王建祥，俞成濤，蔣 鵬，陳 宇

（1.江蘇理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 常州 213000；2常州技師學(xué)院 智能制造學(xué)院，江蘇 常州 213032）

憑借在不同工況下能夠穩(wěn)定地以較高轉(zhuǎn)速工作的顯著優(yōu)點(diǎn)，角接觸球軸承成為各類轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)中的關(guān)鍵支承件之一。在實(shí)際裝備設(shè)計(jì)中，由試驗(yàn)來得出軸承的性能參數(shù)往往需要付出高昂的代價(jià)；因此，隨著技術(shù)的發(fā)展，對(duì)軸承進(jìn)行仿真研究已成為工程應(yīng)用中的通用方法。

角接觸球軸承的靜態(tài)特性對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的性能起著關(guān)鍵作用，而靜態(tài)剛度又最能突出軸承的靜態(tài)特性；因此，對(duì)這方面的研究應(yīng)加以重視。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)角接觸球軸承靜態(tài)特性理論的研究基本集中在以下兩個(gè)方面。

其一，是通過赫茲接觸理論建立軸承的滾珠受力接觸模型。如：Jones[1]提出了溝道控制理論并建立了三自由度計(jì)算模型，分析了聯(lián)合載荷下球軸承的載荷分布、變形以及應(yīng)力之間的關(guān)系；陳宗農(nóng)等人[2]基于Jones的溝道控制理論建立了聯(lián)合載荷下球軸承的五自由度剛度求解矩陣；張迅雷等人[3]提出一種角接觸球軸承靜態(tài)剛度的精確計(jì)算公式，并通過對(duì)比簡(jiǎn)化計(jì)算值和試驗(yàn)值，驗(yàn)證了計(jì)算公式的準(zhǔn)確性；劉艷華等人[4]針對(duì)定位與定壓兩種不同預(yù)緊方式，分析計(jì)算了聯(lián)合載荷下角接觸球軸承的靜態(tài)剛度；方兵等人[5]通過坐標(biāo)變換法分析軸承滾珠受力與變形的關(guān)系，并對(duì)剛度進(jìn)行了求解與試驗(yàn)驗(yàn)證；Liu等人[6]提出了一種在預(yù)加載下提高軸承載荷分布及剛度的精度和計(jì)算效率的方法；師浩浩等人[7]借助最小二乘法和線性回歸方法，對(duì)赫茲接觸理論進(jìn)行計(jì)算方法簡(jiǎn)化，并分析了軸承的靜態(tài)剛度；李震等人[8]基于Demul理論和赫茲接觸理論建立了五自由度的靜態(tài)分析模型，研究了外載荷對(duì)接觸角、接觸力及靜態(tài)剛度的影響。

其二，是利用有限元分析法對(duì)球軸承的幾何模型進(jìn)行約束加載分析。如：Tang等人[9]利用ANSYS的APDL參數(shù)化命令流對(duì)球軸承進(jìn)行有限元建模，將加載后的接觸特性結(jié)果與理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并證明了方法的實(shí)用性；Guo等人[10]采用接觸力學(xué)和有限元相結(jié)合的方法求解兩種滾動(dòng)軸承的剛度矩陣，并提出了一種數(shù)值方法來確定軸承的剛度。張永強(qiáng)[11]使用了球-板接觸的有限元模型，研究了網(wǎng)格單元密度對(duì)接觸應(yīng)力結(jié)果的影響，并通過對(duì)比軸向變形的有限元值與理論值，證明了方法的可行性。

然而，以上研究中角接觸球軸承有限元法的分析，對(duì)變形和剛度的變化規(guī)律并未與理論計(jì)算作詳細(xì)的對(duì)比；因此，本文以赫茲接觸理論為理論計(jì)算模型的基礎(chǔ)，應(yīng)用有限元仿真方法研究聯(lián)合載荷對(duì)角接觸球軸承變形和剛度的影響，通過對(duì)比驗(yàn)證，為實(shí)際裝備設(shè)計(jì)中軸承的靜態(tài)剛度仿真分析提供一定的理論參考。

1 角接觸球軸承理論計(jì)算模型

1.1 滾珠受力變形分析

如圖1所示，為角接觸球軸承第j個(gè)滾珠的受力接觸示意圖。設(shè)置坐標(biāo)OXr、OX與Or分別為軸向載荷與徑向載荷的施加方向；Oi與Oo分別為內(nèi)外圈滾道的溝曲率中心位置；a0為受載荷前滾珠與內(nèi)外圈的初始接觸角。

圖1 滾珠受力接觸示意圖

受載荷前內(nèi)外圈溝曲率中心Oi與Oo間的初始距離A0為：

式中：ri、ro、Dw分別為內(nèi)、外圈溝曲率半徑和滾珠直徑；fo、fi分別為內(nèi)、外圈的溝道比。

固定軸承外圈，對(duì)內(nèi)圈同時(shí)施加徑向載荷Fr和軸向載荷Fa，滾珠會(huì)受到由內(nèi)、外圈溝滾道對(duì)其的法向作用力?；诤掌澖佑|理論[12]，第j個(gè)滾珠受到的接觸力Qj與其變形δj的關(guān)系式為：

式中，Kn為內(nèi)外圈與滾珠間的總接觸剛度，由以下關(guān)系式求得：

其中：Ki為內(nèi)圈與滾珠間的法向接觸剛度；Ko為外圈與滾珠間的法向接觸剛度。

如圖2所示，為聯(lián)合載荷下軸承溝曲率中心軌跡。受載后，軸承外滾道曲率中心軌跡不變，而內(nèi)滾道發(fā)生變化并產(chǎn)生軸向位移δa、徑向位移δr和角位移θ，且滾珠與內(nèi)外圈的接觸角由a0變?yōu)閍 j。在滾珠位置角φ j處的內(nèi)外圈溝曲率中心距離由A0變?yōu)锳j，關(guān)系式為：

圖2 聯(lián)合載荷下溝曲率中心軌跡

式（4）中滾珠位置角φj可由下式確定：

內(nèi)圈溝曲率中心軌跡半徑Ri表達(dá)式為：

第j個(gè)滾珠的接觸變形總量δj為：

受載后第j個(gè)滾珠實(shí)際接觸角αj為：

1.2 軸承的整體載荷-位移關(guān)系及剛度求解

在具有N個(gè)滾珠的角接觸球軸承內(nèi)，可列出軸向、徑向以及力矩的平衡方程[13]為：

式（9）是以位移δa、δr和θ為未知量的非線性方程組。編寫Matlab程序并設(shè)置加載的已知聯(lián)合載荷進(jìn)行理論計(jì)算，方程求解采用Newton-Raphson迭代法。對(duì)軸承位移未知量進(jìn)行迭代計(jì)算并對(duì)位移求導(dǎo)，其剛度矩陣解析表達(dá)式為：

2 角接觸球軸承有限元仿真模型

2.1 軸承模型三維實(shí)體設(shè)置

選用7003C角接觸球軸承作為仿真對(duì)象并建立有限元分析模型，材料為軸承鋼，彈性模量為2.07×105MPa，泊松比為0.3。如表1所示，為軸承具體的尺寸參數(shù)。

表1 軸承基本參數(shù)

為簡(jiǎn)化計(jì)算，不考慮保持架的建模，在SolidWorks中嚴(yán)格按照表中軸承實(shí)際尺寸建立三維模型，再導(dǎo)入ANSYS Workbench的靜力學(xué)模塊中，并設(shè)置軸承的相關(guān)材料屬性。首先，對(duì)內(nèi)外圈采用掃掠網(wǎng)格劃分的方法（單元尺寸為0.4 mm），滾珠設(shè)置為自動(dòng)四面體網(wǎng)格劃分（單元尺寸為0.1 mm），以保證滾珠接觸部分的網(wǎng)格細(xì)化；然后，對(duì)滾珠與內(nèi)外圈滾道的接觸部分進(jìn)行局部細(xì)化（細(xì)化網(wǎng)格單元尺寸為0.1 mm），局部細(xì)化可采用Contact Sizing、Face Sizing和Inflation等方法。

如圖3所示，為模型的網(wǎng)格分布。網(wǎng)格單元類型默認(rèn)為solid186，共節(jié)點(diǎn)2 227 060個(gè)，單元1 146 185個(gè)。

圖3 7003C角接觸球軸承有限元網(wǎng)格劃分

2.2 模型條件設(shè)定

2.2.1 接觸設(shè)置

（1）依據(jù)凸面或者易變形面為接觸面的準(zhǔn)則[14]來設(shè)置接觸對(duì)，滾珠為接觸面，內(nèi)外圈滾道為目標(biāo)面。

（2）接觸類型為摩擦接觸，設(shè)置接觸摩擦系數(shù)為0.1，打開Small Sliding并設(shè)置穿透容差系數(shù)為0.1，以提高收斂速度。

（3）接觸算法可以采用純罰函數(shù)法或增廣拉格朗日法，這兩種方法的計(jì)算原理與理論計(jì)算中滾珠接觸面的接觸剛度均接近，考慮到接觸剛度的設(shè)置，此處采用純罰函數(shù)法。

（4）法向接觸剛度設(shè)置可采用調(diào)節(jié)接觸剛度因子或定義絕對(duì)接觸剛度值的方法，理論計(jì)算模型已計(jì)算出內(nèi)外圈接觸剛度系數(shù)Ki、Ko，因此，此處直接定義絕對(duì)接觸剛度值。其中：滾珠與內(nèi)圈的接觸設(shè)置為7.037×105N/mm3，外圈設(shè)置為6.259×105N/mm3，在有限元軟件中該參數(shù)的單位意義是接觸剛度對(duì)域的比值，其參數(shù)值可參考文獻(xiàn)[12]中有關(guān)內(nèi)外圈接觸剛度系數(shù)的計(jì)算。

2.2.2 約束設(shè)置

（1）由于軸承外圈固定，選擇其側(cè)面和外圓柱面施加Fixed Support全約束。

（2）為模擬保持架對(duì)滾珠的約束作用，首先，需要根據(jù)每個(gè)滾珠所在的方位角，在內(nèi)圈圓心處建立多個(gè)沿內(nèi)圈滾道切向重合的局部坐標(biāo)系；然后，所有滾珠通過在對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系上施加沿內(nèi)圈的切向位移約束，使?jié)L珠在仿真時(shí)只會(huì)產(chǎn)生軸向和徑向的位移變形。

（3）將軸承內(nèi)圈內(nèi)環(huán)面的一半單元節(jié)點(diǎn)通過Remote Points的方式耦合到一中心節(jié)點(diǎn)，用于模擬對(duì)耦合點(diǎn)施加徑向力下，軸承內(nèi)圈同轉(zhuǎn)軸配合時(shí)其內(nèi)圈實(shí)際受到的徑向力分布情況。

2.2.3 加載設(shè)置

將軸向載荷施加到軸承內(nèi)圈面部，徑向載荷施加到耦合的節(jié)點(diǎn)上，其中，軸向力與徑向力的實(shí)際施加方向分別為三維坐標(biāo)的-X與Y。

如圖4所示，為軸承施加約束和載荷后的模型。

圖4 施加約束和載荷后的模型

2.3 求解設(shè)置

求解的分析類型為準(zhǔn)靜態(tài)結(jié)構(gòu)分析，將求解方式設(shè)置為幾何非線性，開啟大變形選項(xiàng)，并設(shè)置計(jì)算子步進(jìn)行求解。

2.4 結(jié)果處理

如圖5（a）、圖5（b）所示，分別為軸向力1 500 N、徑向力500 N下軸承軸向與徑向變形，在軸承內(nèi)圈背部的網(wǎng)格單元或節(jié)點(diǎn)添加探針拾取位移結(jié)果。圖中標(biāo)簽處即模擬實(shí)際試驗(yàn)過程中傳感器的探測(cè)位置，通過力除以位移坐標(biāo)差的方法可得到不同載荷下的剛度值。

圖5 聯(lián)合載荷下的變形結(jié)果

3 聯(lián)合加載仿真結(jié)果對(duì)比分析

以7003C軸承為例，對(duì)軸承的理論值與有限元值進(jìn)行仿真結(jié)果對(duì)比分析，以模擬軸向預(yù)緊力下對(duì)軸承進(jìn)行加載的靜態(tài)試驗(yàn)[5]。

3.1 軸向載荷對(duì)軸向變形及剛度的影響

如圖6所示，為施加軸向力與產(chǎn)生的軸向變形的關(guān)系曲線。可以看出：軸向載荷（0～2 000 N）的增大會(huì)使得軸承軸向變形的理論值與有限元值均呈非線性增長(zhǎng)；總體上軸向變形的有限元值略大于理論值。

圖6 軸向載荷與軸承軸向變形的關(guān)系

如圖7所示，為軸向載荷與軸向剛度的關(guān)系曲線?？梢钥闯觯簣D中軸向載荷的增大會(huì)使得軸承軸向剛度的理論值與有限元值均呈非線性增長(zhǎng)；軸向剛度的理論值略大于有限元值。

圖7 軸向載荷與軸承軸向剛度的關(guān)系

3.2 徑向載荷對(duì)徑向變形及剛度的影響

如圖8所示，為在兩種軸向載荷條件下徑向載荷與徑向變形的關(guān)系圖?？梢钥闯觯涸谳S向載荷分別為1 000 N和1 500 N時(shí)，徑向載荷（0～500 N）的增大會(huì)使軸承徑向變形的理論值與有限元值均接近于線性增長(zhǎng)；徑向變形的有限元值大于理論值，且所施加徑向載荷的增大會(huì)使差別變得明顯；軸向載荷為1 500 N時(shí)比1 000 N時(shí)的徑向變形小，并且軸向載荷越大，徑向載荷對(duì)徑向變形影響的理論值與有限元值更加接近。

圖8 徑向載荷與軸承徑向變形的關(guān)系

如圖9所示，為在兩種軸向載荷條件下徑向載荷與徑向剛度的關(guān)系圖?？梢钥闯觯涸谳S向載荷分別為1 000 N和1 500 N時(shí)，徑向載荷（0～500 N）的增大會(huì)使得徑向剛度的理論值呈非線性增長(zhǎng)，而徑向剛度的有限元值先增長(zhǎng)后緩慢減小，說明徑向力對(duì)徑向剛度的弱化影響在有限元仿真中較為明顯；各徑向載荷下的有限元值均小于理論值；相同徑向力時(shí)，軸向載荷1 500 N下的徑向剛度大于軸向載荷1 000 N下的徑向剛度。

圖9 徑向載荷與軸承徑向剛度的關(guān)系

徑向剛度的兩種仿真結(jié)果出現(xiàn)差別其原因在于：一方面，有限元仿真時(shí)探測(cè)點(diǎn)的結(jié)果不僅有內(nèi)外圈與滾珠的接觸變形，還包括了軸承內(nèi)外圈自身的變形、內(nèi)外圈與滾珠間的相對(duì)滑移和接觸算法產(chǎn)生的穿透量；另一方面，由于徑向力的增加會(huì)導(dǎo)致軸承內(nèi)圈產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)，進(jìn)而使得徑向剛度出現(xiàn)弱化現(xiàn)象，本文的理論計(jì)算模型未能體現(xiàn)出這一點(diǎn)，而在有限元仿真中，接觸滑移和接觸穿透會(huì)使得這種情況較為明顯，這也會(huì)導(dǎo)致探測(cè)點(diǎn)的結(jié)果與理論值有些偏差。

3.3 軸向載荷對(duì)徑向變形的影響

如圖10所示，為相同徑向載荷500 N下軸向載荷（1 000～2 000 N）對(duì)徑向變形影響的理論解析與有限元仿真結(jié)果。可以看出：軸向載荷的增加使得軸承的徑向變形的理論值與有限元值均呈非線性減小，且減小趨勢(shì)會(huì)逐漸變得緩慢；徑向位移的有限元值大于理論值并且趨近于理論值。

圖10 軸向載荷與軸承徑向變形的關(guān)系

3.4 徑向載荷對(duì)軸向變形的影響

如圖11所示，為相同軸向載荷1 500 N下徑向載荷（0～1 000 N）對(duì)軸向變形影響的理論解析與有限元仿真結(jié)果?？梢钥闯觯簭较蜉d荷的增加使得軸承的軸向變形的理論值與有限元值均呈非線性減小，且減小趨勢(shì)較為緩慢；軸向位移的有限元值大于理論值。

圖11 徑向載荷與軸承軸向變形的關(guān)系

對(duì)比文獻(xiàn)[2]中相同接觸角的角接觸球軸承相關(guān)試驗(yàn)結(jié)果，可以明顯看出，軸向與徑向變形的有限元仿真結(jié)果及理論計(jì)算值的變化趨勢(shì)同試驗(yàn)結(jié)果基本一致。因此，在工程實(shí)際應(yīng)用中，本文的軸承仿真方法具有一定的參考價(jià)值，其中，有限元法仿真的精確性，可通過對(duì)比工程試驗(yàn)結(jié)果并優(yōu)化模型設(shè)置來進(jìn)一步提高。

4 結(jié)論

本文通過理論模型與有限元仿真模型的建立，計(jì)算了7003C軸承的軸向變形與剛度以及徑向變形與剛度，并對(duì)比分析了聯(lián)合載荷下角接觸球軸承的理論解析與有限元仿真結(jié)果。得到以下結(jié)論：

（1）軸向載荷的增大使得軸承的軸向變形與軸向剛度均呈非線性增長(zhǎng)的趨勢(shì)；軸向變形的有限元值大于理論值，軸向剛度的有限元值小于理論值。

（2）當(dāng)軸向載荷一定時(shí)，徑向載荷的增大使軸承徑向變形的理論值與有限元值均接近于線性增長(zhǎng)，其中，有限元仿真結(jié)果的規(guī)律更趨近于試驗(yàn)；徑向剛度的理論值呈非線性增長(zhǎng)，而徑向剛度的有限元值先增長(zhǎng)后緩慢減小；相同徑向力下的軸向載荷越大，徑向剛度也會(huì)越大。

（3）軸向載荷的增加會(huì)使得軸承的徑向變形呈非線性減小，并且徑向載荷的增加也會(huì)使得軸承的軸向變形呈非線性減小。

（4）角接觸球軸承軸向與徑向變形的有限元值均大于理論值，軸向與徑向剛度的有限元值均小于理論值。