云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 (650500) 付 晶 馬紹文

圖1

在問題解答中[1]，劉才華老師利用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)和梅內(nèi)勞斯定理給出了證明.題中點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，比較特殊，而此結(jié)論結(jié)構(gòu)較為優(yōu)美，于是筆者想：若點(diǎn)I為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，是否有類似的結(jié)論成立？帶著疑問，本人應(yīng)用幾何畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：問題2585中的條件“點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心”是多余的，即當(dāng)AD，BE，CF相交于△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)時(shí)，原命題結(jié)論仍然成立.進(jìn)一步地，通過文獻(xiàn)查閱，發(fā)現(xiàn)文[2]中已經(jīng)對此問題給出了證明.但筆者試想，若AD，BE，CF兩兩的交點(diǎn)不在同一點(diǎn)時(shí)，是否也有結(jié)構(gòu)優(yōu)美的結(jié)論呢？經(jīng)研究得到以下結(jié)論：

圖2

由①②③得s1=λ1s2，s3=λ2s4，s5=λ3s6，知s1s3s5=λ1λ2λ3s2s4s6.

圖3

(2)若λ1λ2λ3=1，且點(diǎn)D、E、F(不在△ABC的頂點(diǎn))在有向線段AB、BC、CA上，則由塞瓦定理的逆定理知點(diǎn)G、H、I三者重合，如圖3所示.

(3)若λ1λ2λ3>1，則如圖4所示，在△ABC中，由共邊定理得：

圖4