曾眺英

嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 廣東梅州 514015

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會的進步，數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域滲透的深度和廣度也在與日俱增。作為溝通數(shù)學(xué)和實際問題的橋梁，數(shù)學(xué)建模越來越受到人們的重視。伴隨數(shù)學(xué)課程的深入改革，高中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)已經(jīng)成為當(dāng)代教育教研工作中的重點之一?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》首次提出把數(shù)學(xué)建模作為中學(xué)生必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。筆者對高中數(shù)學(xué)骨干教師進行了深入訪談，在此基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用進行了探究，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何更好地融入數(shù)學(xué)建模思想提出自己的意見與建議。

一、什么是數(shù)學(xué)建模

在了解數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵之前，需要先知道數(shù)學(xué)模型的定義。數(shù)學(xué)模型是為了一個特定目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，對于一個特定的對象做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學(xué)公式、算法、表格、圖示等。

數(shù)學(xué)建模是基于數(shù)學(xué)思維運用模型解決實際問題的綜合實踐活動。它的一般步驟可以概括為：通過實際情境尋找數(shù)量關(guān)系，提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，利用綜合知識分析問題建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)運算對模型進行求解，將結(jié)果和實際情況進行比較，然后檢驗該模型是否合理和實用。假如得出的結(jié)果和實際并不相符，那么需要補充、修改相關(guān)條件，重新建立模型，有時需要多次反復(fù)和完善，直到得出一定滿意程度的檢驗結(jié)果為止。高中常用的模型有函數(shù)模型、幾何模型、數(shù)列模型等，在建立這些數(shù)學(xué)模型的過程中蘊含著數(shù)學(xué)建模思想。

二、高中開展數(shù)學(xué)建?；顒訉W(xué)生的影響

(一)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力

數(shù)學(xué)建?；顒邮侵鲃有缘男袨椤Ｔ趯嶋H的情境中，教師先引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光進行觀察，發(fā)現(xiàn)并提出實際問題，并且用數(shù)學(xué)思維和語言描述清楚這些問題。

學(xué)生用數(shù)學(xué)思維去分析影響問題解決的因素以及相互之間的關(guān)系，然后提出解決這些問題的思路。這就要求學(xué)生有一定的洞察能力，善于從實際問題原型抽取其數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師平時要引導(dǎo)學(xué)生帶著數(shù)學(xué)的慧眼去觀察客觀世界，發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。

(二)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識分析問題、解決問題的能力

數(shù)學(xué)建模能力是分析問題和解決問題能力的重要組成部分。數(shù)學(xué)建模的一般流程：創(chuàng)建問題情境，利用實例引導(dǎo)學(xué)生自主探索，建立數(shù)學(xué)模型，進行數(shù)學(xué)分析處理，解決實際應(yīng)用問題。因此，學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)建模有利于學(xué)生探索數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們在實際生活中能習(xí)慣性地想到用數(shù)學(xué)思維解決問題。

(三)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新的精神和能力

數(shù)學(xué)建模本身是對現(xiàn)實問題進行科學(xué)處理和創(chuàng)造的思維過程。數(shù)學(xué)建模的問題一般都來自于實際生活，有著明確的背景和條件，沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，主要看最后的結(jié)果能否經(jīng)受得住實際檢驗。隨著模型的建立與問題的解決，學(xué)生可以養(yǎng)成科學(xué)的態(tài)度，利用數(shù)學(xué)方法，逐步形成創(chuàng)新性思維，提高他們的創(chuàng)新能力。

(四)鍛煉學(xué)生的搜集資料和自主學(xué)習(xí)的能力

數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)和實際問題的橋梁。學(xué)生為了解決數(shù)學(xué)建模問題就需要深入調(diào)查問題背景，查找相關(guān)文獻資料，甚至在某些情況需要做實地調(diào)查，這些其實已經(jīng)潛移默化地鍛煉了學(xué)生搜集資料和自主學(xué)習(xí)的能力。

(五)培養(yǎng)學(xué)生團隊協(xié)作的能力

數(shù)學(xué)建模是以小組為單位展開工作的，在這個過程中，要求小組團隊要有一個明確的工作職責(zé)分配。學(xué)生成員之間保持溝通與合作，懂得欣賞，尊重彼此，相互傾聽，在各種不同意見的爭辯中共同找出最佳的解決方案。數(shù)學(xué)建模體現(xiàn)的是團隊精神，培養(yǎng)的是團隊協(xié)作的能力。

(六)激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究的興趣，增強撰寫論文的能力

撰寫論文的能力是數(shù)學(xué)建模的基本技能之一，也是科技人才的基本能力之一，是表現(xiàn)我們所做工作的唯一方式。撰寫出來的論文，要能讓讀者清楚地知道文章中使用了哪些方法解決了哪些問題，結(jié)果怎么樣，效果如何，等等。

(七)學(xué)生可以初步接觸計算機軟件的功能

建立數(shù)學(xué)模型需要創(chuàng)造性思維，也需要扎實的數(shù)學(xué)基本功與許多化學(xué)、生物、物理等其他學(xué)科知識，而求解數(shù)學(xué)模型常常離不開計算機。數(shù)學(xué)建模的很多問題中有大量的數(shù)據(jù)需要統(tǒng)計處理，有些數(shù)據(jù)量甚至多達幾百頁，必須借助計算機與數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件來處理這些海量數(shù)據(jù)和求解復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型。教師們要教會學(xué)生使用Matlab等常用數(shù)學(xué)軟件來正確得到模型的解。在這個過程中，學(xué)生利用計算機制作圖像、處理數(shù)據(jù)的能力得到了提升，也讓他們體會到計算機學(xué)習(xí)的樂趣。

三、高中生數(shù)學(xué)建模的教學(xué)現(xiàn)狀

新頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和提高學(xué)生的實踐操作能力是新課程標(biāo)準(zhǔn)非常重要的組成部分，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)活動正是實現(xiàn)這一標(biāo)準(zhǔn)的重要手段。目前，數(shù)學(xué)建模對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，還是相對新穎的事物，數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)現(xiàn)狀主要有以下幾個方面：

(一)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中對數(shù)學(xué)建模思想融入的重視度還不夠

不少高中數(shù)學(xué)教師沒有對學(xué)生進行研究性學(xué)習(xí)探索的引導(dǎo)，依然停留在數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的教學(xué)方面。教師們認(rèn)為研究式數(shù)學(xué)建模教學(xué)實施起來非常困難，主要是因為平時的教學(xué)負(fù)擔(dān)比較重，高中課程教學(xué)內(nèi)容多、學(xué)時少，完成教學(xué)計劃尚不十分從容，還要應(yīng)付會考和高考。

(二)高中數(shù)學(xué)教師欠缺數(shù)學(xué)建模相關(guān)素養(yǎng)與經(jīng)驗

由于多數(shù)中學(xué)教師在大學(xué)期間并沒有學(xué)習(xí)過有關(guān)數(shù)學(xué)建模的知識，沒有參加過數(shù)學(xué)建模的比賽，所以他們對數(shù)學(xué)建模的概念和建模的意識都比較模糊。數(shù)學(xué)建模是在2003年才正式進入高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，真正出現(xiàn)在高中教材的時間還是比較短的。近年來，不少中學(xué)邀請了相關(guān)專家進校以報告、講座、論壇等形式對教師們進行培訓(xùn)，提升了中學(xué)教師們的數(shù)學(xué)建模意識和教學(xué)能力。

(三)高中學(xué)生還缺乏豐富的數(shù)學(xué)知識

雖然不少學(xué)生對數(shù)學(xué)建模思想融入課堂教學(xué)中表現(xiàn)出很大的興趣，然而學(xué)生的知識儲備還不夠，因為它涉及的面比較廣泛，包括線性規(guī)劃、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、圓錐曲線等，此外還涉及物理學(xué)、化學(xué)、地理學(xué)等方面的知識。因此，在學(xué)生掌握了一定建模知識的基礎(chǔ)上，教師才能實現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中。

四、將數(shù)學(xué)建模思想融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的策略

(一)編寫相對合適的數(shù)學(xué)建模教材

當(dāng)前適合高中生水平又與課本教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合的教材并不多，因此編寫一套合適的數(shù)學(xué)建模校本教材顯得尤為重要。建模教材應(yīng)聯(lián)系實際生活，涉及時事熱點、市場經(jīng)濟，諸如成本、利潤、儲蓄、保險等都是中學(xué)數(shù)學(xué)建模的好素材。適當(dāng)?shù)剡x取這些素材融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動中，讓高中學(xué)生掌握一些類型的數(shù)學(xué)建模方法，不但能培養(yǎng)他們正確的經(jīng)濟意識，而且還為日后主動以數(shù)學(xué)的方法處理問題提供了能力上的準(zhǔn)備。而中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的函數(shù)、方程(組)與不等式、概率統(tǒng)計、排列組合、多面體等定義也涉及了數(shù)學(xué)模型。作為中學(xué)數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容相當(dāng)豐富，比如增長率、環(huán)境保護、規(guī)劃、經(jīng)濟圖表、市場預(yù)測、供求與存貯等問題，以及物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)等學(xué)科方面的問題，這些學(xué)科應(yīng)用題都是很好的建模素材。中學(xué)數(shù)學(xué)教師們可以在充分討論與通力協(xié)作的基礎(chǔ)上，編寫出適宜的應(yīng)用性強的數(shù)學(xué)建模校本教材。

(二)深入挖掘高中教材內(nèi)容蘊含的數(shù)學(xué)建模思想

教師們要轉(zhuǎn)變觀念，意識到數(shù)學(xué)課堂中融入建模思想的重要性。高中數(shù)學(xué)教材中很多環(huán)節(jié)都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)應(yīng)用的建模思想。教師們在備考課時需要認(rèn)真研讀教材內(nèi)容，深入挖掘和拓展相關(guān)知識的背景，精心設(shè)計好課堂情景。比如，在講授二次函數(shù)這節(jié)課前介紹炮彈的軌跡問題、數(shù)列的課前引入國王下象棋問題。教師們在講授這些問題情景時，可以把課前引入設(shè)計成微型的數(shù)學(xué)建?；顒樱龑?dǎo)學(xué)生進行自主探究，建立數(shù)學(xué)模型，然后利用新知識對模型進行分析。在課本的數(shù)學(xué)定義、定理和公式的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)幫助學(xué)生找到實際生活中的原型，將數(shù)學(xué)知識和實際應(yīng)用聯(lián)系起來，設(shè)計一些對應(yīng)性的練習(xí)題。比如，教師們在講解完定積分內(nèi)容后，可以設(shè)計一些關(guān)于計算變速直線運動路程或者變速功的練習(xí)題。在講授“統(tǒng)計”這章內(nèi)容時，教師們可以給學(xué)生布置實踐作業(yè)來加強他們在日常生活中的數(shù)學(xué)體驗。學(xué)生在這個過程中不僅可以對數(shù)學(xué)知識加深理解，同時也激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣。

(三)從數(shù)學(xué)應(yīng)用題到數(shù)學(xué)建模題

數(shù)學(xué)家張奠宙曾經(jīng)說過：“應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建?！?。高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題一直是教學(xué)的重點與難點，應(yīng)用題可以說是簡單初級的數(shù)學(xué)建模題，在實際問題中如果找出數(shù)學(xué)的模型，也就是純數(shù)學(xué)的問題，然后解決這個數(shù)學(xué)問題，再回到實際問題，也就解決了實際問題。

例如，下面這個關(guān)于價格與利潤的問題：

顧客第一次在商店購買件商品共花費了元，第二次去購買該商品時單價下跌，120件商品降價80元，第二次購買的商品比第一次多了10件，一共花費20元。如果該顧客第一次購買時至少花費10元，問他第一次至少購買多少件商品？

這個題目的情景反映了顧客兩次購買的總件數(shù)和消費的價格之間有著等式意義上的關(guān)聯(lián)性，所以可以使用方程模型進行求解，也即是，每件商品的價格×所購商品的數(shù)量=總花費。方程思想是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過解方程(組)來求解問題。

(四)組建數(shù)學(xué)建模實驗室，分小組學(xué)習(xí)

以自愿為原則組織學(xué)生報名，在學(xué)校的支持和配合下成立中學(xué)數(shù)學(xué)建模實驗室。高中生必須在教師的指導(dǎo)下進行數(shù)學(xué)建?；顒樱瑢W(xué)生們進行分組，每組由一個教師負(fù)責(zé)指導(dǎo)，同時確定上課的教師，學(xué)生在一開始估計對數(shù)學(xué)建模都不是很清楚，所以在第一節(jié)課中，主要讓學(xué)生對數(shù)學(xué)建模有一個宏觀的了解，使得學(xué)生知道數(shù)學(xué)建模并不陌生，在生活學(xué)習(xí)中很多地方都在用這種建模思想，之后的課程主要讓他們掌握一些建模的方法。通過對數(shù)學(xué)建模思想方法的學(xué)習(xí)，學(xué)生或許躍躍欲試，想自己進行數(shù)學(xué)建模。另外，上課時也可以向?qū)W生展示往屆學(xué)生的優(yōu)秀建模論文，使學(xué)生們更有信心和動力地進行數(shù)學(xué)建模。

由于高中生知識能力有限，讓他們自己找感興趣的問題進行數(shù)學(xué)建模比較困難，所以事先可以給出一些問題讓他們挑選自己感興趣的內(nèi)容，在選好需要進行建模的問題后，由每一組的組長分工先找相關(guān)資料，周末大家到實驗室進行討論。此時教師正確引導(dǎo)很重要，不能過分要求數(shù)學(xué)建模過程的嚴(yán)密性、結(jié)果的準(zhǔn)確性。及時評價學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的表現(xiàn)，讓他們重過程、重參與，主動地參與數(shù)學(xué)建?；顒樱@得應(yīng)用數(shù)學(xué)的體驗和成功的喜悅非常重要。在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下，學(xué)生最終通過小組討論，完成模型選擇和建立、計算、驗證等過程，最后用小論文的形式呈現(xiàn)自己的研究成果，教師還需要對學(xué)生建模中的表現(xiàn)進行評價。在“教師給定問題型”的數(shù)學(xué)建模的實踐中，學(xué)生將經(jīng)歷建模的全過程，其中在模型的求解這一環(huán)節(jié)，往往需要借助計算機選擇一個合適的數(shù)學(xué)軟件平合，通過數(shù)學(xué)實驗來求解模型。

在這種數(shù)學(xué)建模實踐中，學(xué)生的研究結(jié)果必須會用論文進行表達，會表達自己的研究思路及結(jié)果是一個學(xué)生綜合素質(zhì)的體現(xiàn)。由于數(shù)學(xué)建模論文的撰寫有一定的格式要求，這種格式要求是為了讓作者更好地展現(xiàn)自己的研究結(jié)果，也是對論文質(zhì)量的保證。所以，教師們在教學(xué)中需要對學(xué)生論文撰寫的格式進行專門的輔導(dǎo)。

(五)優(yōu)化高中生數(shù)學(xué)建?；顒拥脑u價設(shè)計

數(shù)學(xué)建?；顒硬煌谇蠼鈹?shù)學(xué)題目，學(xué)生在數(shù)學(xué)建?；顒又兴捎玫姆绞绞且环N動態(tài)的表現(xiàn)，采用總結(jié)性的或者傳統(tǒng)意義上的形成性評價方式都難以測量和評價。教師們可以通過現(xiàn)場觀察、作品上交或研究報告撰寫開展評價活動，依據(jù)數(shù)學(xué)建?；顒拥奶攸c，注重過程性的評價與交流。以數(shù)學(xué)建?；顒拥奶攸c作為參考依據(jù)，教師們可以從選題、數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用、數(shù)據(jù)分析和處理、信息技術(shù)等工具的使用、交流和表達、數(shù)學(xué)建模的結(jié)果這六個角度進行評價設(shè)計。

高中新課程標(biāo)準(zhǔn)還指出，對于評價需要遵守的原則：重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的達成，以數(shù)學(xué)學(xué)科核心是素養(yǎng)的達成作為評價的基本要素；重視評價的整體性和階段性，把教學(xué)評價的總目標(biāo)合理分解到日常教學(xué)評價的各個階段。因此，教師們可以分階段、多維度地對數(shù)學(xué)建?；顒诱归_評價，從形式上看，除教師評價之外，還可以是學(xué)生的互評或者自評。無論采取何種方式，最終目的都是一致的，通過數(shù)學(xué)建模活動提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)，為高中學(xué)生的終生發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

結(jié)語

嚴(yán)士健教授曾經(jīng)在《數(shù)學(xué)教育應(yīng)面向21世紀(jì)而努力》的報告中指出：我國中學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的日常生活及他們具有的其他知識和經(jīng)驗聯(lián)系太少，無疑會給他們以后的工作發(fā)展造成阻礙。由此可知，在高中階段開展數(shù)學(xué)建?；顒邮呛苡斜匾?，教師們要根據(jù)中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的水平和現(xiàn)狀，研究出符合本校學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展的實踐活動與教學(xué)設(shè)計。

學(xué)校要根據(jù)目前人才培養(yǎng)和教學(xué)革新的需要，盡力給學(xué)生們提供自主學(xué)習(xí)的環(huán)境。符合學(xué)校實際情況的數(shù)學(xué)建?；顒?，可以幫助高中學(xué)生體驗數(shù)學(xué)思維在解決實際問題中的意義與價值，在日常生活中體驗數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)，感受運用綜合知識解決實際應(yīng)用問題的過程，有利于激發(fā)高中學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，提升他們的動手能力和創(chuàng)新意識。數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展有利于增強學(xué)生的形象思維能力，給他們創(chuàng)造力和團隊協(xié)作力的發(fā)展提供了極好的情境，同時幫助學(xué)生意識到數(shù)學(xué)存在于實際生活中的很多地方，數(shù)學(xué)對解決很多問題都是有用的，要學(xué)好數(shù)學(xué)知識并且學(xué)會用數(shù)學(xué)解決實際問題。