陶 紅，徐耀坤，何章鳴，侯臣平

（國(guó)防科技大學(xué) a.文理學(xué)院；b.電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410073）

引言

數(shù)理統(tǒng)計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)重要分支，在自然科學(xué)、工程技術(shù)、管理科學(xué)和人文社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。很多高校的本科和研究生數(shù)學(xué)類(lèi)與統(tǒng)計(jì)類(lèi)專(zhuān)業(yè)均開(kāi)設(shè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)類(lèi)課程。傳統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)著重于定義與公式的講解與證明，這種講授方法雖然能夠準(zhǔn)確傳達(dá)課程知識(shí)，但在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想、提升科研創(chuàng)新能力這些方面存在明顯的不足。為了提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，很多高校都在嘗試采用案例教學(xué)法來(lái)提升數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)質(zhì)量。已有的教學(xué)實(shí)踐表明，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中引入案例教學(xué)模式，能夠有效幫助學(xué)生加深對(duì)理論知識(shí)的理解和提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。案例教學(xué)法的推廣需要豐富的案例資源作為支撐。然而，目前我國(guó)高校數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的案例教學(xué)中，案例資源還比較匱乏。大多數(shù)案例內(nèi)容陳舊，與當(dāng)前社會(huì)的發(fā)展態(tài)勢(shì)聯(lián)系不夠緊密，從而限制了案例教學(xué)法的作用。由此可見(jiàn)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)案例建設(shè)的必要性與緊迫性。本文針對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中Cramer-Rao不等式的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)領(lǐng)域前沿研究成果，從單分子定位超分辨成像和鋰電池荷電狀態(tài)估計(jì)兩個(gè)實(shí)際應(yīng)用中，凝練了兩個(gè)Cramer-Rao不等式的教學(xué)案例，加強(qiáng)課程內(nèi)容與實(shí)際問(wèn)題的有效結(jié)合。

一、Cramer-Rao不等式的基本理論

在案例教學(xué)開(kāi)始，首先對(duì)案例涉及的基本概念進(jìn)行詳細(xì)剖析。Cramer-Rao不等式的內(nèi)涵是：對(duì)于Cramer-Rao正則族的可估參數(shù)，其無(wú)偏估計(jì)的協(xié)方差陣存在下界。這個(gè)下界被稱(chēng)為Cramer-Rao下界，由樣本容量、Fisher信息和可估參數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定。Cramer-Rao不等式的應(yīng)用十分廣泛，可應(yīng)用于雷達(dá)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)、衛(wèi)星定位系統(tǒng)、超精密測(cè)量和量子成像等科學(xué)研究和工程實(shí)踐中的參數(shù)估計(jì)精度分析，對(duì)于提升實(shí)際應(yīng)用中的參數(shù)估計(jì)性能具有重要作用。由于Cramer-Rao不等式在理論研究和工程實(shí)踐中的重要地位，Cramer-Rao不等式一直是數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的教學(xué)重點(diǎn)。

現(xiàn)有教材通常直接給出Fisher信息的定義與存在條件，然后再給出Cramer-Rao不等式的具體內(nèi)容與證明。教師在教學(xué)的時(shí)候如果僅僅局限于教材，不結(jié)合實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行適當(dāng)延伸與拓展，那么學(xué)生對(duì)此部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)將停留于“背公式”的層面，不能深入理解Cramer-Rao不等式的應(yīng)用途徑。因此，需要發(fā)揮數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門(mén)應(yīng)用性極強(qiáng)的學(xué)科的特點(diǎn)，積極進(jìn)行案例建設(shè)，擴(kuò)大案例式教學(xué)法在數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用范圍，從而提升教學(xué)質(zhì)量。事實(shí)上，Cramer-Rao不等式作為參數(shù)估計(jì)中誤差分析的有力工具，已經(jīng)在相關(guān)學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用，結(jié)合基本理論，讓我們分析以下案例。

二、Cramer-Rao不等式的案例設(shè)計(jì)

實(shí)際的教學(xué)案例設(shè)計(jì)中，要考慮學(xué)生對(duì)案例背后知識(shí)背景的掌握程度。筆者結(jié)合學(xué)生的已學(xué)課程，通過(guò)查閱相關(guān)學(xué)科的前沿研究成果，分別從單分子定位超分辨成像和鋰電池荷電狀態(tài)估計(jì)兩個(gè)實(shí)際應(yīng)用中凝練了兩個(gè)Cramer-Rao不等式的教學(xué)案例，學(xué)習(xí)過(guò)“大學(xué)物理”基本課程的學(xué)生均可理解案例中的基本背景。兩個(gè)不同的案例中，既有諾貝爾獎(jiǎng)工作中的科學(xué)問(wèn)題，又有貼近實(shí)際生活的工程問(wèn)題，現(xiàn)予以分享。

案例1 基于單分子定位的顯微成像技術(shù)（Single-Molecule Localization Microscopy,SMLM）獲得2014年獲得諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。SMLM的工作原理可以概括為“閃爍”“定位”與“重建”，即多次循環(huán)采集被稀疏激活的熒光分子，再利用單分子定位算法給出熒光分子精準(zhǔn)的空間定位信息，最后將每一幀的定位點(diǎn)合成為一張超分辨圖像。單分子定位算法的精度分析是成像分辨率分析中的一個(gè)基本且重要的問(wèn)題。事實(shí)上，單分子定位就是對(duì)單分子的坐標(biāo)進(jìn)行估計(jì)。若獲得了單分子坐標(biāo)的無(wú)偏估計(jì)量，則此估計(jì)量的定位精度定義為其標(biāo)準(zhǔn)差。

圖1 單分子成像系統(tǒng)

若采集到個(gè)光子，由此個(gè)光子的坐標(biāo)構(gòu)造出的的模平方可積的無(wú)偏估計(jì)為，且已知

試求的方差下界。

第二步，計(jì)算（）。

案例2 鋰電池因其能量密度高、循環(huán)壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)迅速發(fā)展為新一代儲(chǔ)能電源。準(zhǔn)確估計(jì)電池當(dāng)前工作狀態(tài)，對(duì)于提高儲(chǔ)能系統(tǒng)的安全性、可靠性和可用性具有重要作用。假設(shè)鋰電池內(nèi)部具有圖2所示的RC等效電路模型。

圖2 鋰電池內(nèi)部RC等效電路圖

此等效電路的工作原理為

其中表示電池的荷電狀態(tài)（SOC），和分別表示電池的極化內(nèi)阻和極化電容，表示平行電容器的電荷量，表示電池電量，表示電池歐姆內(nèi)阻，表示輸入電流，表示可直接測(cè)量的電池端口電壓，OCV（）表示開(kāi)路電壓與SOC間的非線(xiàn)性關(guān)系并且可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到。

則根據(jù)Fisher信息的定義知

在此次教學(xué)案例設(shè)計(jì)中，我們選取了兩個(gè)不同領(lǐng)域的例子，用來(lái)幫助學(xué)生理解不等式的深刻含義。通過(guò)以上兩個(gè)案例的分析，讓學(xué)生對(duì)枯燥的理論公式有了直觀的理解和認(rèn)識(shí)，讓他們感受到Cramer-Rao不等式在科學(xué)研究和工程實(shí)踐中的應(yīng)用。上述兩個(gè)案例雖然看上去計(jì)算量比較大，但是根據(jù)Cramer-Rao不等式的內(nèi)容及Fisher信息的定義，均能很快得到無(wú)偏估計(jì)的Cramer-Rao下界。上述案例雖然來(lái)自不同的研究領(lǐng)域，但是其中涉及的參數(shù)估計(jì)的精度分析屬于同一類(lèi)型的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。在案例運(yùn)用時(shí)，一方面結(jié)合背景開(kāi)闊學(xué)生視野，另一方面重點(diǎn)讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)統(tǒng)計(jì)原理、掌握統(tǒng)計(jì)方法，對(duì)于計(jì)算量可以根據(jù)情況進(jìn)一步簡(jiǎn)化。案例2相比于案例1，拓展了試驗(yàn)設(shè)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容，能夠讓學(xué)生更加直觀地感受Cramer-Rao不等式在實(shí)踐中的重要作用，并在此過(guò)程中學(xué)會(huì)運(yùn)用Cramer-Rao不等式。結(jié)合以上兩個(gè)案例，可以在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)討論互動(dòng)的方法，讓學(xué)生總結(jié)利用Cramer-Rao不等式解決具體問(wèn)題的方法和步驟，更加深入地理Cramer-Rao不等式的基本理論，從而更好地發(fā)揮案例教學(xué)法的作用。

三、結(jié)語(yǔ)

Cramer-Rao不等式在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中具有重要地位。雖然Cramer-Rao不等式的教學(xué)內(nèi)容便于理解，但是學(xué)生對(duì)于Cramer-Rao不等式在實(shí)際應(yīng)用中能夠解決什么問(wèn)題、怎樣解決問(wèn)題缺乏直觀認(rèn)識(shí)。本文針對(duì)Cramer-Rao不等式案例資料有限的情況，查閱相關(guān)領(lǐng)域的前沿研究成果整理出兩個(gè)案例，希望通過(guò)案例展示幫助學(xué)生將Cramer-Rao不等式的理論與實(shí)踐緊密結(jié)合起來(lái)，鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。