王君杰郭進(jìn)

1） 中國(guó)上海 200092 同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院

2） 中國(guó)石家莊 050043 石家莊鐵道大學(xué)土木工程學(xué)院

引言

地震動(dòng)是空間變化的，由于波列傳播速度的有限性和相干性損失以及局部場(chǎng)地地質(zhì)條件不同，結(jié)構(gòu)各支承點(diǎn)的地震激勵(lì)出現(xiàn)顯著差異，這種差異可能對(duì)平面大尺度結(jié)構(gòu)（例如橋梁、水壩）的地震反應(yīng)產(chǎn)生重要影響.歐洲規(guī)范 8 （European Committee for Standardization，2004）和城市軌道交通結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范GB 50909—2014 （中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部，2014）也提到了地震動(dòng)空間變化對(duì)結(jié)構(gòu)的影響.地震動(dòng)空間變化可以通過(guò)以下三種方法來(lái)分析：① 時(shí)間歷程方法；② 隨機(jī)振動(dòng)方法；③ 反應(yīng)譜方法.后兩種方法的優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用了地震動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特征對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行分析.

對(duì)于隨機(jī)振動(dòng)分析，地震動(dòng)輸入由自功率譜密度矩陣（auto-power spectral density，縮寫(xiě)為APSD）確定；對(duì)于反應(yīng)譜分析，地震動(dòng)輸入由地震反應(yīng)譜確定，模態(tài)組合系數(shù)通常由結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)理論推導(dǎo)得出（王君杰，1992；Berrah，Kausel，1992；Kiureghian，Neuenhofer，1992；王君杰等，1995）.一般情況下，隨機(jī)振動(dòng)法的數(shù)值積分運(yùn)算量很大，基于隨機(jī)振動(dòng)理論的反應(yīng)譜組合系數(shù)的計(jì)算也非常耗時(shí).為減少積分時(shí)間，Harichandran和Vanmarcke （1986）提出了行波激勵(lì)的解析公式，Loh和Ku （1995）基于簡(jiǎn)化的自功率譜密度函數(shù)提出了一種有效的計(jì)算方法，但采用了簡(jiǎn)單的空間相干函數(shù).孫建梅等（2003）對(duì)Kiureghianh和Neuenhofer （1992）提出的多點(diǎn)輸入反應(yīng)譜方法進(jìn)行了簡(jiǎn)化，即在相關(guān)系數(shù)的計(jì)算中忽略頻率比介于0.7—1.2范圍以外的部分，減少了計(jì)算量，但損失了精度.

為提高多點(diǎn)地震動(dòng)激勵(lì)下譜分析方法中相關(guān)系數(shù)的計(jì)算效率，本文擬基于對(duì)自功率譜和相關(guān)系數(shù)積分表達(dá)式的近似處理，提出相關(guān)系數(shù)的近似解析公式.

1 結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)

假定在空間某點(diǎn)r（r＝ 1，2，···，m）處的地震激勵(lì)是零均值平穩(wěn)過(guò)程，其位移、速度和加速 度 函 數(shù) 分 別 記 為u（rt），u˙ （rt）和u¨（rt）， 結(jié) 構(gòu) 平 穩(wěn) 響 應(yīng) 的 方 差 為 （王 君 杰 ，1992；Kiureghian，Neuenhofer，1992）

式中：σk為第k個(gè)結(jié)構(gòu)反應(yīng)量的均方差；σgr和σgs分別為第r個(gè)空間點(diǎn)和第s個(gè)空間點(diǎn)的地面運(yùn)動(dòng)位移的均方差；σir和σjs分別為第r個(gè)地面運(yùn)動(dòng)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)第i振型反應(yīng)的均方差和第s個(gè)地面運(yùn)動(dòng)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)第j振型反應(yīng)的均方差；參數(shù)a和b均為與結(jié)構(gòu)有關(guān)的系數(shù)；m為多點(diǎn)地震動(dòng)的數(shù)目；n為參與計(jì)算的結(jié)構(gòu)的振型數(shù)目；ρgrgs，ρgrjs和ρirjs定義為

其中

式中，H（iω）為結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)第i階振型的頻響函數(shù)，）為第r空間點(diǎn)地震加速度與第s空間點(diǎn)地震加速度的互功率譜密度函數(shù)，ω為圓頻率.根據(jù)式（1），多點(diǎn)地震激勵(lì)下結(jié)構(gòu)反應(yīng)的組合方法為

式中，SD（rωi，ζi）和SD（sωj，ζj）分別代表第r個(gè)地震激勵(lì)下i階振型最大位移和第s個(gè)地震激勵(lì)下j階振型最大位移，即平均位移反應(yīng)譜.同時(shí)，ur，max＝SD（r0，ζi），us，max＝SD（s0，ζj）.

對(duì)于式（3），根據(jù)復(fù)相干函數(shù)，互功率譜密度函數(shù)Sr（sω）可以寫(xiě)為

式中，γ為相關(guān)因子， ρr（sω，Δrrs）為地震動(dòng)的空間相干函數(shù)， θr（sω，Δrrs）為地震動(dòng)的相位差，Δrrs為空間距離的向量.

國(guó)內(nèi)外研究人員已經(jīng)提出了多個(gè) ρr（sω，Δrrs）表達(dá)式，例如Harichandran和Vanmarcke（1986）及Qu等（1996）提出的表達(dá)式等.Qu等（1996）提出的地震動(dòng)空間相干函數(shù)模型如圖1所示，其經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式為

圖1 空間相干函數(shù)模型（Qu et al，1996）（a） ρrs-空間距離關(guān)系；（b） ρrs-頻率關(guān)系Fig.1 Spatial coherence function model （Qu et al，1996）（a） ρrs-spatial distance relationship；（b） ρrs-frequency relationship

式中：a1＝1.678×10-5，a2＝1.219×10-3；b1＝-5.5×10-3，b2＝0.7674.

Harichandran和Vanmarcke（1986）提出的地震動(dòng)空間相干函數(shù)模型如圖2所示，其經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式為

圖2 空間相干函數(shù)模型（Harichandran，Vanmarcke，1986）（a） ρrs-空間距離關(guān)系；（b） ρrs-頻率關(guān)系Fig.2 Spatial coherence function model （Harichandran，Vanmarcke，1986）（a） ρrs-spatial distance relationship；（b） ρrs-frequency relationship

式中A， α ，K，θ， ω0和b為經(jīng)驗(yàn)參數(shù).對(duì)于臺(tái)灣SMART-1臺(tái)網(wǎng)第24次地震，A＝0.736，α＝0.147，K＝5210， ω0＝6.85 rad/s，b＝2.78.

本文中使用到的兩個(gè)自功率譜函數(shù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵?jiàn)圖3.第一個(gè)是Hu模型（胡聿賢，周錫元，1962，1965；王君杰，1992；王君杰，江近仁，1997），即

圖3 自功率譜密度函數(shù) S r（rω）的特征（ζg 為場(chǎng)地土的阻尼比，下同）（a） 胡聿賢自功率譜密度模型；（b） 克拉夫-彭津自功率譜密度模型Fig.3 The characteristic for auto-power spectral density function（ζg is the damping ratio of site soil，the same below）（a） Hu’s auto-power spectral density model；（b） Clough-Penzien’s auto-power spectral density model

第二個(gè)是克拉夫-彭津模型（Clough，Penzien，1993），即

本文在計(jì)算相關(guān)系數(shù)時(shí)，將以上兩個(gè)模型分別簡(jiǎn)化為

式中，S0為APSD的強(qiáng)度因子， ωg為 場(chǎng)地土層的頻率參數(shù)， ζg為場(chǎng)地土層的阻尼參數(shù)， ωc為胡聿賢模型在低頻段的濾波參數(shù)， ωf和 ζf為Clough-Penzien模型在低頻段的濾波參數(shù).計(jì)算中取ωg＝1.5 Hz， ωc＝0.3 Hz， ωf＝0.25 Hz， ζg＝0.6， ζf＝0.4，S0＝1.

2 近似自功率譜密度函數(shù)的精度

分別比較相干系數(shù) ρgrgs， ρgrjs和 ρirjs的近似值［ 式 （10）］ 與 精確值［ 式 （8）］ 之 間的差異，結(jié)果如圖4—6所示.其中，空間相干函數(shù)使用式（6），視波速向量vapp的模取1 000 m/s.

圖4 系數(shù) ρ grgs的精確值與近似值的比較Fig.4 The comparison between exact value and approximate value of coefficient ρgrgs

從圖4可以看出，式（10）給出的系數(shù) ρgrgs幾乎是精確值.圖5表明：當(dāng) ωj處于低頻段時(shí)，系數(shù) ρgrjs非常大；隨著 ωj的增大及r點(diǎn)與s點(diǎn)之間空間距離的增大， ρgrjs逐漸減小至零，直至可以忽略，說(shuō)明式（10）可以給出具有高精度的 ρgrjs近似解答.

圖5 |Δ r rs|＝300m （a）和1 000 m （b）時(shí)系數(shù) ρ grjs 的精確值與近似值的比較（ζj ＝ 0.05）Fig.5 The comparison between exact value and approximate value of coefficient ρg r js （ζj ＝ 0.05）with |Δ r rs|＝300m （a） and 1 000 m （b）

從圖6a-d可以看出：當(dāng) ωi和 ωj位于低頻段時(shí)，由式（10）計(jì)算得出的相干系數(shù) ρirjs近乎精確值， 而 近 似的 ρirjs在 ωi和 ωj較 大時(shí)會(huì) 出 現(xiàn) 更 大的誤差；在高頻段內(nèi)，地震動(dòng)自功率譜的值比低頻段的值小得多，相比之下重要性不大.同時(shí)，系數(shù) ρirjs的值隨著 ωi和 ωj的增加而減小.以上結(jié)果表明，相干系數(shù) ρirjs的近似值在工程實(shí)踐中具有很好的準(zhǔn)確性.

圖6 系數(shù) ρ irjs （ζi = ζj=0.05）精確值與近似值的比較Fig.6 The comparison between exact value and approximate value of coefficient ρi rj s （ζi = ζj=0.05）（a） |Δ r rs|＝300m，ωi＝0.1 Hz；（b） |Δ r rs|＝1000m，ωi＝0.1 Hz；（c） |Δ r rs|＝300m，ωi＝1.0 Hz；（d） |Δ r rs|＝1000m，ωi＝1.0 Hz；（e） |Δ r rs|＝300m ，ωi＝4.0 Hz；（f） |Δ r rs|＝1000m，ωi＝4.0 Hz

3 相關(guān)系數(shù)的近似公式

3.1 近似空間相干函數(shù) ρr（sω，Δrrs）

如前所述，由于空間相干函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式 ρr（sω，Δrrs）的復(fù)雜性，需要進(jìn)行數(shù)值積分來(lái)計(jì)算系數(shù) ρgrgs， ρgrjs和 ρirjs.為了得到這三個(gè)系數(shù)的近似解析表達(dá)式，引入近似的 ρr（sω，Δrrs）.

組合系數(shù) ρgrgs與擬靜態(tài)響應(yīng)有關(guān).擬靜態(tài)響應(yīng)是由位移貢獻(xiàn)的，它由地震動(dòng)中非常低的頻率成分控制.因此，計(jì)算系數(shù) ρgrgs的相干函數(shù)近似表達(dá)式為

式中， ωd，max是地震動(dòng)中位移的APSD達(dá)到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的圓頻率.

組合系數(shù) ρgrjs與式（1）或式（4）中的第二項(xiàng)耦合響應(yīng)項(xiàng)有關(guān)，此耦合項(xiàng)由地震動(dòng)中低頻成分控制.因此，計(jì)算系數(shù) ρgrjs的相干函數(shù)近似表達(dá)式被定義為

式中， ωgrjs取或（ ωj＋ωd，max）/2.

組合系數(shù) ρirjs與式（1）或式（4）中的第三項(xiàng)動(dòng)力響應(yīng)項(xiàng)有關(guān)，動(dòng)力響應(yīng)項(xiàng)由地震動(dòng)中靠近以及介于 ωi和 ωj之間的頻率成分控制.因此，計(jì)算系數(shù) ρirjs的相干函數(shù)近似表達(dá)式為

從圖7—9所示結(jié)果可以看出，使用式（6）和式（8）計(jì)算得出的上述近似相干函數(shù) ρr（sω，drs）具有很好的準(zhǔn)確性.由此可知，本文所提方法在ρr（sω，Δrrs）的近似表達(dá)上具有良好的精度.

圖7 系數(shù) ρ grgs的精確值與近似值的比較Fig.7 The comparison between exact value and approximate value of coefficient ρgrgs

圖8 |Δ rr s|＝300m （a）和1 000 m （b）時(shí)系數(shù) ρ grjs （ζj ＝ 0.05）精確值與近似值的比較Fig.8 The comparison between exact value and approximate value of coefficient ρg r js （ζj ＝ 0.05）with |Δ rr s|＝300m （a） and 1 000 m （b）

經(jīng)過(guò)上述簡(jiǎn)化后，三個(gè)相關(guān)系數(shù) ρgrgs， ρgrjs和 ρirjs可以簡(jiǎn)化為

對(duì)于胡聿賢自功率譜密度模型有

圖9 系數(shù) ρ irjs （ζi ＝ ζj＝0.05）精確值與近似值的比較Fig.9 The comparison between exact value and approximate value of coefficient ρi rj s （ζi ＝ ζj＝0.05）（a） |Δ r rs|＝300m，ωi＝0.1 Hz；（b） |Δ r rs|＝1000m，ωi＝0.1 Hz；（c） |Δ r rs|＝300m，ωi＝1.0 Hz；（d） |Δ r rs|＝1000m，ωi＝1.0 Hz；（e） |Δ r rs|＝300m，ωi＝4.0 Hz；（f） |Δ r rs|＝1000m，ωi＝4.0 Hz

式中： R e 為復(fù)數(shù)的實(shí)部； τ為地震波從r點(diǎn)傳播到s點(diǎn)的時(shí)間，，當(dāng)r與s在相同位置時(shí)， τ等于零.

對(duì)于克拉夫-彭津的自功率譜密度模型則有

3.2 胡聿賢自功率譜密度模型下相關(guān)系數(shù)的解析表達(dá)式

根據(jù)復(fù)變函數(shù)的基本理論，式（16）的積分形式為

式中， R e［s（fzp）］ 為復(fù)變函數(shù)的留數(shù)，zp是函數(shù)f（z）的極點(diǎn)，Imzp是zp的虛部.

根據(jù)式（18）得到

如果 τ ≥0 ，則

如果 τ ＜0，則

如果 τ ≥0 ，則

如果 τ ＜0，則

3.3 Penzien-Clough 自功率譜密度下相關(guān)系數(shù)的解析表達(dá)式

式（16）的積分形式為

如果 τ ≥0 ，則

如果 τ ＜0 ，則

如果 τ ≥0 ，則

其中，z1＝ωjeiθj，z2＝ - ωje-iθj，z3＝ωfe-iθf(wàn)，z4＝ - ωfeiθf(wàn)；z5＝ωfeiθf(wàn)，z6＝ - ωfe-iθf(wàn)，z7＝ωie-iθi，z8＝-ωieiθi；這里取下半平面的單極點(diǎn)留數(shù) R e［s（fz3）］ ， R e［s（fz4）］ ， R e［s（fz7）］ 和 R e［s（fz8）］.

如果 τ＜ 0，則

以上諸式中， θi＝arcsinζi， θj＝arcsinζj， θf(wàn)＝arcsinζf.

4 精度和計(jì)算效率的討論

4.1 相關(guān)系數(shù)解析表達(dá)式的精度

本節(jié)以一座斜拉橋?yàn)槔M(jìn)行計(jì)算，其中跨240 m，邊跨117.5 m，其有限元模型示意圖如圖10所示.假設(shè)地震波沿縱向傳播，視波速取1 000 m/s.用式（9）或式（11）的自功率譜密度函數(shù)以及式（6）的地震動(dòng)空間相干模型，計(jì)算該橋梁在多點(diǎn)地震激勵(lì)下的反應(yīng).

圖10 算例橋梁的有限元模型Fig.10 Finite element model of the example bridge

計(jì)算中取前50階振型.表1—4分別列出了橋梁不同構(gòu)件中某些位置處的絕對(duì)位移、相對(duì)位移、軸力、剪力和彎矩.表中：Ln（n＝1—6）代表橋梁左側(cè)的反應(yīng)，Rn代表右側(cè)的反應(yīng)；n＝1時(shí)代表塔頂?shù)慕^對(duì)位移；n＝2時(shí)代表塔頂和塔底之間的相對(duì)位移；n＝3時(shí)代表邊墩頂和梁端之間的相對(duì)位移，這項(xiàng)參數(shù)在落梁?jiǎn)栴}中很重要；n＝4時(shí)代表塔底的軸力；n＝5時(shí)代表塔底的剪力；n＝6時(shí)代表塔底的彎矩.

表1 Qu 等（1996）相干模型下的地震位移響應(yīng)及相對(duì)誤差Table 1 Seismic displacement response and its relative error under the coherence model of Qu et al （1996）

定義兩個(gè)相對(duì)誤差：

式中：A表示基于精確APSD模型和精確空間相干模型的響應(yīng)的數(shù)值積分解；B表示基于精確APSD模型和近似空間相干模型的響應(yīng)的數(shù)值積分解；C為3.2和3.3節(jié)中提出的解析解；eBA和eCA是相對(duì)誤差.

表2 Harichandran 和 Vanmarcke （1986）相干模型下的地震位移響應(yīng)及相對(duì)誤差Table 2 Seismic displacement response and its relative error under the coherence model of Harichandran and Vanmarcke （1986）

在方法A和B中，使用了變步長(zhǎng)的辛普森積分法.在積分極限從1 000，500，200到100 rad/s的情況下，將基于胡聿賢的功率譜密度函數(shù)與屈鐵軍、王君杰的空間相干函數(shù)的系數(shù) ρgrgs， ρgrjs， ρirjs進(jìn)行了比較，最終方法A采用200 rad/s.當(dāng)相對(duì)積分精度分別為1 0-8，1 0-5，10-4和1 0-3時(shí)，分別計(jì)算出系數(shù) ρgrgs， ρgrjs， ρirjs，并采用了精度為1 0-4時(shí)的積分步長(zhǎng).

表3 Qu 等（1996）相干模型下的地震力或彎矩響應(yīng)及相對(duì)誤差Table 3 Seismic force or moment response and its relative error under the coherence model of Qu et al （1996）

表4 Harichandran 和 Vanmarcke （1986）相干模型下的地震力或彎矩響應(yīng)及相對(duì)誤差Table 4 Seismic force or moment response and its relative error under the coherence model of Harichandran and Vanmarcke （1986）

從表1—4可以看出，相對(duì)誤差非常小，這說(shuō)明近似空間相干函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的反應(yīng)影響非常小.從3.1節(jié)中的圖7—9也可以得出這個(gè)結(jié)論.

除了塔頂?shù)慕^對(duì)位移（即L1和R1）外，A和C方法的反應(yīng)相對(duì)誤差都小于1%.同時(shí)在地震分析中，絕對(duì)位移并不重要，而相對(duì)位移卻很重要.這表明解析表達(dá)式可以與數(shù)值方法很好地吻合.

4.2 計(jì)算效率的比較

表5列出了數(shù)值方法A和解析方法C對(duì)該例橋梁的計(jì)算時(shí)間，計(jì)算中取前50階振型.表6列出了計(jì)算中不同階振型的計(jì)算時(shí)間.在本例中，只計(jì)算了以下反應(yīng)：① 四個(gè)塔頂?shù)慕^對(duì)位移；② 四個(gè)塔頂與塔底之間的相對(duì)位移；③ 兩個(gè)邊墩頂部與梁端之間的相對(duì)位移；④ 四個(gè)塔底的軸力、剪力和彎矩.在本例中，使用英特爾Visual Fortran 11.1.067編寫(xiě)有限元程序，前50階的特征值計(jì)算耗時(shí)50 s.

從表5可以發(fā)現(xiàn)，解析法求解的時(shí)間消耗只有數(shù)值求解的1/52左右.就絕對(duì)時(shí)間而言，解析法需要93—111 s，這在實(shí)際設(shè)計(jì)中是完全可以接受的.同時(shí)，數(shù)值解決方案需要5 833—6 273 s，比解析法要多耗時(shí)近98%.從表6中也可以得出同樣的結(jié)論，計(jì)算時(shí)間隨著所取振型階數(shù)的增加而增加.對(duì)于大型橋梁，在計(jì)算中可能需要取數(shù)百階振型.與用數(shù)值法相比，采用解析法計(jì)算大型結(jié)構(gòu)響應(yīng)可大大縮短計(jì)算用時(shí).

表5 計(jì)算時(shí)間比較（單位：s）Table 5 Comparison of time consumption of computation （Unit：s）

表6 計(jì)算時(shí)間比較（單位：s）Table 6 Comparison of time consumption of computation （Unit：s）

5 結(jié)論

本文在提出近似空間相干函數(shù)的基礎(chǔ)上，建立了相關(guān)系數(shù) ρgrgs， ρgrjs和 ρirjs的解析表達(dá)式，一方面保證了計(jì)算結(jié)果的精度，另一方面采用解析法可以更快速地獲得三個(gè)相關(guān)系數(shù)的積分值.同時(shí)使用了僅需要一至兩個(gè)地震動(dòng)參數(shù)的APSD近似表達(dá)式.通過(guò)對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果的分析，本文所提相關(guān)系數(shù) ρgrgs， ρgrjs和 ρirjs的解析式有足夠的工程精度和較高的計(jì)算效率，可為平面大尺度結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)下的地震響應(yīng)計(jì)算提供高效方法.