王奎武， 張 秦

(空軍工程大學(xué),a.防空反導(dǎo)學(xué)院； b.研究生院，西安 710000)

0 引言

多目標(biāo)跟蹤(MTT)問題是將測量值或標(biāo)記分配給目標(biāo)，并按時(shí)間步長來處理多個(gè)目標(biāo)航跡的問題[1-2]，目標(biāo)數(shù)量的估計(jì)是提高多目標(biāo)跟蹤性能的前提。基于隨機(jī)有限集(RFS)的概率假設(shè)密度(PHD)[3]濾波是多目標(biāo)貝葉斯濾波算法的有效的次優(yōu)近似，其主要途徑是在濾波期間遞推傳播多目標(biāo)狀態(tài)的一階矩估計(jì)；其中，高斯混合(GM)和序貫蒙特卡羅(SMC)濾波是解決非線性問題的兩種方法，即GM-PHD[4]和SMC-PHD[5]。

由于PHD具有簡單易用的特性，目前被廣泛應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤[6-8]、計(jì)算機(jī)視覺[9]、移動機(jī)器人[10]和車輛跟蹤[11]等領(lǐng)域的研究。

在PHD濾波框架下，有效劃分量測集是解決問題的主要思路，目的就是要把目標(biāo)與其量測集一一對應(yīng)起來，其結(jié)果的有效性將直接影響后續(xù)多目標(biāo)數(shù)量估計(jì)的性能。如果充分考慮所有可能的劃分子集，劃分次數(shù)會因目標(biāo)數(shù)量的增加而變得龐大，為此,文獻(xiàn)[12]提出了一種基于距離劃分的方法，該方法能有效降低計(jì)算量;在PHD濾波器的實(shí)現(xiàn)中，文獻(xiàn)[13]采用K-means算法劃分子集，適合多目標(biāo)跟蹤過程中目標(biāo)數(shù)量未知且時(shí)變的情況，但是當(dāng)量測數(shù)目變多時(shí)，其計(jì)算負(fù)擔(dān)會變大;文獻(xiàn)[14]針對初始點(diǎn)選擇問題進(jìn)行改進(jìn)并提出了K-means++聚類算法，該算法提高了量測集劃分的穩(wěn)定性，但是對于量測中心的討論并不夠明確。為此，在充分考慮目標(biāo)數(shù)量時(shí)變的前提下，提高雜波環(huán)境下的目標(biāo)數(shù)量估計(jì)的準(zhǔn)確性是提高PHD濾波性能的有效途徑。

本文采用聚類算法中的模糊C-均值(FCM)聚類，通過目標(biāo)數(shù)量補(bǔ)償來提高目標(biāo)數(shù)量估計(jì)的準(zhǔn)確性，從而達(dá)到提高PHD濾波性能的目的。其中，基數(shù)補(bǔ)償過程使用了信息加權(quán)共識濾波器(ICF)[15]進(jìn)行信息融合，能有效提高估計(jì)的準(zhǔn)確性。另一方面，在PHD濾波器的實(shí)現(xiàn)中，使用K-means改進(jìn)聚類算法來提取估計(jì)值是一種常見的方法[16],然而，該方法對雜波的存在很敏感。為了解決這個(gè)問題，一般使用對噪聲和雜波相對穩(wěn)定的FCM聚類。此外，即使應(yīng)用FCM聚類，也需要確定最佳聚類次數(shù)以提高聚類性能。為此，本文將從PHD濾波器中獲得的目標(biāo)數(shù)量信息和聚類基數(shù)信息進(jìn)行融合。在聚類候選的數(shù)目中，選擇濾波器基數(shù)信息作為基數(shù)補(bǔ)償?shù)男畔ⅲ源藖硖岣吣繕?biāo)數(shù)量估計(jì)的準(zhǔn)確性。

1 SMC-PHD濾波器

1.1 PHD

PHD濾波是多目標(biāo)跟蹤的常用方法，PHD濾波器是一種近似的多目標(biāo)貝葉斯濾波方法，在遞推過程中PHD濾波器不用傳播多目標(biāo)的密度[17]，而只需傳播多目標(biāo)的PHD。多目標(biāo)貝葉斯遞推過程與PHD濾波遞推過程的關(guān)系如下：

其先驗(yàn)方程為

(1)

假設(shè)多目標(biāo)的先驗(yàn)概率近似服從泊松分布，則PHD濾波器的后驗(yàn)方程為[18]

vk(x)=[1-PD]vk |k-1(x)+

(2)

其中:vk|k-1(x)和vk(x)分別表示多目標(biāo)的先驗(yàn)和后驗(yàn)密度函數(shù);bk(xk)表示新生密度強(qiáng)度;λ為泊松雜波分布的密度;c(zk)為泊松雜波分布的概率密度函數(shù);Ps為目標(biāo)在k時(shí)刻的生存概率;PD為檢測概率;g(zk|ηk)表示k時(shí)刻給定狀態(tài)的似然函數(shù)。

1.2 SMC-PHD

SMC-PHD濾波器的遞推過程包括預(yù)測步和更新步。

1) 預(yù)測步。

假設(shè)給定k-1時(shí)刻的后驗(yàn)強(qiáng)度vk-1，即

(3)

(4)

式中[17]：

(5)

(6)

(7)

(8)

2) 更新步。

假設(shè)給定時(shí)刻的預(yù)測強(qiáng)度vk|k-1，即

(9)

則更新的強(qiáng)度vk可表示為[19]

(10)

式中[19]：

(11)

(12)

如果可以提高多目標(biāo)數(shù)量估計(jì)的準(zhǔn)確性，那么可以減少目標(biāo)丟失導(dǎo)致的跟蹤損失。因此，本文重點(diǎn)研究多目標(biāo)數(shù)量估計(jì)的準(zhǔn)確性，以提高PHD濾波器的跟蹤性能。

2 FCM聚類

本文基于SMC-PHD，對重采樣粒子進(jìn)行FCM聚類，將聚類的中心值提取為狀態(tài)變量，并用其進(jìn)行數(shù)量估計(jì)，聚類性能將直接影響PHD濾波器的狀態(tài)估計(jì)性能。

FCM允許一個(gè)數(shù)據(jù)屬于兩個(gè)或多個(gè)集群[19]，適用于混入噪聲的集群。FCM算法結(jié)構(gòu)與K-means算法結(jié)構(gòu)相似，且需要更多計(jì)算時(shí)間，但選擇FCM的原因是為了提高目標(biāo)數(shù)量估計(jì)的準(zhǔn)確性。

假定n個(gè)數(shù)據(jù)樣本為X={x1,x2,…,xn}，把數(shù)據(jù)集劃為l個(gè)類別{A1,A2,…,Al}，各類別的聚類中心為(v1,v2,…,vl)，樣本j屬于第i個(gè)聚類中心的隸屬度為ui j，則定義FCM目標(biāo)函數(shù)為[20]

(13)

(14)

上文提到需要用FCM聚類算法進(jìn)行迭代，因此需要對目標(biāo)函數(shù)求極值，利用拉格朗日乘法將約束條件放入目標(biāo)函數(shù)[21]，分別計(jì)算樣本xi對于Aj的隸屬度ui j和聚類中心{vi}，即

(15)

(16)

用式(15)和式(16)反復(fù)修改數(shù)據(jù)隸屬度和聚類中心，當(dāng)算法收斂時(shí)，理論上可得到各類的聚類中心以及各個(gè)樣本的隸屬度，根據(jù)所得的各聚類中心點(diǎn)以及原始數(shù)據(jù)集合，通過隸屬度算式對隸屬度矩陣進(jìn)行更新，從此可以看出它是一個(gè)加權(quán)平均，當(dāng)類別確定后，就可以求得隸屬度，然后根據(jù)每個(gè)點(diǎn)的隸屬度找到其所屬的類別。

對3組目標(biāo)量測值利用FCM聚類進(jìn)行迭代聚類，將候選聚類中心數(shù)設(shè)置為3，最終迭代次數(shù)為50，如圖1、圖2所示。

圖1 隸屬度矩陣值Fig.1 Membership matrix value

圖2 目標(biāo)函數(shù)值Fig.2 Objective function value

由圖1和圖2中可以看出，大概經(jīng)過8次迭代,目標(biāo)函數(shù)值就能達(dá)到一個(gè)比較穩(wěn)定的狀態(tài)，因此,可以根據(jù)每個(gè)類別的隸屬度來確定目標(biāo)數(shù)量，找到其中最大隸屬度即認(rèn)為這個(gè)點(diǎn)屬于這一類。

3 目標(biāo)數(shù)量補(bǔ)償

目標(biāo)數(shù)量補(bǔ)償是通過兩部分進(jìn)行的。首先，目標(biāo)基數(shù)是通過基于FCM迭代聚類計(jì)算得到的，然后將使用PHD濾波器獲得的估計(jì)基數(shù)和從聚類結(jié)果中量測的目標(biāo)基數(shù)進(jìn)行融合，得到最終的目標(biāo)數(shù)量估計(jì)，該方法在使用聚類技術(shù)和數(shù)據(jù)融合從基于SMC的PHD濾波器中提取狀態(tài)變量時(shí)，可以用比現(xiàn)有的SMC-PHD濾波器更小的誤差估計(jì)目標(biāo)數(shù)量，從而能夠有效改善PHD濾波器的性能。算法結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 算法結(jié)構(gòu)Fig.3 Algorithm structure

信息融合方法用于組合兩種不同來源的信息以提高目標(biāo)估計(jì)數(shù)量的準(zhǔn)確性。其中,ICF[15]用于融合信息以提高PHD濾波器中基數(shù)估計(jì)精度，并且是用于多傳感器融合的一致性濾波技術(shù)之一。

ICF的狀態(tài)模型和量測模型分別為

xicf(k+1)=Fxicf(k)+w(k)

(17)

zi(k)=Hi(k)xicf(k)+vi(k)

(18)

其中:系統(tǒng)噪聲w(k)和測量噪聲vi(k)均被簡化建模為具有零均值、方差分別為Q和Ri的高斯白噪聲;F為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Hi為量測矩陣。

(19)

(20)

信息矩陣Cs和第s個(gè)節(jié)點(diǎn)傳感器的矩陣向量cs獨(dú)立執(zhí)行平均共識，重復(fù)式(11)和式(12)從t=1到t=Tt(Tt為迭代次數(shù)),即

(21)

(22)

其中:h代表所有用于信息融合的傳感器;ε為速率參數(shù)，應(yīng)在0和1/Δm之間選擇，Δm為連接傳感器的最大數(shù)量。

下面給出基數(shù)補(bǔ)償方法：

2) 計(jì)算初始信息矩陣C0和向量c0，并獨(dú)立對C0和c0進(jìn)行平均共識;

(23)

W+(k)=NCt;

(24)

(25)

W-(k+1)=(F(W+(k))-1FT+Q)-1

(26)

本文中設(shè)置N=2(一個(gè)來自PHD濾波器，另一個(gè)來自聚類過程)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

以二維平面的多目標(biāo)跟蹤為例，采用OSPA(Optimal Sub-Pattern Assignment)距離定量分析跟蹤性能,其定義為

(27)

式中：Xk為目標(biāo)狀態(tài)值；c為分離參量,c>0，p為距離敏感性參數(shù),1≤p<∞，選取p=1和c=200;OSPA距離越小，狀態(tài)估計(jì)的精度越高。

目標(biāo)的狀態(tài)向量由其位置和速度組成，即xk=[px,kpy,kvx,kvy,k]，在濾波中，分別選取勻速模型(CV)和轉(zhuǎn)彎模型(CT)。

勻速模型(CV)運(yùn)動方程為

(28)

轉(zhuǎn)彎模型(CT)的運(yùn)動方程為

(29)

其中:ω為角速度;采樣間隔T為1 s，總跟蹤時(shí)間為100 s;過程噪聲wk是均值為零且標(biāo)準(zhǔn)差為5 m/s2的高斯噪聲。產(chǎn)生的目標(biāo)的過程噪聲是高斯分布，均值為零，協(xié)方差為

(30)

式中，diag(·)表示對角矩陣。量測向量表示目標(biāo)的位置，zk=[pzx,kpzy,k]，量測方程為

(31)

式中,量測噪聲為高斯分布，均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為5 m。

4.1 場景設(shè)置

觀測區(qū)域中,x,y軸分別取值為x∈[-2000,2000],y∈[0,2000]，單位為m,有10個(gè)相繼出現(xiàn)的運(yùn)動目標(biāo),該場景下目標(biāo)真實(shí)軌跡如圖4所示，其中,°為目標(biāo)起始位置，△為目標(biāo)終止位置。

圖4 真實(shí)目標(biāo)軌跡Fig.4 Real target trajectory

4.2 仿真結(jié)果

圖5所示為在4.1節(jié)場景設(shè)置下的跟蹤結(jié)果，錯誤量測服從泊松分布，在100 s內(nèi)均勻生成。

圖5 跟蹤結(jié)果Fig.5 Tracking results

其中，黑色實(shí)線是沒有量測噪聲的目標(biāo)真實(shí)軌跡，分別展示在x軸和y軸上，·和×分別表示具有量測噪聲和雜波的目標(biāo)組成的量測，每次掃描的平均雜波數(shù)為60。

圖6為K-means聚類、FCM聚類和本文所提算法經(jīng)過信息融合后的OSPA距離和運(yùn)行時(shí)間對比。

圖6 不同算法性能對比Fig.6 Comparison of the performance of different algorithms

由圖6(a)可以看出，量測值經(jīng)K-means聚類后，其OSPA距離較大，是因?yàn)楣烙?jì)值與真實(shí)值誤差較大造成的。而使用FCM聚類的跟蹤性能明顯好于K-means聚類以及PHD濾波器的跟蹤性能。本文算法中的信息融合算法能夠使其跟蹤性能明顯提高。圖6(b)中，橫軸表示運(yùn)行步數(shù)，縱軸表示每個(gè)步數(shù)的運(yùn)行時(shí)間，由此可以看出，F(xiàn)CM聚類融合算法運(yùn)行時(shí)間略長于K-means聚類算法，但FCM聚類融合算法的跟蹤精度明顯高于其他兩種算法。

圖7顯示了多目標(biāo)真實(shí)數(shù)量、K-means聚類后目標(biāo)數(shù)量、FCM聚類融合后目標(biāo)數(shù)量以及PHD估計(jì)數(shù)量,其中，實(shí)線為真實(shí)值，點(diǎn)為估計(jì)值。估計(jì)的目標(biāo)數(shù)量是100次蒙特卡羅模擬的平均值。

圖7 目標(biāo)數(shù)量估計(jì)Fig.7 Estimation of the number of targets

由圖7可知，應(yīng)用基數(shù)補(bǔ)償?shù)木垲惾诤纤惴▽δ繕?biāo)數(shù)量的估計(jì)效果明顯好于其他兩種算法。

仿真結(jié)果證明，密集雜波環(huán)境中在傳統(tǒng)PHD濾波器中提取狀態(tài)變量時(shí)使用FCM聚類而不是K-means聚類獲得的基數(shù)，能夠使估計(jì)性能得到提高。同時(shí)表明，使用基數(shù)信息進(jìn)行補(bǔ)償后估計(jì)性能得到了較大的提高。

5 總結(jié)

本文提出了基于ICF信息融合的方法，在PHD濾波器結(jié)構(gòu)中，狀態(tài)變量的提取使用了FCM聚類算法，與K-means相比，其在有較強(qiáng)噪聲和異常值情況下，具有更強(qiáng)的魯棒性。此外，通過ICF，利用迭代聚類算法得到的基數(shù)對目標(biāo)數(shù)量估計(jì)進(jìn)行補(bǔ)償，可有效減少跟蹤誤差，提高跟蹤性能。