師 瑋，張金柱，王 濤，李子良，張彥杰，熊曉燕

(太原理工大學a.機械與運載工程學院；b.先進金屬復合材料成形技術(shù)與裝備教育部工程研究中心；c.先進成形與智能裝備研究院，太原 030024)

0 引言

隨著“中國制造2025”國家實施制造強國戰(zhàn)略行動綱領的提出，工業(yè)機器人被廣泛地應用于工業(yè)生產(chǎn)的各個方面，成為我國裝備智能制造推進的重點領域。在實現(xiàn)智能化制造生產(chǎn)過程中，機械臂的運用越來越普遍，為了滿足高效率生產(chǎn)的需求，對機械臂運動軌跡的設計顯得至關重要。

對機械臂的運動軌跡規(guī)劃主要有基于時間最優(yōu)、基于能量最優(yōu)和基于混合最優(yōu)等3類[1-3]，其中基于時間最優(yōu)是最常用也是符合生產(chǎn)過程中的基本要求。為了滿足智能化生產(chǎn)制造需求，國內(nèi)外學者對機械臂的軌跡規(guī)劃進行了深入的研究。柘龍炫等[4]基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡并借助MATLAB中的神經(jīng)網(wǎng)絡工具箱對6自由度機械臂進行了軌跡優(yōu)化，實驗結(jié)果降低了趨近誤差，表明了軌跡優(yōu)化的合理性。周晟等[5]針對軌跡運行時間規(guī)劃問題，提出了一種引入自適應動態(tài)旋轉(zhuǎn)角步長調(diào)整機制和多算子協(xié)同變異機制的改進型量子遺傳算法，通過實驗研究驗證了算法的有效性。郝晗等[6]提出一種基于改進型遺傳算法的6自由度機械臂軌跡優(yōu)化算法并采用三階B樣條多項式軌跡插值規(guī)劃運動軌跡，通過仿真實驗驗證該算法的合理性。朱萌等[7]基于R0S仿真平臺進行了機械臂運動規(guī)劃研究，采用RRT和RRTConnect路徑規(guī)劃算法完成路徑規(guī)劃，表明了RRTConnect算法的優(yōu)越性。趙華東等[8]針對空間6自由度機械臂路徑規(guī)劃問題，提出了一種基于改進蟻群算法大路徑規(guī)劃方法并設計了碰撞檢測算法，通過實驗驗證了該方法的有效性和可行性。張海濤[9]將BP和RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡應用于機械臂軌跡規(guī)劃的逆運動學求解中，通過仿真分析取得了較好的效果。

針對6自由度機械臂在運行中的軌跡規(guī)劃問題，選取使機械臂能夠在最短時間內(nèi)完成既定運動過程并保證運動軌跡能以光滑平順的方式到達目標點作為目標函數(shù)，提出并設計了一種改進型的粒子群算法(improved particle swarm optimization,IPSO)規(guī)劃6自由度機械臂的運動軌跡并進行優(yōu)化，經(jīng)過實驗驗證該算法能夠有效地減少軌跡運行時間，提高機械臂的實際生產(chǎn)效率，并且保證運動軌跡的平滑性和穩(wěn)定性。

1 機械臂的運動學分析

1.1 機械臂運動學模型

本文以KUKA KR系列機器人為研究對象，其由底座、轉(zhuǎn)柱、連桿臂、小臂、腕部等部件組成，如圖1所示為實驗室現(xiàn)有KUKA KR300 R2500 6自由度串聯(lián)關節(jié)式機械臂。

根據(jù)D-H模型參數(shù)法建立機械臂的各連桿坐標系，如圖2所示。該機械臂均為轉(zhuǎn)動關節(jié)，末端連接執(zhí)行機構(gòu)。由于無論連接底座與轉(zhuǎn)柱之間的轉(zhuǎn)動關節(jié)0如何旋轉(zhuǎn)，其長度對整個機械臂的運動均無任何影響，因此令基準坐標系0與坐標系1重合共軸。其余各關節(jié)坐標軸方向按照右手定則依次分別確定[10]。

圖1 KUKA KR300 R2500機械臂 圖2 機械臂坐標系示意圖

當工業(yè)機器人機械臂坐標系建立好之后，按照給定的機機械臂各連桿參數(shù)就可以進行相應的運動學分析計算。各連桿D-H模型參數(shù)及相關變量變化范圍如表1所示。

表1 KUKA KR300機械臂基本參數(shù)

表中，ai-1為連接連桿i-1的相鄰兩關節(jié)軸線的公垂線，即連桿的長度；αi-1為相鄰的兩個關節(jié)之間的夾角，即連桿角；di為ai-1與軸線i的交點到ai與該軸交點的距離，即連桿偏距；θi為ai-1與ai的延長線間的夾角，即相鄰兩關節(jié)之間的角位移。

1.2 機械臂運動學求解

(1)

(2)

變換矩陣的一般表達式為：

(3)

令，si=sinθi；ci=cosθi；sαi=sinαi；cαi=cosαi。

根據(jù)坐標變換理論，利用所給參數(shù)及連桿變換表達式可得相鄰連桿之間的變換矩陣，分別如下：

(4)

2 機械臂運動軌跡規(guī)劃

當前階段，對機械臂運動軌跡規(guī)劃設計主要有2種方法：①在關節(jié)空間中運用多項式函數(shù)插值規(guī)劃軌跡；②在笛卡爾空間中運用直線(或圓弧)插值結(jié)合姿態(tài)插值規(guī)劃軌跡。多項式插值算法作為數(shù)值分析的重要方法之一，常被用來對機械臂進行運動軌跡規(guī)劃。

2.1 多項式插值的構(gòu)造

為了減少機械臂在運動過程中加速度過大對機械臂的磨損，同時避免多項式階次過低所求得的加速度為常數(shù)的問題，保證其運動過程的平順性、穩(wěn)定性，根據(jù)實際工況需要，將機械臂的工作區(qū)間分為3段，采用3-5-3多項式插值(即：第1、第3段采用三次多項式，第2段采用五次多項式)對機械臂進行軌跡規(guī)劃設計。實際工作路徑可表示為1→2→3→4的三段式，機械臂的起始位置1和終止位置4的速度和加速度均為0，第一段的1→2采用三次插值多項式，第二段的2→3采用五次插值多項式，第三段的3→4采用三次插值多項式。

第i關節(jié)3-5-3樣條多項式的公式如下：

(5)

用ti(i=1,2,3)表示第i關節(jié)的3段插值多項式的時間，多項式的系數(shù)aj1i，aj2i，aj3i(j=1,2,…,6)必須滿足以下約束條件，即可由上式得到角位移、角速度和角加速度的函數(shù)表達式，即：

當0≤t≤t1時，表示為：

(6)

當t1≤t≤t1+t2時，表示為：

(7)

當t1+t2≤t≤t1+t2+t3時，表示為：

(8)

式(5)中所有的系數(shù)可以由以上約束求出，系數(shù)的關系可表示為：

(9)

θ=[0 0 0 0 0 0xj30 0xj00 0xj2xj1]T

(10)

a=A-1θ=[A1A2A3]T

(11)

式中，

A1=[aj13aj12aj11aj10]，

A2=[aj25aj24aj23aj22aj21aj20]，

A3=[aj33aj32aj31aj30]

2.2 改進的粒子群算法(IPSO)

在傳統(tǒng)的PSO中，所有粒子都有一個由被優(yōu)化函數(shù)所決定的適應值，根據(jù)粒子們適應度的變化來尋找最優(yōu)[11-13]。在未找到兩個最優(yōu)解時，粒子可以根據(jù)下式來更新自己的速度和位置，即：

(12)

(13)

式中，vid為粒子位置；i為粒子群中的一個任意粒子；d為維度；xid為粒子在相應位置處的速度；ω為慣性權(quán)重，即：ω=Wmax-i(Wmax-Wmin)/Nmax；Wmax為最大慣性權(quán)重；Wmin為最小慣性權(quán)重；Nmax為最大迭代數(shù)目；i為迭代次數(shù)；c1、c2為學習因子；r1、r2為在[0,1]之間的隨機任意值。

軌跡優(yōu)化的最終目標是在滿足運動學約束的條件下，所有關節(jié)運動的時間最短。本文引用PSO算法的目的是提高機械臂的實際運行效率，因此以時間最優(yōu)的適應度函數(shù)為：

fitness(t)=min(ti1+ti2+ti3)

(14)

max{|vij|}≤vijmax

(15)

式中，vij為第i個關節(jié)的實時速度；vijmax為第i個關節(jié)的最大限制速度。

標準的PSO算法運算簡單、效率高且搜索的速率快，但是易陷入局部最優(yōu)解，況且其中的權(quán)重因子是固定值[14-16]。為了解決上述問題，本文提出并采用動態(tài)變化的權(quán)重因子來獲取更高的收斂效率，使得最優(yōu)解更優(yōu)化，因此，可采用以下公式確定學習因子，即：

(16)

(17)

全局學習因子會隨著搜索次數(shù)的增加而不斷地減小，局部學習因子會隨著搜索次數(shù)的增加而不斷地增加[17-19]。通過采用動態(tài)變化學習因子的方式可使得在搜索的前期能夠快速到達全局最優(yōu)，后期快速到達局部最優(yōu)，這樣既可以提高搜索效率，又能優(yōu)化結(jié)果出現(xiàn)局部最優(yōu)解的不足[20-21]。改進的粒子群算法(IPSO)求解機械臂關節(jié)運動最優(yōu)時間的流程圖如圖3所示。本文所采用動態(tài)變化學習因子策略的改進型粒子群算法，以時間為適應度函數(shù)對運動軌跡進行優(yōu)化，將分段高次多項式插值函數(shù)與傳統(tǒng)PSO算法有效結(jié)合，實現(xiàn)機械臂運動時間的最優(yōu)求解。相較于前人的改進和研究，本文所采用方法的收斂速度更快，運行效率更高，運動特性更好。

圖3 改進的粒子群優(yōu)化算法流程圖

3 仿真與分析

3.1 仿真設計

為驗證本文所提出的一種基于改進后PSO算法的3-5-3插值多項式對機械臂進行軌跡規(guī)劃設計的可行性和優(yōu)劣性，本文以KUKA KR300 R2500機械臂為研究對象，使用MATLAB中的仿真工具箱進行了仿真實驗研究。借助MATLAB工具箱中的Link函數(shù)，搭建6自由度串聯(lián)機械臂軌跡規(guī)劃平臺，控制界面如圖4所示。依據(jù)所搭建的平臺來驗證機械臂正、逆運動學求解正確性，保證運動規(guī)劃的有效性、合理性和可行性，實現(xiàn)對6自由度機械臂運動軌跡的優(yōu)化設計。

圖4 機械臂軌跡規(guī)劃平臺

為了更加準確地獲取機械臂末端執(zhí)行器的笛卡爾空間坐標信息，對機械臂正運動學進行求解，得到機械臂的起始點空間坐標位置和終止點空間坐標位置。運用MATLAB中的機器人工具箱求出另外的兩個中間插值點，最終可以獲得機械臂運動軌跡規(guī)劃的所有插值點。區(qū)間劃分及插值點位置坐標如表2所示。

表2 機械臂末端執(zhí)行器軌跡位置坐標

通過運用MATLAB對機械臂的逆運動學進行求解，可以得到4個插值點所對應的關節(jié)角度值。各插值點對應關節(jié)角度如表3所示。

表3 各插值點對應關節(jié)角度

3.2 實驗驗證與結(jié)果分析

在進行機械臂軌跡規(guī)劃時，應用3-5-3多項式插值方法結(jié)合改進后的PSO算法，可以得到前3個關節(jié)的插值結(jié)果。本文選取隨機初始粒子數(shù)m=20，最大迭代次數(shù)Nmax=100，通過Nmax次迭代不斷更新粒子，計算出添加了約束條件后的最優(yōu)解粒子，該粒子即為所需的最優(yōu)時間粒子。

6自由度串聯(lián)機械臂滿足機器人學中的Pieper準則，即3個腕關節(jié)(關節(jié)4、5、6)的軸相交于一點。這些腕關節(jié)的運動只改變末端執(zhí)行器的姿態(tài)，而不改變其位置，所以以機械臂前3關節(jié)為主要研究對象得出經(jīng)IPSO優(yōu)化后的結(jié)果，將經(jīng)PSO后的時間解同IPSO優(yōu)化后的結(jié)果進行比較。

關節(jié)1、2、3分別經(jīng)傳統(tǒng)PSO算法和改進PSO算法優(yōu)化后的時間收斂圖如圖5～圖7所示。可以看出，采用動態(tài)變化學習因子的方式可使得在搜索前期粒子群體能夠在較短的時間內(nèi)搜索到最優(yōu)粒子快速到達全局最優(yōu)，同時也能有效保證在后期的搜索過程中能快速準確的收斂到最優(yōu)解快速到達局部最優(yōu)。

(a) 關節(jié)1傳統(tǒng)PSO時間收斂圖 (b) 關節(jié)1改進PSO優(yōu)化后時間收斂圖

(a) 關節(jié)2傳統(tǒng)PSO時間收斂圖 (b) 關節(jié)2改進PSO優(yōu)化后時間收斂圖

(a) 關節(jié)3傳統(tǒng)PSO時間收斂圖 (b) 關節(jié)3改進PSO優(yōu)化后時間收斂圖

從表4中可以看出，傳統(tǒng)PSO算法的所需時間為3.5 s左右，改進后的PSO算法所需時間為1.7 s左右。二者相比，軌跡運動所需時間縮短了約50%左右，可以滿足預期要求，仿真實驗驗證了本文所提改進型粒子群算法串聯(lián)關節(jié)機械臂運動軌跡規(guī)劃時間優(yōu)化問題中的可行性。使用IPSO既可以提高搜索效率，又能優(yōu)化結(jié)果出現(xiàn)局部最優(yōu)解的不足，獲取更好的運動特性。

表4 優(yōu)化前后結(jié)果

4 結(jié)論

針對6自由度工業(yè)機械臂的運動軌跡優(yōu)化問題，提出了一種時間最優(yōu)的基于改進型粒子群算法的6自由度串聯(lián)式機械臂運動軌跡優(yōu)化方法。采用動態(tài)變化學習因子策略的改進型粒子群算法進行3-5-3高次多項式插值，來完成機械臂的運動軌跡擬合。通過仿真實驗驗證分析可知，該方法不僅能使得機械臂在工作過程中的加速度不會產(chǎn)生突變，還可獲得較高的運動軌跡精度，使機械臂工作時間達到最優(yōu)。本文提出的算法相比于其他運動軌跡規(guī)劃算法更易于實現(xiàn)，可在提高運行效率的同時保證整體運行的平穩(wěn)性和光滑性。該方法的可行性能為今后機械臂的運動軌跡優(yōu)化問題提供一定的理論依據(jù)。