李元敏

（西南林業(yè)大學 數(shù)理學院，昆明 650224）

數(shù)學在當今高技術(shù)時代發(fā)揮了日益關(guān)鍵的作用?！?1 世紀高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學技術(shù)”已經(jīng)成為社會的共識。高等學校的數(shù)學教育有必要順應這一變化趨勢，及時調(diào)整教學方法和教學模式，更好地提升人才培養(yǎng)效果。

通常數(shù)學類課程的教學模式主要有兩種：一是按照數(shù)學學科自身的分科體系，按分類課程、系統(tǒng)化教學；二是以應用問題為導向，組織教學內(nèi)容。目前在國內(nèi)一般高等院校，數(shù)學公共課的定位是為學生的專業(yè)課程提供相應的數(shù)學理論基礎和工具，使用的仍然是系統(tǒng)化的傳統(tǒng)教學模式。如何與時俱進地改進教學方法和教學模式已經(jīng)成為數(shù)學公共課教改的焦點問題。同時應該針對經(jīng)管類的學生特點，設計出專門的數(shù)學課教學模式，以更好地適應新時代下的人才培養(yǎng)。近年來已經(jīng)有一些學者進行了研究和探索。通過近年來的教學實踐，發(fā)現(xiàn)對于經(jīng)管類學生，數(shù)學建模案例教學是激發(fā)學生學習積極性，提高數(shù)學公共課教學質(zhì)量、培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的有效教學模式。

我們理解的數(shù)學建模案例教學并不是傳統(tǒng)系統(tǒng)化教學模式中的背景引例、舉例分析，而是一種貫穿于整個教學過程中的具有實踐性、開放性的教學模式；是一種解決用實際問題來驅(qū)動理論知識的傳授的教學模式。本文基于近年來我們的教學實踐，對這一教學方法進行總結(jié)和討論。

一、經(jīng)管類專業(yè)數(shù)學建模案例教學改革的認識

目前，國內(nèi)大部分高校的數(shù)學公共課教學，仍然是以課堂理論教學模式為主。系統(tǒng)化教學模式主要是從數(shù)學的自身邏輯去構(gòu)建教學體系，和目前學生的實際狀況存在一定的脫節(jié)現(xiàn)象。同時這種教學模式客觀上增加了學生學習的難度。最終造成的局面是：學生似乎知道數(shù)學很重要，但陷于基礎抽象的理論學習，普遍對數(shù)學的實用性缺乏認識，不能領(lǐng)悟所學知識的價值，以至于學習缺乏目標和動力。

實際上，我們培養(yǎng)的經(jīng)管類學生絕大部分是應用型人才，因此應該與時俱進的轉(zhuǎn)變教學觀念。傳授多少數(shù)學知識給學生并不重要，重要的是讓學生能掌握解決問題的數(shù)學手段。進一步的，更重要的是在傳授學生數(shù)學理論和方法的同時，讓學生提高數(shù)學素養(yǎng)。使得學生能夠利用數(shù)學的思維方式去解決專業(yè)領(lǐng)域遇到的實際問題。我們認為，提高數(shù)學類課程教學質(zhì)量的關(guān)鍵在于激發(fā)學生的學習興趣。教學改革應該首先通過教學模式的調(diào)整，讓學生感受到“好的數(shù)學理論是最實用的。”通過具體問題的解決，展現(xiàn)數(shù)學方法的強大威力，從而激發(fā)學生的學習興趣。

經(jīng)管類專業(yè)的數(shù)學課程和實際問題結(jié)合的教學改革研究，國內(nèi)已有很多學者進行了探討。本質(zhì)上都是在講授基礎數(shù)學理論的同時，加入涉及經(jīng)濟、金融和管理的例子。這些教學改革最主要的問題是由于學時有限，教師教學只能重點放在理論教學；即使出現(xiàn)涉及經(jīng)濟類的例子也是作為理論知識的直接應用，不能深入討論，對于激發(fā)學生的學習興趣作用有限。

另一方面，隨著近年來全國大學生數(shù)學建模競賽的開展，數(shù)學建模對數(shù)學教學改革起到了積極和重要的作用。在建模教學和實踐中發(fā)展出來的數(shù)學建模案例教學方法，也受到了廣泛的重視和研究。數(shù)學建模案例教學是指以解決實際問題作為教學內(nèi)容，通過對問題的分析、簡化、建模、求解和討論等，向?qū)W生展示數(shù)學在解決實際問題中的作用，從而讓學生逐步掌握數(shù)學理論、方法和思想。

從對數(shù)學建模競賽指導的過往經(jīng)驗上看，理工科學生往往比較適應數(shù)學建模的。而經(jīng)管類學生，對數(shù)學方法和工具的使用，普遍要弱一些，主要的原因可能是：理工科專業(yè)的很多課程本身就滲透著利用數(shù)學建模解決問題的思想和實例，學生對這套方法有一定的訓練。而經(jīng)管類學生大多從記憶的角度來理解專業(yè)課程，不太適應數(shù)學工具在專業(yè)課程中的應用。

實際上，正是由于大量采用了數(shù)學工具和方法，更為邏輯一致地揭示出復雜現(xiàn)象背后的深刻規(guī)律，使得經(jīng)管類學科在現(xiàn)代取得了巨大的發(fā)展。經(jīng)管類學生應該順應學科發(fā)展的趨勢，熟練掌握數(shù)學工具和思維方法，善于利用數(shù)學工具，增強自身解決實際問題的能力。所以我們認為以經(jīng)管類學生為對象，開展數(shù)學建模案例教學是符合時代發(fā)展需求的。

對經(jīng)管類學生的數(shù)學建模案例教學，一些學者已經(jīng)有了一些初步的探討和研究。我們的目標是在這些研究的基礎上，在實踐中循序漸進地進行教學改革，最終實現(xiàn)以解決應用問題為導向，重構(gòu)目前經(jīng)管類專業(yè)數(shù)學課程的教學內(nèi)容和教學模式。

二、數(shù)學建模案例教學的具體實踐

基于上面對數(shù)學建模案例教學重要性和必要性的認識，并考慮到教學改革應該以慎重的態(tài)度，在最近幾年的教學實踐過程中，我們進行了以下幾個方面的工作。

（一）課堂教學框架的調(diào)整

對傳統(tǒng)的理論教學進行了調(diào)整，在課堂教學的組織上，由教師根據(jù)授課專業(yè)的特點，準備恰當?shù)陌咐?，以案例教學貫穿整個課堂教學流程（見后面實例說明）。在課后開放式練習中，利用具體實際問題，讓學生深入探討式學習。充分利用現(xiàn)代信息和計算技術(shù)的發(fā)展，淡化機械式的運算練習，強調(diào)數(shù)學方法的理解和在問題中的運用，也是根據(jù)各個不同專業(yè)的差異，設計與安排學生課后習題和案例的解決。最后，在課程考核中增加權(quán)重比較大的解決實際問題的開放性試題。

在整個教學過程中，我們特別強調(diào)學生的互動和參與，淡化一些數(shù)學理論推導，并且不追求數(shù)學理論的嚴謹性，著重強調(diào)培養(yǎng)學生的數(shù)學直觀和直覺。

（二）經(jīng)管類學生數(shù)學建模競賽專門培訓課程

對經(jīng)管類學生開設專門的數(shù)學建模案例課程（公共選修課），課程內(nèi)容進行專門的針對性設計，由培訓老師在經(jīng)管類學科中收集、整理和加工相關(guān)合適的問題。然后通過帶領(lǐng)學生：對問題進行分析和討論；抓住主要因素、做出合理假設；選擇合適的數(shù)學方法，建立模型；綜合利用計算機和數(shù)學求解模型問題；分析、討論和驗證結(jié)果；撰寫報告等各個環(huán)節(jié)。

在內(nèi)容的選擇上，考慮到經(jīng)管類問題大多是以收集到的數(shù)據(jù)為研究起點和對象，我們強調(diào)統(tǒng)計學和數(shù)據(jù)科學的相關(guān)方法。在建模方面，針對不同問題的領(lǐng)域特點，對不同專業(yè)的學生有所側(cè)重，例如，對于管理類學生，著重于管理決策分析中的數(shù)學建模方法，強調(diào)運籌學、數(shù)學規(guī)劃等方法的引入；對于經(jīng)濟類學生，側(cè)重于抓住經(jīng)濟現(xiàn)象中的主要因素，建立合理簡化的數(shù)學模型，強調(diào)優(yōu)化方法和算法的介紹。

（三）重視實際應用，跨學科的聯(lián)合培養(yǎng)人才

目前的數(shù)學基礎課課程體系設計是相對封閉和獨立的。案例教學是以實際問題為驅(qū)動的教學模式，在本質(zhì)上就要求跨學科的課程建設和人才培養(yǎng)，這就要求數(shù)學公共課教師了解經(jīng)管類學科的發(fā)展前沿，同其他專業(yè)的教師聯(lián)合，跨學科的聯(lián)合培養(yǎng)人才。

最近幾年，我們在實踐的過程中，找到了一個切入點：通過數(shù)學公共課程老師直接參與經(jīng)管類學生的畢業(yè)論文指導（設計）。由于在這些學生的畢業(yè)論文大量的使用了數(shù)學和統(tǒng)計學的方法，畢業(yè)論文的質(zhì)量在一定程度上得到大幅的提高。

同時通過這種深度的參與和合作，也使數(shù)學老師更加深刻地了解到數(shù)學在其他專業(yè)和學科中的應用，給本身數(shù)學公共課的相關(guān)教學內(nèi)容的處理也帶來極大的裨益。

三、數(shù)學建模案例教學實例——企業(yè)價值的評估

數(shù)學建模案例教學需要授課教師細致的教學設計，這就要求教師深入到學生的專業(yè)領(lǐng)域，提煉具體問題的數(shù)學理論的背景、尋找恰當?shù)陌咐?。將具體的案例問題引入到數(shù)學課教學中，在教學中展現(xiàn)給學生如何綜合的利用數(shù)學方法解決問題。

例如，在介紹無窮級數(shù)理論時，對于財務會計、金融類的學生，我們使用的是企業(yè)價值的評估問題作為案例教學問題。如下，我們介紹一下這一案例教學的具體流程。

第一步，案例的引入和講解。在對會計、財務類專業(yè)學生講解無窮級數(shù)內(nèi)容時，我們選擇的案例是企業(yè)的估值問題。通過財務數(shù)據(jù)對企業(yè)估值，經(jīng)常使用的定量化方法是股利貼現(xiàn)模型和自由現(xiàn)金流量貼現(xiàn)模型。這兩個模型都涉及到無窮級數(shù)的求和。我們利用這個案例進行無窮級數(shù)部分的教學。

理解這個模型的數(shù)學理論后，學生自然就知道，在這個模型中r≤g 是不可能出現(xiàn)的，因為此時級數(shù)不收斂。經(jīng)濟上的含義是，如果企業(yè)增長率大于貼現(xiàn)率，且能永續(xù)增長，那么其估值是無限的。

在介紹完這個案例后，學生對于無窮級數(shù)的問題背景和數(shù)學處理方法有了一定程度的了解，但對其中的數(shù)學理論還缺乏系統(tǒng)的學習。

第二步，數(shù)學相關(guān)理論的精簡學習。在這一步我們通常利用教師事先錄制好的教學視頻給學生觀看，視頻是教師對知識進行事先整體的梳理，使理論知識脈絡、簡潔和清晰，時間控制在十五分鐘左右，可以結(jié)合翻轉(zhuǎn)課堂的模式，由教師事先將視頻通過網(wǎng)絡分發(fā)給學生，學生可以課前觀看、課后復習總結(jié)。

第三步，數(shù)學理論在案例中應用的深入討論。在這一過程中，教師深入講解利用數(shù)學方法解決企業(yè)估值的關(guān)鍵點，讓學生充分體會到數(shù)學概念提出的合理性，數(shù)學理論的深刻性。

同時通過深入討論，學生就會逐漸發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有模型的優(yōu)點和缺陷，促發(fā)學生去質(zhì)疑、改良現(xiàn)有模型，從而客觀上培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識。

第四步，課后的開放性設計。案例教學的最終目的是讓學生通過案例去學會如何利用數(shù)學工具解決問題。通過課堂上的三個教學過程，學生已經(jīng)了解建立模型解決問題的流程，課后要引導學生拓展案例中的模型。如自由現(xiàn)金流量模型中存在的一些不合實際的簡化假設：有永續(xù)存在且增長的企業(yè)嗎？如果考慮清算并購呢？永續(xù)增長率g、貼現(xiàn)率r 這樣的時間序列如何估計？如何估計自由現(xiàn)金流？可以利用上述這些問題給學生做課后的開放性設計，提出更加深入的模型。

通過近幾年的教學實踐，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學建模案例教學突破了傳統(tǒng)系統(tǒng)化教學的弊端，是一種真正教會學生思考的教學方式，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新性思維的捷徑。

四、深化數(shù)學建模案例教學改革的構(gòu)想

教學改革是一個不斷深化和逐漸完善的過程，通過近幾年的實踐和認識，我們對深化數(shù)學建模案例教學改革有如下的一些構(gòu)想。

（一）繼續(xù)深化跨學科的聯(lián)合培養(yǎng)人才

案例教學在本質(zhì)上就是一個開放的教學模式，有利于跨學科的人才培養(yǎng)，在今后的實踐上主要有兩方面構(gòu)想和方案。

第一，繼續(xù)深化數(shù)學公共課程老師參與經(jīng)管類學生的畢業(yè)論文指導（設計），讓數(shù)學老師深入到經(jīng)管類專業(yè)學生的人才培養(yǎng)中，甚至參與經(jīng)管類專業(yè)的研究生培養(yǎng)過程（參加研究生討論班、聯(lián)合指導研究生畢業(yè)論文）。

第二，開設數(shù)學建模案例教學的公共課程。以目前在數(shù)學建模競賽培訓班課程上的案例教學實踐為基礎，通過和經(jīng)管專業(yè)老師的合作，進一步加工經(jīng)管類學科中的數(shù)學模型問題，將這一課程體系納入到目前公共課教學體系和人才培養(yǎng)計劃中。

（二）教學資源整合，建立跨學科的共享平臺

實際上各個高校自身內(nèi)部，各個專業(yè)都存在大量利用數(shù)學建模方法解決問題的案例，要重視對這些案例的收集、加工和整理，不僅可以促使跨專業(yè)的教學和科研教融合，而且讓我們的數(shù)學公共課教學及時調(diào)整教學內(nèi)容和教學目標，更好地培養(yǎng)人才。

為此可以在學校層面建立的數(shù)學模型案例和數(shù)據(jù)共享平臺，來保證和深化這種人才的跨學科人才培養(yǎng)模式，并促進跨學科科研融合。

（三）順應數(shù)據(jù)科學發(fā)展趨勢，重構(gòu)人才培養(yǎng)模式

隨著數(shù)據(jù)科學的興起，案例教學也應該順應這一趨勢。經(jīng)管類專業(yè)的大量實際問題是以收集到的數(shù)據(jù)為研究基礎，應該強調(diào)數(shù)據(jù)科學的方法。從實踐上看，針對經(jīng)濟和管理學科的一些具體問題，運用數(shù)據(jù)科學中的一些“黑箱”方法更為有效，而這些方法相較于傳統(tǒng)數(shù)學理論，學生也容易理解和掌握。

在教材和課程體系的構(gòu)建上，對經(jīng)管類學生應該加強概率統(tǒng)計、統(tǒng)計機器學習、模式識別和數(shù)據(jù)挖掘等課程的建設。在這些課程中，以實際的數(shù)據(jù)為研究對象，介紹相應的解決手段和方法，并且在成熟的時候，重構(gòu)目前的高校數(shù)學公共課的課程和教學體系。

五、結(jié)束語

對于經(jīng)管類學生，提高數(shù)學類課程教學質(zhì)量的關(guān)鍵在于激發(fā)學生的學習興趣，以案例為導向來組織教學內(nèi)容，進行數(shù)學建模案例教學是有效的方法。在教學改革的實踐中，應該循序漸進地改變目前的教學方式和模式，最終實現(xiàn)以解決應用問題為導向，重構(gòu)目前經(jīng)管類專業(yè)數(shù)學課程的教學和課程體系。