代晨曦，周方偉，衛(wèi)曉娟

（上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 軌道交通學(xué)院，上海 201418）

含間隙碰撞振動系統(tǒng)普遍存在于機械設(shè)備中（如含齒側(cè)間隙和軸承支承間隙的單級齒輪傳動系統(tǒng)，由于間隙存在而導(dǎo)致碰撞沖擊振動的發(fā)生）。由于碰撞振動系統(tǒng)具有強非線性，導(dǎo)致其具有豐富而又復(fù)雜的動力學(xué)行為（分岔和混沌等），為了避免這些有損機械結(jié)構(gòu)的行為，近年來，研究者們對碰撞振動系統(tǒng)混沌運動控制問題進行了相應(yīng)的探索和研究[1-3]。王子俊[4]針對一類單自由度碰撞振動系統(tǒng)的混沌運動，采用OGY方法進行控制；杜偉霞等[5]針對于兩自由度彈碰系統(tǒng)的混沌運動控制問題，采用間歇控制方法對該系統(tǒng)施加控制。Lee等[6]提出了基于反饋控制思想的一類單自由度碰撞振子位置控制策略；張曹輝[7]提出基于粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization，PSO）算法優(yōu)化支持向量機（support vector machines，SVM）的混沌運動控制方法，分別對含間隙單自由度剛性碰撞振動系統(tǒng)和彈性碰撞振動系統(tǒng)的混沌運動進行控制；林何等[8]針對多間隙齒輪-軸承系統(tǒng)長周期不穩(wěn)定周期軌道不動點維數(shù)變異控制失穩(wěn)問題，以軸承預(yù)載荷為攝動激勵實施微擾控制，實現(xiàn)了混沌吸引子向多種不同周期路徑上的遷移控制。Shen等[9]研究了單自由度諧振沖擊振子中的擦邊誘導(dǎo)混沌的控制問題，采用實時離散時間反饋控制策略，將其控制為周期運動。Wei等[10]針對一類含間隙碰撞振動系統(tǒng)的混沌運動控制問題，提出了一種基于AHGSA的無模型混沌控制方法。

雖然研究者們關(guān)于碰撞振動系統(tǒng)混沌運動控制研究取得了一定的成果，但相較該類系統(tǒng)的動力學(xué)研究而言，控制器設(shè)計不依賴于被控系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型的碰撞振動系統(tǒng)混沌運動控制研究，還有待進一步探索和深入[11]。而且，將PSO算法引入碰撞振動系統(tǒng)混沌運動控制的相應(yīng)研究仍然鮮見。

基于此，考慮到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制具有不依賴于被控系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢，本文針對一類含間隙單自由度剛性碰撞振動系統(tǒng)的混沌運動控制問題，提出一種基于PSO優(yōu)化徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)反饋混沌運動控制方法：分析系統(tǒng)運動隨激勵頻率變化所產(chǎn)生的分岔與混沌，總結(jié)系統(tǒng)分岔及混沌運動的參數(shù)分析判據(jù)，據(jù)此設(shè)計了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)反饋混沌控制器，并采用PSO算法優(yōu)化控制器的參數(shù)(即隱層節(jié)點中心、中心寬度、權(quán)值)，通過給系統(tǒng)可控參數(shù)施加小擾動，達到將混沌運動控制為穩(wěn)定周期運動的目的。通過仿真實驗驗證了該控制方法的可行性及有效性。該方法無需被控系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型及不動點的位置等先驗知識，可用于模型未知或難以建立精確數(shù)學(xué)模型情況下的混沌運動控制。

1 系統(tǒng)力學(xué)模型及混沌運動

本文研究的是如圖1所示的單自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)的混沌運動控制問題。如圖1所示，質(zhì)量塊M與水平支撐面間無摩擦（水平支撐面為光滑平面），質(zhì)量塊M在簡諧激振力Psin(ΩT＋τ)作用下開始振動，運動的位移用X表示，當(dāng)質(zhì)量塊M位于平衡位置時，其與右側(cè)剛性約束的間隙為H。

圖1 單自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig. 1 The mechanical model of a single-degree-of-freedom vibro-impact system with clearance

圖1中，M為質(zhì)量塊的質(zhì)量，C為阻尼系數(shù)（線性阻尼器）,K為剛度（線性彈簧）。

當(dāng)質(zhì)量塊M運動的位移為H時，與右側(cè)剛性約束發(fā)生碰撞，這時質(zhì)量塊的速度方向發(fā)生改變，以新的初始條件做往復(fù)運動。若碰撞持續(xù)時間忽略不計，則圖1所示系統(tǒng)運動微分方程為

為揭示一定參數(shù)條件下，圖1中系統(tǒng)的混沌運動產(chǎn)生機理，選擇碰撞后瞬時的σ截面，即

其中，θ=ωtmod 2nπ）為Poincaré截面。在ζ=0.2，R=0.8，h=0.05的參數(shù)條件下，分析混沌運動與系統(tǒng)參數(shù)（即簡諧激振力頻率ω）之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系及表現(xiàn)特征，結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 系統(tǒng)隨ω變化的分岔圖Fig. 2 The bifurcation diagram of system with ω changing

圖4 混沌吸引子（ω=2.65）Fig. 4 Chaotic attractor (ω=2.65)

由圖2可知，當(dāng)簡諧激振力頻率ω在一定范圍內(nèi)變化時，圖1所示系統(tǒng)運動經(jīng)倍周期分岔演化為混沌運動。當(dāng)ω∈[2.50,2.56]時，該系統(tǒng)具有穩(wěn)定的周期1-1運動（用符號n-p區(qū)分系統(tǒng)運動的類型；符號n-p中n代表激勵周期數(shù)，p代表碰撞次數(shù)）；在ω∈[2.56,2.62]時，系統(tǒng)由周期1-1運動經(jīng)過第一次倍化分岔，演變?yōu)橹芷?-2運動；當(dāng)ω∈[2.62,2.63]時，系統(tǒng)由周期2-2運動經(jīng)過第二次倍化分岔，演變?yōu)橹芷?-4運動；隨著ω繼續(xù)增大，系統(tǒng)會繼續(xù)發(fā)生倍化分岔直至通向混沌狀態(tài)。當(dāng)ω∈[2.67,2.69]時，混沌運動中還具有周期窗口。

圖3為圖2中的系統(tǒng)分岔圖所對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜圖。Lyapunov指數(shù)作為一個定量指標(biāo)[12]，在圖3中也直觀地表明了系統(tǒng)運動性態(tài)變化與簡諧激振力頻率ω之間的關(guān)系。圖3中，最大Lyapunov指數(shù)用λ1來表示，當(dāng)λ1＜0時，系統(tǒng)運動為穩(wěn)定的周期n-p運動；當(dāng)λ1＞0 時，系統(tǒng)運動為混沌運動；當(dāng)λ1=0、而λ2＜0時，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔。

圖3 系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)譜圖Fig. 3 The Lyapunov spectra of system

ω=2.65，ζ=0.2，R=0.8，h=0.05時的混沌吸引子和相平面圖如圖4所示。由圖4（a）可見，在Poincaré截面上為成片的散落點集，且有層次結(jié)構(gòu)；由圖4（b）也可以看到，此時系統(tǒng)相平面圖不重復(fù)且雜亂無章。圖4（a）和圖4（b）均表明系統(tǒng)運動為混沌運動。

2 基于RBFNN的混沌控制器設(shè)計

基于參數(shù)反饋混沌控制法的原理來控制混沌運動。即：利用RBFNN控制器輸出一個微小且有界的擾動量Δω施加于系統(tǒng)的可控參數(shù)--簡諧激振力頻率ω，通過對其動態(tài)微幅調(diào)整，從而將混沌運動控制到穩(wěn)定的周期運動。

圖5為本文設(shè)計的混沌控制器結(jié)構(gòu)?？刂破鬏斎雽拥?個輸入為能夠反映系統(tǒng)趨近于穩(wěn)定周期運動趨勢的相鄰兩次迭代后Poincaré截面上的投影點間的距離（即d(k)=‖X(k)-X(k-1)‖、d(k-1)=‖X(k-1)-X(k-2)‖；X(k)為第k次迭代后被控系統(tǒng)狀態(tài)變量X=[x˙,τ]的值）。控制器的輸出層為一個節(jié)點；控制器輸出量則為激勵頻率的微幅調(diào)整量，為保持控制的有效性，設(shè)定最大調(diào)整量為umax，則-umax＜u＜umax。輸入層到隱含層的激活函數(shù)選用高斯徑向基函數(shù)。在團隊前期研究成果的基礎(chǔ)上，經(jīng)反復(fù)試驗對比，本文確定隱層節(jié)點數(shù)為5。

圖5 控制器結(jié)構(gòu)Fig. 5 The structure of the controller

3 基于PSO的控制器參數(shù)優(yōu)化

3.1 適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)建

適應(yīng)度函數(shù)用來定量評價基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所設(shè)計的混沌控制器對被控系統(tǒng)的控制能力以及引導(dǎo)PSO算法優(yōu)選控制器參數(shù)?？刂颇繕?biāo)是使得所設(shè)計的控制器將圖1所示單自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)的混沌運動控制為穩(wěn)定的周期運動。本文選定相鄰兩次迭代后Poincaré截面上投影點間的距離作為判斷依據(jù)，構(gòu)建控制器參數(shù)優(yōu)化選擇時所應(yīng)滿足的適應(yīng)度函數(shù)如下：

式中：X(k)為受控系統(tǒng)狀態(tài)變量X的值；u(k)為控制輸入；d*為Poincaré截面上相鄰2點距離的期望值；η為(0,1)區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)。

采用PSO算法優(yōu)化混沌控制器參數(shù)時，每個粒子的搜索結(jié)果都要用于去計算適應(yīng)度函數(shù)的值，并進行比較，使適應(yīng)度函數(shù)取得最小值的搜索結(jié)果，即為控制器的最優(yōu)參數(shù)。

3.2 基于PSO的控制器參數(shù)優(yōu)化

根據(jù)圖5所示控制器結(jié)構(gòu)可確定PSO算法搜索得到的最優(yōu)解空間的維數(shù)為20。在t時刻第i個粒子在解空間中的位置Pi(t)={Pi,1(t),Pi,2(t),···,Pi,20(t)}，速度Vi（t）={Vi,1(t),Vi,2(t),L,Vi,20(t)}，i=1,2,···,M；粒子通過搜索得到的個體最優(yōu)位置Pibest(t)={Pibest,1(t),Pibest,2(t),···,Pibest,20(t)}，群體最優(yōu)位置Gbest(t)={Gbest,1(t),Gbest,2(t),···,Gbest,20(t)}。

PSO算法的速度和位置的迭代公式為

式中：ψ為慣性權(quán)值；c1、c2為加速常數(shù)；r1、r2為[0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)。PSO算法的全局搜索能力隨ψ的增大而增強；反之，PSO算法的局部搜索能力隨ψ的減小而增強。為了平衡PSO算法的全局尋優(yōu)能力和局部尋優(yōu)能力，ψ取值從0.9線性遞減至0.5。

圖6所示為采用PSO算法優(yōu)化混沌控制器的流程圖。

圖6 PSO算法優(yōu)化控制器參數(shù)流程Fig. 6 The flow chart of controller parameter optimization based on PSO algorithm

4 混沌控制仿真

采用PSO-RBFNN的混沌控制方法對圖4（a）所示的混沌吸引子進行控制仿真。PSO算法的參數(shù)設(shè)置為：粒子總的個數(shù)為30，粒子搜索次數(shù)為100次。為了更清楚地表示混沌運動控制效果，系統(tǒng)迭代500次時對混沌運動施加控制。

如圖7所示，通過軌道圖及相平面圖展示了將混沌運動控制為周期1-1運動的控制效果。采用PSO算法優(yōu)化后的控制器參數(shù)如表1所示。圖7(a)、7(b)為混沌運動演化為周期1-1運動的時間歷程；由圖7(a)、7(b)可知，混沌運動能夠很快地（在k=522時）被穩(wěn)定到周期1-1軌道；圖7(c)為系統(tǒng)穩(wěn)定后的相平面圖，圖中一條封閉的曲線說明此時系統(tǒng)運動為穩(wěn)定的周期1-1運動。

圖7 受控周期1-1運動Fig. 7 Controlled period 1-1 motion of the system

表1 周期1-1的控制器參數(shù)Tab. 1 Parameters of controller (period 1-1 motion)

圖8展示了將混沌運動控制為周期2-2運動的控制效果。采用PSO算法優(yōu)化后的控制器參數(shù)如表2所示。圖8(a)、8(b)為混沌運動演化為周期2-2運動的時間歷程；由圖8(a)、8(b)可知，混沌運動能夠很快地（在k=515時）被穩(wěn)定到周期2-2軌道；圖8(c)為系統(tǒng)穩(wěn)定后的相平面圖，圖中2條封閉的曲線說明此時系統(tǒng)運動為穩(wěn)定的周期2-2運動。

圖8 受控周期2-2運動Fig. 8 Controlled period 2-2 motion of the system

表2 周期2-2的控制器參數(shù)Tab. 2 Parameters of controller (period 2-2 motion)

從上述仿真結(jié)果可見，本文方法能夠很好地實現(xiàn)對圖1所示單自由度含間隙剛性碰撞振動系統(tǒng)混沌運動的有效控制，最終的控制目標(biāo)不僅僅可以是周期1-1及周期2-2運動，也可以是其他周期軌道。但出于篇幅的考慮，其余周期軌道不再贅述。

5 結(jié) 語

本文研究了一類單自由度含間隙剛性碰撞系

統(tǒng)的混沌運動控制問題，提出了一種基于PSO優(yōu)化控制器（控制器結(jié)構(gòu)基于RBFNN設(shè)計）參數(shù)的混沌控制方法。首先分別采用分岔圖和指數(shù)譜圖描述了單自由度含間隙剛性碰撞振動系統(tǒng)運動在簡諧激勵頻率變化時的變化規(guī)律及表現(xiàn)特征；然后采用PSO算法與RBFNN相結(jié)合而形成的智能優(yōu)化控制方法進行混沌運動控制：控制器基于RBFNN的三層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計，基于Poincaré截面上相鄰兩點間距離最小原則建立適應(yīng)度函數(shù)，以引導(dǎo)PSO算法對控制器參數(shù)進行優(yōu)化，同時適應(yīng)度函數(shù)值也可用來評價控制器對被控系統(tǒng)的控制能力。仿真結(jié)果表明該方法具有良好的控制效果。