段倩倩，辛紹杰

(上海電機(jī)學(xué)院機(jī)械學(xué)院，上海 201306)

0 前言

機(jī)械臂軌跡規(guī)劃一直都是機(jī)器人控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。目前軌跡規(guī)劃分為兩種：一種是對(duì)時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化，選擇運(yùn)動(dòng)時(shí)間作為優(yōu)化對(duì)象可以提高機(jī)器人工作效率；另一種是對(duì)系統(tǒng)能量進(jìn)行優(yōu)化，選擇系統(tǒng)能量作為優(yōu)化對(duì)象，可減少機(jī)器人的能量損耗，延長(zhǎng)使用壽命。

針對(duì)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與平穩(wěn)性問題，文獻(xiàn)[2]提出了五次多項(xiàng)式插值法對(duì)上肢康復(fù)機(jī)器人進(jìn)行關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃，得到了各關(guān)節(jié)較為平滑的角位移、角速度和加速度曲線；文獻(xiàn)[3]提出了基于非線性動(dòng)態(tài)改變慣性權(quán)重的粒子群優(yōu)化算法，并采用傳統(tǒng)的3-5-3多項(xiàng)式插值方法，整體運(yùn)動(dòng)時(shí)間縮短了約26%，證明了該算法的可行性；沈悅等人提出了一種基于PSO的工業(yè)機(jī)器人時(shí)間-脈動(dòng)最優(yōu)軌跡規(guī)劃算法，結(jié)合五次非均勻B樣條插值法，通過實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性；胡嘉陽和韋巍將五次NUBRS曲線作為工作軌跡，利用混合粒子群算法，針對(duì)機(jī)械臂脈動(dòng)沖擊、能量消耗和工作時(shí)間等3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)建立了帕累托最優(yōu)解集，證實(shí)了該方法可有效提高機(jī)械臂運(yùn)行效率和實(shí)現(xiàn)約束條件下的多目標(biāo)優(yōu)化。采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)插補(bǔ)函數(shù)雖然可以保證各關(guān)節(jié)位置、速度和加速度的連續(xù)性，保持關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性，但無法優(yōu)化運(yùn)動(dòng)時(shí)間，效率低下。單目標(biāo)粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、搜索高效，但也存在容易早熟無法找到全局最優(yōu)解的弊端。

本文作者建立新的模擬退火Metropolis準(zhǔn)則，并將它引入粒子群算法，加強(qiáng)粒子群優(yōu)化算法的全局搜索能力。采用非線性慣性權(quán)重遞減策略平衡粒子群算法全局和局部搜索能力；設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)因子，有效加快算法前后期的搜索速度；通過權(quán)重系數(shù)歸一法得到以運(yùn)行時(shí)間-脈動(dòng)沖擊為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。結(jié)果表明：使用改進(jìn)混合粒子群算法進(jìn)行軌跡優(yōu)化，有效減少機(jī)械臂脈動(dòng)沖擊，保持平穩(wěn)運(yùn)行，提高機(jī)器人的工作效率。

1 構(gòu)造關(guān)節(jié)空間軌跡曲線

在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中，已知運(yùn)動(dòng)過程中各關(guān)節(jié)角隨時(shí)間的變化，可采用高階多項(xiàng)式對(duì)軌跡進(jìn)行規(guī)劃。相對(duì)于五次多項(xiàng)式插補(bǔ)函數(shù)，七次多項(xiàng)式函數(shù)不僅可保證各插值點(diǎn)的位置、速度和加速度的連續(xù)性，而且還可使各關(guān)節(jié)的加加速度保持連續(xù)，減少機(jī)械臂工作過程中產(chǎn)生的沖擊。因此，在每個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)空間下選取4個(gè)路徑點(diǎn)，形成3段軌跡曲線。構(gòu)造5-7-5軌跡曲線表達(dá)式如下：

1()=+++++

(1)

2()=++++++

+

(2)

3()=+++++

(3)

式中：表示第1～6個(gè)關(guān)節(jié)；1、2、3(=1～)分別表示各關(guān)節(jié)軌跡方程的第個(gè)系數(shù)。對(duì)式(1)—(3)依次求1、2、3階導(dǎo)可得到時(shí)刻的速度、加速度和加加速度表達(dá)式。通過以上表達(dá)式，可為機(jī)械臂在關(guān)節(jié)空間內(nèi)定義運(yùn)動(dòng)約束條件。

考慮曲線路徑起始點(diǎn)和末端點(diǎn)狀態(tài)，定義各關(guān)節(jié)的起止點(diǎn)位置、速度和加速度以及加加速度為0，保證位置、速度、加速度和加加速度即軌跡的3階導(dǎo)數(shù)在中間兩點(diǎn)處皆連續(xù)。已知以上約束條件，關(guān)節(jié)空間軌跡曲線系數(shù)與路徑點(diǎn)角度關(guān)系的推導(dǎo)過程如下：

=[,0,0,0,,0,0,0,,,,,0,0,0,0,0,0,0,0]

=·

(4)

(5)

(6)

=

(7)

(8)

,…,為時(shí)間系數(shù)矩陣的矩陣分量，為關(guān)節(jié)位置參數(shù)矩陣。通過式(4)可求得多項(xiàng)式系數(shù)，再將該系數(shù)矩陣回代至式(1)—(3)中，可求得5-7-5關(guān)節(jié)空間軌跡方程。

2 基于多目標(biāo)混合粒子群算法軌跡規(guī)劃

2.1 優(yōu)化目標(biāo)確立

在機(jī)械臂工作時(shí)，主要通過運(yùn)行時(shí)間、能量損耗、脈動(dòng)沖擊這3個(gè)指標(biāo)來衡量是否達(dá)到要求。以機(jī)械臂的時(shí)間-脈動(dòng)沖擊最優(yōu)為目標(biāo)，構(gòu)造基于時(shí)間的目標(biāo)函數(shù)、基于脈動(dòng)沖擊的目標(biāo)：

(9)

(10)

其中:代表機(jī)械臂總運(yùn)行時(shí)間，可用來衡量運(yùn)行效率；加加速度代表脈動(dòng)沖擊量，衡量機(jī)械臂軌跡的平滑性。根據(jù)確立的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，通過設(shè)定權(quán)重系數(shù)將目標(biāo)函數(shù)歸一化進(jìn)行處理，定義適應(yīng)度函數(shù)為

=+

(11)

式中:和為權(quán)重系數(shù)，且滿足+=1;為彈性調(diào)節(jié)因子，的存在是為了平衡脈動(dòng)沖擊和動(dòng)作時(shí)間數(shù)量級(jí)上的差別。通過試湊法確定的取值為0.01，再通過調(diào)整和可使動(dòng)作時(shí)間和脈動(dòng)沖擊在一定程度上均達(dá)到最優(yōu)效果。

2.2 約束項(xiàng)確立

由于機(jī)械臂關(guān)節(jié)具備自由旋轉(zhuǎn)的空間活動(dòng)度，約束項(xiàng)的確立可為機(jī)械臂確定工作范圍，提高機(jī)械臂的工作性能。為達(dá)到時(shí)間-脈動(dòng)沖擊最優(yōu)，定義約束條件如下：

位置約束：≤|()|≤；

速度約束：|()|≤；

加速度約束：|()|≤；

加加速度約束：|()|≤；

其中：和分別表示關(guān)節(jié)相對(duì)于初始位置方向的最小和最大旋轉(zhuǎn)位移；、、分別表示速度、加速度和加加速度最大值。

2.3 基于粒子群算法的多目標(biāo)優(yōu)化

粒子群算法是在1995年由KENNEDY、EBERHART共同提出的。該算法通過模擬鳥群和魚群等群體捕食的移動(dòng)機(jī)制，將鳥群或魚群中的個(gè)體形容為“粒子”，利用粒子之間和粒子與最優(yōu)粒子間的信息交互，不斷更新，找到群里最優(yōu)解。將粒子群算法應(yīng)用在多個(gè)目標(biāo)求綜合最優(yōu)的算法稱為多目標(biāo)粒子群優(yōu)化(Multiple Objective Particle Swarm Optimization，MOPSO)算法。

2.4 粒子速度與位置更新

多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法是建立在傳統(tǒng)粒子群算法基礎(chǔ)之上的算法，但求解對(duì)象的數(shù)量不同。初始化目標(biāo)種群后，通過位置、速度和適應(yīng)度來表示種群中的粒子特征。粒子在維搜索空間中不斷迭代更新位置、速度以及適應(yīng)度的每一次過程中，都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)粒子適應(yīng)度最優(yōu)位置，再與每一次迭代更新產(chǎn)生的不同的最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度比較，從而確定全局最優(yōu)解，粒子的速度和位置迭代表達(dá)式分別如式(12)(13)所示：

(12)

(13)

2.5 慣性權(quán)重系數(shù)設(shè)計(jì)

為慣性權(quán)重系數(shù)，它的存在會(huì)使粒子在計(jì)劃改變行進(jìn)方向時(shí)由于慣性繼續(xù)朝著當(dāng)前方向行駛一段距離，因此值可以平衡局部和全局搜索的能力。多目標(biāo)優(yōu)化問題屬于復(fù)雜非線性尋優(yōu)問題，采用非線性遞減慣性權(quán)重策略處理多目標(biāo)的局部和全局搜索能力，如公式(14)所示：

(14)

其中:為慣性權(quán)重系數(shù)初始值;為迭代結(jié)束后的慣性權(quán)重；為第次迭代；為迭代最大次數(shù)。

2.6 動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)因子設(shè)計(jì)

為全局學(xué)習(xí)因子，為局部學(xué)習(xí)因子，為初始值，學(xué)習(xí)因子隨著粒子的每一次迭代更新而更新，表達(dá)式分別如式(15)(16)所示：

(15)

(16)

2.7 改進(jìn)模擬退火算法

與粒子群優(yōu)化算法相似，模擬退火算法包含兩層循環(huán)，外層表示溫度的逐漸降低，內(nèi)層則表示在當(dāng)前溫度下的迭代次數(shù)。模擬退火算法在原解的鄰域通過擾動(dòng)隨機(jī)產(chǎn)生新解,new，并通過Metropolis準(zhǔn)則生成概率表達(dá)式，通過概率表達(dá)式判斷是否接受新解。

傳統(tǒng)模擬退火算法是隨機(jī)進(jìn)行大范圍的搜索，效率低下。針對(duì)文中待優(yōu)化的多目標(biāo)函數(shù)，對(duì)原算法進(jìn)行改進(jìn)，強(qiáng)化局部搜索能力。改進(jìn)Metropolis準(zhǔn)則如式(17)所示：

(17)

式(17)為通過擾動(dòng)當(dāng)前模型而隨機(jī)產(chǎn)生的新解模型表達(dá)式。式中：,e、,s分別為的最大值和最小值；為擾動(dòng)因子；為(0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；為當(dāng)前溫度；為最大迭代次數(shù)；為確定非均勻性程度的常數(shù)(形狀因子)；sgn為符號(hào)函數(shù)，定義如式(18)所示：

(18)

由式(17)(18)可知:高溫時(shí)，解的搜索范圍非常大，但隨著迭代次數(shù)的增多，溫度降低，搜索范圍逐漸減小，可以較好地控制搜索;值越大，控制局部搜索的能力就越強(qiáng)，提高了其收斂性能。

2.8 慣性權(quán)重系數(shù)設(shè)計(jì)

改進(jìn)的Metropolis準(zhǔn)則如式(19)所示：

(19)

其中:為溫度;為實(shí)數(shù);為正實(shí)數(shù)。

所降低的溫度表達(dá)式如式(20)所示：

=exp(-12)

(20)

其中:為初始溫度；為迭代次數(shù)；為溫度衰減系數(shù)。

2.9 改進(jìn)混合粒子群算法步驟

多目標(biāo)粒子群混合改進(jìn)模擬退火算法步驟如下：

步驟2，設(shè)定待求解適應(yīng)度函數(shù)，通過目標(biāo)函數(shù)和結(jié)合約束條件計(jì)算每次迭代值，并以適應(yīng)度作為迭代次的衡量標(biāo)準(zhǔn)，將次迭代更新中每個(gè)粒子出現(xiàn)過的最優(yōu)點(diǎn)作為個(gè)體最優(yōu)解保存，再與整體種群粒子比較，選取全局最優(yōu)值保存。

步驟3，每次迭代后粒子速度和位置都會(huì)更新一次，更新后的新解由改進(jìn)的模擬退火算法Metropolis準(zhǔn)則判斷是否接受并作為局部最優(yōu)，再以步驟2的方式更新全體最優(yōu)，選擇接受新解的概率表達(dá)式為式(19)；

步驟4，比較迭代次數(shù)，將迭代前期到迭代后期時(shí)間內(nèi)，粒子分布由發(fā)散逐漸到集中作為原則，按照公式(20)更新退火溫度，使溫度加快下降；

步驟5，比較當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)的大小，當(dāng)<時(shí)，迭代繼續(xù)；當(dāng)>時(shí)，迭代結(jié)束，退出循環(huán)。

3 機(jī)械臂模型建立

以某六自由度機(jī)器人(SFR-TA)為研究對(duì)象進(jìn)行建模，采用D-H參數(shù)變換法建立SFR-TA運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。將SFR-TA多余部件等簡(jiǎn)化去除，只保留機(jī)械臂部分，并按比例規(guī)劃后建立D-H參數(shù)連桿坐標(biāo)系，如圖1所示。對(duì)應(yīng)的D-H參數(shù)如表1所示。

圖1 SFR-TA機(jī)械臂連桿坐標(biāo)系

表1 SFR-TA的D-H參數(shù)

規(guī)劃?rùn)C(jī)械臂末端執(zhí)行器從點(diǎn)(6,3.5,0)cm運(yùn)動(dòng)至(3,1,3)cm的軌跡曲線，如圖2所示。

圖2 SFR-TA運(yùn)行軌跡

在該軌跡曲線上選取4個(gè)關(guān)節(jié)空間路徑點(diǎn)，如表2所示，表示第個(gè)關(guān)節(jié)在第個(gè)路徑點(diǎn)的位置。

表2 關(guān)節(jié)空間路徑點(diǎn) 單位:(°)

初始化各關(guān)節(jié)插值點(diǎn)間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間間隔，令其間隔時(shí)間都為8 s，形成3-5-3多項(xiàng)式軌跡。各關(guān)節(jié)軌跡曲線如圖3所示。

圖3 3-5-3多項(xiàng)式軌跡

由圖3可知，雖然各關(guān)節(jié)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的位置、速度和加速度軌跡曲線均保持平滑連續(xù)，且滿足起止點(diǎn)指定速度和加速度為0的要求，但加加速度曲線出現(xiàn)了劇烈波動(dòng)，軌跡不平滑，說明機(jī)械臂在動(dòng)作過程中發(fā)生了較明顯的沖擊，無法保證其運(yùn)行平穩(wěn)性。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 仿真條件與參數(shù)設(shè)置

為驗(yàn)證改進(jìn)混合粒子群算法的有效性，利用5-7-5多項(xiàng)式對(duì)SFR-TA運(yùn)行軌跡進(jìn)行點(diǎn)至即點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡規(guī)劃。定義機(jī)械臂動(dòng)作時(shí)間為8 s，指定起止點(diǎn)的速度、加速度和加加速度均為0，各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)特性約束值如表3所示。

表3 SFR-TA關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

初始化改進(jìn)混合粒子群算法參數(shù)：粒子數(shù)=20；迭代次數(shù)=300；粒子飛行速度為(-2，2)rad/s；動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)因子==2；慣性權(quán)重系數(shù)=0.4、=0.9；初始溫度=100 ℃；溫度衰減系數(shù)=0.8。

4.2 仿真結(jié)果

根據(jù)進(jìn)混合粒子群算法步驟對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果如表4所示。

表4 目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化值

由表4可知:隨著的減小而增大，隨著的增大而減小，說明動(dòng)作時(shí)間最優(yōu)和脈動(dòng)沖擊最優(yōu)是共同制約的關(guān)系，當(dāng)動(dòng)作時(shí)間達(dá)到最優(yōu)時(shí)，脈動(dòng)沖擊優(yōu)化效果差，反之亦然。因此，應(yīng)根據(jù)實(shí)際工程需要選取出最合適的權(quán)重系數(shù)，使得適應(yīng)度函數(shù)最小，從而達(dá)到二者的最優(yōu)解。選取==0.5情況下的各關(guān)節(jié)優(yōu)化時(shí)間如表5所示。

表5 關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)間優(yōu)化值

根據(jù)以上優(yōu)化條件，利用5-7-5多項(xiàng)式構(gòu)造點(diǎn)至的各關(guān)節(jié)軌跡曲線，如圖4所示。

由圖4可知：相比于圖3中3-5-3多項(xiàng)式插值軌跡，優(yōu)化后采用5-7-5多項(xiàng)式規(guī)劃的軌跡曲線不僅位置、速度和加速度皆連續(xù)，而且加加速度的軌跡曲線在整個(gè)運(yùn)行過程中沒有發(fā)生突起和波動(dòng)，且都滿足設(shè)定的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件，能夠?qū)崿F(xiàn)平穩(wěn)啟停，不會(huì)產(chǎn)生沖擊。由表5可知：經(jīng)過改進(jìn)混合粒子群算法優(yōu)化后，各關(guān)節(jié)的動(dòng)作時(shí)間減少了，關(guān)節(jié)總體優(yōu)化值相對(duì)于設(shè)定時(shí)間總和減少了28.752 1 s。由圖3和圖4可知，脈動(dòng)沖擊值得到大幅度優(yōu)化。

圖4 各關(guān)節(jié)優(yōu)化軌跡

綜上，采用改進(jìn)混合粒子群算法優(yōu)化5-7-5多項(xiàng)式插值可以得到平滑連續(xù)、脈動(dòng)平穩(wěn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，提高了機(jī)械臂的工作效率，同時(shí)保證了運(yùn)行平穩(wěn)性。

4.3 改進(jìn)混合粒子群算法的穩(wěn)定性分析

為證明多目標(biāo)混合粒子群算法的穩(wěn)定性，以關(guān)節(jié)4為例，分別采用多目標(biāo)混合粒子群算法和傳統(tǒng)粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，并進(jìn)行多次尋優(yōu)，結(jié)果如表6所示。

表6 2種算法優(yōu)化時(shí)間的對(duì)比 單位:s

由表6可知：在6次尋優(yōu)結(jié)果中，傳統(tǒng)粒子群算法的優(yōu)化時(shí)間經(jīng)常變動(dòng)，最大為3.667 4 s；而改進(jìn)混合粒子群算法的搜索時(shí)間都穩(wěn)定在3.625 8 s，并且時(shí)間更短，具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性。

由圖5可知：改進(jìn)混合粒子群算法的收斂速度遠(yuǎn)快于傳統(tǒng)粒子群算法，迭代次數(shù)控制在50以內(nèi)，驗(yàn)證了改進(jìn)混合粒子群算法具有更快的全局搜索能力。

圖5 多目標(biāo)混合粒子群和傳統(tǒng)粒子群時(shí)間尋優(yōu)對(duì)比

5 結(jié)語

本文作者提出了一種改進(jìn)混合粒子群優(yōu)化算法，借助機(jī)器人工具箱構(gòu)造SFR-TA的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合5-7-5多項(xiàng)式規(guī)劃方法，通過改進(jìn)混合粒子群算法進(jìn)行機(jī)器人的時(shí)間和脈動(dòng)沖擊最優(yōu)設(shè)計(jì)，使得運(yùn)動(dòng)時(shí)間有效減短，且平穩(wěn)性較好，有效提高機(jī)器人工作性能。主要改進(jìn)了以下兩方面：將模擬退火機(jī)制引入粒子群算法，對(duì)模擬退火算法中的Metropolis準(zhǔn)則進(jìn)行改進(jìn)，建立了新的概率接受表達(dá)式和降溫操作，加快全局搜索能力和收斂速度；利用改進(jìn)混合粒子群算法對(duì)5-7-5多項(xiàng)式的系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)優(yōu)化運(yùn)動(dòng)時(shí)間和脈動(dòng)沖擊，提高迭代效率。結(jié)果表明：與傳統(tǒng)粒子群算法相比，改進(jìn)混合粒子群優(yōu)化算法的全局搜索能力更強(qiáng)、收斂速度更快，并具有很好的穩(wěn)定性，能有效提高機(jī)器人工作效率并保持運(yùn)行平穩(wěn)性。