□周芳 陳芳

人教版教材六年級上冊“比”這一個單元與“除法”“分?jǐn)?shù)”有著十分密切的聯(lián)系。但是，比有其自己的特征，比的本質(zhì)是比較，是兩個量之間的一種“倍比”關(guān)系。人們也可以通過“連比”整體表示三個量甚至更多量之間的兩兩“倍比”關(guān)系，這是除法與分?jǐn)?shù)含義中所沒有的。因此，如何從量與量的比較視角認(rèn)識“比”？如何從“比”與“比”的比較中發(fā)現(xiàn)比的基本性質(zhì)？怎樣更好地體現(xiàn)“比的應(yīng)用”過程中舊題新解的價值？帶著這樣的思考，我們進行本單元的整體設(shè)計與實踐研究。

一、梳理——理清教材的編寫思路

人教版教材六年級上冊“比”單元安排了比的意義、比的基本性質(zhì)與比的應(yīng)用這樣三個板塊內(nèi)容。這三個板塊的學(xué)習(xí)均以相關(guān)的舊知為基礎(chǔ)，即從除法解決問題中的數(shù)量關(guān)系認(rèn)識比，從商不變的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類推出比的基本性質(zhì)，利用“平均分”“分?jǐn)?shù)乘法”的數(shù)量關(guān)系解決比的應(yīng)用。

（一）豐富關(guān)系表達，引出比的意義

在用除法解決問題時，會形成多種數(shù)量關(guān)系，主要可以分為兩類。一類是兩個同類量比較后的數(shù)量關(guān)系，如長方形的長與寬進行比較，“長÷寬=長是寬的幾倍”和“寬÷長=寬是長的幾分之幾”。另外一類是有聯(lián)系的兩個不同類量之間的比較，如行程問題中“路程÷時間=速度”和“路程÷速度=時間”。學(xué)生在解決問題時，往往是通過這樣的關(guān)系式列出算式，求出結(jié)果?！氨取眲t是“不求出結(jié)果”，直接表示兩個量之間的關(guān)系。教材用“有時我們也把這兩個數(shù)量之間的關(guān)系說成……”，把除法表示的數(shù)量關(guān)系用比重新表示。并且，為了使除法與比的關(guān)系更加明顯，用“15÷10”表示“長是寬的幾倍”；用“10÷15”表示“寬是長的幾分之幾”；“速度”則直接用“路程÷時間”表示。最后結(jié)合具體例子，直接抽象出比的意義：兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除。

（二）構(gòu)建新舊聯(lián)系，推導(dǎo)比的基本性質(zhì)

教師可以把學(xué)習(xí)比的基本性質(zhì)與應(yīng)用比的基本性質(zhì)分成兩個層次，即首先通過與商不變性質(zhì)的比較推導(dǎo)出比的基本性質(zhì)，再結(jié)合具體情境，在解決實際問題的過程中學(xué)習(xí)比的化簡。

很顯然，“比的基本性質(zhì)”與“商不變的性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”有著密切的聯(lián)系。教材緊緊圍繞這種聯(lián)系，通過在比的意義學(xué)習(xí)之后的“做一做”的第3題提出問題：“你還記得商不變的規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？”讓學(xué)生帶著問題進行回憶，接著再依據(jù)除法與比的關(guān)系，通過具體例子，概括出比的基本性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，教材直接指出：“用比的基本性質(zhì)，可以把比化成最簡單的整數(shù)比?！苯處熞髮W(xué)生分別化簡上一節(jié)課中的聯(lián)合國旗幟與另外一面更大的聯(lián)合國旗幟的長與寬的比，總結(jié)整數(shù)比的化簡方法，結(jié)合具體例子，進一步總結(jié)分?jǐn)?shù)或小數(shù)比的化簡方法。

（三）解決實際問題，學(xué)習(xí)比的應(yīng)用

這里指的“比的應(yīng)用”可以稱為“按比分配解決問題”，這一類問題與“和倍問題”的實質(zhì)是相同的。在這里要依據(jù)比的含義或轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法的數(shù)量關(guān)系解決問題。教材將“比的應(yīng)用”分成三個層次。第一個層次如例2，已知兩個量的比與總量，求這兩個量，這是比的應(yīng)用的基本形式。第二個層次是如練習(xí)十二的第2題，學(xué)生需要自己依據(jù)信息提煉出比，再把總量按比分配。第三個層次則是連比解決問題，如練習(xí)十二第4題和第10題這樣兩類，分別對應(yīng)于已知連比與需要創(chuàng)造連比后，再按比分配解決問題。

在分析其數(shù)量關(guān)系時，我們發(fā)現(xiàn)，“按比分配解決問題”也是一類“平均分”的問題，并且可以使原來的平均分更加公平合理。如練習(xí)十二第4題，如果按照班級平均分，人數(shù)多與少的班級分到的任務(wù)相同，而按人數(shù)分配，人數(shù)少的班級就可以承擔(dān)較少任務(wù)。

通過梳理可以發(fā)現(xiàn)，“比”雖然是一個只有三節(jié)新授課的小單元，但是卻包含了概念學(xué)習(xí)、規(guī)律探究與解決問題三種課型，它們既相互獨立，又有著密切聯(lián)系。在形成“比的意義”的過程中，滲透著“比的基本性質(zhì)”；“比的應(yīng)用”則是對“比的意義”的再認(rèn)識。

二、反思——發(fā)現(xiàn)可以改進之處

通過梳理可以發(fā)現(xiàn)，教材十分重視從除法的視角學(xué)習(xí)比。但是，從比的認(rèn)識背景、比的基本性質(zhì)的揭示、比的應(yīng)用中的舊知新解等方面均可以做進一步改進。

（一）拓展數(shù)學(xué)背景，揭示比的本質(zhì)

“比”既是數(shù)學(xué)術(shù)語，也是日常用語。從日常用語的視角，“比”即“比較”，與除法有聯(lián)系，還與“減法”有關(guān)系。在之前的學(xué)習(xí)中，兩個同類量進行比較，除了表示除法關(guān)系的“幾倍”與“幾分之幾”之外，還有表示相差關(guān)系的“多幾”與“少幾”。

因此，教師在出示同類量的長與寬時，可以讓學(xué)生比較長與寬，自己提出問題，再對提出的問題進行分類，從而讓學(xué)生在減法表示的差比和除法表示的倍比的辨析中，認(rèn)識本單元的“比”是除法的新表達，由此更加扎實地構(gòu)建比的意義。

（二）結(jié)合解決問題，發(fā)現(xiàn)比的性質(zhì)

從“商不變的性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”中通過類比與遷移，引出“比的基本性質(zhì)”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)間的內(nèi)在聯(lián)系。同時，學(xué)生也可以在解釋或解決現(xiàn)實問題時發(fā)現(xiàn)“比的基本性質(zhì)”，從而更好地培養(yǎng)應(yīng)用意識。

“比的基本性質(zhì)”與“歸一問題（正比例關(guān)系）”有著相通之處。創(chuàng)設(shè)問題情境，通過觀察比值相等的若干個比之間的聯(lián)系概括出比的基本性質(zhì)，既復(fù)習(xí)了比的意義，也可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感與推理意識。如直接出示兩面聯(lián)合國旗幟的長與寬的信息，請學(xué)生進行比較，說一說這兩面聯(lián)合國旗幟的長與寬的比有什么聯(lián)系，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)比值相等的兩個比前項與后項的變化規(guī)律。

（三）回溯“和倍”問題，凸顯比的應(yīng)用

“比的應(yīng)用”采用轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)習(xí)的“平均分”或“分?jǐn)?shù)乘法”解決問題。同時，還可以進一步思考，回溯已經(jīng)學(xué)習(xí)的解決問題，是否有哪一些數(shù)量關(guān)系可以轉(zhuǎn)化成“比的應(yīng)用”加以解決？人教版教材五年級上冊“簡易方程”中用方程解決問題例4（和倍問題）和六年級上冊分?jǐn)?shù)除法解決問題例6（和率問題），均可以把其中的關(guān)鍵句轉(zhuǎn)化成兩個量的比，從而構(gòu)建起“倍”“分率”與“比”之間的聯(lián)系。

三、重構(gòu)——讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程

結(jié)合三節(jié)課的改進之處，如何在具體教學(xué)中得以落實？我們需要提供學(xué)習(xí)材料，創(chuàng)設(shè)問題情境，圍繞改進之處，重構(gòu)其中的教學(xué)片段。

（一）豐富比的素材，深化比的意義

同類量的比，從學(xué)生自主提出問題入手。教師通過談話引出圖1的信息，請學(xué)生比較聯(lián)合國旗幟的長與寬，說一說長與寬有怎樣的關(guān)系。學(xué)生提出如下四個問題：（1）長比寬多多少厘米？（2）寬比長少多少厘米？（3）長是寬的多少倍？（4）寬是長的幾分之幾？接著請學(xué)生口頭列出算式不計算，再請學(xué)生依據(jù)算式，把上面的四個問題分成兩類，并說一說分類的理由。學(xué)生指出第（1）（2）個問題是相差關(guān)系，第（3）（4）個問題是相除關(guān)系。教師進一步引導(dǎo)學(xué)生比較第（3）（4）個問題，說一說它們有什么區(qū)別。學(xué)生指出第（3）個問題是“長比寬”，第（4）個問題則是“寬比長”。依據(jù)學(xué)生的回答，教師用比號表示出關(guān)系。

圖1

雖然說“比”與“除法”有著密切的聯(lián)系，但是，在同類量的比中的“連比”卻不能直接轉(zhuǎn)化成除法。事實上，“連比”是由有聯(lián)系的兩個及以上的“比”組合而成的。教師在練習(xí)時，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷連比的形成過程。教師先出示圖2的長方體，請學(xué)生找一找，依據(jù)長、寬和高的信息，你能組成哪一些比？學(xué)生組成如“長∶寬=10∶5”“寬∶高=5∶20”等不同的比。教師進一步請學(xué)生寫出“長∶寬∶高”的比，再與前面兩個數(shù)的比進行比較，有什么聯(lián)系與區(qū)別，體會“比”與“連比”的關(guān)系。

圖2

（二）比較比的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)變與不變

課始，教師出示圖3，指出上一節(jié)課中依據(jù)左邊的聯(lián)合國旗幟的長與寬，認(rèn)識了比，現(xiàn)在又有一面更大的聯(lián)合國旗幟。請學(xué)生分別寫出兩面聯(lián)合國旗幟長與寬的比，再說一說兩個比有什么聯(lián)系。

圖3

學(xué)生依據(jù)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，分別求出它們的比值。發(fā)現(xiàn)它們的比值相等后，教師把它們用等號連接，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)尋找聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)從一個比出發(fā)，前項與后項同時乘或除以12，就成了另外一個比。教師提出新要求，請學(xué)生從“15∶10”出發(fā)，思考還可以通過同乘或除以幾，轉(zhuǎn)化成與它比值相同的比嗎？學(xué)生獨立完成后交流，在交流比較中概括出“比的基本性質(zhì)”和“最簡整數(shù)比”。

（三）回顧舊有問題，體會數(shù)學(xué)聯(lián)系

人教版教材“比的應(yīng)用”中兩種解決問題的思路，是通過對題目中比的信息進行重新理解，將其轉(zhuǎn)化成與“平均分”或“分?jǐn)?shù)乘法”一致的數(shù)量關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，還可以把原有的用方程解決問題中的“和倍（和率）問題”進行重新思考，把“分率”與“倍”轉(zhuǎn)化成“比”后再解決問題。

結(jié)合例2學(xué)習(xí)了“比的應(yīng)用”的兩種解題思路后，教師出示分?jǐn)?shù)除法解決問題的例6：我們班全場得了42分，下半場得分只有上半場的一半，下半場和上半場各得多少分？展示教材中的兩種用方程解決問題的方法。教師提問，這兩種解決問題的方法分別把關(guān)鍵句“下半場得分只有上半場的一半”進行了怎樣的改寫？學(xué)生回答分別改寫成“下半場得分是上半場的”和“上半場得分是下半場的2倍”。教師進一步追問：“如果把這一個問題用‘比的應(yīng)用’解答，關(guān)鍵句又可以怎樣改寫呢？”學(xué)生思考后指出可以改寫成“下半場得分與上半場得分的比是1∶2”或“上半場得分與下半場得分的比是2∶1”，接著用教材例2中比的應(yīng)用中的兩種方法進行解答。解答后發(fā)現(xiàn)，雖然改寫的兩個比不同，但是解答的過程卻是一樣的。最后讓學(xué)生體會““2倍”分別與“1∶2”“2∶1”的聯(lián)系與區(qū)別，體用“比”與“分率”“倍”之間的內(nèi)在聯(lián)系。

數(shù)學(xué)是一門研究關(guān)系與規(guī)律的科學(xué)。本單元學(xué)習(xí)的“比”與“除法”和“分?jǐn)?shù)”有著密切的聯(lián)系。但是，除法是一種運算，分?jǐn)?shù)是一類數(shù)，而比是一種關(guān)系。因此，要讓比與除法、分?jǐn)?shù)相聯(lián)系，就是要結(jié)合具體情境，凸顯除法中的數(shù)量關(guān)系和分?jǐn)?shù)中比的含義。