劉仕康，周坤，樊昕宇

（燕山大學(xué)，河北 秦皇島 066000）

0 引言

大學(xué)生方程式賽車最早起源于上世紀(jì)的美國(guó)。中國(guó)大學(xué)生方程式汽車大賽（簡(jiǎn)稱“中國(guó)FSC”）是一項(xiàng)由全國(guó)高校車輛工程或汽車相關(guān)學(xué)科在校學(xué)生組隊(duì)參加的賽車設(shè)計(jì)與制造比賽。2010年第一次舉辦大學(xué)生方程式比賽,參數(shù)隊(duì)伍近20隊(duì)，2022年增加到了近100隊(duì)。大賽車隊(duì)要求在一年時(shí)間內(nèi)制造一輛符合賽事規(guī)則和制造標(biāo)準(zhǔn)小型單座方程式賽車并參加靜態(tài)答辯和動(dòng)態(tài)測(cè)試形式，以總分高低決定勝負(fù)[2]。轉(zhuǎn)向系統(tǒng)關(guān)系到賽車的操縱穩(wěn)定性，對(duì)整車性能起著重要的作用，通過對(duì)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的優(yōu)化，有利于改善轉(zhuǎn)向操縱穩(wěn)定性和輕便性。本研究提出了用Adams/insight模塊和Matlab聯(lián)合仿真的思想，對(duì)轉(zhuǎn)向阿克曼系數(shù)和輪跳時(shí)前束角的變化進(jìn)行優(yōu)化，使實(shí)際阿克曼系數(shù)曲線與理想阿克曼系數(shù)曲線擬合程度越好的同時(shí)，輪跳時(shí)前束角的變化也在可接受的范圍內(nèi)。

1 FSEC轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)模型[3]

斷開式轉(zhuǎn)向梯形分為：梯形、轉(zhuǎn)向器前置，梯形前置、轉(zhuǎn)向器后置，梯形后置、轉(zhuǎn)向器前置，梯形后置、轉(zhuǎn)向器后置4種形式。受限于賽車內(nèi)部狹小空間的布置，為了轉(zhuǎn)向時(shí)防止橫拉桿與制動(dòng)、雙橫臂懸架、輪輞產(chǎn)生干涉。我們采用的是斷開式梯性前置、轉(zhuǎn)向器前置的布置方式，根據(jù)賽車內(nèi)部實(shí)際的轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)，建立實(shí)際的內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角關(guān)系，如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)向梯性整體結(jié)構(gòu)圖

為了清楚地表達(dá)動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)向時(shí)的內(nèi)外輪的轉(zhuǎn)角關(guān)系。繪制當(dāng)車輪向左轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，左右車輪運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖，如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)向輪實(shí)際轉(zhuǎn)角關(guān)系示意圖

車輪左轉(zhuǎn)，外輪轉(zhuǎn)向角度為θo，根據(jù)幾何關(guān)系可知：

其中：M為兩斷開點(diǎn)之間的距離，即橫拉桿兩內(nèi)點(diǎn)之間的距離，mm；N為兩側(cè)車輪主銷延長(zhǎng)線在地面上交點(diǎn)之間的距離，mm；h為前置轉(zhuǎn)向器與前軸之間的距離，該距離用于定位轉(zhuǎn)向器位置，也是所謂的梯性高，mm；L為梯性臂的長(zhǎng)度，mm；λ為梯性底角；A為計(jì)算算子；l2為拉桿長(zhǎng)度，mm；s為齒條行程，mm；θi為內(nèi)輪轉(zhuǎn)角；θir為符合標(biāo)準(zhǔn)阿克曼關(guān)系的內(nèi)輪轉(zhuǎn)角；θo為實(shí)際外輪轉(zhuǎn)角。

從公式中可以看出，由梯性參數(shù)所構(gòu)成的內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角極度非線性，且包含的優(yōu)化變量眾多，使用常用的優(yōu)化函數(shù)無法達(dá)到很好的優(yōu)化結(jié)果，因此考慮利用Adams/insight工具來進(jìn)行優(yōu)化，并用Matlab檢驗(yàn)的方式來實(shí)現(xiàn)聯(lián)合優(yōu)化的效果。

2 Adams多目標(biāo)優(yōu)化

2.1 建立Adams轉(zhuǎn)向懸架模型

初步確定轉(zhuǎn)向幾何后，用Adams/Car建立轉(zhuǎn)向懸架虛擬樣機(jī)模型如圖3所示。進(jìn)行平行輪跳仿真。為后面導(dǎo)入Adams/Insight模塊作準(zhǔn)備。

圖3 懸架轉(zhuǎn)向虛擬樣機(jī)模型

用Matlab編寫程序得到實(shí)際阿克曼系數(shù)（阿克曼系數(shù)就是考慮輪胎側(cè)偏時(shí)的內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角差與不考慮輪胎側(cè)偏時(shí)的內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角差的比值）和加入側(cè)偏角時(shí)阿克曼系數(shù)的差值。阿克曼系數(shù)的意義在于修正側(cè)偏情況下的內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角關(guān)系，如圖4、圖5所示。當(dāng)?shù)玫捷^好的阿克曼系數(shù)狀態(tài)下的輪跳時(shí)束角的變化卻不是很理想，如果對(duì)阿克曼系數(shù)單一變量進(jìn)行優(yōu)化時(shí)得到的懸架轉(zhuǎn)向模型工況輪跳時(shí)前束角的變化就不是很理想。如果只對(duì)前束角進(jìn)行優(yōu)化，不考慮阿克曼系數(shù)的變化，則利用Adams/insight模塊對(duì)前束角優(yōu)化，不斷迭代使前束角變化到最小，此時(shí)阿克曼系數(shù)就會(huì)變的不理想。因此能對(duì)輪跳時(shí)前束角的變化和阿克曼系數(shù)同時(shí)優(yōu)化是最好的選擇。

圖4 優(yōu)化前阿克曼系數(shù)隨內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角變化圖

圖5 優(yōu)化前前束角隨輪胎跳動(dòng)變化圖

2.2 基于Adams/Insight模塊對(duì)阿克曼系數(shù)和前束角進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化

通過Adams/Insight模塊對(duì)轉(zhuǎn)向梯形進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，可以同時(shí)優(yōu)化阿克曼系數(shù)與前束角的變化，避免出現(xiàn)優(yōu)化單一變量而另一個(gè)變量出現(xiàn)變差的情況。

（1）點(diǎn)擊Design objective命令尋找目標(biāo)值，目標(biāo)值選取為“仿真中的最大絕對(duì)值”。

（2）點(diǎn)擊adams/insight命令進(jìn)入adams/insight模塊，找到要優(yōu)化的點(diǎn)，調(diào)節(jié)其想要的運(yùn)動(dòng)范圍并命名。

（3）最后求解，等其運(yùn)算結(jié)束后，顯示其結(jié)果，輸入實(shí)驗(yàn)名稱進(jìn)入結(jié)果頁面。

（4）根據(jù)自己預(yù)想的優(yōu)化結(jié)果賦予兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)合適的比重（對(duì)于特定路況行駛的車輛，例如FSEC，轉(zhuǎn)向工況較多，應(yīng)多考慮阿克曼系數(shù)，因?yàn)槠ヅ涞陌⒖寺D(zhuǎn)向可以使得四輪盡可能地做純滾動(dòng)從而減少輪胎的磨損，如果直線路況較多，應(yīng)多考慮輪跳時(shí)前束角的變化，因?yàn)檩喬鴷r(shí)前束角變化過大會(huì)影響車輛的直行穩(wěn)定性，不足轉(zhuǎn)向和過度轉(zhuǎn)向，權(quán)重的值根據(jù)車輛的目標(biāo)路況來確定，然后得到優(yōu)化后的結(jié)果?？紤]到我們有更多的轉(zhuǎn)向工況，這里選取阿克曼系數(shù)的權(quán)重為0.7、前束角的變化為0.3，如圖6所示。

圖6 優(yōu)化結(jié)果圖

（5）得到優(yōu)化后的硬點(diǎn)坐標(biāo)后，將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的梯性參數(shù)，見表1。由表1可知，梯形底角明顯變小，節(jié)臂長(zhǎng)和梯形高沒有明顯變化，由此得出，轉(zhuǎn)向梯形中梯形底角對(duì)轉(zhuǎn)向性能有較大影響。

表1 梯形參數(shù)

3 Matlab對(duì)優(yōu)化結(jié)果的驗(yàn)證

3.1 標(biāo)準(zhǔn)阿克曼轉(zhuǎn)向關(guān)系[4]

轉(zhuǎn)向不考慮側(cè)偏角的影響，如圖7所示。為了讓賽車轉(zhuǎn)向時(shí)的各個(gè)車輪都只做純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，一方面可以提高賽車在過彎時(shí)的操縱穩(wěn)定性能；另一方面可以減小因滑動(dòng)而帶來的輪胎不均勻的磨損。此時(shí)，轉(zhuǎn)向中心應(yīng)位于賽車后軸線的延長(zhǎng)線上，此時(shí)內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角應(yīng)符合標(biāo)準(zhǔn)阿克曼轉(zhuǎn)角關(guān)系：

式中，θo為外輪轉(zhuǎn)角；θi為內(nèi)輪轉(zhuǎn)角；B為主銷后傾角為0°時(shí)，兩側(cè)車輪主銷與地面交點(diǎn)之間的距離，mm；L為軸距，mm。

由（6）式得，在給定的外輪轉(zhuǎn)角下，內(nèi)輪轉(zhuǎn)角為：

3.2 考慮側(cè)偏角時(shí)的左右輪轉(zhuǎn)角關(guān)系[3]

標(biāo)準(zhǔn)阿克曼轉(zhuǎn)向關(guān)系沒有考慮在實(shí)際工況下由于高速過彎時(shí)存在的側(cè)偏角，這會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)向中心并不位于后軸延長(zhǎng)線，而是距后軸有一距離m，如圖7所示。

圖7 考慮側(cè)偏角時(shí)左右輪轉(zhuǎn)角關(guān)系

為了便于推導(dǎo)，在考慮側(cè)偏角時(shí)轉(zhuǎn)向左右輪關(guān)系式，以轉(zhuǎn)向中心為原點(diǎn)，汽車前進(jìn)方向?yàn)閄軸正方向，垂直X軸指向上方為Y軸正方向，建立坐標(biāo)系。設(shè)轉(zhuǎn)彎半徑為R，轉(zhuǎn)向中心偏離后軸距離為m，軸距為L(zhǎng)，輪距為B，則各點(diǎn)坐標(biāo)如圖7所示。

根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，推出算式：

式中：θi為理想內(nèi)輪轉(zhuǎn)角；θo為理想外輪轉(zhuǎn)角；σf為前軸中點(diǎn)側(cè)偏角；σr為后軸中點(diǎn)側(cè)偏角；C=B/2L。

式（8）即為考慮了側(cè)偏角對(duì)轉(zhuǎn)向輪影響的理想內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角關(guān)系式。如果給出輪胎側(cè)偏角，就能夠根據(jù)下文的式（11）計(jì)算出考慮輪胎側(cè)偏角時(shí)的內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角關(guān)系。

3.3 確定阿克曼系數(shù)

在前文中，通過設(shè)置阿克曼權(quán)重來決定硬點(diǎn)優(yōu)化時(shí)阿克曼對(duì)硬點(diǎn)優(yōu)化時(shí)的影響程度，而為了驗(yàn)證硬點(diǎn)優(yōu)化的合理性，則我們必須通過其他的手段來確定一個(gè)合理的阿克曼系數(shù)。

（1）定義阿克曼校正系數(shù)[4]

其中：θi為實(shí)際內(nèi)輪轉(zhuǎn)角；θo為實(shí)際外輪轉(zhuǎn)角；θit為當(dāng)外輪轉(zhuǎn)角θo為滿足標(biāo)準(zhǔn)阿克曼公式的內(nèi)輪轉(zhuǎn)角。根據(jù)定義可知，當(dāng)K=1時(shí)，即為標(biāo)準(zhǔn)阿克曼轉(zhuǎn)向；當(dāng)K=0時(shí)，實(shí)際內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角相同，為平行轉(zhuǎn)向；當(dāng)K＜0時(shí)，外輪轉(zhuǎn)角角度大于內(nèi)輪轉(zhuǎn)角角度，為反阿克曼情況。阿克曼校正系數(shù)可以很好的描述轉(zhuǎn)向關(guān)系由標(biāo)準(zhǔn)阿克曼關(guān)系向平行轉(zhuǎn)向過度的程度。當(dāng)定義了阿克曼校正系數(shù)之后，目標(biāo)轉(zhuǎn)向關(guān)系的優(yōu)化設(shè)計(jì)其實(shí)就是阿克曼校正系數(shù)的優(yōu)化。

通過阿克曼校正系數(shù)可以定量化地描述轉(zhuǎn)向梯性的關(guān)系特性。因此，我們可以將目標(biāo)轉(zhuǎn)向關(guān)系—即合理的內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角關(guān)系轉(zhuǎn)變成阿克曼校正系數(shù)的優(yōu)化。

（2）建立目標(biāo)轉(zhuǎn)向關(guān)系優(yōu)化函數(shù)[4]

將（9）代入（7）中可得：

根據(jù)（8）可得

合理的目標(biāo)轉(zhuǎn)向關(guān)系，即合理的阿克曼校正系數(shù)應(yīng)該保證θi1與θi2盡可能地接近，兩曲線應(yīng)盡可能吻合。

引入加權(quán)因子ω構(gòu)成目標(biāo)轉(zhuǎn)向關(guān)系優(yōu)化函數(shù)如下

其中：w表示賽車行駛過程中方向盤各角度使用頻率。

方向盤上的轉(zhuǎn)角記錄儀器記錄了耐久賽過程方向盤轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)，通過對(duì)不同角度使用頻率進(jìn)行分析可知，10°以下的轉(zhuǎn)角使用較為頻繁，10°～20°的轉(zhuǎn)角次之，20°以上轉(zhuǎn)角頻率最低，確定加權(quán)因子如下：w=1.5（0＜θo＜10°）

K值的優(yōu)化范圍為0≤K≤1，根據(jù)最小轉(zhuǎn)彎半徑確定θmax=27.627°。

利用Matlab編寫優(yōu)化程序，運(yùn)行得到優(yōu)化結(jié)果如圖8所示。從曲線圖中可以看出，隨著阿克曼校正系數(shù)的增大，誤差也就是理想和實(shí)際的車輪轉(zhuǎn)角差值出現(xiàn)先減小后增大的變化，當(dāng)我們?nèi)≌`差值最小時(shí)，也就是實(shí)際與理論差距最小，就得到了我們想要的阿克曼校正系數(shù)，為45%，此時(shí)實(shí)際與理想最小意味著轉(zhuǎn)彎時(shí)做純滾動(dòng)的能力是在所有阿克曼校正系數(shù)中最強(qiáng)的，這正是我們想要的。

圖8 阿克曼優(yōu)化曲線

在優(yōu)化時(shí)要注意考慮輪胎側(cè)偏角對(duì)轉(zhuǎn)向關(guān)系的影響的基礎(chǔ)上，這里根據(jù)賽事的典型工況——“八”型繞環(huán)的極限工況下的載荷轉(zhuǎn)移來考察所賦予的合適的前后輪側(cè)偏角，最后得到最佳阿克曼校正系數(shù)為45%，并得到目標(biāo)轉(zhuǎn)向關(guān)系為：

3.4 對(duì)優(yōu)化結(jié)果驗(yàn)證

通過前面推出的帶阿克曼校正系數(shù)的目標(biāo)轉(zhuǎn)向關(guān)系和前文提到的實(shí)際機(jī)構(gòu)的內(nèi)外輪轉(zhuǎn)角關(guān)系，當(dāng)兩者的曲線靠的足夠近，或者相對(duì)優(yōu)化前有了較大的提升，就說明了優(yōu)化的正確性。優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如圖9、圖10所示。

圖9 優(yōu)化前后轉(zhuǎn)角差對(duì)比

圖10 優(yōu)化前后前束角隨輪胎跳動(dòng)變化圖

結(jié)果表明，輪跳時(shí)前束角的變化明顯減少，使輪跳時(shí)前束角的變化由1.5°降低為0.25°，降低了83%，最大轉(zhuǎn)角差值由1.291°減小為0.7548°，降低了41.53%。優(yōu)化效果顯著，證明了本方法的有效性。

4 結(jié)語

以中國(guó)大學(xué)生方程式為背景，提出了一種基于Adams/car insight模塊以輪跳時(shí)前束角的變化以及阿克曼系數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)節(jié)臂點(diǎn)和斷開點(diǎn)的優(yōu)化方法。詳細(xì)分析了轉(zhuǎn)向硬點(diǎn)的優(yōu)化步驟，文中提及的優(yōu)化方法相對(duì)于一般的優(yōu)化方法更具簡(jiǎn)便性和實(shí)用性，大大減少了設(shè)計(jì)周期，對(duì)FSEC轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的優(yōu)化具有一定的參考作用。