梁 青

（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，?？?571158）

引 言

由于在機(jī)械工業(yè)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、人口學(xué)和工程等方面的重要運(yùn)用，隨機(jī)微分方程(SDE)特別是隨機(jī)泛函微分方程(SFDE)，越來越多地受到研究者們的關(guān)注[1-12].SFDE的許多性質(zhì)都是研究的熱點(diǎn)，比如方程解的存在唯一性、有界性、持久性和各種類型的穩(wěn)定性等.而在SDE的諸多性質(zhì)中，有一種性質(zhì)不論是從理論還是從應(yīng)用的角度看都很有價(jià)值，那就是受擾動(dòng)SDE的性質(zhì)，文獻(xiàn)[13-15]對(duì)不同類型的帶擾動(dòng)SDE的性質(zhì)做了詳細(xì)的討論.另一方面，脈沖效應(yīng)是自然界中普遍存在的現(xiàn)象，它的影響不容忽視，例如，它可以使一個(gè)非穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定化.脈沖在物理、化學(xué)、生物、人口動(dòng)力學(xué)和工業(yè)自動(dòng)化領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[16-19].基于脈沖效應(yīng)對(duì)SFDE的重要意義，我們很自然地要研究帶有脈沖SFDE的解和不帶脈沖SFDE的解具有哪些不同的性質(zhì).文獻(xiàn)[15]研究了在系數(shù)滿足Lipschitz 條件和線性增長(zhǎng)條件的前提下，受擾動(dòng)SFDE的解和未受擾動(dòng)SFDE的解在有限區(qū)間上是相互逼近的，而且，當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)趨于零時(shí)，區(qū)間長(zhǎng)度趨于無窮大，這兩個(gè)解在該無限區(qū)間上也是相互逼近的.如果文獻(xiàn)[15]中的SFDE 含有脈沖干擾，方程的解不是連續(xù)，而是分段連續(xù)的，那么，文獻(xiàn)[15]中的結(jié)論是否成立?為了研究這個(gè)問題，本文從一類帶有脈沖時(shí)刻的SFDE 出發(fā)，利用It?公式、基本不等式和隨機(jī)分析技巧，在較弱的的條件下證明了受擾動(dòng)方程的解和相應(yīng)的未受擾動(dòng)方程的解在有限區(qū)間上是相互逼近的.而且，當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)趨于零時(shí)，這兩個(gè)解在長(zhǎng)度趨于無窮大的時(shí)間區(qū)間上也是相互逼近的.本文不同于文獻(xiàn)[15]之處在于：① 把脈沖的干擾引入方程，使系統(tǒng)變得更加復(fù)雜和完備，證明了帶脈沖的方程的解也有類似的結(jié)果；② 把文獻(xiàn)[15]中加在方程系數(shù)上的Lipschitz 條件和線性增長(zhǎng)條件弱化，在較弱的條件下證明了類似的結(jié)論.所以本文涵蓋了文獻(xiàn)[15]中的相關(guān)結(jié)果，是對(duì)文獻(xiàn)[15]的推廣.

1 準(zhǔn)備工作

設(shè)(?,F,{Ft}t≥0,P)是一個(gè)帶流的完備概率空間，流 {Ft}t≥0滿足通常條件，E是關(guān)于概率測(cè)度P的數(shù)學(xué)期望，本文中所有的隨機(jī)變量和隨機(jī)過程都定義在該概率空間上.向量或矩陣A的轉(zhuǎn)置記為AT.設(shè) Z+和 R+分別表示非負(fù)整數(shù)和非負(fù)實(shí)數(shù)，Rn表示n維歐氏空間，|·|表示 Rn中的歐氏范數(shù).如果A是一個(gè)矩陣，用記為它的Frobenius 范數(shù).令 {B(t)=(B1(t),B2(t),···,Bn(t))T:t≥0}是關(guān)于 {Ft}t≥0適應(yīng)的n維Brown 運(yùn)動(dòng).設(shè)τ＞0,p≥2是常數(shù)，L2([-τ,0];Rd)表示取值于 Rd的Borel 可測(cè)函數(shù) ψ1(s):-τ≤s≤0構(gòu)成的族，L2([-τ,0];Rd)中的范數(shù)定義為

設(shè)CF0([-τ,0];Rd)表示從[-τ,0]到 Rd的關(guān)于 F0可 測(cè)的分段連續(xù)的隨機(jī)過程ψ2(s)的全體，且ψ2(s) 在[-τ,0]的間斷點(diǎn)處右連續(xù)有左極限，這里Fs:=F0,s∈[-τ,0].該空間的范數(shù)定義為

L2([-τ,0]×?;Rd)表示取值于 Rd空間中的Borel 可測(cè)的隨機(jī)函數(shù)ψ3(s):-τ≤s≤0 構(gòu)成的族，其中的范數(shù)定義為

這里，μ是([-τ,0],B([-τ,0]))上的概率測(cè)度.

考慮下列帶有脈沖的SFDE：

其中，ξ ∈CF0([-τ,0];Rd)，且E‖ξ‖2p＜+∞；x(t)=(x1(t),x2(t),···,xd(t))T，xt={x(t+θ):-τ≤θ≤0}是取值于L2([-τ,0];Rd)的隨機(jī)過程；tk表示脈沖時(shí)刻，k=1,2,3,···，tk＜tk+1，且 limk→+∞tk=+∞，Ik(tk,x(tk))表示x在tk時(shí)刻的跳的幅度；f:R+×L2([-τ,0];Rd)×R+→Rd，g:R+×L2([-τ,0];Rd)×R+→Rd×n是兩個(gè)Borel 可測(cè)函數(shù).

為了得到本文的結(jié)果，先給出以下假設(shè)：

p1≥1t≥0,y＞0,y′≥0,φ ∈L2[-τ,0;Rd],φ′∈L2([-τ,0];Rd)

(A1) 設(shè)，對(duì)任意的，有

其中，ρ1(·):R+→R+是單調(diào)遞增的連續(xù)的凹函數(shù)，ρ1(0)=0，且

(A2) 存在常數(shù)K1＞0，對(duì)任意的t≥0，

|f(t,0,0)|∨|g(t,0,0)|≤K1.

(A3) 存在常數(shù)K2，K3＞0，使得對(duì)任意的t≥0和 自然數(shù)k，以及x,y∈Rd，有

|Ik(t,x)-Ik(t,y)|≤K2|x-y|,|Ik(t,x)|≤K3.

若假設(shè)(A1) 對(duì)p1=1成立，則假設(shè)(A2)、(A3) 也成立，則由文獻(xiàn)[19] 可知方程(1) 存在唯一解，記為x(t).而且，由文獻(xiàn)[18]可知x(t)幾 乎必然在t≥0時(shí) 右連續(xù)有左極限，不連續(xù)點(diǎn)只可能在脈沖時(shí)刻tk處取得，k=1,2,3,···.

現(xiàn)在，再來考慮受擾動(dòng)的SFDE：

其中，ε是常數(shù)，0＜ε＜1，ξε∈CF0([-τ,0];Rd)，且E‖ξε‖2p＜+∞；xε(t)=(xε1(t),xε2(t),···,xεd(t))T，xεt={xε(t+θ):-τ≤θ≤0}是取值于L2([-τ,0];Rd)的隨機(jī)過程；R+→Rd×n是兩個(gè)Borel 可測(cè)函數(shù).而且，對(duì)任意t＞0,φ ∈L2([-τ,0];Rd),y≥0，有

其中，α,β稱為擾動(dòng)參數(shù)，方程(2)稱為擾動(dòng)方程.

(A1′) 對(duì)任意的t≥0,y＞0,y′≥0,φ ∈L2[-τ,0;Rd],φ′∈L2([-τ,0];Rd)，有

其中，ρ2(·):R+→R+是單調(diào)遞增的連續(xù)的凹函數(shù)，ρ2(0)=0，且

(A2′) 存在常數(shù)K4＞0，對(duì)任意的t≥0,ε＞0，

假設(shè)(A1′)、(A2′)和(A3)成立，則由文獻(xiàn)[19]可知方程(2)存在唯一解，記為xε(t).而且，由文獻(xiàn)[18]可知xε(t)幾 乎必然在t≥0時(shí) 右連續(xù)有左極限，不連續(xù)點(diǎn)只可能在脈沖時(shí)刻tk處取得，k=1,2,3,···.

再給出一個(gè)有用的引理.

引理1(Bihari 不等式)[20]設(shè)T1＞0,ω0≥0，ω (t),v(t)是區(qū)間[0,T1]上的連續(xù)函數(shù)，u(·):R+→R+是單調(diào)遞增的連續(xù)的凹函數(shù)，對(duì)任意的r＞0，有u(r)＞0.若則的逆函數(shù).特別地，如果則ω (t)=0,t∈[0,T1].

2 主要結(jié)果及證明

在這一節(jié)中，我們將利用It?公式、基本不等式和隨機(jī)分析技巧，證明以下的引理2，進(jìn)而得到了本文的主要結(jié)果定理1 和定理2.

t0:=0 △x(0)=0,△xε(0)=0t≥0

首先，補(bǔ)充定義.假設(shè).對(duì)任意的，定義

引理2假設(shè)(A1)對(duì)p1=1,2和p都 成立，則假設(shè)(A2)、(A3)、(A1′)、(A2′)也成立，且存在δi(ε)≥0,limε→0+δi(ε)=0(i=1,2,3,4)滿足以下條件：

則對(duì)任意t≥0，有

其中，Mi(ε)是依賴于p,ε的正數(shù)，且l imε→0+Mi(ε)=0(i=1,2,3)；M4,M5是依賴于p的正數(shù).

證明由方程(1)可得對(duì)任意正整數(shù)k，有

所以，當(dāng)s∈[0,t]時(shí)，存在ns∈Z+，使得tns≤s＜tns+1，且

同理

由式(5)和(6)得

對(duì)|zε,1(s)|p用It?公式，得

當(dāng)r＞0時(shí)，

由于p≥2，利用Jensen 不等式，得

由式(9)得

下面分別估計(jì)E(sups∈[0,t]|Ii(s)|2),i=1,2,3,4.

利用BDG 不等式、Young 不等式[20]、Jensen 不等式、假設(shè)(A1)、式(10)和式(11)，得

利用H?lder 不等式得

與式(13)類似，有

利用H?lder 不等式和Young 不等式[20]，可得

接下來估計(jì)E(sups∈[0,t]|I1(s)|2).同理可得

同理可得

注意到

E|zε,1(0)|2p=E|zε(0)|2p≤δ1(ε),

所以

由式(12)～(17)可知式(3)成立，其中M1(ε),M2(ε),M3(ε),M4,M5取值如下：

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理1設(shè)0＜ε＜1,T＞0是常數(shù)，引理2的條件全部滿足，則

此外，設(shè)q1是常數(shù)，且0＜q1＜2，則

證明易知存在唯一的n0∈Z+，使得tn0≤T＜tn0+1.由引理2，對(duì)任意的t∈[0,tn0+1]有

這里 ρ*(s):=s+ρ1((τp+1)s),s≥0.

由于xε(t)和x(t)在 (tk,tk+1)內(nèi) 連續(xù)，在tk處右連續(xù)有左極限，a.s.，k=0,1,2,···.因而zε(t)在 (tk,tk+1)內(nèi)連續(xù)，在tk處右連續(xù)有左極限，a.s.，k=0,1,2,···.從而 |zε(t)|2p在(tk,tk+1)內(nèi) 連續(xù)，在tk處右連續(xù)有左極限，a.s.，k=0,1,2,···.所以 s up-τ≤s≤t|zε(s)|2p在 (tk,tk+1)內(nèi) 連續(xù)，在tk處右連續(xù)有左極限，a.s.，k=0,1,2,···.所以 Δε(t)在 (tk,tk+1)內(nèi)連續(xù)，在tk處右連續(xù)有左極限，k=0,1,2,···.

任取t*∈(tk,tk+1)，則對(duì)任意的ε1＞0，存在δ1＞0，當(dāng)tk＜t*-δ1＜t＜t*+δ1＜tk+1時(shí)，

|Δε(t)-Δε(t*)|＜ε1.

所以

同理，l imsupε→0+Δε(t*)-limsupε→0+Δε(t)≤ε1.所以l imsupε→0+Δε(t)在t*處連續(xù).

類似可證l imsupε→0+Δε(t)在tk處右連續(xù)有左極限，k=1,2,3,···.

由式(18)可得，當(dāng)t∈[0,tn0+1]時(shí)，

注意到

且

所以

顯然，ρ*(·)是[0,+∞)上單調(diào)遞增的連續(xù)的凹函數(shù)，且ρ*(0)=0.

由于l imsupε→0+Δε(t)在 [0,t1)上連續(xù)，在t1處有左極限，由式(19)和引理1 可得

設(shè)δ ∈[0,t2-t1)，則t1+δ ∈[t1,t2).

由于l imsupε→0+Δε(·)在 [t1,t2)上連續(xù)，在t2處有左極限，由式(19)可得

再由引理1 可得

重復(fù)以上過程有限次，可得

所以

由于0＜q1＜2，用Lyapunov 不等式，當(dāng)時(shí)，

定理2假設(shè)引理2的條件都滿足，則對(duì)于任意的ε ∈(0,1)，存在T(ε)＞0，l imε→0+T(ε)=+∞，使得

此外，設(shè)q2是常數(shù)，且0＜q2＜2，則

證明任取η＞0.分兩種情況討論：

t∈(0,+∞) Δε(t)＜η

(Ⅰ) 對(duì)任意的，都有.此時(shí)

所以

所以，對(duì)任意的T(ε)＞0,limε→0+T(ε)=+∞，都有

η的任意性證明了

rε∈(0,+∞) Δε(rε)=ηt＞0

(Ⅱ) 存在，使得.此時(shí)，利用引理2,對(duì)任意的，有

假設(shè)rε有界，即存在＞0，使得0＜rε＜.所以

而由定理1 可得

這是一個(gè)矛盾.所以

設(shè)0＜ε′＜ε′′＜1，以及rε′＜rε′′,則

η2=Δε′(rε′)≤Δε′(rε′′).

而由定理1 可得

這又是一個(gè)矛盾.所以

rε′≥rε′′.

即rε關(guān)于ε 在 (0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以

記

則有

在式(20)中，令η→0+，得

再令t=T(ε)，得

所以

由于0＜q2＜2，用Lyapunov 不等式，當(dāng)ε→0+時(shí)，

注1文獻(xiàn)[15]研究了不受脈沖影響的SFDE，在一定條件下證明了擾動(dòng)方程的解和未受擾動(dòng)的方程的解是相互逼近的.在本文中，如果不考慮脈沖的影響，則本文的式(1)和(2)就變成文獻(xiàn)[15]中的式(2)和(4).本文把脈沖影響引入到系統(tǒng)中，此時(shí)SFDE的解在脈沖點(diǎn)處是右連續(xù)有左極限的，在適當(dāng)?shù)臈l件下，本文證明了擾動(dòng)方程的解和未受擾動(dòng)的方程的解也是相互逼近的.因此，本文涵蓋了文獻(xiàn)[15]中的相關(guān)結(jié)果.

注2為了證明擾動(dòng)方程的解和原方程的解相互逼近，文獻(xiàn)[15]中對(duì)方程的系數(shù)做了兩點(diǎn)假設(shè)，即Lipschitz 條件和線性增長(zhǎng)條件.本文對(duì)這兩個(gè)條件進(jìn)行了適當(dāng)?shù)娜趸玫搅思僭O(shè)(A1)、(A2)、(A1′)、(A2′).事實(shí)上，如果令本文的ρi(s)=Ks,i=1,2.本文的假設(shè)(A1)、(A1′)就變成了文獻(xiàn)[15]中的條件，因而本文是文獻(xiàn)[15]中結(jié)論的推廣.

3 算例驗(yàn)證

在這一節(jié)中，設(shè)ξε=ξ，前兩節(jié)中的n,d,τ,tk取值分別為

n=1,d=1,τ=0.1,tk=k,k=0,1,2,···.

對(duì)t≥0,φ ∈L2([-0.1,0];R),y≥0,定義

f(t,φ,y):=‖φ‖L2+2y,g(t,φ,y):=‖φ‖L2+y.

可以驗(yàn)證，對(duì)p1=1,2和p，以上定義的f和g滿足假設(shè)(A1) 和(A2).對(duì)t≥0,φ ∈L2([-0.1,0];R)，y≥0,0＜ε＜1,定義

對(duì)t≥0,x∈R和 自然數(shù)k，定義Ik(t,x):=arctanx，則假設(shè)(A3)成立.

考慮下列帶有脈沖的SFDE：

它的擾動(dòng)方程是

假設(shè)

其中，l imε→0+G(ε)=0.則引理2的條件全部滿足，所以本文的結(jié)果定理1 和定理2 成立.

4 結(jié) 論

基于脈沖現(xiàn)象的普遍性，本文探討了一類帶脈沖影響SFDE的解的漸近性.在較弱的條件下證明了受擾動(dòng)的方程的解和原方程的解在有限的時(shí)間區(qū)間上是相互逼近的，而且，當(dāng)擾動(dòng)趨于零時(shí)，時(shí)間區(qū)間變?yōu)闊o窮區(qū)間，兩個(gè)解在這個(gè)無窮區(qū)間上也是相互逼近的.本文推廣了SFDE的解的漸近性的相關(guān)結(jié)果.