用探究所得結(jié)論進(jìn)行解題，是探究學(xué)習(xí)的坐標(biāo)體現(xiàn).利用例題所得出的解題思路和方法，對(duì)例題作一般化的推廣處理是數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，是理性思維的體現(xiàn).運(yùn)用類比思想，從“特殊到一般”的思維過(guò)程，落實(shí)“理性思維”的育人目標(biāo).

5.3 歸納延伸，留下繼續(xù)探究的“上升通道”

研究性學(xué)習(xí)不僅要做好知識(shí)層面、思想方法層面、學(xué)習(xí)方法層面的歸納，還要在歸納的基礎(chǔ)之上，運(yùn)用發(fā)散的類比思維做好延伸.