陳齊林，吳 晗，姚振強，鄧鵬宇

(1.上海交通大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，上海 200240；2.上海交大智邦科技有限公司，上海 200120)

0 引言

數(shù)控機床是現(xiàn)代制造業(yè)生產(chǎn)加工的基礎(chǔ)，其加工精度的好壞直接決定了被加工件的質(zhì)量[1]。根據(jù)產(chǎn)生誤差的不同機理，數(shù)控機床的加工誤差主要分為4種：幾何誤差、熱誤差、力誤差以及控制誤差[2]。其中幾何誤差是在機床設(shè)計制造以及裝配過程中引入的誤差，是數(shù)控機床最重要的誤差來源[3]，而定位誤差又是幾何誤差中重要的組成部分。因此，減小定位誤差對機床加工精度的提升十分重要。

數(shù)控機床定位誤差的檢測方法較為成熟，可以分為直接測量法和間接測量法[4]。測量儀器有球桿儀、平面光柵、R-Test、激光干涉儀和激光跟蹤儀等，其中激光干涉儀具有測量精度高、范圍大等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于機床精度檢測[2]。國內(nèi)外學(xué)者提出了多種激光干涉儀測量數(shù)控機床定位誤差的方法，如22線法[5]、15線法[6]等。同時國內(nèi)外學(xué)者對機床定位誤差建模也做了大量研究。WANG等[7]使用牛頓插值法對立式加工中心的定位誤差進行建模。李自漢[8]提出了一種基于移動最小二乘法與Chebyshev多項式相結(jié)合的定位誤差建模方法。FAN等[9]通過基于最小二乘法的正交多項式對定位誤差進行擬合，通過對一般多項式基函數(shù)進行正交化處理，有效地提高了建模的精度。

以上研究都是基于激光干涉儀測量結(jié)果對機床定位誤差進行分析建模，但由于測量過程中激光干涉儀和光柵尺不共線，會在測量結(jié)果中引入阿貝誤差[10]，影響建模準(zhǔn)確性和補償精度。王超[11]通過實驗驗證了阿貝誤差對不同測量點定位誤差的影響。LIU等[12]設(shè)計了一種測量方法避免在測量過程中引入阿貝誤差。上述研究成果主要是通過理論驗證阿貝誤差，并未對直線軸運動行程內(nèi)的定位誤差進行建模分析。本文通過分析不同測量高度下的定位誤差，將定位誤差分離為基準(zhǔn)定位誤差和阿貝誤差，采用多項式擬合和線性擬合建立了直線軸定位誤差綜合模型，通過綜合模型得到的結(jié)果對機床進行誤差補償，大幅度提升了機床的加工精度。

1 定位誤差測量

1.1 測量系統(tǒng)與方案

測量對象為某型號數(shù)控磨床，使用雷尼紹XL-80干涉儀對X軸(砂輪架)的定位誤差進行測量，如圖1所示。

實驗采用ISO230-2標(biāo)準(zhǔn)推薦的雙向線性循環(huán)測量[13]，如圖2所示。具體測量過程為：在直線軸行程范圍內(nèi)均勻設(shè)置一系列測點，當(dāng)數(shù)控機床按照指令到達某一被測點坐標(biāo)位置時停止運動，此時激光干涉儀測量并記錄下該測點的位置信息，隨后數(shù)控機床運行到下一測點進行測量，直至正向測量完畢，直線軸在越程后開始反向運動并進行測量，直至返回到最初的起點，以上稱為一個測量循環(huán)。對于兩米以內(nèi)的直線軸，ISO標(biāo)準(zhǔn)推薦每米不少于5個測點，循環(huán)次數(shù)為5次。

圖1 定位誤差測量系統(tǒng) 圖2 雙向線性循環(huán)測量模式

一般情況下，同一直線軸測點數(shù)目越多，越能夠準(zhǔn)確反映其定位精度，但測量時間也會越久，測量過程中引入的隨機誤差也就越多。數(shù)控機床X軸有效工作行程為150 mm，需要確定合適的測點數(shù)目，以便在準(zhǔn)確反映其定位誤差的同時控制時間成本為最小。為此固定循環(huán)次數(shù)為5次，測點數(shù)目從3個逐漸增加到17個，測量結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，測點數(shù)目為3個時，定位誤差測量結(jié)果最小，隨著測點數(shù)目逐漸增多，定位誤差測量結(jié)果先變大后逐漸穩(wěn)定下來。最佳測點數(shù)目為11個，此時能夠準(zhǔn)確反映X軸定位精度，且測量時間較短，因此后續(xù)測量選用11個測點。

圖3 測出的定位誤差與測點數(shù)目的關(guān)系

1.2 測量結(jié)果與分析

1.2.1 不同預(yù)熱時間定位誤差測量

在精密機床中，溫度對機床的定位誤差有很大的影響，熱誤差最高可占總誤差的40%[3]。機床剛開機的狀態(tài)為冷機狀態(tài)，加工前需要使運動軸在行程范圍內(nèi)高速往復(fù)運動進行預(yù)熱。為了判斷機床達到熱平衡所需要的預(yù)熱時間，將機床預(yù)熱90 min，預(yù)熱過程中每間隔10 min測量一次定位誤差，測量結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯觯煌A(yù)熱時間下X軸的定位誤差曲線形狀相似，但隨著機床預(yù)熱時間的增加，定位誤差曲線斜率逐漸變大，尾部有上翹趨勢。而且，在預(yù)熱的初始階段曲線斜率變大速度最快，隨著預(yù)熱時間的增加曲線斜率變化速度逐漸減小，預(yù)熱90 min時，定位誤差曲線基本穩(wěn)定下來，此時機床達到熱平衡狀態(tài)。

圖4 不同預(yù)熱時間下的定位誤差

1.2.2 不同鏡組高度下定位誤差測量

對直線軸定位誤差進行測量時，激光干涉儀一般安裝在工作臺面，隨工作臺一起運動，由于激光干涉儀和光柵尺不共線，會在測量過程中引入阿貝誤差[10]，如圖5所示。

圖5 測量過程中引入的阿貝誤差

當(dāng)激光干涉儀鏡組與光柵尺距離為h時，若此時工作臺面與水平面有一夾角θ(x)(即俯仰角)，則引入的阿貝誤差為：

δh(x)=-htanθ(x)≈-hθ(x)

(1)

從式(1)可以看出阿貝誤差與高度h成正比，對于同一根直線軸，如果兩次測量中激光干涉儀鏡組高度不同，測出的定位誤差也會有差異，因此有必要對激光干涉儀在不同鏡組高度下測量的定位誤差進行分析。

如圖6所示，激光干涉儀鏡組分別安裝在距離工作臺豎直高度為130 mm、210 mm、290 mm時對X軸定位誤差進行測量。為了避免熱誤差影響，在每次調(diào)整鏡組高度后均進行90 min熱機再進行測量。

具體測量過程如下：

步驟1：機床開機，在高度為h1=130 mm位置安裝并調(diào)試激光干涉儀；

步驟2：X軸高速運行90 min，機床達到熱平衡狀態(tài)；

步驟3：測量X軸0～150 mm行程內(nèi)定位誤差；

步驟4：在高度為h2=210 mm位置安裝并調(diào)試激光干涉儀，重復(fù)步驟2和步驟3；

步驟5：在高度為h3=290 mm位置安裝并調(diào)試激光干涉儀，重復(fù)步驟2和步驟3。

測量結(jié)果如圖7所示。可以看出，由于阿貝誤差的影響，隨著鏡組高度的變高，測得的X軸的定位誤差有一定程度的變大，與上文所分析的結(jié)果一致。

圖6 不同鏡組高度 圖7 不同鏡組高度下定位誤差

2 定位誤差建模與補償

2.1 定位誤差建模

由前文的分析可知，測得的X軸定位誤差δ(x)由兩部分疊加組成：

δ(x)=δg(x)+δh(x)

(2)

式中，δ(x)是固定不變的基準(zhǔn)定位誤差，這部分誤差是X軸本身的幾何誤差，主要是導(dǎo)軌制造裝配過程產(chǎn)生的；δh(x)是不同鏡組高度導(dǎo)致的阿貝誤差，由式(1)可知，這部分誤差在數(shù)值上等于激光干涉儀鏡組與光柵尺的距離和工作臺俯仰角的乘積。

2.1.1 基準(zhǔn)定位誤差建模

將高度h1=130 mm定義為參考高度，在此高度測得的誤差定義為基準(zhǔn)定位誤差。用不同階次多項式分別擬合基準(zhǔn)定位誤差，表1列出了不同階次擬合精度對比。

表1 不同階次多項式擬合精度對比

可以看出，隨著多項式擬合階次的變大，擬合結(jié)果的精度越好，當(dāng)達到四階時，擬合精度已經(jīng)達到較高水平。因此基準(zhǔn)定位誤差選用四階多項式進行擬合，正反向基準(zhǔn)定位誤差擬合結(jié)果如式(3)和式(4)所示。

δg(x)↑=0.431+0.13655x-9.66805×10-4x2-
3.43607×10-6x3+3.77949×10-8x4

(3)

δg(x)↓=-0.05175+0.07158x+0.00125x2-
2.39278×10-5x3+9.5926×10-8x4

(4)

式中，x為X軸坐標(biāo)位置；上箭頭代表正向；下箭頭代表反向。

2.1.2 阿貝誤差建模

將在高度h2=210 mm和h3=290 mm下測得的定位誤差分別減去高度h1=130 mm下測得的基準(zhǔn)定位誤差，并將所得值相加，相加結(jié)果為相對于基準(zhǔn)高度累計240 mm高度差下的阿貝誤差值。則單位高度差下的阿貝誤差值為：

(5)

圖8中的散點是計算出的單位高度差下的阿貝誤差值，可以看出其有明顯的線性關(guān)系，故對計算得到的結(jié)果進行線性擬合，擬合直線如圖8所示。

(a) 單位高度差下的正向阿貝誤差 (b) 單位高度差下的反向阿貝誤差

阿貝誤差擬合結(jié)果如式(6)和式(7)所示。

δh(x)↑=(-0.00373+0.000246x)h

(6)

δh(x)↓=(-0.00569+0.000265x)h

(7)

式中，x為X軸坐標(biāo)位置；h為激光干涉儀相對于參考高度的高度差；上箭頭代表正向；下箭頭代表反向。

2.1.3 定位誤差綜合建模

由式(2)可知，基準(zhǔn)定位誤差與阿貝誤差之和即為定位誤差的綜合模型：

δ(x)↑=δg(x)↑+δh(x)↑=0.431+0.13655x-

9.66805×10-4x2-3.43607×10-6x3+3.77949×

10-8x4+(-0.00373+0.000246x)h

(8)

δ(x)↓=δg(x)↓+δh(x)↓=-0.05175+0.07158x+

0.00125x2-2.39278×10-5x3+9.5926×

10-8x4+(-0.00569+0.000265x)h

(9)

定位誤差綜合模型的擬合結(jié)果如圖9所示。

(a) 正向定位誤差擬合結(jié)果 (b) 反向定位誤差擬合結(jié)果

將3個不同高度下正反向定位誤差共66個點的擬合殘差匯總，如圖10所示。可以看出綜合模型擬合結(jié)果整體殘差在[-1 μm,1 μm]范圍內(nèi)，擬合結(jié)果較好，能夠準(zhǔn)確反映不同高度下X軸的定位誤差。

圖10 綜合模型擬合殘差

2.2 定位誤差補償

誤差補償是相對于誤差防止提出的，是指人為產(chǎn)生一種與原始誤差大小相等方向相反的新誤差以抵消原始誤差。通過上文得出的定位誤差綜合模型計算出定位誤差值，再將補償信號輸入西門子840D數(shù)控系統(tǒng)。補償前后X軸正反向定位誤差曲線如圖11所示。

圖11 補償前后定位誤差

表2是根據(jù)ISO230-2標(biāo)準(zhǔn)計算出的補償前后雙向定位誤差[13]，可以看出通過誤差補償，正向定位誤差從原來的6.3 μm降低到2.4 μm，誤差減小了61.9%；反向定位誤差從原來的7.6 μm降低到2.3 μm，誤差減小了70%。通過誤差補償，機床X軸的定位精度得到了大幅提升。

表2 補償前后定位誤差 (μm)

3 結(jié)論

實驗表明，使用激光干涉儀測量數(shù)控機床的直線軸定位精度時，隨著激光干涉儀鏡組高度的增加測得的定位誤差有一定程度增大。通過分析不同鏡組高度下的定位誤差，將定位誤差分離為基準(zhǔn)定位誤差和阿貝誤差兩個組成部分，分別進行多項式擬合和線性擬合，得到了定位誤差綜合模型。使用綜合模型對機床定位誤差進行補償，結(jié)果顯示機床精度得到了大幅提升，驗證了模型的正確性。