蘇 俊 熊瑞平 溫記明 李云秋 譚 平

（四川大學(xué)機械工程學(xué)院，四川成都 610041）

伴隨著中國從制造業(yè)大國邁向制造業(yè)強國的產(chǎn)業(yè)升級趨勢，工業(yè)機器人在大批量生產(chǎn)中被越來越多的使用[1]。在本文工況中，待處理工件有4處位置點需要進行去毛刺打磨操作，考慮到工件的大批量處理，因此設(shè)計使用工業(yè)機器人進行去毛刺打磨處理操作并規(guī)劃機器人運動軌跡，使得機器人運動平穩(wěn)且運行時間最短，從而提高工件打磨效率。機器人路徑規(guī)劃算法是工業(yè)機器人技術(shù)的重要組成部分，常用的機器人運動軌跡規(guī)劃優(yōu)化目標(biāo)有運動時間最優(yōu)、能量最優(yōu)以及混合最優(yōu)目標(biāo)等優(yōu)化目標(biāo)[2]。本文以時間最優(yōu)作為優(yōu)化目標(biāo)，通過優(yōu)化軌跡路徑參數(shù)使得軌跡運動時間最短[3-7]。

常用的規(guī)劃軌跡有樣條軌跡、多項式軌跡和分段軌跡等方式[8-9]。其中樣條曲線軌跡求解相對復(fù)雜[10-11]，多項式軌跡常用三次、五次、七次多項式進行軌跡優(yōu)化，三次多項式曲線求解簡單但加速度不連續(xù)，沿規(guī)劃路徑運動不平穩(wěn)[12]；單條5次多項式軌跡能夠保證運動的穩(wěn)定性，但其適應(yīng)能力較差，容易因為一兩個點造成整個曲線的變形[13]；高階的7次規(guī)劃曲線，求解較復(fù)雜且會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，其求解出的值準(zhǔn)確度更低[14]。本文選取3次-5次-3次三段多項式軌跡方法，該曲線在保證規(guī)劃曲線位移、速度和加速度連續(xù)，機器人運行平穩(wěn)的同時，通過3段方程提高了軌跡對中間點位的適應(yīng)能力，避免受限于中間點造成軌跡扭曲的問題，提高了軌跡過度點平滑性[15]；同時約束方程最高求解次數(shù)為5次，保留了多項式軌跡計算簡單的優(yōu)勢。常用的軌跡優(yōu)化方法有粒子群算法、蟻群算法和遺傳算法等。本文引入粒子群算法進行軌跡優(yōu)化，粒子群算法成熟度高、求解能力強。但是，粒子群算法的缺點是算法較早熟，容易過早陷入局部最優(yōu)。因此，本文通過融合免疫操作的方法對粒子群算法進行改進，增強粒子群算法的搜索能力，通過改進后的粒子群算法提高機器人運行效率；并利用本文的軌跡規(guī)劃問題，將融合免疫操作的改進粒子群算法與傳統(tǒng)粒子群算法、傳統(tǒng)可變參數(shù)改進粒子群算法進行對比，考察本文算法的性能。

本文研究利用工業(yè)機器人進行工件去毛刺打磨工作，針對機器人在笛卡爾空間中的4個位姿點位進行軌跡規(guī)劃，減少工作時間，提高工件處理效率。

1 運動學(xué)建模與分析

待處理工件為異型梯形工件，需要對4個柱體端面進行去毛刺打磨，如圖1所示。

圖1 打磨處理位置

4個打磨位姿點放置在機器人空間坐標(biāo)系中，分布如表1所示。

表1 目標(biāo)點末端位姿

其中Ti表示第i點的空間位姿。本文引入庫卡KR16-2型工業(yè)機器人進行去毛刺打磨操作，其改進DH參數(shù)如表2所示。

表2 機器人改進D-H參數(shù)

其中，i表示機器人第i軸 、αi表示連桿扭轉(zhuǎn)角、ai表示連桿長度、θi表 示關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角、di表示連桿偏移距離。為確定機器人的運動范圍是否滿足工況需求，使用蒙特卡洛法[16]計算機器人的工作空間，利用Matlab開源機器人運動學(xué)工具箱Robot Tool Box[17]進行運動學(xué)建模仿真驗證。算法代入大量隨機點近似遍歷機器人運動空間，仿真得到機器人工作空間范圍。代入5 000組隨機角度值計算機器人工作空間范圍，保留運算結(jié)果數(shù)據(jù)，輸出點位分布如圖2所示。

圖2 機器人工作空間范圍

機器人工作空間近似為一個高度值范圍[-1 000,1 400]mm ，半徑1 600 mm的橢球體空間，包含4個目標(biāo)位置點位，符合工況需求。利用機器人學(xué)工具箱求解笛卡爾空間位姿對應(yīng)的關(guān)節(jié)空間逆解，結(jié) 果如表3所示，其中Pi表 示第i點的關(guān)節(jié)角弧度值。

表3 關(guān)節(jié)空間逆解結(jié)果rad

2 機器人軌跡規(guī)劃

針對機器人關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，使用3-5-3三段多項式曲線進行軌跡規(guī)劃，在保證曲線連續(xù)、速度和加速度連續(xù)的基礎(chǔ)上利用3段分段軌跡增強軌跡對位姿點位的適應(yīng)能力。設(shè)3段曲線角度為q1～q3，曲線參數(shù)aij表 示第i段曲線第j個參數(shù)，3段運動時間參數(shù)分別為t1～t3，可得到關(guān)節(jié)空間中軌跡位置關(guān)系滿足函數(shù)關(guān)系式（1），軌跡速度方程滿足函數(shù)關(guān)系式（2），軌跡加速度方程滿足函數(shù)關(guān)系式（3）。

設(shè)關(guān)節(jié)空間中4個目標(biāo)點轉(zhuǎn)角位置分別為Q1～Q4，為保證機器人運動軌跡平滑穩(wěn)定無沖擊，根據(jù)分段軌跡約束條件，初始點Q1和 終點Q4滿足速度和加速度為0，路徑點之間的位置、速度及加速度連續(xù)，3段軌跡運行時間分別是tl1～tl3，約束表達式分別有位置連續(xù)約束方程（4）、速度連續(xù)約束方程（5）和加速度連續(xù)約束方程（6）。

將上述約束方程組寫作q=a×A，其中q為包含路徑點Q1～Q4的向量，a包含曲線參數(shù)aij的運動方程系數(shù)，A為包含運動時間t1～t3的方陣。公式變形為a=q×A-1，求解軌跡方程系數(shù)aij，即為最優(yōu)狀態(tài)下的軌跡曲線方程。

3 融合免疫操作的改進粒子群算法

本文的軌跡優(yōu)化目標(biāo)為機器人運行時間最優(yōu)，即在滿足軌跡約束條件下機器人沿軌跡運行時間最短。3-5-3多項式軌跡由3段軌跡組成，總運行時間即為3段之和，即tl=tl1+tl2+tl3，使用智能算法對軌跡的14個參數(shù)（aij）同時進行優(yōu)化，使得機器人沿軌跡運行時間值最少。同時每一機器人關(guān)節(jié)有運行速度與加速度限制，得到優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)表達式（7），其中目標(biāo)函數(shù)f(tl)表示3段時間之和最小，限制條件為運行角速度ω值小于等于限制速度ωmax，運行角加速度α值小于等于角加速度限制 αmax。

粒子群算法是上世紀(jì)90年代提出的一種智能優(yōu)化算法，通過多個粒子迭代探索最值問題的最優(yōu)解[18]，其表達式如式（8）。

式中：i表示當(dāng)前種群中某一粒子，t表示粒子迭代次數(shù)，d表示粒子維度；表示粒子位置值，表示粒子速度；pid表示當(dāng)前粒子在迭代中的歷史最優(yōu)位置；pgd表示全局最優(yōu)位置；步長ω和學(xué)習(xí)因子c1和c2是分布在[0～1]之間的隨機數(shù)。為適應(yīng)本文的優(yōu)化目標(biāo)，粒子位置xid的3個維度分別設(shè)置為3段軌跡的運行時間tl1～tl3，建立粒子群適應(yīng)度公式如式（9）。

粒子群算法計算簡單、運算效率高，一經(jīng)問世便被應(yīng)用在各個領(lǐng)域。但是粒子群算法容易早熟，過早進入局部最優(yōu)，往往難以求出更優(yōu)秀的全局解[19-20]。改善粒子群算法早熟缺陷的常用方式是引入可變參數(shù)，例如線性遞減參數(shù)法、自適應(yīng)權(quán)重法、隨機參數(shù)權(quán)重法等；可變參數(shù)法在早期降低學(xué)習(xí)因子c1和c2的值，提高步長ω的值，在早期提高算法的全局搜索能力，在后期提高算法局部搜索能力，優(yōu)化算法在整體和局部的搜索能力[21-22]。參數(shù)因子設(shè)計公式如式（10）。

通過引入可變參數(shù)的粒子群算法，能夠在一定程度上改善粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)的問題，但可變參數(shù)法全局探索能力仍然限制較大、效果不夠好[23]。

為了更好地改進粒子群算法，提高軌跡規(guī)劃能力，本節(jié)通過融合免疫算法的操作對粒子群算法進行改進。免疫算法參考生物的免疫系統(tǒng)，其核心概念是抗體多樣性、免疫記憶與免疫接種[24]。在運用免疫算法進行問題求解時，抗原代表了滿足約束關(guān)系的最優(yōu)解，抗體為當(dāng)前候選解?？贵w與抗原之間的親和力值反映了當(dāng)前解的優(yōu)秀程度，抗體和抗體之間的親和力反映了候選解的多樣性。免疫記憶反應(yīng)指從記憶庫中搜索該類問題的較優(yōu)解記憶粒子作為抗體，模擬與抗原最優(yōu)解反應(yīng)所產(chǎn)生的抗體值。免疫接種模擬了接種疫苗治療相應(yīng)病癥的手段，通過有指導(dǎo)、有目的地對種群粒子進行修改，從而提高種群粒子多樣性、抑制優(yōu)化過程中的退化效應(yīng)，提高算法搜索性能[25]。免疫算法操作依賴的計算參數(shù)有濃度、濃度選擇概率、適應(yīng)度概率、和免疫替換概率等。粒子濃度計算如式（11），其中xi表示粒子i，D(xi)表示粒子i的抗體濃度，N表示種群數(shù)量，f(xi)表 示粒子i適應(yīng)度函數(shù)值。

推導(dǎo)出粒子濃度概率公式（12），其中PD(xi)表示粒子i濃度概率值。

粒子i適應(yīng)度概率計算式為式（13），其中PF(xi)表 示粒子適應(yīng)度概率，psum表示個體最優(yōu)適應(yīng)度值。

免疫替換概率計算式為式（14），表明當(dāng)前粒子多大程度上需要進行替換操作,rand為范圍在[0-1]的隨機數(shù)。PR(i)表 示粒子i的免疫替換概率。

免疫替換生成公式為式（15），其中rang為設(shè)置的范圍設(shè)定值。當(dāng)免疫替換概率值PRi超過設(shè)定值，則進行免疫替換操作。

本文在基本粒子群算法的基礎(chǔ)上進一步引入免疫操作，利用免疫算法的濃度挑選機制，抑制近似的高濃度解，促進邊緣的低濃度解，同時通過免疫接種操作對種群進行有指導(dǎo)、有目的地替換，提高種群多樣性，從而提高改進粒子群算法的搜索能力。這一算法流程圖如圖3所示。

圖3 算法流程圖

應(yīng)用改進粒子群算法對機械臂進行3-5-3分段軌跡規(guī)劃，算法主要流程步驟為：

Step1在粒子搜索空間中隨機生成N個粒子，初始化粒子位置與速度。

Step2求解粒子對應(yīng)的軌跡系數(shù)，計算當(dāng)前軌跡角速度與角加速度大小。若角速度和角加速度超過設(shè)定值，表明粒子不滿足角速度和角加速度限制要求，將其適應(yīng)度值設(shè)置為極大值常數(shù)C。若角速度與角加速度滿足限制要求，計算粒子適應(yīng)度值。

Step3計算粒子歷史最優(yōu)值pid和全局最優(yōu)值pgd。

Step4計算兩代間最優(yōu)適應(yīng)度差值是否小于設(shè)定值di f，若兩代間適應(yīng)度差值小于設(shè)定值，則表明搜索算法陷入局部最優(yōu)，全局搜索能力較弱，此時進行免疫操作。首先計算種群粒子濃度概率、適應(yīng)度概率、免疫替換概率，若免疫替換概率大于設(shè)定值則對種群粒子進行免疫替換操作。

Step5利用粒子群算法對種群進行迭代，更新粒子位置與速度。

Step6判斷迭代次數(shù)是否滿足設(shè)定值，若滿足設(shè)定次數(shù)則輸出結(jié)果，算法結(jié)束；若還未滿足迭代次數(shù)，則返回Step2循環(huán)算法。

4 仿真實驗

為考察改進后算法的性能，選取算法測試函數(shù)對算法性能進行考察，對比傳統(tǒng)粒子群、傳統(tǒng)變參數(shù)改進粒子群和本文提出的免疫粒子群3種算法的性能，以衡量新算法的改進效果。本文選取Griewank function、Ackley function、Schaffer2 function和Levy function這4種主流的具有多局部最小值，求解難度較大的測試函數(shù)。4種測試函數(shù)全局最小值均為0，實驗以測試函數(shù)函數(shù)值作為適應(yīng)度進行迭代計算。設(shè)置粒子群種群個體數(shù)為N=20，總迭代次數(shù)設(shè)置為K=100。對于傳統(tǒng)粒子群算法，步進參數(shù)ω 設(shè)置為0.5，學(xué)習(xí)因子c1和c2設(shè)置為 0.35；對于可變參數(shù)改進粒子群算法，步進參數(shù)ω設(shè)置最大值 ωmax=0.9，最小值ωmin=0.2，學(xué)習(xí)因子c1和c2最大值設(shè)置為c1max=c2max=0.5，最小值設(shè)置為c1min=c2min=0.2。對于融合免疫操作的改進粒子群算法，代間適應(yīng)度差值閾值di f設(shè)置為di f=0.05，免疫替代概率Prep設(shè)置為Prep=0.01，免疫粒子生成范圍參數(shù)rang設(shè) 置為rang=1。對每一測試函數(shù)分別使用3種算法重復(fù)100組求解實驗，每一組總迭代次數(shù)設(shè)置為100代，同時計算第10代、20代、50代、100代平均適應(yīng)度值，實驗結(jié)果如表4所示。

分析表4的實驗結(jié)果，本文所提出的融合免疫操作的改進粒子群算法在4種主流測試函數(shù)中，相較于傳統(tǒng)粒子群算法和傳統(tǒng)改進粒子群算法均體現(xiàn)出了較大的優(yōu)勢。在第100代適應(yīng)度結(jié)果中，除在Griewank function測試函數(shù)中免疫粒子群算法適應(yīng)度降為改進粒子群算法一半以外，其他3種測試函數(shù)中免疫粒子群算法適應(yīng)度值相較于其他兩種傳統(tǒng)求解算法均小于1個數(shù)量級以上，特別是在Schaffer2 function測試中小于5個數(shù)量級，體現(xiàn)了免疫粒子群算法求解能力的優(yōu)勢。同時在第10代、20代、50代中，免疫粒子群算法適應(yīng)度值均小于其他兩種傳統(tǒng)算法，且適應(yīng)度降低速度更快，體現(xiàn)了免疫粒子群算法迭代能力的優(yōu)勢。對比表格數(shù)據(jù)，可以得出本文所提出的融合免疫操作的改進粒子群算法在迭代求解能力、求解結(jié)果上均優(yōu)于傳統(tǒng)粒子群算法及傳統(tǒng)改進粒子群算法。

表4 測試函數(shù)適應(yīng)度均值

在考察本文所提出的算法對于主流測試函數(shù)求解性能后，為了進一步對比驗證改進后的算法在處理本文軌跡規(guī)劃問題上的性能，本文利用傳統(tǒng)粒子群算法、基于變參數(shù)的改進粒子群算法和融合免疫操作的改進粒子群算法對機器人6軸進行最短時間軌跡規(guī)劃求解運算，并進行適應(yīng)度結(jié)果對比。設(shè)定機器人各軸角速度限制設(shè)置為 ωmax≤2.88 rad/s2，角加速度限制設(shè)置為αmax≤45.45 rad/s2，計算各軸適應(yīng)度曲線。如圖4所示，分別計算基本粒子群方法（方法1）、可變參數(shù)改進粒子群方法（方法2）和本文提出的融合免疫操作的改進粒子群方法（方法3）3種方案的各軸適應(yīng)度迭代值。如表5所示，計算機械臂6個軸迭代100次適應(yīng)度最終值f1～f6，6個軸適應(yīng)度均值fave和六軸適應(yīng)度最大值fmax。如表6所示，對比1表示方法2相較于方法1在適應(yīng)度上的改進效果，對比2表示方法3相較于方法1在適應(yīng)度上的改進效果，對比3表示方法3相較于方法2在適應(yīng)度上的改進效果。s1～s6表示機器人6根軸的適應(yīng)度優(yōu)化率，save表示平均適應(yīng)度優(yōu)化率，smax表示最大適應(yīng)度優(yōu)化率。從適應(yīng)度迭代結(jié)果來看，相較于傳統(tǒng)粒子群算法，可變參數(shù)改進粒子群算法在機器人路徑規(guī)劃問題中的適應(yīng)度平均改進1.4倍，最大值適應(yīng)度改進1.522倍；而本文所提出的融合免疫操作的粒子群算法相較于傳統(tǒng)粒子群算法在平均適應(yīng)度上改進3倍，最大值適應(yīng)度改進2.831倍。根據(jù)圖表結(jié)果，本文所提出的融合免疫操作的改進粒子群算法在路徑規(guī)劃問題中相較于傳統(tǒng)粒子群算法和傳統(tǒng)改進粒子群算法迭代效率更高，適應(yīng)度優(yōu)化更快，適應(yīng)度結(jié)果更優(yōu)秀。

表5 適應(yīng)度值

表6 適應(yīng)度優(yōu)化率

圖4 機械臂適應(yīng)度曲線

在前述最大適應(yīng)度規(guī)劃條件下，進行機器人各軸路徑規(guī)劃如圖5所示，得到3種不同算法方案下機械臂6個軸的角位移、角速度、角加速度曲線。其中圖5a～c分別表示方法1、方法2和方法3的角位移曲線，角位移運算終值一致，3種方法均完成了路徑規(guī)劃，機械臂抵達指定位置；圖5d～f分別表示方法1、方法2和方法3的角速度曲線，3個圖中各軸角速度最大值均滿足最大角速度2.88 rad/s限制；圖5g～i分別表示方法1、方法2和方法3的角加速度曲線，3個圖中各軸角加速度最大值均滿足最大角加速度最大值均滿足最大角加速度45.45 rad/s2限制。機械臂規(guī)劃軌跡平滑，各軸運動角速度、角加速度連續(xù)且滿足最大運行角速度和角加速限制條件。

圖5 機械臂路徑規(guī)劃曲線

5 結(jié)語

本文為解決機械臂路徑規(guī)劃最短時間問題，提出了融合免疫操作的改進粒子群算法以改善傳統(tǒng)粒子群算法易陷入局部最優(yōu)的問題，使用此算法與傳統(tǒng)粒子群算法和傳統(tǒng)可變參數(shù)改進粒子群算法在最短時間問題上進行求解對比。所提出的改進算法相較于傳統(tǒng)粒子群算法適應(yīng)度更佳、收斂更快，大大改善了傳統(tǒng)粒子群算法易于早熟、容易陷入局部最優(yōu)的劣勢，縮短了機械臂路徑規(guī)劃時間。

綜上所述，本文建立機器人運動學(xué)模型，利用分段多項式曲線進行軌跡規(guī)劃，通過融合免疫算法操作改進傳統(tǒng)粒子群算法，控制機器人動作，實現(xiàn)機器人軌跡控制，提高機器人工作效率，為工業(yè)機器人的空間軌跡規(guī)劃提供了一套思路方法。