楊癸庚，衛(wèi)鑫鵬，李鵬陽，湯奧斐，孔令飛

（西安理工大學(xué) 機械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048）

隨著航天科技的快速發(fā)展，大型星載可展開天線已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于電子偵察、空間通信、氣象監(jiān)測、導(dǎo)航等領(lǐng)域[1]，正朝著大口徑、高精度、輕質(zhì)量、高收納比的方向發(fā)展[2]。在各種類型的星載天線中，環(huán)形桁架式可展開天線由于其口徑大、收納率高、面密度小等優(yōu)點[3]，已成為目前研究的熱點之一。

由于受到航天運載工具承載質(zhì)量和容量的限制，在衛(wèi)星發(fā)射階段，天線處于收攏狀態(tài)并固定在火箭整流罩內(nèi)，當(dāng)衛(wèi)星進入預(yù)定軌道后，天線展開至工作狀態(tài)。環(huán)形桁架式可展開天線是由環(huán)形桁架、張拉索網(wǎng)結(jié)構(gòu)和驅(qū)動繩索組成的復(fù)雜多體系統(tǒng)，其展開過程受鉸鏈摩擦、鉸鏈間隙、索網(wǎng)張力、驅(qū)動索柔性等多種非線性因素的影響[4-6]，天線能否在軌順利展開決定著航天器任務(wù)的成敗。因此，對環(huán)形天線的展開過程進行合理的運動規(guī)劃及準(zhǔn)確的動力學(xué)分析與預(yù)測具有重要意義。

在環(huán)形天線的運動規(guī)劃方面，李團結(jié)等[7]提出了勻加速-勻速-勻減速的展開過程規(guī)劃，該規(guī)劃過程會導(dǎo)致天線展開角加速度不連續(xù)，從而使天線受到較大沖擊。Li[8]進一步提出了基于五次多項式的展開過程角速度規(guī)劃，該方法可以在一定程度上減小加速度沖擊。為了進一步降低展開過程的角加速度峰值，張逸群[9]提出了基于Bezier曲線擬合的驅(qū)動索收納過程規(guī)劃，通過設(shè)計驅(qū)動索的收納過程實現(xiàn)展開角加速度峰值最小。然而，該方法基于運動學(xué)進行最優(yōu)軌跡規(guī)劃，并未考慮索網(wǎng)張力、鉸鏈摩擦等因素對天線展開過程動力學(xué)的影響。

在考慮鉸鏈摩擦、間隙及索網(wǎng)張力的展開過程動力學(xué)分析方面，Li 等[10]建立了考慮關(guān)節(jié)摩擦、微重力的含間隙空間機構(gòu)剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，通過分析機構(gòu)的展開和鎖定過程，揭示了展開過程中的非線性動力學(xué)特性。該方法未考慮索網(wǎng)張力對展開過程的影響，分析結(jié)果與實際展開過程存在偏差。Nie等[11]、任偉峰等[12]在多剛體動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，基于準(zhǔn)靜態(tài)思想，通過多項式擬合得到了展開過程中索網(wǎng)彈性勢能與展開角之間的函數(shù)關(guān)系，進而建立了桁架-索網(wǎng)系統(tǒng)的動力學(xué)模型。Zhang等[13-14]采用彈性懸鏈線描述索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的松弛狀態(tài)和張緊狀態(tài)，建立了天線的柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)模型，研究了展開過程中桁架鉸鏈?zhǔn)艿降乃骶W(wǎng)張力變化規(guī)律，并通過實驗驗證了方法的正確性。在文獻[14]的基礎(chǔ)上，李娜[15]從能量守恒的角度出發(fā)，推導(dǎo)了索網(wǎng)張力對驅(qū)動索力和驅(qū)動功率的影響關(guān)系，并基于此進行了展開軌跡優(yōu)化。然而，上述研究中，系統(tǒng)的動力學(xué)模型中均未建立驅(qū)動繩索，未深入研究驅(qū)動繩索的柔性對展開過程動力學(xué)的影響。

針對上述問題，本文建立了包含驅(qū)動索-滑輪系統(tǒng)的環(huán)形天線系統(tǒng)動力學(xué)模型。動力學(xué)模型中，驅(qū)動繩索采用Bushing力法進行建模，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的張力等效為作用在桁架鉸鏈上的時變外載荷。將運動學(xué)規(guī)劃得到的驅(qū)動繩索最優(yōu)收納過程作為輸入，對天線系統(tǒng)的展開過程進行了動力學(xué)分析，并通過仿真案例研究了驅(qū)動繩索的柔性、展開時間等參數(shù)對展開過程中的展開角加速度和驅(qū)動索力的影響。

1 環(huán)形桁架天線結(jié)構(gòu)模型

環(huán)形桁架式可展開天線主要由環(huán)形桁架、索網(wǎng)結(jié)構(gòu)和驅(qū)動繩索系統(tǒng)組成，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)由“背對背”的兩層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)張拉成形，在預(yù)張力的作用下形成天線的網(wǎng)狀反射面形狀，環(huán)形桁架為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)提供邊界支撐，如圖1所示。

圖1 環(huán)形桁架天線整體模型

環(huán)形桁架結(jié)構(gòu)由一系列基本的平行四邊形單元組成，每個平行四邊形由兩個橫桿、兩個豎桿、1個粗斜桿和1個細斜桿組成，如圖2a）所示。驅(qū)動繩索通過導(dǎo)向滑輪和空心斜桿貫穿于整個環(huán)形桁架中?，F(xiàn)有研究中[16]，大多考慮在每個五桿鉸鏈頂點處布置一個滑輪，實現(xiàn)對驅(qū)動繩索的導(dǎo)向，如圖2b）所示，該方案可以保證在完全展開狀態(tài)下驅(qū)動繩索剛好通過斜桿的軸線，但是，在展開過程的中間狀態(tài)會出現(xiàn)驅(qū)動繩索與斜桿互相干涉的現(xiàn)象，從而導(dǎo)致摩擦力增大。為了確保在整個展開過程中驅(qū)動索與斜桿不發(fā)生干涉，在每個五桿鉸鏈處再增加兩個導(dǎo)向滑輪，如圖2c）所示。

圖2 環(huán)形桁架的平行四邊形單元

天線的展開過程主要包含兩個主要階段：1）扭簧驅(qū)動展開階段，天線首先處于完全收攏狀態(tài)，解鎖后，環(huán)形桁架在鉸鏈處扭簧的作用下稍微彈開一個角度以擺脫自鎖位置；2）電機驅(qū)動展開階段，電機啟動，通過驅(qū)動繩索來改變四邊形單元對角線的長度，從而實現(xiàn)環(huán)形桁架展開；該過程中，隨著桁架結(jié)構(gòu)的展開，松弛的索網(wǎng)逐漸張緊，完全展開后，索網(wǎng)在預(yù)張力作用下形成所需的網(wǎng)狀反射面。本文重點研究電機驅(qū)動展開階段，該階段環(huán)形桁架的展開過程如圖3所示。

圖3 環(huán)形桁架展開過程

2 運動學(xué)規(guī)劃

天線展開過程中，電機通過牽引驅(qū)動繩索來改變平行四邊形單元的對角線長度，從而驅(qū)動整個環(huán)形桁架實現(xiàn)展開。因此，根據(jù)運動學(xué)關(guān)系，將環(huán)形桁架展開過程的輸出運動規(guī)劃轉(zhuǎn)化為對驅(qū)動索收納過程的運動控制。

驅(qū)動索收納長度的變化過程可用n次Bezier函數(shù)[9]表示為

式中：Pi為 Bezier 函數(shù)的控制點；Bi,n(t)為Bezier 函數(shù)的 Bernstein 基函數(shù)。

根據(jù)圖2所示的基本平行四邊單元的幾何關(guān)系，展開角θ 的運動狀態(tài)與驅(qū)動索長度l之間滿足

式中：nq為環(huán)形桁架的四邊形單元數(shù)目；L1和L2分別為桁架的橫桿和豎桿長度。展開過程中，驅(qū)動索收納速度和 加速度可通過對式（1）求導(dǎo)得到，展開角速度和角加速度可通過對式（3）求導(dǎo)得到。

基于式（1）～式（3），可采用Bezier 函數(shù)擬合驅(qū)動索的收納運動軌跡，并通過設(shè)計Bezier 函數(shù)的控制點參數(shù)來獲取天線的最優(yōu)展開軌跡。為減少天線在展開過程中的沖擊力對展開精度及衛(wèi)星本體的影響，將展開角加速度峰值最小化作為設(shè)計目標(biāo)，同時將角速度和角加速度的連續(xù)性條件作為約束，建立優(yōu)化模型如下：

式中：θ0和θ1分別為電機驅(qū)動展開階段的初始展開角和終止展開角，本文取θ0=5°，θ1=90°。

需指出，上述優(yōu)化模型中，天線的展開總時間為廣義時間1 s，當(dāng)考慮實際展開時間為任意值tp時，將式（1）和式（2）中的變量t替換為t/tp即可。

3 動力學(xué)建模

本文基于多體動力學(xué)理論建立同時考慮環(huán)形桁架、驅(qū)動繩索-滑輪和索網(wǎng)張力的環(huán)形天線系統(tǒng)的展開過程動力學(xué)模型。

展開過程中，環(huán)形桁架的桿件和鉸鏈的彈性變形較小，可視為剛體單元[12]。與桁架單元相比，驅(qū)動繩索的柔性較大，將驅(qū)動繩索離散為多個小圓柱體單元，小圓柱體單元之間采用Bushing力連接，Bushing力的計算公式為

式中：Fe為 柔索單元間的受力矩陣；Ke、Ce分別為相應(yīng)的剛度陣和阻尼陣；X、分別為位移和速度矢量；F0為初始受力矢量。

由圖2可知，驅(qū)動索運動過程中必須經(jīng)過導(dǎo)向滑輪，驅(qū)動索與滑輪之間的相互作用采用接觸力進行約束。展開過程中滑輪的彈性變形可以忽略不計，也視為剛體單元。

綜上，基于拉格朗日乘子法建立天線系統(tǒng)的展開過程動力學(xué)方程為

式中：q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)；M為系統(tǒng)的質(zhì)量陣；C為系統(tǒng)的阻尼陣；K為系統(tǒng)的剛度陣；λ為拉格朗日乘子； Φ(q)為 系統(tǒng)的約束條件；Φq為約束條件的雅克比矩陣；Q為系統(tǒng)受到的廣義力。

式中：Ff(t)為系統(tǒng)受到的摩擦力，其大小由各個鉸鏈處的摩擦因數(shù)決定；Fc(t)為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)作用在桁架鉸鏈上的時變外載荷。

Fc(t)的計算方法如下：

1）基于文獻[13]，獲取索網(wǎng)結(jié)構(gòu)對桁架鉸鏈的作用力Fc與展開角θ 之間的關(guān)系Fc(θ)；

2）根據(jù)第2節(jié)的展開過程運動規(guī)劃，可得到展開角的運動規(guī)律θ(t)；

3）結(jié)合Fc(θ)與 θ(t)， 即可求得Fc(t)。

4 仿真案例

4.1 模型參數(shù)

本文對圖1所示的環(huán)形桁架天線進行運動規(guī)劃與動力學(xué)分析，該天線由6個平行四邊形單元組成，天線口徑為1 m、高度為0.3 m、前后網(wǎng)面焦距為0.45 m。該天線模型中，桿件的材料為碳纖維，鉸鏈、同步齒輪和滑輪的材料為鋁，索網(wǎng)材料為芳綸纖維，驅(qū)動繩索為鋼絲繩，鋼絲繩的彈性模量為200 GPa。各零部件的幾何參數(shù)見表1。

表1 零部件幾何參數(shù)

4.2 運動規(guī)劃

采用第2節(jié)的優(yōu)化模型對天線的電機驅(qū)動展開過程進行最優(yōu)運動規(guī)劃。選用10階Bezier函數(shù)擬合驅(qū)動索收納長度的變化過程，優(yōu)化得到最優(yōu)解為P= （0.6403, 0.6403, 0.6403, 0.6372, 0.6303, 0.6402,0.5188, 0.5231, 0.4671, 0.4671, 0.4671）T。將最優(yōu)解代入式（1）和（3）并求導(dǎo)，得到規(guī)劃后的展開角度、角速度和角加速度如圖4所示，驅(qū)動繩索的最優(yōu)收納狀態(tài)如圖5所示。

圖4 展開角的最優(yōu)運動狀態(tài)

圖5 驅(qū)動索的最優(yōu)收納狀態(tài)

由圖4可知，天線的最優(yōu)展開過程可分為兩個階段：

1）加速展開階段：展開角速度由0增加到最大值，相應(yīng)的展開時間為0 ～ 0.49 s，展開角為5° ～46.2°；

2）減速展開階段：展開角速度從最大值逐步減小到0，相應(yīng)的展開時間為0.49 ～ 1 s，展開角為46.2° ～90°。加速展開階段和減速展開階段的加速度峰值剛好相等，均為416.9 °/s2。

4.3 動力學(xué)分析

4.3.1 計算工況

基于第3節(jié)的動力學(xué)模型，采用ADAMS軟件建立環(huán)形天線的動力學(xué)仿真模型，并進行展開動力學(xué)分析。仿真模型中，以圖1所示的一個豎桿為固定端，設(shè)定各個鉸鏈之間的摩擦因數(shù)為0.07，驅(qū)動索與滑輪之間的摩擦因數(shù)為0.01。

將電機的轉(zhuǎn)動角速度ωd作為驅(qū)動，可表示為

索網(wǎng)結(jié)構(gòu)作用在桁架鉸鏈上的作用力如圖6所示。在展開角0 ～ 74.5°（展開時間0 ～ 0.7 s）的過程中，索網(wǎng)處于松弛狀態(tài)，鉸鏈?zhǔn)艿降乃骶W(wǎng)作用力為零，該階段天線展開的阻力主要是摩擦力；在展開角74.5° ～ 90°（展開時間0.7 ～ 1 s）的過程中，索網(wǎng)逐漸張緊，該階段天線展開的阻力包括摩擦力和桁架鉸鏈?zhǔn)艿降乃骶W(wǎng)力。

圖6 桁架鉸鏈?zhǔn)艿降乃骶W(wǎng)作用力曲線

4.3.2 結(jié)果分析

為分析繩索柔性對天線展開過程的影響，在其它參數(shù)保持不變的情況下，針對驅(qū)動索彈性模量為50 GPa、100 GPa、150 GPa、200 GPa和250 GPa這5種情況，分別對天線展開過程進行了動力學(xué)求解。天線展開角加速度和驅(qū)動索力曲線分別如圖7和圖8所示。不同驅(qū)動索彈性模量下，天線展開角加速度峰值和驅(qū)動索力峰值見表2和表3。

圖7 不同驅(qū)動索彈性模量下的展開角加速度曲線

圖8 不同驅(qū)動索彈性模量下的驅(qū)動索力曲線

表2 不同驅(qū)動索彈性模量下的天線展開角加速度峰值

表3 不同驅(qū)動索彈性模量下的驅(qū)動索力峰值

由圖7可知，由于動力學(xué)分析中考慮到桁架鉸鏈會突然受到索網(wǎng)張力作用，導(dǎo)致展開角加速度出現(xiàn)了明顯的突變。結(jié)合圖7和表2可知，驅(qū)動索的彈性模量對天線加速展開階段和減速展開階段的角加速度峰值均會產(chǎn)生顯著影響，驅(qū)動索的彈性模量越大越有利于減小展開過程中的角加速度峰值。隨著驅(qū)動索彈性模量不斷增大，其對展開角加速度的影響將逐漸趨于穩(wěn)定。

由圖8可知，驅(qū)動索力在加速展開階段和減速展開階段各出現(xiàn)了一次峰值。加速展開階段驅(qū)動索力出現(xiàn)峰值的原因是展開前期驅(qū)動索力既要克服摩擦阻力又要提供天線桁架展開所需的動能；減速展開階段驅(qū)動索力出現(xiàn)峰值的原因是展開中后期桁架鉸鏈會受到索網(wǎng)張力的作用，驅(qū)動繩索需要克服摩擦阻力和索網(wǎng)張力的共同作用。

結(jié)合圖8和表3可知，驅(qū)動索的彈性模量對減速展開階段的驅(qū)動索力影響較小，但對加速展開階段的驅(qū)動索力影響顯著，驅(qū)動索的彈性模量越大越有利于減小展開過程中的驅(qū)動索力峰值。隨著驅(qū)動索彈性模量不斷增大，其對驅(qū)動索力的影響也將逐漸趨于穩(wěn)定。

為分析天線的展開總時間tp對展開角加速度和驅(qū)動索力的影響，在驅(qū)動索彈性模量為200 GPa的條件下，進一步對展開時間分別為10 s和100 s的天線展開過程進行了動力學(xué)求解。不同展開時間下，展開角加速度和驅(qū)動索力曲線分別如圖9和圖10所示，展開角加速度峰值結(jié)果見表4。

圖9 不同展開時間下的展開角加速度曲線

由圖9可知，展開時間對展開角加速度的影響非常大，整個展開過程中的展開角加速度值隨著展開時間增大而減小。結(jié)合圖9和表4可知，展開角加速度峰值與展開時間tp的平方近似成反比。

表4 不同展開時間下的天線展開角加速度峰值

由圖10可知，展開時間主要影響索網(wǎng)松弛階段（展開角0 ～ 74.5°）的驅(qū)動索力，對索網(wǎng)張緊階段（展開角74.5° ～ 90°）的驅(qū)動索力影響較小。隨著展開時間不斷增長，索網(wǎng)松弛階段的驅(qū)動索力將逐漸減小最終趨于穩(wěn)定值。另外，tp=10 s和tp=100 s的驅(qū)動索力接近，且比tp=1 s的驅(qū)動索力小得多，其原因是展開時間越短，短時間內(nèi)驅(qū)動索需要提供的天線展開所需的動能越大。綜上，從降低展開角加速度峰值的角度出發(fā)，展開時間越長越好；而從降低驅(qū)動索力的角度出發(fā)，展開時間足夠長之后，驅(qū)動索力將趨于穩(wěn)定。

圖10 不同展開時間下的驅(qū)動索力曲線

5 結(jié)論

1） 驅(qū)動索柔性對加速展開和減速展開階段的展開角加速度值均有較大影響，而對驅(qū)動索力的影響主要體現(xiàn)在加速展開階段。

2） 展開時間對整個展開過程中的展開角加速度值影響均較大，而對驅(qū)動索力的影響主要體現(xiàn)在索網(wǎng)松弛階段。