劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學(xué) 241000)

《中國高考評價(jià)體系》指出：高考要求學(xué)生能夠觸類旁通、融會貫通，既包括同一層面、橫向的交互融合，也包括不同層面之間、縱向的融會貫通.高考要從“知識立意”轉(zhuǎn)向“能力立意”，考查學(xué)生的“關(guān)鍵能力”和“核心素養(yǎng)”.這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中，學(xué)會靈活運(yùn)用所學(xué)知識分析、解決問題，達(dá)到從“解題”向“解決問題”的轉(zhuǎn)變，對于一些典型問題，能夠從不同角度思考，尋求不同的解法，以一題多解的方式尋求知識間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識的網(wǎng)絡(luò)體系，加深對問題的本質(zhì)認(rèn)識，從而拓寬解題視野，發(fā)散解題思維，提升學(xué)習(xí)興趣，提高解題能力.在清華大學(xué)2021年11月舉辦的中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測試中，有一道二元分式函數(shù)最值問題，筆者結(jié)合學(xué)生的作答情況整理成文，現(xiàn)與讀者分享交流，以期拋磚引玉.

1 試題呈現(xiàn)與分析

分析該題形式上以圓的方程(二元二次方程)為背景命題，主要考查分析、解決二元二次問題的能力，強(qiáng)化對轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、消元與不等式求最值等數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題結(jié)構(gòu)雖簡單、明了，但內(nèi)涵豐富，值得研究，以發(fā)揮該題的最大價(jià)值.

2 解法探究

角度1分式齊次化，比值換元,化二次函數(shù)為一次函數(shù).

圖1

角度2聯(lián)想點(diǎn)到直線距離和兩點(diǎn)間距離公式，轉(zhuǎn)化為直角三角形內(nèi)角的正弦值問題.

圖2

角度3聯(lián)想點(diǎn)到直線距離公式，轉(zhuǎn)化為距離問題.

圖3

角度4聯(lián)想向量夾角余弦公式，轉(zhuǎn)化為余弦函數(shù)問題.

圖4

角度5聯(lián)想三角函數(shù)定義，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

圖5

根據(jù)三角函數(shù)的定義，有

角度6極坐標(biāo)換元，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

解法6如圖5，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ,θ)為圓C上一點(diǎn)，則θ∈[60°,120°].

評注極坐標(biāo)換元法是解決二次函數(shù)問題的常用解法，文[3]對極坐標(biāo)換元在二元函數(shù)問題中的應(yīng)用做了詳細(xì)的介紹，讀者可以參考.

3 變式訓(xùn)練

上述計(jì)算分析表明，高架橋、地鐵站同期同位分離式合建結(jié)構(gòu)在靜力工況下安全可靠。為分析其抗震性能，采用MIDAS大型巖土隧道有限元軟件GTS建立三維有限元模型(見圖9)，進(jìn)行抗震動力時(shí)程計(jì)算分析。

=3sin(θ+φ),

由φ≤θ+φ≤θ0+φ，

sin(θ0+φ)=sinθ0cosφ+cosθ0sinφ

解法3(利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性法)

所以g(a)min=min{g(0),g(2)}

即(y2-1)a2-8a+2y2-16=0.

圖6

由于0≤a≤2，

圖7

4 反思總結(jié)

4.1 一題多解，提高解題能力

數(shù)學(xué)離不開解題，數(shù)學(xué)研究的過程就是解決問題的過程，掌握數(shù)學(xué)的一個(gè)重要標(biāo)志就是善于解題.可見，解題是一名教者的必備技能，技能的形成并非一朝一夕，而在于日積月累.數(shù)學(xué)解題是鞏固基礎(chǔ)知識、落實(shí)基本技能、感悟思想方法、提升思維敏銳度的系統(tǒng)活動，所以對一道典型問題進(jìn)行多角度的分析與解答是非常必要的.筆者從六個(gè)角度對一道清華測試題予以分析，給出六種不同的解法，解法1是在觀察出分式的齊次化特征后，比值換元為一次函數(shù)，再以導(dǎo)數(shù)為工具求函數(shù)最值.解法2至5是基于函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想所學(xué)的基本概念、公式，構(gòu)造出函數(shù)式的幾何意義解題，其中解法2和3聯(lián)想點(diǎn)到直線的距離公式，分別將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為直角三角形內(nèi)角的正弦值問題和距離問題；解法4聯(lián)想向量夾角余弦公式，轉(zhuǎn)化為余弦函數(shù)問題；解法5聯(lián)想三角函數(shù)定義，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.解法6通過極坐標(biāo)換元法，同樣將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，與解法5異曲同工.用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題，不僅能更牢固地掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，還能更靈活地運(yùn)用所學(xué)知識，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體性的理解與認(rèn)識．通過一題多解，分析、比較各種解法，可以找到最佳的解題途徑，從而發(fā)散學(xué)生的思維能力，對鞏固數(shù)學(xué)知識和提高解題能力大有裨益．

4.2 夯實(shí)基本知識，強(qiáng)化通性通法

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：在數(shù)學(xué)高考命題中，考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、方法的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性；注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法.因此，筆者認(rèn)為在日常的解題教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，以提高學(xué)生解題的基本活動經(jīng)驗(yàn).我們尋求一題多解，但不能滿足于一題多解，更不能為了一題多解而多解，而是要在解答的過程中總結(jié)出哪種方法適合哪類題型，選擇哪個(gè)方法更加合理、高效，對于一些?？碱}型，甚至于必考題型，教師要指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)該類問題的“通性通法”，形成解題模型.通過文中對問題的多種解法不難看出，六種解法間的計(jì)算量和思維深度都有差別，但也都是解決類似分式函數(shù)的通法，那如何進(jìn)行“通性通法”的訓(xùn)練呢？筆者認(rèn)為，所謂“通性通法”一定是建立在對問題形式、結(jié)構(gòu)、特征等有著深刻理解的基礎(chǔ)之上，在有多種方法選擇的情況下，能快速找到最合理、高效的方法來完成解答.在日常的解題教學(xué)中，教師要指導(dǎo)學(xué)生分析每一種解法的優(yōu)與劣，打破總是求導(dǎo)判斷單調(diào)性的類似經(jīng)驗(yàn)解題的慣性思維，如解法1就是最常規(guī)解法，雖思路順暢，但過程冗長、計(jì)算量大；解法2至5根據(jù)函數(shù)式結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想點(diǎn)到直線距離公式、向量數(shù)量積、三角函數(shù)定義式、數(shù)形結(jié)合解出題目；解法6直接極坐標(biāo)換元，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，直接了當(dāng)，干凈利落.因此，教師在解題教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生如何根據(jù)問題特征，設(shè)計(jì)最合適的算理，選擇最佳的解法，這樣在平常的考試及最終的高考中才能“以不變應(yīng)萬變”，順利完成考試.