沈 權(quán)，周 瑾，馬彥超，徐園平，張 越

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，南京 210016)

近年來(lái)隨著磁懸浮技術(shù)的發(fā)展，磁懸浮軸承逐漸被廣泛應(yīng)用于車載飛輪，航天控制力矩陀螺，船用渦輪機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備中[1-3]。盡管許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)從各個(gè)方面開(kāi)展了以主動(dòng)磁懸浮軸承(AMB)支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性研究，但基本集中在靜止基礎(chǔ)條件下[4-6]，基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相關(guān)研究還不夠充分。當(dāng)轉(zhuǎn)子安裝在船舶，車輛，飛機(jī)等基礎(chǔ)發(fā)生運(yùn)動(dòng)的設(shè)備上時(shí)[7-8]，與基礎(chǔ)固連的軸承定子運(yùn)動(dòng)所引起的基礎(chǔ)激勵(lì)會(huì)影響磁懸浮轉(zhuǎn)子正常工作。這個(gè)問(wèn)題可以歸結(jié)為基礎(chǔ)激勵(lì)下的磁懸浮轉(zhuǎn)子振動(dòng)問(wèn)題，因此建立基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型，分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性有著重要意義。

Duchemin等[9-10]考慮傳統(tǒng)軸承支承(例如滾動(dòng)軸承，滑動(dòng)軸承)的柔性轉(zhuǎn)子，基于拉格朗日方程建立了基礎(chǔ)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程；Das等[11-12]基于機(jī)動(dòng)車輛上的轉(zhuǎn)子進(jìn)行拉格朗日建模，將磁懸浮軸承作為作動(dòng)器，用于抑制轉(zhuǎn)子振動(dòng)，得到了基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程，但方程未考慮重力變化與轉(zhuǎn)動(dòng)引起的附加力矩影響。蔣科堅(jiān)等[13-14]首先推導(dǎo)了基礎(chǔ)激勵(lì)下單自由度磁懸浮軸承支承模型，進(jìn)一步推廣到多自由度轉(zhuǎn)子模型，研究表明不考慮陀螺效應(yīng)，基礎(chǔ)正弦激勵(lì)可以等效為轉(zhuǎn)子受到一個(gè)由基礎(chǔ)加速度決定的強(qiáng)迫振動(dòng)，但轉(zhuǎn)子模型未考慮基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)的影響。Li等[15]基于航天器中磁懸浮控制力矩陀螺，利用歐拉動(dòng)力學(xué)等力學(xué)理論建立了雙框架運(yùn)動(dòng)下的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程，然而框架順序影響著轉(zhuǎn)子受到的耦合力矩，并且轉(zhuǎn)子陀螺效應(yīng)明顯，并不適用于一般轉(zhuǎn)子。

在動(dòng)力學(xué)分析方面，Zheng等[16]基于基礎(chǔ)激勵(lì)下的磁懸浮轉(zhuǎn)子數(shù)學(xué)模型，在模型穩(wěn)定性分析基礎(chǔ)上，從轉(zhuǎn)子漸近穩(wěn)定性和區(qū)域穩(wěn)定性兩方面進(jìn)行了討論。Soni[17]利用線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法，通過(guò)轉(zhuǎn)子數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)矩陣，求解近似狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到了不同基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)下的轉(zhuǎn)子穩(wěn)定區(qū)間。Xu等[18]在建模中考慮了基礎(chǔ)平動(dòng)與基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)，探究了系統(tǒng)與激勵(lì)各參數(shù)對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子位移幅值的變化規(guī)律。姜豪等[19]討論了應(yīng)用在船舶設(shè)備中不同基礎(chǔ)傾斜工況下的磁懸浮轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性，通過(guò)仿真和試驗(yàn)得出基礎(chǔ)傾斜工況不僅會(huì)使轉(zhuǎn)子響應(yīng)出現(xiàn)倍頻成分，基礎(chǔ)傾斜引起的重力變化也不可忽略。楊紅進(jìn)等[20]以車載飛輪為研究對(duì)象，并不基于轉(zhuǎn)子數(shù)學(xué)模型，而是利用ADAMS與Simulink進(jìn)行基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子的聯(lián)合仿真，分析了車輛加減速、轉(zhuǎn)彎、爬坡、路面顛簸引起的橫向，俯仰等工況下轉(zhuǎn)子的振動(dòng)位移響應(yīng)，并簡(jiǎn)要分析了不同基礎(chǔ)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

通過(guò)對(duì)各學(xué)者研究工作的介紹，還存在以下問(wèn)題需要深入探究：(1)部分磁懸浮轉(zhuǎn)子建模只考慮了基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)，未考慮基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)影響；(2)盡管部分研究通過(guò)拉格朗日方程建?？紤]了基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)影響，但未考慮基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)引起的重力變化與附加耦合力矩影響，同時(shí)并未辨明磁懸浮軸承支承力在方程中的關(guān)系；(3)在穩(wěn)定性分析中未考慮磁懸浮軸承電磁力變化的影響；(4)動(dòng)力學(xué)分析中并未深入研究轉(zhuǎn)速，附加偏心等參數(shù)變化以及基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)之間對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)產(chǎn)生的耦合影響。

基礎(chǔ)激勵(lì)也是十分復(fù)雜的，從分類上講，基礎(chǔ)激勵(lì)可以分為平動(dòng)激勵(lì)與轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)；與轉(zhuǎn)子作用方向相結(jié)合，也可以分為徑向激勵(lì)和軸向激勵(lì)。不同的基礎(chǔ)激勵(lì)作用形式也不相同，例如簡(jiǎn)諧激勵(lì)、沖擊激勵(lì)、隨機(jī)激勵(lì)等，簡(jiǎn)諧激勵(lì)主要由頻率與振動(dòng)幅值決定，沖擊激勵(lì)主要由沖擊脈寬與沖擊幅值決定，而隨機(jī)激勵(lì)主要由功率譜密度決定等等。

針對(duì)上述問(wèn)題，選取在船舶車輛中常見(jiàn)的基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)，首先考慮不平衡、重力、非定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的附加慣性力矩影響，建立了基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)模型；搭建了磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)機(jī)電一體化模型；然后利用等效剛度阻尼模型分析了各參數(shù)對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響；最后從轉(zhuǎn)子軌跡，振動(dòng)幅值兩方面分析了不同基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子的影響。

1 基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模

在進(jìn)行轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模之前，首先需要明確傳統(tǒng)軸承支承的轉(zhuǎn)子建模與磁懸浮軸承支承的轉(zhuǎn)子建模在原理上是相似的，只是對(duì)軸承支承力處理方法不同。

1.1 磁懸浮轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析

一般轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程有兩種建模方法，一種是利用牛頓力學(xué)與歐拉動(dòng)力學(xué)方程等力學(xué)理論，另一種則采用拉格朗日方程。兩者在結(jié)論上是等價(jià)的，但第二種方法邏輯簡(jiǎn)單直接，較為常用，因此本文將采取拉格朗日方程進(jìn)行轉(zhuǎn)子建模。

無(wú)論基礎(chǔ)是否運(yùn)動(dòng)，利用拉格朗日方程建模的思路是不變的。首先確立轉(zhuǎn)子及其相關(guān)坐標(biāo)系，然后求解轉(zhuǎn)子動(dòng)能，勢(shì)能，耗散能以及廣義力，最后代入方程求解計(jì)算，拉格朗日方程的一般形式如下：

(1)

式中：T為系統(tǒng)的動(dòng)能；R為系統(tǒng)的耗散能；V為系統(tǒng)的勢(shì)能；x為廣義坐標(biāo)；Q為系統(tǒng)受到的各種廣義力。

磁懸浮軸承支承力在拉格朗日方程中的應(yīng)用與傳統(tǒng)軸承不同，磁懸浮軸承電磁力一般做廣義力處理，而不作為剛度阻尼項(xiàng)施加到轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程中。由于電磁力的支承特點(diǎn)，支承剛度引起的勢(shì)能與支承阻尼所引起的耗散能由廣義力代替，故只分析轉(zhuǎn)子動(dòng)能即可。

徑向磁軸承采用8極差動(dòng)結(jié)構(gòu)，由于磁懸浮轉(zhuǎn)子徑向與軸向耦合很小，所以只需求解徑向四自由度磁懸浮轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程，軸向可以按照單自由度磁懸浮轉(zhuǎn)子建模。

1.2 轉(zhuǎn)子及相關(guān)坐標(biāo)系

正如1.1節(jié)中的轉(zhuǎn)子建模思路，建立以下坐標(biāo)系：

參考坐標(biāo)系Oxyz：大地為參考的笛卡爾坐標(biāo)系。

基礎(chǔ)坐標(biāo)系Obxbybzb：固連于設(shè)備基礎(chǔ)上的坐標(biāo)系，各坐標(biāo)軸與參考坐標(biāo)系平行，z軸為設(shè)備前進(jìn)方向，基礎(chǔ)相對(duì)大地運(yùn)動(dòng)的位置向量為[ubx,uby,ubz,θbx,θby,θbz]。

轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系Orxryrzr：固連于轉(zhuǎn)子質(zhì)心的坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱b系)，初始時(shí)基礎(chǔ)系原點(diǎn)與轉(zhuǎn)子系原點(diǎn)重合，為了提高轉(zhuǎn)子承載能力，磁懸浮軸承徑向布置偏轉(zhuǎn)45°，轉(zhuǎn)子系相對(duì)基礎(chǔ)系的位置關(guān)系如圖1、2所示，轉(zhuǎn)子相對(duì)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)的位置向量為[ux,uy,uz,θx,θy,θz]。

圖1 轉(zhuǎn)子與基礎(chǔ)的位置關(guān)系Fig.1 Position relationship between rotor and foundation

圖2 轉(zhuǎn)子系相對(duì)基礎(chǔ)系在z方向夾角關(guān)系Fig.2 Angle relationship between rotor system and foundation system in z direction

虛擬基礎(chǔ)坐標(biāo)系Obxgygzg：為了便于分析，定義固連于基礎(chǔ)上的虛擬系(簡(jiǎn)稱g系)，g系為b系繞z軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到，應(yīng)用虛擬基礎(chǔ)系后，即與最終轉(zhuǎn)子坐標(biāo)方向保持一致。虛擬基礎(chǔ)對(duì)應(yīng)的位置向量為[ugx,ugy,ugz,θgx,θgy,θgz]，而虛擬基礎(chǔ)位置向量與基礎(chǔ)位置向量變換關(guān)系為

(2)

則g系到b系的變換矩陣為

(3)

1.3 轉(zhuǎn)子動(dòng)能與動(dòng)力學(xué)方程

轉(zhuǎn)子動(dòng)能有平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能兩部分組成，對(duì)于轉(zhuǎn)子的平動(dòng)動(dòng)能，基礎(chǔ)g系相對(duì)大地參考系的位置向量為rg=[ugx,ugy,ugz]，轉(zhuǎn)子質(zhì)心在基礎(chǔ)g系下的位置向量為ri=[ux,uy,uz]。

則轉(zhuǎn)子速度向量表示為

(4)

這里ωg×ri為叉乘，其中ωg為坐標(biāo)系耦合矩陣，表示為

(5)

則轉(zhuǎn)子平動(dòng)動(dòng)能為

(6)

在轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能求解中，轉(zhuǎn)子的角速度需要用歐拉角表示，在這里選取常應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域的克雷洛夫角(也稱卡爾丹角)。

轉(zhuǎn)子角速度向量為

(7)

(8)

(9)

式中，α，β，γ為慣用表達(dá)，α=θx，β=θy，γ=θz。以ωr為例，歐拉角轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系如圖3所示

圖3 歐拉角轉(zhuǎn)動(dòng)次序關(guān)系Fig.3 Euler angle rotation order relation

(10)

則轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為

(11)

將轉(zhuǎn)子動(dòng)能代入拉格朗日方程中，取轉(zhuǎn)子質(zhì)心q=[ux,uy,θx,θy]作為廣義坐標(biāo)，以基礎(chǔ)g系為參考，經(jīng)公式推導(dǎo)及簡(jiǎn)化處理后得到轉(zhuǎn)子徑向四自由度動(dòng)力學(xué)方程

(12)

式中，q=[x,y,α,β]=[ux,uy,θx,θy]。q表示質(zhì)心處轉(zhuǎn)子的位移，f=[fx1,fx2,fx3,fx4]T表示磁懸浮軸承提供的電磁力，M為廣義質(zhì)量矩陣，G為陀螺矩陣，B為電磁力作用矩陣，F(xiàn)g為基礎(chǔ)振動(dòng)所產(chǎn)生的等效廣義力向量，具體簡(jiǎn)化及矩陣形式詳見(jiàn)附錄A。

1.4 附加慣性力矩與重力擾動(dòng)建模

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能建模過(guò)程中，大部分學(xué)者都忽略了非定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生附加力矩的影響。實(shí)際上基礎(chǔ)并非圍繞基礎(chǔ)系原點(diǎn)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，結(jié)合剛體動(dòng)量矩定理[21]，附加慣性力矩實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為轉(zhuǎn)子的附加剛度矩陣Kg以及廣義力矩陣Fg，具體形式見(jiàn)附錄B。

同樣地，學(xué)者們也忽略了基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的重力擾動(dòng)的影響。實(shí)際上基礎(chǔ)平動(dòng)不會(huì)產(chǎn)生重力擾動(dòng)，基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)自由度會(huì)產(chǎn)生重力擾動(dòng)影響，基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)下重力載荷變化如圖4所示

(a) z向轉(zhuǎn)動(dòng)

重力擾動(dòng)實(shí)質(zhì)上影響徑向x、y方向磁懸浮軸承的承載平衡，通過(guò)簡(jiǎn)單推導(dǎo)，重力擾動(dòng)FG表示為

(13)

1.5 轉(zhuǎn)子不平衡建模

轉(zhuǎn)子由于制造或安裝誤差等，質(zhì)量不平衡是必然存在的，但這并不影響基礎(chǔ)振動(dòng)建模，所以轉(zhuǎn)子不平衡可以單獨(dú)建模。

假設(shè)不平衡質(zhì)量點(diǎn)為qg，則質(zhì)量不平衡可以表示為

(14)

式中:e和φ表示靜不平衡的的幅度和相位；ε和γ表示動(dòng)不平衡的的幅度和相位。推導(dǎo)得到由于轉(zhuǎn)子不平衡等效的慣性力矢量為

(15)

由于本文中磁懸浮轉(zhuǎn)子軸向長(zhǎng)度要遠(yuǎn)大于徑向長(zhǎng)度，故Jz忽略不計(jì)。不平衡力簡(jiǎn)化為

(16)

1.6 轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程

綜合考慮了附加慣性力矩，重力擾動(dòng)以及不平衡力之后，代入基礎(chǔ)b系到虛擬g系的坐標(biāo)變換Cgb，最終基礎(chǔ)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程為

(17)

其具體矩陣形式詳見(jiàn)附錄C。

通過(guò)上述方程可以看到，基礎(chǔ)激勵(lì)下的磁懸浮轉(zhuǎn)子除了受到電磁力、不平衡力、重力擾動(dòng)作用之外，還受到基礎(chǔ)激勵(lì)引起的廣義外力作用，同時(shí)還產(chǎn)生了附加剛度和阻尼矩陣。

由于轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程的復(fù)雜性，為了便于后續(xù)仿真研究，這里對(duì)方程各參數(shù)進(jìn)行分析和簡(jiǎn)化處理。方程的運(yùn)動(dòng)參數(shù)主要由轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)參數(shù)和基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)參數(shù)組成，本文主要分析徑向四自由度下轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為，由于軸向磁懸浮軸承位移很小，忽略轉(zhuǎn)子軸向位移uz的影響，即對(duì)Fb簡(jiǎn)化處理，矩陣詳見(jiàn)附錄D。

基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)參數(shù)主要有徑向平動(dòng)激勵(lì)(以位移參數(shù)表示為ux,uy)、徑向轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)(θx,θy)、軸向平動(dòng)激勵(lì)(uz)、軸向轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)(θz)，徑向基礎(chǔ)激勵(lì)在x和y方向自由度上作用是等價(jià)的，因此仿真主要討論ux，θy，uz，θz以及它們的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，從激勵(lì)頻率與幅值兩個(gè)方面分析轉(zhuǎn)子的影響規(guī)律。

2 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)機(jī)電一體化建模

2.1 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為典型的閉環(huán)反饋系統(tǒng)，主要由五部分組成，分別是轉(zhuǎn)子、磁懸浮軸承、控制器、功率放大器、傳感器。本文所使用的磁懸浮軸承參數(shù)見(jiàn)表1；轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)圖如圖5所示，參數(shù)見(jiàn)表2。

表1 磁懸浮軸承主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of magnetic bearing

圖5 磁懸浮轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)尺寸Fig.5 Structural dimensions of magnetic levitation rotor

表2 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)各參數(shù)尺寸Tab.2 Parameters and dimensions of rotor structure

在磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，傳感器為實(shí)際測(cè)量轉(zhuǎn)子變化量的部件，轉(zhuǎn)子輸出的徑向位移需要通過(guò)控制器輸出控制電流在磁懸浮軸承處進(jìn)行控制，然而傳感器、控制器、磁懸浮軸承作用點(diǎn)并不在同一位置。為描述轉(zhuǎn)子受基礎(chǔ)激勵(lì)的響應(yīng)特性，轉(zhuǎn)子位移統(tǒng)一表示為傳感器處轉(zhuǎn)子的位移。令磁軸承處轉(zhuǎn)子位移為qd=[x1,y1,x2,y2]T，傳感器處的轉(zhuǎn)子位移表示為qh=[xh1,yh1,xh2,yh2]T，則質(zhì)心位移q與qd，qh之間轉(zhuǎn)換矩陣為

qc=Rqd,qc=Hqh

(18)

為了建立磁懸浮轉(zhuǎn)子機(jī)電一體化模型，應(yīng)從電磁力入手，因?yàn)橄到y(tǒng)各部分最終體現(xiàn)于磁懸浮軸承的電磁力中，電磁力與轉(zhuǎn)子位移q有著密切的關(guān)系，實(shí)際磁懸浮軸承產(chǎn)生的為非線性電磁力，一般磁懸浮軸承在線性工作區(qū)[22]，線性化后電磁力為

f=KiI-Kxqd

(19)

式中，Ki=diag[kix1,kiy1,kix2,kiy2]T為各個(gè)磁軸承的力-電流剛度組成的矩陣，Kx=diag[kxx1,kxy1,kxx2,kxy2]T為各個(gè)磁懸浮軸承的力-位移剛度組成的矩陣，I=[ix1,iy1,ix2,iy2]T為磁軸承的控制電流組成的向量。

電磁力主要由控制電流決定，其包含了閉環(huán)控制系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的作用，本文采用的位移傳感器和功率放大器均可以視為理想的比例環(huán)節(jié)，控制器采用經(jīng)典的PID控制，其傳遞函數(shù)為

(20)

式中，kP為控制器比例系數(shù)，kI為控制器積分系數(shù)，kD為控制器微分系數(shù)。

則控制電流在時(shí)域下表達(dá)為

(21)

式中，ka為功放增益系數(shù)，ks為傳感器增益系數(shù)，ka和ks均為常數(shù)。

2.2 等效剛度阻尼與狀態(tài)空間模型

將電流表達(dá)式代入到轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程的電磁力中，可以看到方程既有二階微分項(xiàng)同時(shí)也存在積分環(huán)節(jié)，為了便于穩(wěn)定性分析以及探究控制系統(tǒng)各環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響，建立電磁力等效剛度阻尼的概念，利用頻域變換求解磁懸浮軸承的等效剛度阻尼，建立完善的狀態(tài)空間模型。

利用推導(dǎo)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程，轉(zhuǎn)子坐標(biāo)統(tǒng)一用廣義坐標(biāo)系q(即質(zhì)心坐標(biāo)系)表示，將控制電流項(xiàng)代入，轉(zhuǎn)化到頻域得

s2Mqc+s(G+Cb)qc+(BKiGsGcGaH-1+

BKxR-1+Kb)qc=Fu+Fb+Fg

(22)

根據(jù)電磁力等效支承力

(23)

代入轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程(17)中可得

Fu+Fb+Fg

(24)

轉(zhuǎn)化到頻域得

s2Mqc+s(G+Cb+BCR-1)qc+(Kb+BKR-1)qc=

Fu+Fb+Fg

(25)

然后令s=jω代入得

[(-Mω2+Re(BKiGsGaGc)H-1+BKxR-1+Kb)+

j(Gω+Cbω+lm(BKiGsGaGc)H-1)]qc=

Fu+Fb+Fg

(26)

[(-Mω2+BKR-1+Kb)+j(Gω+Cbω+

BωCR-1)]qc=Fu+Fb+Fg

(27)

由此可得等效剛度阻尼為

(28)

令

CB=G+Cb+BCR-1

KB=Kb+BKR-1

FB=Fu+Fb+Fg

(29)

則轉(zhuǎn)子狀態(tài)空間模型表示為

(30)

3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

3.1 穩(wěn)定性分析理論

穩(wěn)定性分析的方法有很多，如傳統(tǒng)控制理論進(jìn)行分析(例如利用勞斯判據(jù)，奈奎斯特判據(jù)，bode判據(jù)等)，也有現(xiàn)代控制理論的分析(利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論)，也有利用近似求解模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特征值來(lái)判別穩(wěn)定性[23]，本文研究的磁懸浮剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)二階系統(tǒng)，在經(jīng)過(guò)電磁力線性化之后，磁懸浮轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)方程為二階線性微分方程，只需要考慮齊次方程。

結(jié)合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，根據(jù)特征方程判斷特征值來(lái)進(jìn)行穩(wěn)定性的分析。

由現(xiàn)代控制理論可知，對(duì)形如

(31)

上述狀態(tài)空間模型，其傳遞函數(shù)形式為(一般D陣為零陣)

(32)

即系統(tǒng)特征方程為det(sI-A)=0，當(dāng)其特征根實(shí)部為負(fù)值，則證明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

需要注意的是矩陣A中的陀螺矩陣項(xiàng)以及等效剛度阻尼項(xiàng)均與轉(zhuǎn)速相關(guān)，不同轉(zhuǎn)速下對(duì)應(yīng)的特征值并不相同，不同轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響并不是本文的研究重點(diǎn)，而是重點(diǎn)研究基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)參數(shù)以及閉環(huán)系統(tǒng)控制器參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。在仿真計(jì)算中為使PID控制器穩(wěn)定，引入不完全微分Tf，系統(tǒng)電控模型相關(guān)參數(shù)如表3，各參數(shù)表達(dá)詳見(jiàn)2.1節(jié)。

表3 系統(tǒng)電控模型參數(shù)Tab.3 System electric control model parameters

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速取固定轉(zhuǎn)速ω=50 Hz，通過(guò)等效剛度阻尼模型計(jì)算，該轉(zhuǎn)速下徑向磁懸浮軸承等效剛度約為5.6×105N/m，等效阻尼約為525.6 N·s/m。

3.2 基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響

通過(guò)特征方程可知，影響轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的參數(shù)主要有兩部分，一部分為基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)參數(shù)，一部分為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)，例如控制參數(shù)，偏置電流等。

表4 不同基礎(chǔ)激勵(lì)的穩(wěn)定性仿真參數(shù)Tab.4 Stability simulation parameters of different foundation excitation

圖6(a)為x方向基礎(chǔ)平動(dòng)頻率變化對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，特征根固定于復(fù)平面的某一位置，振動(dòng)頻率的變化并沒(méi)有導(dǎo)致特征根發(fā)生偏移，從圖中可以看出雖然振動(dòng)頻率很高(工況中難以達(dá)到)，特征根仍然居于負(fù)半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

圖6(b)為y方向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率變化對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，可以看出隨著振動(dòng)頻率的升高，一組特征根趨近并越過(guò)虛軸進(jìn)入正半平面，臨界振動(dòng)頻率約為340 Hz，即y向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到該頻率以上，系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)。

圖6(c)為z方向基礎(chǔ)平動(dòng)頻率變化對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，雖然隨著基礎(chǔ)振動(dòng)頻率的升高，特征根發(fā)生了軌跡偏移，但和圖6(a)類似，特征根仍然居于負(fù)半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(a) x方向基礎(chǔ)平動(dòng)根軌跡

圖6(d)為z方向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)頻率變化對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，可以看出與其他基礎(chǔ)激勵(lì)不同，由于z向轉(zhuǎn)動(dòng)二次項(xiàng)的影響，特征根的軌跡更加復(fù)雜，隨著振動(dòng)頻率的增加，兩組特征根趨近并越過(guò)虛軸進(jìn)入正半平面，通過(guò)計(jì)算在120 Hz左右系統(tǒng)開(kāi)始在正半平面出現(xiàn)了特征根，系統(tǒng)失穩(wěn)。

上述分析討論了基礎(chǔ)激勵(lì)單參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響，當(dāng)考慮存在多個(gè)基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)變化時(shí)，經(jīng)過(guò)計(jì)算分析并驗(yàn)證，系統(tǒng)特征根軌跡主要由影響較大的基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)決定，其余激勵(lì)參數(shù)的增大只會(huì)進(jìn)一步加快軌跡點(diǎn)向正半平面移動(dòng)。同時(shí)，從激勵(lì)方式來(lái)看，基礎(chǔ)振動(dòng)幅值變化與振動(dòng)頻率在穩(wěn)定性分析上是等價(jià)的，因此不必再分析基礎(chǔ)振動(dòng)幅值變化對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

綜合來(lái)看，不論是徑向還是軸向，基礎(chǔ)平動(dòng)變化不會(huì)引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)，基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)在一定參數(shù)下會(huì)使系統(tǒng)發(fā)散，但需要注意的是，本節(jié)穩(wěn)定性分析并未考慮外力矢量與電子器件飽和的限制，往往當(dāng)基礎(chǔ)激勵(lì)還未到達(dá)失穩(wěn)的基礎(chǔ)頻率或振動(dòng)幅值，系統(tǒng)因外力過(guò)載和器件限幅就已失穩(wěn)，在工程應(yīng)用中應(yīng)綜合考慮外部條件的限制。

3.3 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響

本節(jié)討論系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響，功率放大器與位移傳感器參數(shù)在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中默認(rèn)為常值，由此主要討論控制參數(shù)kP，kI，kD與偏置電流i0對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，為了控制變量，給定初始基礎(chǔ)激勵(lì)為分別為x向平動(dòng)與y向轉(zhuǎn)動(dòng)的固定參數(shù)。圖7分別為kP，kI，kD，i0四種系統(tǒng)參數(shù)變化的特征根軌跡，仿真參數(shù)如表5所示。

表5 控制仿真參數(shù)與偏置電流仿真參數(shù)Tab.5 Control simulation parameters and bias current simulation parameters

圖7(a)為比例系數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，在一定的基礎(chǔ)激勵(lì)下，當(dāng)kP小于0.8時(shí)，存在特征根位于正半平面，系統(tǒng)是失穩(wěn)的；隨著參數(shù)增大，位于正半平面的特征根軌跡向負(fù)半平面移動(dòng)，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，這與PID控制特性是一致的，當(dāng)kP較小時(shí)，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度不足，系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)。

(a) 比例系數(shù)kP特征根軌跡

圖7(b)為積分系數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從圖中可以看出，隨著參數(shù)kI增大，根軌跡雖然向正半平面發(fā)生偏移，但整體處負(fù)半平面，可見(jiàn)積分系數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響并不大，這也和PID特性是一致的。

圖7(c)為微分系數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從圖中可以看出，在微分系數(shù)取零時(shí)，特征根正好位于虛軸上，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定；隨著微分系數(shù)的增大，特征根軌跡向負(fù)半平面移動(dòng)。關(guān)于系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的原因是雖然微分系數(shù)為零，但系統(tǒng)仍具備剛度支承力，實(shí)際上轉(zhuǎn)子沒(méi)有阻尼會(huì)發(fā)生劇烈震蕩，工程實(shí)踐中臨界穩(wěn)定也是不可取的。

圖7(d)為偏置電流對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從表4偏置電流仿真參數(shù)可以看出，電流不能為零，這是由于偏置電流要支承轉(zhuǎn)子重力載荷。從圖中可以看出在偏置電流參數(shù)范圍內(nèi)，特征根始終位于負(fù)半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；隨著偏置電流參數(shù)的增大，根軌跡逐漸向負(fù)半平面移動(dòng)，但偏置電流也不宜過(guò)大。

整體來(lái)看，控制參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性影響可以從PID控制特性來(lái)分析，比例系數(shù)主要影響支承剛度，微分系數(shù)主要影響支承阻尼，kP過(guò)小，系統(tǒng)剛度不足發(fā)生失穩(wěn)，kD過(guò)小，系統(tǒng)阻尼不足會(huì)引起振蕩。而積分系數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響很小，偏置電流實(shí)質(zhì)上決定著軸承支承力大小，偏置電流不宜過(guò)小否則不足以支撐轉(zhuǎn)子重力，同時(shí)也不宜過(guò)大否則導(dǎo)致電子器件飽和。

3.2、3.3節(jié)討論了基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)，系統(tǒng)參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響，確定參數(shù)范圍，可以為后續(xù)控制設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

4 基礎(chǔ)激勵(lì)仿真研究

上一節(jié)主要討論了各參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，本節(jié)重點(diǎn)研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的位移響應(yīng)特性，分別從轉(zhuǎn)子軌跡與振動(dòng)位移幅值兩個(gè)方面探究基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)的變化規(guī)律。

4.1 基礎(chǔ)激勵(lì)對(duì)轉(zhuǎn)子軌跡影響

與第3節(jié)分析類似，雖然轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型參數(shù)眾多，較為復(fù)雜。但徑向各基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)具有類比性，故只研究一半?yún)?shù)即可，從變量個(gè)數(shù)上講，分別是x向平動(dòng)，y向轉(zhuǎn)動(dòng)，z向平動(dòng)，z向轉(zhuǎn)動(dòng)以及它們的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子位移取1，2路位移參考信號(hào)。

為了方便對(duì)比分析，以固有不平衡作為轉(zhuǎn)子位移軌跡參考，仿真時(shí)間取2 s，靜偏心取5×10-6m，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為100 Hz，該轉(zhuǎn)速下徑向磁懸浮軸承等效剛度約為5.45×105N/m，等效阻尼約為524.4 N·s/m。磁懸浮轉(zhuǎn)子仿真如圖8、9所示。

(a) 無(wú)基礎(chǔ)激勵(lì)

(a) 基礎(chǔ)z向平動(dòng)

圖8(a)為無(wú)基礎(chǔ)激勵(lì)轉(zhuǎn)子的位移軌跡，從圖中可以看出，轉(zhuǎn)子軌跡為呈規(guī)則圓形，穩(wěn)定后位移達(dá)到8 μm，這是由于轉(zhuǎn)子不平衡導(dǎo)致的。

圖8(b)為x方向基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子的位移軌跡，激勵(lì)參數(shù)取振動(dòng)幅值為2 mm，振動(dòng)頻率為5 Hz，可以看出在轉(zhuǎn)子不平衡位移的基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)子在x方向發(fā)生了位移偏移，幅值達(dá)到了12 μm，仿真表明x方向基礎(chǔ)平動(dòng)和轉(zhuǎn)子不平衡并不存在耦合。

圖8(c)為y方向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子的位移軌跡，激勵(lì)參數(shù)取偏擺幅度為3°，振動(dòng)頻率為5 Hz，從位移方向上看，y向轉(zhuǎn)動(dòng)主要影響x方向位移，位移幅值約為15 μm，但不同于圖8(b)，轉(zhuǎn)子軌跡不僅在x方向有振動(dòng)位移，在y方向也存在小范圍的位移，相比只有不平衡作用下的8 μm位移，轉(zhuǎn)子在y方向的位移達(dá)到11 μm左右，可見(jiàn)徑向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子徑向另一自由度產(chǎn)生了耦合影響，這是基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)區(qū)別于基礎(chǔ)平動(dòng)的又一特質(zhì)。此外，轉(zhuǎn)子軌跡的對(duì)稱軸(圖中紅線)并不關(guān)于x軸對(duì)稱，實(shí)際上存在很小的偏移，這是由于基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)下重力擾動(dòng)引起的，但偏移影響并不明顯，由此表明重力擾動(dòng)作用對(duì)轉(zhuǎn)子影響并不大。

由于實(shí)際運(yùn)動(dòng)往往是復(fù)合運(yùn)動(dòng)，同時(shí)考慮基礎(chǔ)x向平動(dòng)與y向擺動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子軌跡如圖8(d)所示，相比圖8(c)，在引入x向平動(dòng)后，復(fù)合運(yùn)動(dòng)并沒(méi)有使x向位移增加，反而使位移減小了3 μm，可以看出復(fù)合運(yùn)動(dòng)使徑向耦合作用進(jìn)一步加劇。

圖9主要討論了軸向基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子軌跡的影響，基礎(chǔ)軸向參數(shù)往往與實(shí)際應(yīng)用參數(shù)相結(jié)合，以車輛船舶為例，基礎(chǔ)軸向(z向)運(yùn)動(dòng)與前進(jìn)方向相同，并且軸向平動(dòng)往往處于加速或勻速狀態(tài)，而軸向轉(zhuǎn)動(dòng)也比徑向轉(zhuǎn)動(dòng)幅值更大。

圖9(a)為z方向基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子的位移軌跡，激勵(lì)參數(shù)為5 m/s2的加速運(yùn)動(dòng)，從圖中可以看出，轉(zhuǎn)子位移軌跡與圖8(a)相同，只存在不平衡的作用，即z向基礎(chǔ)平動(dòng)并不對(duì)轉(zhuǎn)子位移產(chǎn)生影響。當(dāng)然，只存在z向基礎(chǔ)平動(dòng)與不平衡作用的轉(zhuǎn)子是理想情況，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏離質(zhì)心位置，基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的附加耦合力矩作用于轉(zhuǎn)子，也會(huì)影響轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)。

圖9(b)為z方向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子的位移軌跡，激勵(lì)參數(shù)取偏擺角度為3°，轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為5 Hz，可以看出，基礎(chǔ)z向偏擺增大了y向位移，增幅約為7 μm，同時(shí)也對(duì)x向位移有小幅度影響，仿真表明基礎(chǔ)z向轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子徑向產(chǎn)生了耦合作用，且主要影響轉(zhuǎn)子y向位移。

從附錄C，D中表明z向平動(dòng)常伴隨著徑向轉(zhuǎn)動(dòng)項(xiàng)，故引入基礎(chǔ)z向平動(dòng)加速度和y向轉(zhuǎn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子軌跡如圖9(c)所示，圖中轉(zhuǎn)子軌跡是混亂無(wú)序的，且有逐步增大的趨勢(shì)，即系統(tǒng)發(fā)散。從能量機(jī)理分析，當(dāng)基礎(chǔ)一直處于加速狀態(tài)，即能量不停輸入給轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子質(zhì)心發(fā)生偏移時(shí)，施加在轉(zhuǎn)子上的作用力不斷增大，直至系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)。

改變基礎(chǔ)z向平動(dòng)參數(shù)，當(dāng)基礎(chǔ)z向是勻速狀態(tài)，取速度為5 m/s，同時(shí)施加y向的基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子軌跡如圖9(d)所示，對(duì)比圖9(c)可以看出，系統(tǒng)不再發(fā)散，復(fù)合運(yùn)動(dòng)分別使轉(zhuǎn)子x向和y向位移增加了8 μm、13 μm，仿真表明在z向平動(dòng)中徑向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合作用更加明顯。

本節(jié)主要研究了基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子軌跡的影響，其主要結(jié)論如下：從激勵(lì)類型上看，徑向平動(dòng)激勵(lì)使轉(zhuǎn)子在平動(dòng)方向上發(fā)生振動(dòng)偏移；而徑向轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)不僅影響對(duì)應(yīng)方向的轉(zhuǎn)子振動(dòng)，還在徑向另一自由度上產(chǎn)生耦合作用；徑向平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)之間也存在耦合作用，甚至可能減弱轉(zhuǎn)子在對(duì)應(yīng)方向上的位移。當(dāng)只存在軸向平動(dòng)激勵(lì)時(shí)，雖然會(huì)對(duì)軸向位移產(chǎn)生影響，但并不影響徑向轉(zhuǎn)子位移軌跡；而軸向轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)還會(huì)對(duì)徑向自由度產(chǎn)生耦合作用；特定的軸向與徑向的復(fù)合運(yùn)動(dòng)可能導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散，在工程應(yīng)用中應(yīng)當(dāng)考慮特定基礎(chǔ)激勵(lì)的影響。

4.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)位移幅值的變化規(guī)律

4.1節(jié)重點(diǎn)討論了轉(zhuǎn)子軌跡的變化規(guī)律，本節(jié)則主要研究轉(zhuǎn)子振動(dòng)的位移幅值，為了探究參數(shù)之間對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)位移幅值的變化規(guī)律，參數(shù)變化與位移幅值用響應(yīng)面表達(dá)，仿真取基礎(chǔ)平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速與不平衡同4.1節(jié)，參數(shù)變化選取徑向平動(dòng)，徑向轉(zhuǎn)動(dòng)，軸向轉(zhuǎn)動(dòng)，軸向平動(dòng)4個(gè)變量，轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)如下：

x方向基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)變化下轉(zhuǎn)子位移幅值響應(yīng)如圖10所示，取基礎(chǔ)復(fù)合運(yùn)動(dòng)為x方向平動(dòng)與y向轉(zhuǎn)動(dòng)，基礎(chǔ)y向轉(zhuǎn)動(dòng)取5 Hz，0.05 rad的固定參數(shù)。從圖中可以看出，轉(zhuǎn)子位移幅值隨著振動(dòng)幅值與頻率的增大逐漸增大，在低幅值下，近似呈線性關(guān)系；在低頻率下，位移隨幅值變化不大，而在高頻率下，位移增長(zhǎng)呈現(xiàn)非線性。需要注意的是，在5 Hz與10 Hz處，由于基礎(chǔ)y向轉(zhuǎn)動(dòng)在相等頻率以及倍頻處與基礎(chǔ)x向平動(dòng)作用相反，轉(zhuǎn)子位移出現(xiàn)塌陷，這是基礎(chǔ)復(fù)合運(yùn)動(dòng)在特定頻率下對(duì)轉(zhuǎn)子耦合作用的一個(gè)特征。

y方向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)變化下轉(zhuǎn)子位移幅值響應(yīng)如圖11所示，復(fù)合運(yùn)動(dòng)仍然取x向平動(dòng)與y向轉(zhuǎn)動(dòng)，基礎(chǔ)x向平動(dòng)參數(shù)取5 Hz，2 mm的固定參數(shù)，與圖10的變化規(guī)律類似，轉(zhuǎn)子位移幅值隨著轉(zhuǎn)動(dòng)幅值與頻率的增大也在逐漸增大，同時(shí)基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)與平動(dòng)的復(fù)合作用使得轉(zhuǎn)子位移在頻率5 Hz處存在塌陷，但在10 Hz倍頻處并不明顯，這一現(xiàn)象有待后續(xù)進(jìn)一步探究。

圖10 x方向基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子位移幅值Fig.10 Displacement amplitude of rotor under translational excitation of foundation in x direction

圖11 y方向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子位移幅值Fig.11 Displacement amplitude of rotor under foundation rotation excitation in y direction

z向基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)與徑向基礎(chǔ)激勵(lì)有所不同，從4.1節(jié)已知，z向平動(dòng)加速度與y向轉(zhuǎn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)會(huì)使系統(tǒng)發(fā)散。若討論z向速度參數(shù)，并沒(méi)有幅值和頻率兩個(gè)變量，故選取轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速作為另一個(gè)變量。轉(zhuǎn)子位移幅值響應(yīng)如圖12所示，可以看出前進(jìn)速度在5～25 m/s變化范圍內(nèi)，基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)對(duì)轉(zhuǎn)子位移幅值的影響近似呈線性關(guān)系，轉(zhuǎn)速變化并不影響其線性度，但隨著轉(zhuǎn)速的升高，由于剛體模態(tài)(約75 Hz)的影響使轉(zhuǎn)子位移先增大后減小。由此仿真結(jié)果表明前進(jìn)速度與轉(zhuǎn)速均獨(dú)立作用于轉(zhuǎn)子，兩者之間并不存在耦合作用。

圖12 z方向基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子位移幅值Fig.12 Rotor displacement amplitude under z-direction foundation translational excitation

z方向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)變化下轉(zhuǎn)子位移幅值響應(yīng)如圖13所示，復(fù)合運(yùn)動(dòng)取x向平動(dòng)與z向轉(zhuǎn)動(dòng)，x向平動(dòng)參數(shù)同圖11。從仿真結(jié)果可以看出，與徑向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)不同，z向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)雖然在轉(zhuǎn)動(dòng)幅值和頻率上取值均大于y向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)，但其轉(zhuǎn)子位移幅值遠(yuǎn)小于徑向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的幾十微米，最高只達(dá)到了8 μm。z向轉(zhuǎn)動(dòng)頻率變化對(duì)轉(zhuǎn)子位移幅值影響并不大，但基礎(chǔ)平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的復(fù)合作用在頻率5 Hz和10 Hz處依然明顯，且在倍頻處影響更大；而轉(zhuǎn)動(dòng)幅值的影響近似呈線性關(guān)系，并不受頻率變化影響。

圖13 z方向基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子位移幅值Fig.13 Rotor displacement amplitude under z-direction foundation rotation excitation

本節(jié)討論了基礎(chǔ)激勵(lì)參數(shù)對(duì)幅值的影響規(guī)律，基本結(jié)論如下：基礎(chǔ)徑向平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)在影響規(guī)律上是一致的；基礎(chǔ)激勵(lì)頻率對(duì)轉(zhuǎn)子位移影響要比振動(dòng)幅值更大，呈非線性關(guān)系，但同時(shí)要注意基礎(chǔ)復(fù)合運(yùn)動(dòng)在同頻及倍頻的轉(zhuǎn)子位移衰減；對(duì)于基礎(chǔ)軸向運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)幅值變化則需要重點(diǎn)關(guān)注，雖然轉(zhuǎn)子在剛性轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，但需要注意在轉(zhuǎn)值升速過(guò)程中剛體模態(tài)的影響。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模與動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，從基礎(chǔ)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模，磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)機(jī)電一體化建模，系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)特性規(guī)律幾個(gè)方面進(jìn)行了研究，主要結(jié)論如下：

(1)基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型還需要考慮重力變化與附加耦合力矩的影響?；A(chǔ)激勵(lì)對(duì)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響在轉(zhuǎn)子模型中主要體現(xiàn)為三部分，分別為等效廣義外力，附加剛度矩陣項(xiàng)和附加阻尼矩陣項(xiàng)。

(2)從系統(tǒng)穩(wěn)定上講，基礎(chǔ)平動(dòng)激勵(lì)不會(huì)引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)，基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)激勵(lì)在很高的激勵(lì)量級(jí)下會(huì)使系統(tǒng)失穩(wěn)，但往往在達(dá)到失穩(wěn)參數(shù)前，系統(tǒng)因電子器件飽和就已經(jīng)發(fā)生失穩(wěn)，在應(yīng)用設(shè)計(jì)中更應(yīng)考慮提高系統(tǒng)部件性能。

(3)PID控制中的比例系數(shù)，微分系數(shù)以及偏置電流均影響系統(tǒng)穩(wěn)定性，比例系數(shù)過(guò)小可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)子失穩(wěn)，微分系數(shù)與偏置電流應(yīng)結(jié)合基礎(chǔ)激勵(lì)工況選擇合理的參數(shù)以保證在穩(wěn)定工作范圍，積分系數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性影響很小。

(4)基礎(chǔ)激勵(lì)對(duì)轉(zhuǎn)子位移軌跡的影響是復(fù)雜的，僅存在基礎(chǔ)平動(dòng)時(shí)只會(huì)影響轉(zhuǎn)子在對(duì)應(yīng)方向上的位移；不論徑向還是軸向，基礎(chǔ)轉(zhuǎn)動(dòng)往往會(huì)對(duì)本方向外的自由度產(chǎn)生耦合作用；基礎(chǔ)平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)之間也存在耦合效應(yīng)，甚至在特定參數(shù)下減弱轉(zhuǎn)子位移，特定的基礎(chǔ)激勵(lì)還會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散。

(5)從轉(zhuǎn)子位移幅值影響規(guī)律上看，徑向基礎(chǔ)激勵(lì)下振動(dòng)幅值對(duì)轉(zhuǎn)子位移幅值影響近似呈線性關(guān)系，激勵(lì)頻率增大使轉(zhuǎn)子位移增加更明顯；軸向基礎(chǔ)激勵(lì)下平動(dòng)速度與轉(zhuǎn)動(dòng)幅值對(duì)轉(zhuǎn)子位移幅值影響也近似呈線性關(guān)系；不論是徑向還是軸向基礎(chǔ)激勵(lì)，都應(yīng)當(dāng)考慮復(fù)合運(yùn)動(dòng)中激勵(lì)頻率在同頻及倍頻下對(duì)轉(zhuǎn)子的位移衰減。

總的來(lái)說(shuō)，基礎(chǔ)激勵(lì)下磁懸浮轉(zhuǎn)子模型參數(shù)較多，參數(shù)之間作用關(guān)系復(fù)雜，本文僅從部分角度討論了基礎(chǔ)激勵(lì)下轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，例如強(qiáng)基礎(chǔ)激勵(lì)下，非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性以及基礎(chǔ)激勵(lì)下的轉(zhuǎn)子振動(dòng)控制都是值得研究的方向。

附錄A

應(yīng)用虛擬基礎(chǔ)系(g系)各矩陣

在實(shí)際工程應(yīng)用中，基礎(chǔ)振動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角通常為小角度即可以近似認(rèn)為ωg≈θg，同時(shí)對(duì)于本文涉及的細(xì)長(zhǎng)轉(zhuǎn)子，Jr?Jz，則上述公式可簡(jiǎn)化為

附錄B

引入附加慣性力矩后的附加剛度矩陣Kg以及廣義力矩陣Fg

附錄C

附錄D

簡(jiǎn)化后的Fb