孫志成，李世鵬，宋曉東，黃奕勇，張 歡，閆明政

(1. 北京理工大學宇航學院，北京 100081; 2. 飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京 100081；3. 軍事科學院國防科技創(chuàng)新研究院，北京 100071)

0 引 言

隨著航天探索的不斷深化，航天器推進劑在軌補給技術的重要性已逐漸凸顯。一方面，越來越多的航天器因推進劑耗盡而成為失效航天器，不但占據(jù)了寶貴的軌道資源，而且迫使人類發(fā)射相同功能的航天器替代它們，利用在軌補給技術則可以節(jié)約軌道資源與地球資源；另一方面，人類已不滿足于地球周邊的太空活動，并逐步開展對火星等行星的深空探測活動，這也需要該技術的支持。

推進劑在軌補給方式可分為直接加注、更換推進模塊和增加推進模塊三種，直接加注方式憑借其易操作性而被廣泛應用。對于直接加注，服務航天器和客戶航天器之間需要先進行連接，再進行加注。連接方式可分為碰撞連接與靠泊連接兩種。碰撞連接為漂浮式連接，碰撞力較大且存在失敗風險；靠泊連接為抓取式連接，兩航天器之間依靠機械臂連接成為一個相對穩(wěn)定的整體，之后再由機械臂將航天器拉回或者由航天器伸出一個對接機構進行連接，碰撞力較小且成功概率大。由于伸出對接機構的靠泊連接方式(簡稱伸出式靠泊連接)具有運動質量小的特性，使得其碰撞力遠遠小于其他連接方式，有助于延長航天器的服役壽命，其連接過程如圖1所示。因此，對于需要連接的在軌任務(例如推進劑的在軌直接加注)，伸出式靠泊連接擁有良好的應用前景。

圖1 伸出式在軌靠泊連接過程Fig.1 Joining process of on-orbit stretching berthing

對于伸出式靠泊連接在軌直接加注任務，其加注管路會隨對接機構同步外伸，如圖2所示?？紤]到推進劑與加注管路的相容性以及推進劑的高壓性，加注管路的材料多采用鈦合金或者鋁合金等硬質金屬。因此，加注管路的拉伸勢必會產生附加力，使對接機構造成額外功耗甚至影響對接。因此，對加注管路的力學特性進行分析，并根據(jù)分析結果設計加注管路構型從而降低管路附加力具有重要的研究意義。

圖2 伸出式在軌靠泊加注任務加注管路狀態(tài)Fig.2 Refueling pipeline status in the on-orbit stretching berthing task

針對沿單一方向進行拉壓的管路，類彈簧的螺旋線構型因其軸向剛度低的優(yōu)勢而成為一種合適的選擇。同時，考慮到在軌機構的緊湊性，加注管路的設計空間多是有限且非規(guī)則的空間。在這種情況下，偏置拉壓橢圓螺旋管路的單圈長度相比于中心拉壓的圓螺旋管路更長，從而具有更小的軸向剛度(附加力)。因此，需要研究偏置拉壓橢圓螺旋管路的軸向剛度問題。

目前國內外還沒有關于橢圓螺旋結構軸向剛度的相關研究，但圓螺旋結構的類似研究已較為深入。劉鴻文采用能量法與微元法推導得到圓螺旋彈簧的經典剛度公式，但沒有考慮剪切作用。駱振興等則考慮了剪切作用、轉動慣量以及螺旋升角對彈簧剛度的影響，并計算得出當螺旋升角小于5°時，彈簧旋繞比越小傳統(tǒng)剛度計算公式的誤差越小的結論。Dym考慮了拉伸與扭轉的耦合效應，利用最小總勢能原理推導得到彈簧剛度的表達式。張健等以幾何精確梁方法對圓截面螺旋彈簧進行建模，推導得到彈簧的變形虛功率方程，并分析了彈簧剛度的非線性特性。以上均是關于圓螺旋結構的研究，對于橢圓螺旋結構的研究還有待深入。

在軌加注管路的設計需要在有限且不規(guī)則的設計空間內得到附加力最小的構型(包括位置參數(shù)和構型參數(shù))，這是一個典型的多維非線性約束工程優(yōu)化問題。目前，針對該類問題，代理模型被廣泛應用以提高計算效率。主流的代理模型包括：多項式響應面、徑向基函數(shù)、神經網(wǎng)絡以及克里金代理模型(KRG)。其中，KRG的綜合性能相比于其他幾種代理模型具有顯著優(yōu)勢。近年來，基于代理模型的進化算法也在不斷發(fā)展。該方法通過進化獲得后代種群，通過代理模型預測后代種群，在種群進化的同時更新代理模型，極大地提升了計算效率。對于約束優(yōu)化問題，Wang等提出了一種基于進化采樣與罰函數(shù)的優(yōu)化算法，但該方法對罰函數(shù)的選取有極高要求，會出現(xiàn)結果不收斂的情況。為避免罰函數(shù)選取不當?shù)膯栴}，Wang等提出了一種基于全局與局部代理模型的差分進化算法，但該方法需要反復調用原分析模型，導致計算效率不高。Long等提出了一種基于知識轉移采樣的代理輔助差分進化算法，該方法將知識轉移采樣方法與基于克里金代理模型的約束差分進化算法(Kriging assisted constrained differential evolu-tion, KRG-CDE)相結合，細化了初始樣本點，提高了優(yōu)化問題的結果收斂性和計算效率。

本文面向伸出式靠泊加注任務，提出了一種偏置橢圓螺旋加注管路構型。首先，基于能量法-微元法與第三強度理論推導了該類管路的軸向剛度表達式與應力數(shù)學表達式。之后，對軸向剛度及應力進行了仿真校驗，對軸向剛度進行了實驗校驗。最后，以非規(guī)則設計空間邊界、工作應力、對接行程和偏置力矩為約束條件，軸向剛度最小為優(yōu)化目標，采用KRG-CDE對某在軌加注對接機構非規(guī)則設計空間下的偏置橢圓螺旋管路進行了構型優(yōu)化設計，形成了一套完整的在軌加注橢圓螺旋管路設計方法，并將偏置橢圓螺旋管路同無偏圓、無偏橢圓以及偏置圓螺旋管路的最優(yōu)構型進行對比，驗證了偏置橢圓螺旋加注管路附加力更小的優(yōu)越性。

1 偏置橢圓螺旋管路力學特性分析

伸出式靠泊加注對接任務主要可分為抓取和對接兩個過程。在對接過程中，加注管路隨對接機構沿對接方向同步外伸，所形成的管路附加力將造成額外功耗甚至影響對接。同時，在軌機構的緊湊性又決定了加注管路的設計空間是有限且不規(guī)則的，故需要在有限的設計空間內設計加注管路，以降低管路拉壓所形成的附加力。

1.1 管路力學建模

基于加注管路單方向拉壓與設計空間不規(guī)則的特性，本文提出了一種偏置橢圓螺旋加注管路構型，如圖3(a)所示，圖中：為管路承載點；為管路固定點；為管路中心點；為管路在點受到的軸向外力。為了降低管路附加力，管路被設計成初始為壓縮態(tài)，終止為拉伸態(tài)，且拉壓變形量相同，此種設計可使管路的拉壓極限附加力相等且最小,如圖3(b)所示，圖中：為管路對接行程；為管路螺距；為管路外徑；為管路螺旋升角；為管路自由態(tài)長度；為管路有效圈數(shù)。

圖3 偏置橢圓螺旋加注管路Fig.3 A bias-loading elliptical-helical refueling pipeline

由于在軌機構的緊湊性，加注管路的設計空間和結構都必然緊湊，螺旋升角一般都小于5°，故可忽略螺旋升角的影響，從而將三維問題轉變?yōu)槎S問題。圖4為偏置橢圓螺旋管路的俯視平面關系簡圖，圖中為橢圓管路的任意螺旋截面。

圖4 橢圓螺旋管路平面幾何關系Fig.4 Geometrical relations of an elliptical-helical pipeline

如圖4所示，橢圓管路方程為

(1)

式中：為橢圓管路長半軸；為橢圓管路短半軸；為橢圓管路參數(shù)方程參數(shù)。

根據(jù)式(1)和圖4，可得橢圓管路任意螺旋截面切線的垂線和橢圓管路承載點與橢圓管路任意螺旋截面的連線的夾角∠，記為：

(2)

式中：(,)為橢圓管路承載點的坐標。

橢圓管路任意螺旋截面切線的垂線和橢圓管路中心與橢圓管路任意螺旋截面的連線的夾角∠，記為：

(3)

橢圓管路在承載點受到軸向外力作用的情況下，任意螺旋截面所受彎矩和扭矩為

=|sin|

(4)

=|cos|

(5)

橢圓管路在中心點受到軸向外力作用的情況下，任意螺旋截面所受彎矩和扭矩為

=|sin|

(6)

=|cos|

(7)

1.2 管路軸向剛度

剛度作為一種固有屬性，在螺旋結構的構型參數(shù)與材料都確定后，其數(shù)值不會隨外力大小和位置的不同而改變，外力只會影響螺旋結構的應力分布。因此，本文所研究的偏置拉壓橢圓螺旋管路軸向剛度問題可等效為中心拉壓橢圓螺旋管路軸向剛度問題，而偏置拉壓的條件可在下節(jié)推導管路應力數(shù)學表達式時再引入。

本文采用能量法與微元法對橢圓螺旋管路軸向剛度的表達式進行推導。螺旋管路在進行拉壓時，功能轉換關系可表示為

(8)

式中：為螺旋管路在軸向外力作用下的軸向變形長度；和分別為螺旋管路在軸向外力作用下的扭應變能和彎應變能。

采用微元法推導T和B。其中，對于扭應變能T：

(9)

式中：為螺旋管路有效圈數(shù)；為螺旋管路單圈體積；為扭應變能密度；d為扭微元體積。

扭應變能密度可由材料力學推得：

(10)

式中：為材料的切變模量；為微元距管路截面圓心的距離；為管路內徑。

圖5所示為管路螺旋截面微元示意圖。對于扭微元體積d，結合圖4和圖5可得到以下關系：

圖5 管路螺旋截面微元Fig.5 Infinitesimal of the helical section of an helical pipeline

(11)

式中：d為微元面積；d為微元長度；d為微元夾角；d為扭微元寬度。

聯(lián)立式(1)和(9)～(11)，扭應變能T可表示為

(12)

利用三角函數(shù)關系

(13)

與函數(shù)的對稱性，對式(12)進行化簡，得到扭應變能T的簡化表達式：

(14)

式中：E為第一類完全橢圓積分函數(shù)。

同理，對于彎應變能B：

(15)

式中：為彎應變能密度；d為彎微元體積。

彎應變能密度可由材料力學推得：

(16)

式中：為材料的彈性模量；為管路螺旋截面上任意弦距截面圓心的距離。

對于彎微元體積d，結合圖4和圖5可得到以下關系：

(17)

式中：d為彎微元寬度；為微元弦長；為管路半徑，其中：為管路內半徑，為管路外半徑。

聯(lián)立式(1)和(15)～(17)，彎應變能B可表示為

(18)

式中：

(19)

(20)

對式(19)進行化簡，令=cos，化簡結果如下：

(21)

對式(20)進行化簡，化簡策略同式(12)～(14)，化簡結果如下：

(22)

之后，結合分部積分法和直接化簡法兩種方法對式(22)進行進一步化簡，最終可表示為

(23)

式中：E為第二類完全橢圓積分函數(shù)。

將式(21)和式(23)代入式(18)，得到橢圓螺旋管路彎應變能：

(24)

將式(14)和式(24)代入式(8)，得到橢圓螺旋管路軸向剛度：

(25)

式中：為橢圓螺旋管路的單圈軸向剛度。

當管路為圓形包絡即==時，式(25)退化為

=(-)(64)

(26)

式中：為管路俯視平面圓形包絡的中徑半徑。

1.3 管路應力校核

采用第三強度理論推導偏置橢圓管路的應力數(shù)學表達式，用于校核管路的最大應力，避免塑性變形與斷裂。第三強度理論如下式所示：

(27)

式中：為抗彎截面系數(shù)；[σ]為材料的許用應力。

將式(4)和式(5)代入式(27)，化簡應力校核關系：

(28)

當管路的構型參數(shù)及軸向剛度確定后，只有的距離為變量。因此，管路的應力校核問題被轉變?yōu)榍笞畲笾?)的問題，即：

(29)

聯(lián)立式(1)和，對()進行求導并令導數(shù)為0：

(30)

即可得到()對應的點(,)。

將(,)代入得到()，再將()代回式(29)，即可完成管路的應力校核。

2 仿真與實驗校驗

本節(jié)通過仿真與實驗兩種方式對偏置橢圓螺旋管路的軸向剛度數(shù)學表達式(式(25))及應力數(shù)學表達式(式(29))進行校驗，管路參數(shù)見表1。

表1 偏置橢圓螺旋管路參數(shù)Table 1 Parameters of the numerical validation model of the bias-loading elliptical-helical pipeline

管路材料采用鈦合金TC4，坐標系定義如圖4所示。

將表1參數(shù)分別代入式(25)和式(29)，得到該管路軸向剛度與最大應力的數(shù)學結果：

(31)

式中：σ為管路在軸向外力作用下的最大應力；下標t表示數(shù)學結果。

2.1 仿真校驗軸向剛度及最大應力

通過有限元仿真校驗管路軸向剛度及最大應力數(shù)學結果即式(31)的準確性。

根據(jù)表1參數(shù)在三維建模軟件INVENTOR中創(chuàng)建管路的三維模型，之后將模型導入有限元分析軟件ABAQUS中構建管路的有限元模型，分析管路的軸向變形(剛度)和最大應力，如圖6所示。其中，管路的尾端點施加固定約束，前端偏置承載點處受到一個方向沿、大小為49 N的拉力。

圖6 管路有限元模型Fig.6 Finite element model of the pipeline

對仿真模型進行網(wǎng)格無關性分析：當有限元數(shù)量為最初的24159時，管路軸向剛度=37.4 mm，最大應力=118.2 MPa。之后逐步增加有限元數(shù)量，仿真結果會向某一定值逼近。當有限元數(shù)量增加至167334時，仿真結果已經趨于穩(wěn)定，由有限元數(shù)量帶來的結果誤差已可以忽略不計，所得結果即可視為仿真真值，如下式所示：

(32)

其中,下標s表示仿真結果。

2.2 實驗校驗軸向剛度

通過實驗校驗管路軸向剛度數(shù)學結果即式(31)與仿真結果即式(32)的準確性。

實驗系統(tǒng)主要由加注管路、砝碼、氣浮直線導軌及基座組成，如圖7所示?；潭ㄔ趯嶒炁_上，管路的尾端固定在基座上，管路的承載點與氣浮直線導軌通過連接件固定，砝碼加載在管路承載點處，通過測量管路軸向變形來得到管路軸向剛度的實驗結果。其中，氣浮直線導軌中“直線導軌”的作用是提供運動約束及抵抗偏置管路在拉伸過程中所產生的橫向力，從而使管路沿管路軸線方向運動；“氣浮”的作用是降低由橫向力產生的摩擦力，盡可能地將原理誤差降到最低。實驗管路的參數(shù)同數(shù)學及仿真管路的參數(shù)一致，具體見表1。實驗結果如下：

圖7 管路軸向剛度實驗系統(tǒng)Fig.7 Experiment system for testing axial stiffness of the pipeline

=02579 N/mm

(33)

其中,下標e表示實驗結果。

將數(shù)學結果、仿真結果及實驗結果進行匯總，具體見表2。其中，相對誤差定義如下：

表2 偏置橢圓管路的數(shù)學、仿真和實驗結果Table 2 Theoretical, simulation and experimental results of the bias-loading elliptical-helical pipeline

由表2可見,偏置橢圓螺旋管路軸向剛度的相對誤差小于4.6%，最大應力相對誤差小于0.6%，驗證了軸向剛度數(shù)學表達式(式(25))和應力數(shù)學表達式(式(29))的準確性，可作為該類管路的理論設計工具。

3 在軌加注管路構型優(yōu)化設計

針對在軌加注管路設計空間的緊湊性和附加力問題，偏置橢圓螺旋管路構型有著進一步降低附加力的潛力。本節(jié)將以某在軌加注對接機構為例，對非規(guī)則設計空間下的偏置橢圓螺旋管路進行構型優(yōu)化設計，以形成一套完整的在軌加注橢圓螺旋管路設計方法；并將偏置橢圓螺旋管路同無偏圓、無偏橢圓以及偏置圓螺旋管路的最優(yōu)構型進行對比，以驗證偏置橢圓螺旋加注管路的優(yōu)越性。

3.1 設計空間

對于在軌加注對接機構，無論加注管路的設計空間是否規(guī)則，都可簡化為由兩個矩形區(qū)域組成的組合區(qū)域。以本文作者設計的一種在軌加注對接機構為例，管路設計空間及相關定義如圖8所示。其中，五角星點為管路前端承載點，圓點為管路中心點，虛線為管路設計空間邊界，承載點是基于對接機構主體部分的設計而被動決定的已知點，設計空間被橫豎兩條點劃線劃分為,以及三個區(qū)域，加注管路的設計需要在設計空間內進行。絕對坐標系建立在設計空間上，局部坐標系建立在管路上。對于絕對坐標系：點為坐標系原點；管路前端承載點的坐標為(,)；管路中心點的坐標為(,)；為橢圓長半軸與軸的夾角。對于局部坐標系：點為坐標系原點；管路前端承載點的坐標為(,)，即管路承載點與中心點的偏置量。

圖8 某在軌對接加注機構的加注管路設計空間Fig.8 Design space of the refueling pipeline for an on-orbit docking refueling mechanism

3.2 優(yōu)化模型

本文的優(yōu)化問題旨在對偏置橢圓螺旋加注管路的構型及位置參數(shù)進行設計。首先，根據(jù)管路極限壓縮狀態(tài)與原長狀態(tài)下的幾何約束關系，優(yōu)化得到管路有效圈數(shù)的最大值；之后，在滿足管路包絡包含于設計空間內、工作狀態(tài)下管路最大應力小于材料許用應力以及偏置管路附加力矩小于許用設計力矩的約束條件下，優(yōu)化得到軸向剛度最小的管路參數(shù)。優(yōu)化模型如下：

(34)

式中：為設計變量，其取值范圍如圖3和圖8所示；為管路包絡；為管路設計空間；為偏航方向許用設計力矩；為俯仰方向許用設計力矩。

之后，將優(yōu)化結果代入式(35)計算得到管路的螺旋升角，從而得到管路的全部設計參數(shù)。

(35)

3.3 約束條件

對于(+1)·≤-2和+·=的約束條件，即管路幾何關系，可由圖3(b)得到；對于≤[]的約束條件，即管路應力校核關系，可由式(29)得到；對于·2·|()-()|≤()的約束條件，即管路附加力矩關系，可由圖8(b)得到。

對于∈的約束條件，即管路包絡需包含于設計空間內，其判斷策略如下：

通過計算管路包絡與各邊界的交點數(shù)量來約束優(yōu)化。最優(yōu)的管路構型需同時滿足以下條件：

(1) 不能與軸有交點；

(2) 不能與軸有交點；

(3) 不能與=，即上邊界有交點；

(4) 不能與=，即右邊界有交點；

(5) 必須與=有交點，即必須與=相切(1個交點)或者橫跨區(qū)域或區(qū)域(2個交點)，且交點縱坐標和均位于區(qū)域。

(6) 必須與=有交點，即必須與=相切(1個交點)或者橫跨區(qū)域或區(qū)域(2個交點)，且交點橫坐標和均位于區(qū)域。

橢圓管路的一般方程可表示為

+++++=0

(36)

式中：,,,,,均為橢圓方程參數(shù)。

(37)

結合圖8和式(36)，條件①～⑥可表示為

(38)

3.4 優(yōu)化算法

對于本文的六維非線性約束工程優(yōu)化問題，KRG-CDE是解決該類問題較為先進的算法?；谏鲜鏊惴?，本文所研究的在軌加注橢圓螺旋管路的構型優(yōu)化設計流程如圖9所示：首先采用序列二次規(guī)劃算法(Sequential quadratic programming, SQP)對管路的有效圈數(shù)進行最大值優(yōu)化；再基于有效圈數(shù)的優(yōu)化結果采用KRG-CDE對加注管路的軸向剛度進行最小值優(yōu)化。

圖9 加注管路優(yōu)化設計流程圖Fig.9 Flowchart of optimal design for refueling pipeline

KRG-CDE是一種基于克里金代理模型的全局進化算法。對于復雜工程問題，引入代理模型可以大大提高優(yōu)化效率。KRG-CDE所采用的克里金代理模型的綜合性能和其他代理模型相比具有明顯優(yōu)勢。同時，進化算法可以充分探索設計空間，在不需要目標函數(shù)梯度信息的條件下快速高效的求解優(yōu)化問題。KRG-CDE分為全局搜索與局部搜索兩個階段：在全局探索階段，通過代理模型提供的預測方差，建立基于約束改善度與最優(yōu)適應度的可行準則，引導種群向樣本較為稀疏的可能存在最優(yōu)解的區(qū)域進化。在局部搜索階段，采用徑向基函數(shù)構造局部優(yōu)化模型并結合SQP求解，平衡了代理模型的魯棒性、近似精度與構造效率，提高了算法的收斂速度。算法的具體細節(jié)可參見文獻[24]。

3.5 優(yōu)化結果與討論

本節(jié)將結合圖8(b)和式(34)～(38)，基于優(yōu)化流程圖9對某在軌加注對接機構的加注管路進行構型優(yōu)化設計，相關參數(shù)見表1和表3。

表3 優(yōu)化算例相關參數(shù)Table 3 Relevant parameters of the optimization example

在同一設計空間下，對無偏圓螺旋管路、偏置圓螺旋管路、無偏橢圓螺旋管路和偏置橢圓螺旋管路這四種管路分別進行優(yōu)化，得到各自的最優(yōu)構型(軸向剛度最小)。優(yōu)化結果如表4和圖10所示：

圖10 四種加注管路的最優(yōu)構型Fig.10 Optimal configurations of four types of refueling pipelines

表4 優(yōu)化算例結果Table 4 Results of the optimization example

由表4可見,同一設計空間下，偏置橢圓螺旋管路的最優(yōu)構型擁有最小的軸向剛度和最大應力。與常規(guī)無偏圓螺旋管路的最優(yōu)構型相比，偏置橢圓螺旋管路的附加力降低了83.5%，最大應力降低了47.1%，并且也都優(yōu)于另兩種衍生構型，滿足在軌加注對接機構對于加注管路附加力更小的設計需求。

4 結 論

本文針對在軌伸出式靠泊加注任務對接過程中加注管路因同步外伸而產生附加力的問題，提出了一種偏置橢圓螺旋構型的加注管路。首先基于能量法-微元法和第三強度理論推導了偏置拉壓橢圓螺旋加注管路的軸向剛度與應力數(shù)學表達式。之后通過仿真與實驗校驗了數(shù)學表達式的準確性，相對誤差均小于5%，可作為該類管路的理論設計工具。最后形成了一種在軌加注橢圓螺旋管路設計方法，并以某在軌加注對接機構為例，基于KRG-CDE對四種潛在的最優(yōu)加注管路構型進行了最小軸向剛度優(yōu)化設計。結果表明：偏置橢圓螺旋管路與常規(guī)無偏圓螺旋管路相比，其附加力降低了83.5%，最大應力降低了47.1%，更適用于伸出式靠泊加注任務。