汪 健, 任念兵

(1.華東師范大學第二附屬中學，上海 201203；2.上海外國語大學附屬外國語學校，上海 200083)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出:教師要以數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，……引導學生從整體上把握課程，實現(xiàn)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.落實整體把握教學內容要求的一個有效途徑是進行“單元—課時”教學設計，由單元設計為課時設計指引方向，通過課時設計來落實、支撐單元設計的理念．如同章建躍博士指出的：“單元—課時”教學設計能夠充分體現(xiàn)數(shù)學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性，切實防止碎片化教學，通過有效的“四基”“四能”教學，使數(shù)學學科核心素養(yǎng)真正落實于數(shù)學課堂[1]．

事實上，國際教育界對單元整體教學的研究由來已久，其中比較具有代表性的一種觀點是以“大概念”為“錨點”，將素養(yǎng)的培養(yǎng)落實到具體教學中．所謂“大概念”，可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題．用“大概念”來組織知識，可以幫助學生在知識之間建立有意義的聯(lián)系，從而提升理解的品質，促成高通路遷移[2]．

本文將在“大概念”的視角下，以高三復習中與絕對值和模相關的問題為例，探索復習課的“單元—課時”教學設計．為便于討論，我們把求含絕對值(或向量、復數(shù)模)的表達式的最值、取值范圍或其中所含參數(shù)應滿足的條件等問題，統(tǒng)稱為“絕對值問題”．

1 內容和內容解析

絕對值是學生在初中數(shù)學課程中接觸的一個重要概念，它在代數(shù)上與幾何上都具有重要的意義．教材中往往將這兩重意義同時呈現(xiàn)，以幫助學生理解絕對值的內涵．

首先，絕對值運算的分段定義方式提供了分段函數(shù)的雛形，絕對值函數(shù)也是不少教材用于引入分段函數(shù)(或稱函數(shù)的分段表示法)的首選．而“運算”不僅是數(shù)學學習的基本任務，也是貫穿于高中數(shù)學的一條邏輯“暗線”[3]．在教學中可以嘗試將運算從函數(shù)中剝離出來，使運算不再作為函數(shù)的依附，而是運算先行，再引入函數(shù)觀點．

其次，借助絕對值所代表的“距離”這一幾何意義，可將其從數(shù)軸上兩點之間的距離推廣為一般有向線段的長度:在有向線段的終點處添上箭頭，演化為向量的模；又借著復數(shù)的幾何意義引申為復數(shù)的模，一以貫之地沿用了記號“|a|”的同時，逐步遷移并發(fā)展了絕對值的概念．而串聯(lián)起這一系列“距離”的，則是平方運算，這為通過二次函數(shù)研究絕對值和模的性質提供了途徑．

最后，絕對值問題涉及的思想方法也具有較高的育人價值．作為分段函數(shù)的絕對值函數(shù)所體現(xiàn)的分類思想是近現(xiàn)代數(shù)學中的重要思想．絕對值的定義很好地體現(xiàn)了從“現(xiàn)象分類”到“本質分類”的演進過程，能夠培養(yǎng)學生的辯證思維[4]，提升邏輯推理素養(yǎng)．而作為數(shù)軸上的“距離”，絕對值更是體現(xiàn)了數(shù)學的研究對象——數(shù)量關系與空間形式之間的對立統(tǒng)一關系，是學生發(fā)展“四基”、提高“四能”的重要載體．

綜上所述，我們將本單元的教學重點定為：提煉絕對值問題中的分類討論與數(shù)形結合思想方法，理解其中所蘊涵的函數(shù)思想．

2 目標和目標解析

2.1 單元目標

1)了解作為距離概念之基礎的絕對值運算和取模運算，把握原始的絕對值定義作為數(shù)軸上有向線段的長度這一內涵，體會絕對值的分段定義與數(shù)軸上有向線段的定向分類的聯(lián)系；

2)掌握處理絕對值問題的兩種基本方法——“去絕對值—分類討論”“構建距離—數(shù)形結合”，初步體會兩種思想在解決絕對值問題過程中的作用；

3)掌握在兩向量(或復數(shù))差的模與平面上兩點間的距離之間的轉換手段，將距離表達式平方以便轉化為二次函數(shù)來處理；

4)理解含絕對值的表達式與分段函數(shù)研究過程的共通性，能將絕對值問題轉化為距離問題，并建立其與二次函數(shù)的聯(lián)系，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng)．

2.2 目標解析

1)學生知道實數(shù)的絕對值、復數(shù)的模、有向線段的長度、向量的模等各個概念之間的聯(lián)系和發(fā)展過程，能體會上述諸概念之間的共性；

2)學生會從幾何視角解釋相應的代數(shù)表達式，也會用代數(shù)式表示幾何上的距離并做適當?shù)淖冃危?/p>

3)學生能將含絕對值的變形轉化與分類討論過程應用于函數(shù)問題、向量(復數(shù))模的和差、遞推數(shù)列等情境；

4)學生能將類似距離的概念和絕對值問題的聯(lián)系化歸為已有距離概念與絕對值問題的聯(lián)系，并用于解決相應問題．

3 教學問題診斷分析

絕對值問題是落實各種數(shù)學思想方法的有效載體，也是高三復習課關注的熱點之一．盡管這不是一類陌生的問題，但學生在解決絕對值問題時仍然會遇到許多困難．

首先，如何選擇解決方案．學生面對絕對值問題時，往往在解題路徑的選擇上犯難，或者手段比較單一，試圖尋找“萬能公式”，不能針對具體問題具體分析；或者在選擇時比較盲目，只能得出“一題一法”，而得不到通性通法．解決這個問題，需要教師引領學生歸納出絕對值問題的常用解題路徑，并結合具體實例分析每種路徑的適用場景，進而幫助學生發(fā)展在綜合場景下選擇路徑，甚至自行組合現(xiàn)有解決方案的能力．

其次，如何選擇分類標準．分類討論是絕對值問題的一種有效的解決方案．在絕對值問題的分類討論解法中，選擇分類標準是一個貌似淺顯實則困難的環(huán)節(jié)．眾所周知，分類討論的關鍵在于不重不漏．絕對值問題的分類討論中，主要涉及的是絕對值內表達式的符號問題，而后者又往往與不等式(組)相關聯(lián)，造成學生在討論過程中分類標準不清；或者在同一個范圍內反復計算，徒增無謂的運算量，淹沒了主線思想；或者在討論時遺漏約束條件，導致縮小或擴大解的范圍．這個困擾的消除需要長期的學習和積累．

第三，如何建立幾何模型．絕對值問題往往以常規(guī)幾何問題或代數(shù)問題的面目出現(xiàn)，這就造成學生無法輕易識別其中一些問題背后隱藏的距離概念，從而難以在問題中的“數(shù)”與“形”之間進行轉化．同時，囿于學生的個人經驗和直觀想象能力，將常規(guī)的幾何模型轉化并應用于新定義的距離(如直角距離)，也是學生運用數(shù)形結合思想解決絕對值問題的一大難關．為化解這個困難，可以嘗試引導學生探究新定義距離下的幾何學(如考查歐氏距離下經典軌跡問題在“直角距離”[5]下的對應圖形)，從而幫助學生建立幾何直觀．

第四，如何運用函數(shù)思想．將含絕對值的表達式平方變形，是對其進行化簡的一種常見手段．在絕對值問題中，由于代數(shù)表達式的復雜性，將表達式平方并非不二之選．如果問題中涉及多個絕對值表達式，那么平方之后對簡化問題的幫助往往不大．但是通過平方的手段將絕對值問題轉化為二次函數(shù)的思想仍然有其價值．這屬于一般觀念的層次，需要教師引導學生體會．

4 課時教學設計

根據(jù)以上關于絕對值問題的分析，可對以絕對值問題為數(shù)學主題的單元進行課時教學設計．按照復習課的特點，可將課時分為下列教學環(huán)節(jié)：

知識點擊——復習與課時內容相關的基本概念、基本方法等；

讀題審題——展示例題，師生共同讀題審題，分析問題要素；

策略設計——按照審題的結論設計解題路徑，優(yōu)化解題策略；

拓展聯(lián)系——考慮變式問題，比較問題間的異同，深化理解；

反思啟迪——總結本課中體現(xiàn)的思想方法，提升為一般規(guī)律；

鞏固練習——將解決方法類似的問題作為練習，鞏固所學．

根據(jù)單元內容解析和單元目標解析，將“絕對值問題”單元分解為3個課時，內容分別為絕對值問題中的分類討論法、數(shù)形結合法和函數(shù)思想．下面以第一課時“絕對值問題的分類討論法”為例，對課時的教學設計進行探討．

課時重點“去絕對值—分類討論”過程的理解與運用．

課時難點正確執(zhí)行分類討論的過程．

環(huán)節(jié)1知識點擊.

問題1含絕對值的函數(shù)y=|x|±|ax+b|(其中a,b>0)的圖像具有什么特征？其作圖過程是什么？

師生活動學生獨立思考，教師選擇學生代表面向全班交流，并完善結論——圖像由兩條射線和連接它們端點的線段組成，一般先確定兩條射線端點的位置，再找出兩條射線的斜率．

追問11)函數(shù)y=|x|±|ax+b|(其中a,b>0)的圖像上有兩處“拐角”，它們的位置如何確定？

師生活動學生思考并回答，教師提示其中蘊涵的分類討論思想——作圖前需要將y=|x|±|ax+b|改寫為不含絕對值的分段函數(shù)形式，討論其3段表達式分段點的位置和相應的解析式．教師提示：該過程可歸納為“去絕對值—分類討論”．

師生活動學生思考、討論，師生共同總結——“拐角”的位置和圖像各段的斜率都需要按系數(shù)的情況進一步分類討論，但是“拐角”的個數(shù)和圖像的“分段線性”特征是一致的．

設計意圖函數(shù)圖像的直觀特性使它成為研究函數(shù)性質的得力“助手”．由于我們關注的是函數(shù)圖像所反映的函數(shù)整體性質，因此，函數(shù)作圖的重點在于盡可能準確地描述函數(shù)的動態(tài)：單調性、奇偶性、周期性等．形如y=|ax+b|±|cx+d|的函數(shù)提供了分段函數(shù)作圖的范本，其中的“分段線性”和“拐角”特征既展示了處理絕對值問題時的分類討論思想，又區(qū)別于描點作圖，蘊涵著“化無限為有限”的思想，體現(xiàn)了函數(shù)作圖的一般研究路徑．同時，y=|x|±|ax+b|可以作為形如y=|ax+b|±|cx+d|的函數(shù)的代表，其作圖的研究也為后續(xù)問題的展開提供了思路．

環(huán)節(jié)2讀題審題.

例1設f(x)=|x-b1|+|kx-b2|-|2x-b3|，其中常數(shù)k>0，b1,b2,b3∈R．若函數(shù)y=f(x)的圖像如圖1所示，則數(shù)組(b1,b2,b3)的一組值可以是

圖1

( )

A．(3,-1,1) B．(1,-2,-1)

C．(-1,2,2) D．(1,-3,1)

水稻是建湖縣的主要糧食作物，常年種植面積在4.67萬hm2左右，稻谷產量41.4萬噸左右。大力推廣水稻病蟲綠色防控技術，既能經濟有效地控制農作物病蟲危害、保證稻谷產量，又達到農藥減量增效、保護生態(tài)環(huán)境和農產品質量安全的目的。為此，植保植檢站做了大量的工作。

(上海市長寧區(qū)2021屆高三數(shù)學一模試題第16題)

師生活動共同分析題目條件，特別是函數(shù)圖像蘊涵的信息．對比圖像的特征，討論題干中出現(xiàn)的參數(shù)對圖像形態(tài)的影響．

設計意圖雖然函數(shù)的表示方法以解析式形式為主，但是不能忽視由圖像法表示的函數(shù)．數(shù)學分析中強調通過研究函數(shù)的性質來作圖，將圖像作為函數(shù)性質的綜合反映.因此，由圖像給出函數(shù)也可視作對上述由性質到圖像過程的逆向思維，考查此類問題有助于發(fā)展學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．

環(huán)節(jié)3策略設計.

問題2我們已經看到，要把f(x)的解析式和圖像聯(lián)系起來，首先需要確定k的值．通過圖像給出的什么信息可以解決這個問題？

師生活動學生思考并回答．必要時，教師提示此問題與y=|ax+b|±|cx+d|的圖像特征的聯(lián)系．得出結論：由圖像兩端的水平射線可知k=1．

問題3對比y=|ax+b|±|cx+d|的圖像特征，可以通過已知函數(shù)圖像的哪個特征來排除干擾選項？

追問“拐角”位置相匹配是(b1,b2,b3)符合要求的充要條件嗎？可以怎樣檢驗我們選出的答案？

師生活動學生思考、討論，師生共同總結——上述解決方案考慮的是(b1,b2,b3)成為解的必要條件，并未將各段圖像的斜率變化情況考慮在內．(b1,b2,b3)應滿足的充要條件較為復雜，留待課后思考．

環(huán)節(jié)4拓展聯(lián)系.

(上海市浦東新區(qū)2017屆高三數(shù)學二模試題第12題)

問題4“去絕對值—分類討論”的過程可以怎樣應用于本題？

師生活動學生討論、回答，教師完善結論：原式必取|a·e±2b·e±3c·e|的4種可能的值之一．由|e|=1知原式的最大值一定等于|a±2b±3c|的4種可能值中的最大者．

設計意圖含絕對值表達式的最大值問題常用三角不等式求解，將和的絕對值放大為絕對值的和．但是本例所求表達式是3個絕對值的和，按照上述思路無法繼續(xù)放大，因此需要回歸基本的“去絕對值—分類討論”過程，也可算是一種逆向思維．

環(huán)節(jié)5反思啟迪.

問題5回顧本課內容，回答下列問題：

1)本課處理絕對值問題的主要方法是什么？

2)你能結合具體實例說明自己對“去絕對值—分類討論”過程的理解嗎？

3)有人認為“含絕對值的函數(shù)本質是分段函數(shù)”，你如何理解這種觀點？

師生活動學生討論、回答，教師進行補充完善，歸納出本課聚焦的處理絕對值問題的主要方法，突出分類討論思想在此類問題解決過程中的具體表現(xiàn)形式，即“去絕對值—分類討論”．

設計意圖回顧本課的主要內容，使學生在歸納提煉思想方法的同時，體悟數(shù)學基本技能和基本思想，提高分析和解決問題的能力．問題3)是開放性的，因為“分段函數(shù)”并不是一個明確界定的數(shù)學概念，而是函數(shù)的一種表示方法．有人認為處理含絕對值的函數(shù)問題經常需要進行分類討論，但是后續(xù)授課內容會打破這一思維定勢．用該問題引發(fā)學生的關注也正是對此進行批判性的思考．

環(huán)節(jié)6鞏固練習.

例3設數(shù)列a1,a2,…,an是數(shù)列1+21,2+22,3+23,…,n+2n(其中n∈N*，n≥3)的一個排列，求表達式f(a1,a2,…,an)=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|an-1-an|的最大值，并說明理由．

(上海市浦東新區(qū)2020屆高三數(shù)學一模試題第21題)

設計意圖該問題的解決沿用了“去絕對值—分類討論”的思路，但是需要對各個絕對值的符號進行定量討論，這是本課思想方法的延伸與細化．

以上是我們對“絕對值”這個大概念統(tǒng)領下的“絕對值問題”單元整體教學設計的一個初步嘗試，對“大概念”在單元復習中的“錨點”作用及其教學效果還有待進一步研究．