◎李樹明

(福建省周寧縣第一中學(xué)，福建 寧德 355400)

單元整體教學(xué)是以全局的眼光、系統(tǒng)的方法幫助教師更好地把握教材、解讀教材，并對各單元教材之間的聯(lián)系進行再次認(rèn)知與梳理，明確所教知識在整個中學(xué)階段所處的地位，對中學(xué)數(shù)學(xué)知識的完整性、系統(tǒng)性與科學(xué)性在宏觀上有更為準(zhǔn)確地把握其目的是從全局的角度使學(xué)生更好地把握知識及學(xué)科的內(nèi)涵2019年新人教A版高中數(shù)學(xué)教材把高中數(shù)學(xué)知識做了模塊化處理，這對單元整體教學(xué)提出更高的要求筆者近年來專注研究有關(guān)單元整體教學(xué)的模式問題，在研究與實踐中有些體會與大家一起探討

一、從函數(shù)概念形成的視角理解和把握函數(shù)概念

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，而函數(shù)概念更為重要函數(shù)概念的學(xué)習(xí)涉及最為基礎(chǔ)的知識，函數(shù)的許多概念(如函數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的有界性等)、性質(zhì)對高一學(xué)生而言都是非常抽象、難以理解和記憶的，同時，函數(shù)對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)(如數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模)是很好的載體新課標(biāo)指出，教師要樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿教學(xué)活動的全過程新課標(biāo)中提出的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析，這六大核心素養(yǎng)是高中生應(yīng)具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模這四大核心素養(yǎng)，其重要性不言而喻，而學(xué)好函數(shù)有關(guān)概念又是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)其實，教材在函數(shù)這部分給出了許多已經(jīng)建好的數(shù)學(xué)模型(如基本初等函數(shù)等)，這些數(shù)學(xué)模型為我們學(xué)習(xí)和研究客觀世界變量的對應(yīng)關(guān)系提供了很大的便利受此啟發(fā)，筆者注意到教材是從如何形成的視角去解析數(shù)學(xué)概念，并把函數(shù)概念的形成過程當(dāng)作一個數(shù)學(xué)模型在課堂教學(xué)中，教師從定義模型化的角度引導(dǎo)學(xué)生理解和記憶函數(shù)有關(guān)概念，可幫助學(xué)生理解與記憶這些抽象的數(shù)學(xué)概念，進而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

(一)嚴(yán)格定義型(抽象型)

1函數(shù)定義：一般地，設(shè)，是非空的實數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù),按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱：→為從集合到集合的一個函數(shù)(function)，記作=()，∈其中,叫作自變量，的取值范圍叫作函數(shù)的定義域(domain);與的值相對應(yīng)的叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{()|∈}叫作函數(shù)的值域(range)(2019年新人教A版必修一第62頁)

定義解析一：注意邏輯連接詞

格式：……任意……都有……

定義解析二：從語法句式的結(jié)構(gòu)理解邏輯連接詞前后部分的內(nèi)容及地位

格式：，任意，都有……

定義解析三：填空補充完整的定義內(nèi)容

具體解析：

(1)先注意邏輯連接詞：

……任意……都有……

(2)前提條件：

，是非空的實數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系

(3)核心概念：

核心部分①——任意性(對);

核心部分②——唯一性(→)

從這三個方面認(rèn)識函數(shù)的概念，可把函數(shù)的概念抽象為：前提、邏輯連接詞、核心部分(任意性與唯一性)，本質(zhì)上就是從到的定量研究這樣便不難理解與記憶了

2增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)()的定義域為,區(qū)間?:

如果?,∈,當(dāng)<時，都有()<()，

那么就稱函數(shù)()在區(qū)間上單調(diào)遞增

特別地，當(dāng)函數(shù)()在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱函數(shù)()在區(qū)間上為增函數(shù)(increasing function)

圖1

具體解析：

(1)先注意邏輯連接詞:

……任意……都有……

(2)前提條件：函數(shù)()的定義域為,區(qū)間?

(3)核心概念：

核心部分①：?,∈,當(dāng)<時——任意性(對)；

核心部分②：都有()<()——唯一性(→)

增函數(shù)的定義模式是不是跟前面函數(shù)的定義模式一樣呢？事實上，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大(小)值都是這種定義模式這種嚴(yán)格的、抽象的數(shù)學(xué)概念的定義形式稱作抽象定義

這種抽象、嚴(yán)格的定義方式是按照一定的邏輯規(guī)則而形成的約定下定義就是給對象所具有的各種構(gòu)成特性做出一種選擇，就是在給定系統(tǒng)中通過術(shù)語來選擇充分必要條件(張奠宙，1998)它賦予定義“數(shù)學(xué)的明確性”與“數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性”嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的一個突出特點，甚至可以說數(shù)學(xué)的生命就在于它的嚴(yán)密性和許許多多數(shù)學(xué)定理一樣，數(shù)學(xué)概念的定義也是數(shù)學(xué)內(nèi)部和諧選擇的結(jié)果，是數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的重要表現(xiàn)學(xué)生經(jīng)歷了概念定義過程的思考與推敲、修正與琢磨，就會獲得定義嚴(yán)密性的體會，就能學(xué)習(xí)定義概念的科學(xué)方法學(xué)生在課堂中就能比較快速地敘述概念，后續(xù)遇到這種嚴(yán)密、抽象型的概念，運用類比就可以自主下定義

(二)描述性定義型(白描)

3指數(shù)函數(shù)：一般地，函數(shù)=(>0,且≠1)叫作指數(shù)函數(shù)(exponential function)(2019年新人教A版必修一第113頁)

這個定義換個說法就是“形如=(>0,且≠1)的函數(shù)叫作指數(shù)函數(shù)”這個定義給我們的直觀感覺就是和=長得一模一樣的函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)它比上面函數(shù)的定義簡單多了

4對數(shù)函數(shù)：一般地，函數(shù)=log(>0,且≠1)叫作對數(shù)函數(shù)(logarithmic function)(2019年新人教A版必修一第130頁)

這個定義是不是也很簡單？回顧我們學(xué)過的具體函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元一次方程、一元二次方程等也是用這種方式下定義

格式：前提條件，形如……叫作……

事實上，具體的基本初等函數(shù)大多形式特征明顯，能從外形上直接觀察和識別而現(xiàn)在所學(xué)概念的本質(zhì)特征比較抽象，學(xué)生又缺乏抽象其本質(zhì)特征所需要的知識與經(jīng)驗，很難嚴(yán)格下定義，故教師只能用描述其特征的方法下定義，這種下定義的方式稱為描述性定義，也稱“白描”

(三)其他類型

圖2

這種以角終邊上點的坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)(2019年新人教A版必修一第177頁,有修改)

格式：前提條件，把……叫作……

這種在特定條件下用“比值”來定義三個三角函數(shù)異于嚴(yán)格定義型與描述定義型，但似乎又有它們的影子，特別有意思，這里把它歸為其他類型

(四)拓展到更為廣泛的概念教學(xué)舉例

集合：一般地，對于兩個集合,，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，就稱集合是集合的子集(subset),記作?(或?),讀作“包含于”(或“包含”)

格式：，任意，都有……(嚴(yán)格定義型)

橢圓：已知平面上兩定點(-,0),(,0)，平面上到兩定點(-,0),(,0)的距離之和為常數(shù)(大于||)的點(,)的軌跡叫作橢圓這兩定點(-,0),(,0)叫作橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫作橢圓的焦距

換成數(shù)學(xué)符號語言：已知平面上兩定點(-,0),(,0)，對平面上任意的點(,)都有||+||=2(2>||),點(,)的軌跡稱為橢圓

格式：，任意，都有……(嚴(yán)格定義型)

直線的點斜式：直線過(,)，為直線的斜率，-=(-)叫作直線的點斜式方程，簡稱點斜式

格式：前提條件，形如……叫作……(白描型)

我們把++=0(,不同時為零)稱為直線的一般式方程

格式：前提條件，形如……叫作……(白描型)

如果非零向量與平面垂直，稱為平面的法向量

格式：前提條件，把……叫作……(其他類型)

格式：前提條件，把……叫作……(其他類型)

二、挖掘重要概念在教材中起到的作用

2019年新人教A版必修一第135頁：

一般地，指數(shù)函數(shù)=(>0,且≠1)與對數(shù)函數(shù)=log(>0，且≠1)互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換

這個概念以及前面的一些解析內(nèi)容很容易讓教師淡化處理“反函數(shù)”的概念筆者認(rèn)為從知識的整體性出發(fā)，這里的教學(xué)不容缺失“反函數(shù)”這個概念可打通指、對數(shù)函數(shù)間的關(guān)系，理清它們之間的關(guān)系，這樣學(xué)生對對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的掌握就可以用指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來對照理解與記憶了

課堂上教師要求學(xué)生掌握如何求反函數(shù)是關(guān)鍵，原因有二：

(1)求反函數(shù)揭示對數(shù)的來源，強化指、對數(shù)函數(shù)相互轉(zhuǎn)化是解決指、對數(shù)函數(shù)問題最為重要的途徑

(2)它是理解指、對數(shù)函數(shù)圖像走勢的關(guān)鍵指數(shù)函數(shù)在(-∞，0)的圖像走勢(慢)對應(yīng)對數(shù)函數(shù)(1，+∞)的圖像走勢；指數(shù)函數(shù)在(0，+∞)的圖像走勢(快)對應(yīng)對數(shù)函數(shù)(0，1)的圖像走勢指數(shù)函數(shù)的底越大說明“加速臺的威力”越大，對數(shù)函數(shù)的底越大說明“加速臺的威力”越小

6如圖3所示，是對數(shù)函數(shù)=log，=log，=log和=log的圖像，則,,,與1的大小關(guān)系為________

圖3

由圖可知，函數(shù)=log和=log的底數(shù)>1，>1，函數(shù)=log和=log的底數(shù)0<<1,0<<1，過點(0,1)作平行于軸的直線=1，則直線=1與四條曲線交點的橫坐標(biāo)從左向右依次為,,,，所以>>1>>>0

事實上，教師在教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生觀察第一象限圖像，底越大越靠近軸(向軸正半軸靠攏)，那么指數(shù)函數(shù)圖像底越大在第一象限越靠近軸

將題目換成底為，，，的四個指數(shù)函數(shù)，方法相同，將，互換，對照解決就行，這體現(xiàn)了知識與方法的整體統(tǒng)一

三、在單元復(fù)習(xí)課中對公式的作用的指向進行分類

在教材“三角函數(shù)”這一章中，公式繁多，教師在復(fù)習(xí)課中從公式的指向進行分類有時會起到意想不到的效果

三角變換不外有變“名”與“角”

變“名”的公式有：(1)同角關(guān)系式：平方關(guān)系，商的關(guān)系；(2)誘導(dǎo)公式5，6

變“角”的公式有：(1)二倍角公式及降冪擴角公式；(2)誘導(dǎo)公式1，2，3，4；(3)輔助角公式

這樣理一理會便于學(xué)生記憶與應(yīng)用

四、學(xué)生完成單元小結(jié)問題

在單元整體教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生主動參與單元知識的整體構(gòu)建是值得探討的問題筆者在近年的摸索中嘗試讓學(xué)生做單元小結(jié)，取得了較好的實踐效果

(一)設(shè)計專門的單元小結(jié)模版

1設(shè)計意圖說明

本單元小結(jié)是在單元新課結(jié)束后，學(xué)生自主完成單元小結(jié)，是教師示范并引導(dǎo)學(xué)生完成單元復(fù)習(xí)的一種較為新穎的復(fù)習(xí)模式它給學(xué)生自主整合、歸納本單元所學(xué)知識、辨析核心概念、理清邏輯脈絡(luò)提供了自我學(xué)習(xí)與對照學(xué)習(xí)的機會當(dāng)然，這里對學(xué)生的能力要求較高，所以教師的反復(fù)、多次示范與對照不可少

2設(shè)計流程說明

(1)第一個板塊：知識結(jié)構(gòu)整合

學(xué)生將本單元重要的概念、公式、定理詳細(xì)地羅列在草稿紙上，經(jīng)過思考、推敲，進行思維的深加工后，做出本單元的知識結(jié)構(gòu)圖，將單元所學(xué)知識融為一個整體，用單元整體思想把握整個單元的知識，這樣的小結(jié)一目了然，但有時需要必要的說明與強調(diào)

(2)第二個板塊：選擇典型例題

學(xué)生可從本章中的例題、習(xí)題、練習(xí)冊及試卷等中找到自己認(rèn)為最能代表本單元主要知識點的例題，要求緊扣第一板塊的知識結(jié)構(gòu)圖與說明，每個例題的旁邊需要用紅筆備注用到哪個重要知識點及哪個平時所學(xué)的思想方法

(3)第三個板塊：錯題解析

選一個你最容易做錯的題目，先錄入錯解，再用紅筆在旁邊進行訂正，并備注錯因

(4)第四個板塊：學(xué)后反思

談一談你學(xué)習(xí)本單元的收獲與不足，以及本單元知識在教材中的地位

(二)教師示范如何做單元小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生自主完成單元小結(jié)(教師先示范，學(xué)生再獨立完成)

第一版塊知識歸納的原則：(1)先總后分，先宏觀后微觀(2)對重要概念解析要下功夫

第二版塊典型例題的選擇原則：與重要知識相呼應(yīng)

教師通過單元復(fù)習(xí)課，和學(xué)生共同梳理本章概念、知識點、解題方法，進行題型分類訓(xùn)練，然后收集學(xué)生的錯誤做法，分析錯誤成因，引導(dǎo)學(xué)生完成單元小結(jié)

(三)批改學(xué)生的單元小結(jié)

教師應(yīng)從知識結(jié)構(gòu)的完整性、系統(tǒng)性的角度評價學(xué)生是否完全理解了本章的知識體系，從所選例題代表性看學(xué)生是否關(guān)注到本章內(nèi)容主線之間的關(guān)聯(lián)，從易錯題分析評價學(xué)生是否掌握所學(xué)內(nèi)容及復(fù)習(xí)的有效性，從對本章的感想了解學(xué)生學(xué)習(xí)過程中可能遇到的困惑，為下一階段的教學(xué)提供依據(jù)

通過單元小結(jié)，學(xué)生既概括了單元知識要點,使知識系統(tǒng)化,又培養(yǎng)了綜合歸納能力，能清楚地知道自己對本單元知識哪一部分學(xué)得最好,哪一部分學(xué)得不夠好，或者還有哪些歸納不會做,主要原因是什么，并及時地查缺補漏這里主要培養(yǎng)了學(xué)生對知識的整體觀

鐘啟泉認(rèn)為，單元不是把教學(xué)內(nèi)容碎片化地當(dāng)作知識點來處置，而是有機地、模塊式地組織和構(gòu)成的；單元設(shè)計不是單純知識點傳輸和技能訓(xùn)練的安排，而是教師基于學(xué)科素養(yǎng)，思考怎樣描繪基于一定目標(biāo)和主題而展開探究活動敘事的活動，目的是創(chuàng)造優(yōu)質(zhì)的教學(xué)

呂世虎認(rèn)為，單元教學(xué)設(shè)計是教師以教材為基礎(chǔ)，用系統(tǒng)論的方法對教材中具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容進行分析、重組、整合，并形成相對完整的教學(xué)單元，在教學(xué)整體觀的指導(dǎo)下將教學(xué)諸要素有序規(guī)劃，以優(yōu)化教學(xué)效果的教學(xué)設(shè)計，單元教學(xué)設(shè)計具有整體性、層序性、生本性和創(chuàng)造性

李昌官認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一個不可分割的、相互聯(lián)系的整體，數(shù)學(xué)教育的價值蘊藏在數(shù)學(xué)核心概念及其相互聯(lián)系之中，因此，數(shù)學(xué)知識的整體性和聯(lián)系性決定了數(shù)學(xué)教育應(yīng)該大處著眼、小處著手