梁志國(guó)

(北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所 計(jì)量與校準(zhǔn)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100095)

1 引 言

正弦波擬合測(cè)量方法有著廣泛應(yīng)用[1～13]，有關(guān)其誤差及不確定度評(píng)定也有眾多研究[14～21]。

在正弦波形參數(shù)測(cè)量中，采樣序列長(zhǎng)度及序列所包含的周波數(shù)對(duì)測(cè)量及后續(xù)的曲線擬合有影響是有目共睹的，且已達(dá)成了一些共識(shí)。

通常，人們普遍認(rèn)為采樣序列長(zhǎng)度越長(zhǎng)，將可以獲得更高的測(cè)量準(zhǔn)確度以及更低的測(cè)量誤差。在測(cè)量誤差呈零均值隨機(jī)分布的情況下，這無(wú)疑是正確的。Deyst等對(duì)正弦曲線擬合誤差界的研究，依然延續(xù)了這一結(jié)論，并且給出了擬合誤差界與序列長(zhǎng)度成反比的確切結(jié)果[14]。然而，采樣測(cè)量序列的誤差分布規(guī)律很復(fù)雜，并不能簡(jiǎn)單認(rèn)定為符合零均值隨機(jī)分布;至少，它們均需要通過(guò)A/D轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)，而A/D引入的量化誤差并不完全呈現(xiàn)隨機(jī)性，也很難屬于零均值，因而，由正弦波采樣序列擬合所獲得的模型參數(shù)與采樣序列長(zhǎng)度之間的關(guān)系是否仍然符合上述共識(shí)，需要進(jìn)一步研究予以確認(rèn)。

關(guān)于采樣序列所包含的周波數(shù)帶來(lái)的影響，Deyst給出的結(jié)論依然是其擬合誤差界隨著周波數(shù)的增加呈震蕩衰減趨勢(shì)[14]，并以仿真曲線方式給出了定量的結(jié)果。即隨著周波數(shù)的增加，可以獲得更高的擬合精度。實(shí)踐證明，該結(jié)論是有條件的，并且對(duì)于正弦波的4個(gè)參數(shù)，其影響是有顯著不同的。

本文后續(xù)內(nèi)容，將針對(duì)采樣序列長(zhǎng)度和序列包含的信號(hào)周波數(shù)對(duì)正弦參數(shù)擬合誤差界的影響展開仿真研究，同時(shí)，針對(duì)A/D位數(shù)的變化帶來(lái)的影響也將進(jìn)行仿真，其變化相當(dāng)于序列信噪比發(fā)生了變化，也一定會(huì)給曲線擬合帶來(lái)影響，希望通過(guò)研究獲得具有一定規(guī)律性的結(jié)論。

2 基本思想及條件設(shè)定

2.1 基本思想

在波形數(shù)據(jù)采集中，測(cè)量條件通常涉及主觀和客觀兩種條件?？陀^條件一般指被測(cè)量值的波形參量條件，包括幅度、頻譜、噪聲等信息。對(duì)于正弦信號(hào)，則指其幅度、頻率、直流分量、失真等波形參量；它們不以人的意志為轉(zhuǎn)移，很難被干預(yù)和變動(dòng)。主觀條件，則指可以通過(guò)自主選擇而變化的測(cè)量條件，包括測(cè)量系統(tǒng)的量程、A/D位數(shù)、采樣速率、存儲(chǔ)深度、通頻帶、幅度測(cè)量誤差、采樣速率誤差等。

正弦波形采樣測(cè)量中，采樣速率與信號(hào)頻率是相關(guān)聯(lián)量，兩者之比是每個(gè)周波的采樣點(diǎn)數(shù)，通過(guò)選擇不同的采樣速率可改變?cè)摫戎?；?dāng)采樣速率固定后，采樣序列的長(zhǎng)短決定了其所包含周波數(shù)的多少。通過(guò)選取量程范圍，改變被測(cè)信號(hào)幅度與量程的占比；通過(guò)選擇不同A/D位數(shù)的測(cè)量?jī)x器和系統(tǒng)，改變量化誤差的大小。最終，改變正弦波擬合參數(shù)的誤差界。

關(guān)于正弦曲線擬合，在大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合下，其采樣序列長(zhǎng)度在幾十點(diǎn)到幾千點(diǎn)之間，序列所含的信號(hào)周波數(shù)為幾個(gè)至十幾個(gè)周波。所用的采樣系統(tǒng)A/D位數(shù)主要有8、12、16、24 bit幾種。

其中，絕大多數(shù)數(shù)字示波器所用的A/D位數(shù)為8 bit，并且，在序列長(zhǎng)度確定以及變化過(guò)程中，其它信號(hào)參數(shù)，例如幅度、直流分量、相位等，也將處于變化之中，它們共同作用的結(jié)果，將揭示擬合誤差的實(shí)際變化情況。

2.2 仿真條件和指針設(shè)定

綜合考慮各方面因素，選出具有相互獨(dú)立性和系統(tǒng)完備性的左右量化誤差影響的測(cè)量條件為：

1) A/D位數(shù)，用于確定量化水平及影響；

2) 采樣序列包含周波數(shù)，確定周波數(shù)的影響；

3) 采樣序列長(zhǎng)度，即序列包含的樣本點(diǎn)數(shù)，確定采樣序列長(zhǎng)度的影響；

4) 信號(hào)幅度，確定幅度變動(dòng)的影響；

5) 初始相位，確定信號(hào)相位變化帶來(lái)的影響；

6) 直流分量，確定直流分量變化帶來(lái)的影響。

經(jīng)過(guò)四參數(shù)正弦曲線擬合后，獲得的指標(biāo)特征參量為：

1) 有效位數(shù)誤差界，以bit表述；

2) 擬合幅度誤差界，以LSB表述；

3) 擬合頻率誤差界，以相對(duì)誤差表述；

4) 擬合相位誤差界，以度(°)表述；

5) 擬合直流分量誤差界，以LSB表述；

6) 擬合殘差有效值ρ，以LSB表述。

LSB(least bit)稱為最小量化階梯；當(dāng)A/D位數(shù)為b、幅度量程為E時(shí)，有

(1)

理論上，

(2)

2.3 誤差界搜索

正弦參數(shù)擬合的誤差界，是在上述6項(xiàng)測(cè)量條件下，固定其中的5項(xiàng)，變化1項(xiàng)，搜索出該條件變化時(shí)，四參數(shù)正弦擬合所獲得的有效位數(shù)、幅度、頻率、相位、直流分量等5項(xiàng)指標(biāo)的誤差界。

在考察序列長(zhǎng)度的影響時(shí)，則主要變化序列長(zhǎng)度，輔助調(diào)整變化其它測(cè)量條件，著重分析出序列長(zhǎng)度作為主導(dǎo)因素時(shí)，將給上述5項(xiàng)指標(biāo)的擬合誤差界帶來(lái)的影響規(guī)律。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理

使用電子計(jì)算機(jī)按照數(shù)學(xué)關(guān)系產(chǎn)生理想正弦數(shù)據(jù)，然后設(shè)定量程，按仿真的A/D位數(shù)進(jìn)行量化，生成理想仿真序列。將該具有已知參量的仿真序列在選定的正弦波擬合軟件中進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，獲得擬合參數(shù)。

令仿真參數(shù)按照已知規(guī)律變化，獲得變化條件下的擬合參數(shù)變化規(guī)律，并以此搜索各擬合參數(shù)的誤差界。

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)條件

為方便參數(shù)調(diào)控，不失一般性，設(shè)定包含6項(xiàng)測(cè)量條件的仿真實(shí)驗(yàn)條件如下：

1) A/D位數(shù)，基本參量為8 bit。

2) 序列樣本點(diǎn)數(shù)，作為主變化因素時(shí)，變化范圍為100～16 000點(diǎn)，1點(diǎn)步進(jìn)，未特別說(shuō)明時(shí)，序列樣本點(diǎn)數(shù)為16 000點(diǎn)。

3) 采樣序列包含周波數(shù)，作為輔助變化量時(shí)，變化范圍為1～20個(gè)周波，1周波步進(jìn)；未特別說(shuō)明時(shí)，為20個(gè)周波。

由于正弦波采樣測(cè)量序列擬合中，采樣速率與信號(hào)頻率兩者是相關(guān)聯(lián)的，構(gòu)成每周波采樣點(diǎn)數(shù)1個(gè)變量參數(shù)，故設(shè)定信號(hào)頻率為1 Hz，稱為歸一化頻率。采樣速率因素作為變量。

實(shí)際仿真過(guò)程中，通過(guò)使用歸一化頻率1 Hz來(lái)調(diào)整采樣速率，結(jié)合樣本點(diǎn)數(shù)，最終構(gòu)建周波數(shù)。

4) 信號(hào)幅度，使用歸一化幅度1，作為輔助變化量時(shí)，在0.820 312 5×量程點(diǎn)處，其微觀變化范圍-0.5～0.5 LSB，0.05 LSB步進(jìn)。

未特別說(shuō)明時(shí)，幅度為0.820 312 5×量程；并以此設(shè)定量程范圍。

5) 初始相位，作為輔助變化量時(shí)，變化范圍為-180°～180°，10°步進(jìn)，未特別說(shuō)明時(shí)，初始相位為0°。

6) 直流分量，作為輔助變化量時(shí)，變化范圍為-0.5～0.5 LSB，0.05 LSB步進(jìn)，未特別說(shuō)明時(shí)，直流分量為0。

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

按照上述仿真實(shí)驗(yàn)條件，用數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)參量為主變化因素，分別以幅度、周波數(shù)、初始相位、直流分量等參量為輔助變化因素生成實(shí)際的仿真條件，考察各指標(biāo)要素的誤差隨著序列長(zhǎng)度和其它因素而變化的情況。其中：

1) 幅度作為輔助變化量，獲得如圖1所述的誤差界變化曲線波形；

圖1 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與幅度變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界Fig.1 Error bound of sinusoidal curve-fit via both data numbers and amplitudes

2) 周波數(shù)作為輔助變化量，獲得如圖2所述的誤差界變化曲線波形；

圖2 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與周波變化時(shí)的參數(shù)擬合誤差界Fig.2 Error bound of sinusoidal curve-fit via both data numbers and periods

3) 初始相位作為輔助變化量，獲得如圖3所述的誤差界變化曲線波形；

4) 直流分量作為輔助變化量，獲得如圖4所述的誤差界變化曲線波形。

圖4 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)與直流分量變化時(shí)參數(shù)擬合誤差界Fig.4 Error bound of sinusoidal curve-fit via both data numbers and DC bias

從圖1～圖4可見，當(dāng)其它輔助條件完全相同時(shí)，隨著序列長(zhǎng)度由小到大，各個(gè)指針參數(shù)的誤差界指標(biāo)總體上呈下降趨勢(shì)。但并非單調(diào)下降，而是呈現(xiàn)出某種具有量化臺(tái)階式的量化特征。

經(jīng)過(guò)對(duì)上述圖1、圖3、圖4曲線波形的全面關(guān)聯(lián)性規(guī)律分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)信號(hào)周波數(shù)不變時(shí)，各個(gè)參數(shù)的誤差界隨序列長(zhǎng)度和其它因素而變化的特征近似一致。即信號(hào)幅度和直流分量在量化碼范疇微觀變化時(shí)，以及信號(hào)初始相位變化時(shí)，對(duì)各個(gè)參數(shù)的誤差界影響較小，可以近似認(rèn)為其變化不顯著。

圖2中各個(gè)參數(shù)的誤差界變化趨勢(shì)與其它圖中的差異較大。由圖2可見，信號(hào)序列內(nèi)包含的周波數(shù)與序列長(zhǎng)度組合變化時(shí)，其誤差量化臺(tái)階規(guī)律特征明顯；并且，有效位數(shù)誤差、頻率擬合誤差、相位擬合誤差、直流分量擬合誤差量化臺(tái)階的規(guī)律基本一致，而幅度擬合誤差則規(guī)律特征不顯著，其中，擬合幅度誤差仍然可以認(rèn)定為近似呈單調(diào)下降趨勢(shì)。

而其它幾項(xiàng)指標(biāo)參量的誤差，如頻率誤差、相位誤差、直流分量誤差、有效位數(shù)誤差等，由于受到序列長(zhǎng)度和序列內(nèi)所含信號(hào)周波數(shù)的雙重影響，均呈現(xiàn)有不同規(guī)則的量化臺(tái)階式降低規(guī)律。其中：

1) 圖2(a)為動(dòng)態(tài)有效位數(shù)誤差隨序列長(zhǎng)度及周波數(shù)而變化的曲線波形；

2) 圖2(b)為幅度誤差隨序列長(zhǎng)度及周波數(shù)而變化曲線波形；

3) 圖2(c)為頻率誤差隨序列長(zhǎng)度及周波數(shù)而變化曲線波形；

4) 圖2(d)為相位誤差隨序列長(zhǎng)度及周波數(shù)而變化曲線波形；

5) 圖2(e)為直流分量誤差隨序列長(zhǎng)度及周波數(shù)而變化曲線波形。

不失一般性，以圖2(d)的相位誤差曲線為例，當(dāng)周波數(shù)固定時(shí)，序列長(zhǎng)度從小到大變化時(shí)，相位誤差曲線呈等間隔量子化階梯式減小；如圖5所示。其中，圖5(a)為單周波序列，圖5(b)為雙周波序列，圖5(c)為4周波序列，圖5(d)為8周波序列。

稱每一個(gè)誤差階梯寬度為臺(tái)階寬度。

在周波數(shù)相同時(shí)，量子化誤差階梯的每1個(gè)臺(tái)階寬度近似為等長(zhǎng)度。

不同臺(tái)階的量值階躍特征明顯，其中，第1個(gè)誤差臺(tái)階誤差界高度最高，且屬于臺(tái)階中間部分誤差幅度較小，頭尾部分誤差幅度較大的馬鞍形狀。

從第2個(gè)臺(tái)階開始的后續(xù)臺(tái)階規(guī)律趨于一致?；旧鲜峭慌_(tái)階內(nèi)，誤差有隨著序列長(zhǎng)度增加而緩慢增加或近似保持平穩(wěn)趨勢(shì)。

誤差階梯的臺(tái)階寬度與序列中含有的周波數(shù)呈線性比例關(guān)系，序列所含的信號(hào)周波越多，則擬合誤差臺(tái)階寬度越寬。并且，仿真計(jì)算結(jié)果及變化規(guī)律表明，寬臺(tái)階近似于窄臺(tái)階的線性拉伸。在拉伸延展過(guò)程中，同一臺(tái)階誤差帶基本保持穩(wěn)定，可以近似看作僅僅是長(zhǎng)度展寬。觀察分析周波數(shù)相鄰的幾條誤差曲線，很容易發(fā)現(xiàn)該規(guī)律。

另外，特別需要說(shuō)明的是，周波數(shù)為1時(shí)，幅度、頻率、相位和直流分量的擬合誤差界明顯要比周波數(shù)為2及以上時(shí)大很多，其原因主要是周波數(shù)為1或更小時(shí)，所獲得的采樣序列波形很難出現(xiàn)幅度對(duì)稱分布，因而在擬合時(shí)，能產(chǎn)生更大的回歸誤差。當(dāng)周波數(shù)為2及以上時(shí)，情況趨于穩(wěn)定和一致。

以相位誤差曲線臺(tái)階末端跳變峰值來(lái)尋找各級(jí)量子化誤差臺(tái)階末端點(diǎn)，結(jié)果如表1所示。

圖5 相位誤差隨序列長(zhǎng)度及周波變化情況Fig.5 Error of phase via data number and periods

表1 相位誤差臺(tái)階末端點(diǎn)實(shí)測(cè)表(8位A/D)Tab.1 The end point of the phase error step (8 bit A/D)

令含j個(gè)周波的序列的第i個(gè)誤差臺(tái)階的末端點(diǎn)為ti,j，則：

j不變時(shí)，通過(guò)同周波數(shù)據(jù)ti,j的最小二乘線性擬合，得直線方程：

ti,j=G*,j×i+T*,j

(3)

i不變時(shí)，通過(guò)同臺(tái)階數(shù)據(jù)ti,j的最小二乘線性擬合，得直線方程：

ti,j=Gi,*×j+Ti,*

(4)

對(duì)上述表1中的臺(tái)階末端點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行同周波橫向最小二乘擬合得結(jié)果如表2所示；進(jìn)行同臺(tái)階縱向最小二乘擬合得結(jié)果如表3所示。

表2 第j周波不同臺(tái)階數(shù)據(jù)最小二乘擬合結(jié)果Tab.2 Least-squares fitting results of j cycles with different steps data

表3 第i臺(tái)階不同周波數(shù)據(jù)最小二乘擬合結(jié)果Tab.3 Least-squares fitting results of different cycle data for i th step

由表2和表3可見，每1個(gè)臺(tái)階內(nèi)的誤差規(guī)律比較均衡。即按照G*,j值判定和確認(rèn)誤差臺(tái)階具有合理性和客觀性。

綜合各個(gè)方面的因素，可以獲得取整后的量子化階梯常數(shù)為Gz：

(5)

Gz是一個(gè)核心結(jié)果，對(duì)于8位A/D而言，含j個(gè)周波的序列的量子化誤差臺(tái)階寬度為Gz×j個(gè)采樣點(diǎn)。對(duì)于含j個(gè)周波的序列的第i個(gè)量子化誤差臺(tái)階末端點(diǎn)ti,j，有

ti,j=GZ×j×i

(6)

3.4 A/D位數(shù)變化時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

其它仿真條件保持不變，分別調(diào)整變化A/D位數(shù)分別為7、9、10 bit，獲得有效位數(shù)誤差特性曲線，以誤差曲線臺(tái)階末端跳變峰值來(lái)尋找各級(jí)誤差臺(tái)階末端點(diǎn)，如表4～表6所示。

表4 相位誤差臺(tái)階末端點(diǎn)實(shí)測(cè)表(9位A/D)Tab.4 The end point of the phase error step (9 bit A/D)

表5 相位誤差臺(tái)階末端點(diǎn)實(shí)測(cè)表(10位A/D)Tab.5 The end point of phase error step (10 bit A/D)

表6 相位誤差臺(tái)階末端點(diǎn)實(shí)測(cè)表(7位A/D)Tab.6 The end point of phase error step (7 bit A/D)

經(jīng)過(guò)與上述8位A/D情況相同的處理過(guò)程，獲得如表7所述計(jì)算結(jié)果。

由表7的仿真計(jì)算結(jié)果可見，相同周波條件下，相位擬合誤差隨序列長(zhǎng)度增加而呈等間隔量子化階梯分布，依次為第1階梯、第2階梯等等。不同階梯的誤差界隨階梯數(shù)增高呈量子化特征下降趨勢(shì)，降到一定程度后誤差界趨于平穩(wěn)。

表7 相位誤差階梯參數(shù)Tab.7 The step parameters of phase error

相位擬合誤差階梯寬度與A/D位數(shù)、序列所包含的周波數(shù)等均有線性關(guān)系。

在相同A/D位數(shù)情況下，相位誤差階梯寬度與序列所包含的周波數(shù)呈線性關(guān)系；在不同A/D位數(shù)情況下，同一周波數(shù)的同一序號(hào)誤差階梯寬度與A/D位數(shù)成正比。

綜合各個(gè)方面的因素，可以獲得對(duì)于8位及以上位數(shù)的k位A/D而言，含j個(gè)周波的序列的臺(tái)階寬度為Gz×(k-7)×j個(gè)采樣點(diǎn)。對(duì)于含j個(gè)周波的序列的第i個(gè)臺(tái)階末端點(diǎn)ti,j,k，有：

ti,j,k=Gz×(k-7)×j×i

(7)

對(duì)于8位以下位數(shù)的k位A/D而言，含j個(gè)周波的序列的臺(tái)階寬度為Gz÷(9-k)×j個(gè)采樣點(diǎn)。對(duì)于含j個(gè)周波的序列的第i個(gè)臺(tái)階末端點(diǎn)ti,j,k，有：

ti,j,k=Gz÷(9-k)×j×i

(8)

式(7)、式(8)可用于估計(jì)所述測(cè)量條件下相位誤差階梯末端點(diǎn)位置，以便進(jìn)行相位誤差評(píng)定和不確定度的控制。

3.5 拓展實(shí)驗(yàn)

相比于相位誤差規(guī)律曲線的圖5，獲得相同條件下頻率、直流分量、幅度等參數(shù)擬合誤差曲線如圖6～圖8所示。

從圖6～圖8可見，與相位誤差相類似，頻率誤差、直流分量誤差也表現(xiàn)出優(yōu)美的等間隔量子化階梯特征，并且它們的量子化階梯寬度基本一致；而唯獨(dú)幅度誤差未能展現(xiàn)明顯的量子化階梯特征。

隨著序列內(nèi)包含的信號(hào)周波數(shù)的增加，各個(gè)參數(shù)的量子化階梯具有展寬特征，幅度誤差雖然沒(méi)有量子化階梯特征，但其誤差帶展寬特征與其它參數(shù)是一致的。

圖6 頻率誤差隨序列長(zhǎng)度及周波變化情況Fig.6 Frequency error via data number and periods

圖7 直流分量誤差隨序列長(zhǎng)度及周波變化情況Fig.7 Bias error via data number and periods

圖8 幅度誤差隨序列長(zhǎng)度及周波變化情況Fig.8 Amplitude error via data number and periods

隨著序列包含信號(hào)周波數(shù)的增加，對(duì)于頻率參數(shù)，量子化誤差階梯展寬的同時(shí)，伴隨著誤差帶的縮窄，體現(xiàn)了兩者的共同作用；對(duì)于直流分量參數(shù)，主要是量子化誤差階梯展寬，誤差帶的縮窄變化不明顯；對(duì)于幅度參數(shù)，也體現(xiàn)了單調(diào)衰減的誤差帶的直接展寬，衰減變化特征較弱，可以按其它參數(shù)的誤差階梯規(guī)律選擇測(cè)量條件。

因而，單就擬合誤差而言，在其它條件相同時(shí)，序列所含的信號(hào)周波數(shù)在大于2的情況下，越小越好;周波數(shù)越少，參數(shù)擬合誤差將越小。

進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)研究表明，動(dòng)態(tài)有效位數(shù)誤差，也存在和相位誤差相一致的量子化階梯誤差規(guī)律，限于篇幅，這里不再贅述。

4 機(jī)理分析及討論

選取8 bit A/D的單周波序列擬合殘差有效值與數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)關(guān)系曲線圖如圖9所示。

圖9 單周波序列擬合殘差有效值與序列點(diǎn)數(shù)關(guān)系Fig.9 Error of curve-fit residual via data number and periods

由圖9可見，擬合殘差有效值隨著序列點(diǎn)數(shù)的增加逐漸收斂于由公式(2)所述的理論值上。其過(guò)程呈量化階梯特征變化，并與其它正弦參數(shù)擬合誤差界的變化特征和規(guī)律具有一致性。

對(duì)于等間隔采樣造成的量化誤差而言，它是一種具有隨機(jī)性特征的系統(tǒng)誤差，其值域特征盡管被近似為均勻分布，但由于正弦函數(shù)曲線并非是幅度等概率分布的曲線波形，因而，采樣量化后的正弦波曲線，其量化誤差的值域統(tǒng)計(jì)特征并不完全是等概率均勻分布的。

正弦波曲線各個(gè)參數(shù)擬合誤差界表現(xiàn)出的優(yōu)美的等間隔量子化階梯特征，主要是來(lái)源于正弦波形的大周期性、采樣量化造成的量化誤差的局部小周期性相結(jié)合，再經(jīng)過(guò)不完備的采樣間隔的變化造成的誤差周期性特征的一種表現(xiàn)形式。

當(dāng)擬合序列所包含的點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，其抽樣后量化誤差的分布與理論分布差異較大，由此導(dǎo)致擬合殘差有效值與式(2)所述的理論值差異較大，進(jìn)而使得各個(gè)擬合參數(shù)的擬合誤差離散性較大，擬合參數(shù)誤差界變寬。

仿真搜索表明，對(duì)于包含確定周波數(shù)的正弦采樣序列擬合誤差界而言，客觀上存在依賴于序列點(diǎn)數(shù)的周期性，由此確定了其擬合誤差界的量子化臺(tái)階寬度。深入分析表明，它們與序列所包含的A/D量化臺(tái)階個(gè)數(shù)密切相關(guān)，而每個(gè)A/D量化臺(tái)階范圍內(nèi)需要采集i·π 個(gè)點(diǎn)，i為正整數(shù)。

而該A/D量化臺(tái)階個(gè)數(shù)與所使用的A/D位數(shù)k、正弦波形實(shí)際所覆蓋的測(cè)量范圍與量程之比值η、序列所包含的周波個(gè)數(shù)j均有關(guān)系。對(duì)于含j個(gè)周波的序列的第i個(gè)量子化擬合誤差階梯末端點(diǎn)ti,j,k，總結(jié)出公式如下：

ti,j,k=η·i·j·2k·π

(9)

式中：0<η≤1；j為擬合序列所包含的正弦周波個(gè)數(shù)，j可以不是整數(shù)；i為正整數(shù)。

式(9)為序列長(zhǎng)度對(duì)正弦參數(shù)擬合誤差界影響的量子化階梯邊界公式?？捎糜诠烙?jì)各個(gè)測(cè)量條件下正弦擬合誤差階梯末端點(diǎn)位置，以便進(jìn)行誤差評(píng)定和不確定度的控制。

對(duì)于上述8位A/D的實(shí)驗(yàn)條件，k=8，η=82.031 25%，j=1，當(dāng)i=1時(shí)，第1個(gè)量子化擬合誤差階梯末端點(diǎn)ti,j,k計(jì)算可得：

t1,1,8=0.820 312 5×1×1×28·π≈660

本文選取了A/D位數(shù)、序列長(zhǎng)度、幅度、周波數(shù)、相位、直流分量6個(gè)條件作為仿真研究要素，以序列長(zhǎng)度作為主變化要素，其它作為輔助變化要素，并以幅度誤差、頻率誤差、相位誤差、直流分量誤差、動(dòng)態(tài)有效位數(shù)誤差5個(gè)變量誤差作為擬合效果的指針，綜合考察它們隨6個(gè)條件而變化的情況。并以相位誤差為事例，深入研究了其擬合誤差受A/D位數(shù)、序列長(zhǎng)度、序列包含信號(hào)的周波數(shù)影響情況，獲得了一些明確的規(guī)律。

實(shí)驗(yàn)表明，相位、頻率、直流分量、動(dòng)態(tài)有效位數(shù)的估計(jì)誤差隨序列樣本長(zhǎng)度的變化呈階梯狀量子化跳變規(guī)律。并對(duì)階梯寬度隨樣本長(zhǎng)度、樣本內(nèi)所含周波數(shù)、A/D位數(shù)等要素的變化進(jìn)行了定量分析，獲得了上述參數(shù)估計(jì)誤差界隨各個(gè)因素而變化的經(jīng)驗(yàn)公式。可用于估計(jì)任意一款A(yù)/D采樣序列的正弦參數(shù)評(píng)價(jià)時(shí)的誤差階梯邊界點(diǎn)。進(jìn)而用于指導(dǎo)測(cè)量條件的選擇和確定。

仿真結(jié)果表明，相同A/D位數(shù)條件下，含有不同周波數(shù)的正弦參數(shù)測(cè)量結(jié)果，其相同序號(hào)的誤差階梯末邊界點(diǎn)的誤差界波動(dòng)較小，可認(rèn)為近似相同。并且，隨著A/D位數(shù)的增高而呈緩慢下降趨勢(shì)。這也充分體現(xiàn)了誤差界階梯序號(hào)的實(shí)際意義和價(jià)值。

另外，需要說(shuō)明的是，由于誤差階梯邊界是使用誤差峰值點(diǎn)識(shí)別獲得的，因而，實(shí)際上若以誤差界水平定義的本誤差階梯的寬度要略寬于該峰值邊界點(diǎn)才更為合理可行。即，使用誤差階梯條件時(shí)，應(yīng)盡量避免在誤差階梯邊界點(diǎn)附近使用，應(yīng)該比邊界點(diǎn)多10%～20%的誤差階梯寬度以上使用，才可確保誤差界落到下一個(gè)誤差階梯內(nèi)。實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)予以注意。

最后，需要特別說(shuō)明的是，該結(jié)論和規(guī)律是在僅存在量化誤差的仿真條件下獲得的結(jié)論,沒(méi)有任何隨機(jī)誤差因素參與其中。實(shí)際工作中，很難出現(xiàn)這樣理想的測(cè)量狀況，總會(huì)有隨機(jī)因素誤差出現(xiàn)在實(shí)際信號(hào)中，特別是小信號(hào)和微弱信號(hào)的采集測(cè)量中，隨機(jī)誤差可能占據(jù)主導(dǎo)地位。那時(shí)，本文上述結(jié)論將不再適用，但未知噪聲影響是否占據(jù)主導(dǎo)地位的情況下，均可參照上述規(guī)律設(shè)定測(cè)量條件，將沒(méi)有任何害處。

5 結(jié) 論

綜上所述，本文通過(guò)大量仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)使用理想A/D轉(zhuǎn)換器的仿真正弦測(cè)量序列在波形擬合中獲得的正弦參數(shù)的擬合誤差界進(jìn)行了搜索研究，給出了出了幅度誤差以外的其它參數(shù)誤差界隨波形周波數(shù)、數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)、A/D位數(shù)等不同條件而呈現(xiàn)等間隔量子化階梯狀變化的規(guī)律，并以經(jīng)驗(yàn)公式方式給出了其量化階梯末端點(diǎn)隨波形周波數(shù)、數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)、A/D位數(shù)呈線性變化規(guī)律的估計(jì)式，以量子化階梯寬度ti,j,k方式定量揭示出了其變化規(guī)律。

具體為，同一量子化誤差階梯內(nèi)，參數(shù)擬合誤差處于近似同一水平，數(shù)據(jù)點(diǎn)越少越好，不同量子化誤差階梯的誤差界水平有顯著不同，應(yīng)優(yōu)先選擇誤差界水平低的量子化誤差階梯測(cè)量條件。

該規(guī)律屬于此前未被發(fā)現(xiàn)和定量描述的特征，對(duì)于正弦參數(shù)的精確測(cè)量及誤差和不確定度控制具有重要意義和價(jià)值。