柳 爽，李 寬，蔣扇英，許 雄

（上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 上海 201418）

從20世紀(jì)中期開始，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)分析開始得到越來越多的關(guān)注。首先，混沌系統(tǒng)具有初值敏感性、有界性以及隨機(jī)性等，1990年，Pecora和Carroll首次提出了驅(qū)動響應(yīng)同步方案，相同系統(tǒng)不同初值的情形下，通過外加信號而實(shí)現(xiàn)同步[1]。其次隨著研究深入，人們發(fā)現(xiàn)同步不僅發(fā)生在2個混沌系統(tǒng)之間，同一網(wǎng)絡(luò)體系下多個系統(tǒng)之間也存在同步現(xiàn)象，如激光就是大量的原子同時釋放出光子產(chǎn)生的[2]。網(wǎng)絡(luò)同步研究初期所研究的主要是規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相對簡單，所以偏向于節(jié)點(diǎn)的非線性動力學(xué)行為對整個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性的影響，如斑圖的涌現(xiàn)和時空混沌的產(chǎn)生等[3-4]。為了更好地描述生活中的復(fù)雜體系，所研究的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型逐漸衍化成具有一定的隨機(jī)特性且規(guī)模更加龐大的小世界網(wǎng)絡(luò)模型等。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在動態(tài)特性方面的作用同樣重要，在一定條件下，調(diào)節(jié)耦合至合適的強(qiáng)度可以使網(wǎng)絡(luò)內(nèi)各節(jié)點(diǎn)達(dá)到同步[5]。此外以流感病毒傳播為例，當(dāng)其單獨(dú)在人類社會或者動物群體中傳播時是網(wǎng)絡(luò)內(nèi)同步，當(dāng)其同時感染人類社會與動物群體即網(wǎng)絡(luò)之間的同步現(xiàn)象[6]。目前復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)進(jìn)入到一個相對成熟的時期，且已經(jīng)影響到日常生活的許多方面[7-8]。但無論是網(wǎng)絡(luò)內(nèi)節(jié)點(diǎn)同步還是多網(wǎng)絡(luò)間同步，人們發(fā)現(xiàn)單層網(wǎng)絡(luò)無法表示全部的復(fù)雜體系。因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)之間會存在一定的關(guān)聯(lián)，如交通運(yùn)輸體系中航空與鐵路運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的復(fù)合。這時人們在單層網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上提出了多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，關(guān)于多層網(wǎng)絡(luò)的同步研究正處于快速發(fā)展的時期[9-11]。

網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)同步是指網(wǎng)絡(luò)中各個節(jié)點(diǎn)從不同初始狀態(tài)出發(fā)，沿著不同的運(yùn)動軌跡，在耦合作用或外加控制的作用下，所有節(jié)點(diǎn)達(dá)到集體一致行為。Wang等[12]發(fā)現(xiàn)對于耦合強(qiáng)度一定且節(jié)點(diǎn)數(shù)足夠多的最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)即使實(shí)現(xiàn)不了同步，但隨機(jī)增加一小部分連接而構(gòu)成的小世界網(wǎng)絡(luò)卻能實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)同步。Tang等[13]研究一類具有未知參數(shù)和隨機(jī)擾動的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時滯同步，利用自適應(yīng)反饋技術(shù)得到可保證該網(wǎng)絡(luò)同步得充分條件。Lu等[14]導(dǎo)出了有向脈沖動力網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)一同步判據(jù)，該方法適用于同步脈沖和去同步脈沖的大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的同步控制。Zhang等[15]對于離散動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的脈沖同步問題，首先在連續(xù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中得出了保證同步所需的充分條件，在不滿足時利用脈沖控制器使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步，并將其推廣到了離散網(wǎng)絡(luò)。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)外同步是指2個或者2個以上的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)之間的同步[16]，針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外同步問題，Li等[17]研究了2個開關(guān)進(jìn)行間歇控制的具有延時特性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的完全同步行為。程世紅等[18]設(shè)計了自適應(yīng)控制器實(shí)現(xiàn)了光學(xué)時變網(wǎng)絡(luò)的外同步。Shi等[19]研究了具有噪聲耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的外同步，基于穩(wěn)定性和矩陣不等式理論，建立了固定時間外同步的充分條件，并對時間上界進(jìn)行了估計。Zhu等[20]主要研究的是復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的辨識問題，是在原有網(wǎng)絡(luò)上加一個調(diào)節(jié)機(jī)制，并構(gòu)建一個由孤立節(jié)點(diǎn)組成的輔助網(wǎng)絡(luò)，通過網(wǎng)絡(luò)和輔助網(wǎng)絡(luò)之間的外部同步來識別出原始網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，由于信息處理和傳播速度的有限性，總會導(dǎo)致時間延遲的出現(xiàn)。時滯對動力系統(tǒng)的性能影響很大。許多文獻(xiàn)關(guān)注的是不同節(jié)點(diǎn)間具有耦合延遲的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步和控制[21-22]。在進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)的動力系統(tǒng)性能研究時，噪聲干擾也是不可忽略的一個因素。首先，噪聲在現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中無所不在。此外，當(dāng)從驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)采集到的信號傳輸?shù)巾憫?yīng)網(wǎng)絡(luò)時，在傳輸過程中不可避免地存在諸如信息丟失等擾動[23]。也就是說，在接收駕駛員信號的響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中，噪聲更有可能存在。因此，在響應(yīng)層中考慮噪聲更為實(shí)用。一般來說，噪聲是有害的。然而，噪聲的存在有時也會起到積極的作用[24]。例如誘導(dǎo)同步以及促進(jìn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)渥R別等[25-27]。

在此基礎(chǔ)上，本文研究了具有延遲節(jié)點(diǎn)和噪聲擾動的網(wǎng)絡(luò)與蔡氏系統(tǒng)的同步?；贚aSalle型不變性原理，設(shè)計了自適應(yīng)控制器，使由蔡氏混沌系統(tǒng)作為節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)與蔡氏混沌系統(tǒng)進(jìn)行同步控制，并提出了保證對等同步的一些基本條件。最后通過數(shù)值仿真，進(jìn)一步說明了該方法的可行性。

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建

考慮一個由N個節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中的各節(jié)點(diǎn)方程相同，則第i個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)方程可表示為[28-29]：

網(wǎng)絡(luò)同步是指網(wǎng)絡(luò)中各個節(jié)點(diǎn)從不同初始狀態(tài)出發(fā)，沿著不同的運(yùn)動軌跡，最終集體一致行為。為實(shí)現(xiàn)動態(tài)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與外部系統(tǒng)間的同步，設(shè)定同步目標(biāo)為

首先定義復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)與目標(biāo)信號之間的誤差：

則網(wǎng)絡(luò)同步誤差的動態(tài)可整理得到：

可以看出，如果滿足條件limt→∞||yi(t) -x(t)||=0，那么可以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)式(1)目標(biāo)系統(tǒng)式(2)之間同步控制。

2 基于的LaSalle型定理實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步

通過對上述網(wǎng)絡(luò)模型的分析可知，ui(t)為網(wǎng)絡(luò)中的同步控制器，當(dāng)選取合理的同步控制器的形式，使limt→∞ei(t)=0，i=1,2,···,N，便可實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中對應(yīng)節(jié)點(diǎn)完全同步追蹤目標(biāo)系統(tǒng)。為實(shí)現(xiàn)同步，首先進(jìn)行以下假設(shè)[30]：

假設(shè)1基于Lipschitz條件，存在正常數(shù)p、q使得噪聲強(qiáng)度σi(t,x,y)，滿足

假設(shè)2存在一個正常數(shù)M使得：

假設(shè)3時滯τ(t)的導(dǎo)數(shù)滿足：

0≤τ˙(t)≤μ＜1，可以看出，τ(t)為常數(shù)也滿足該條件。

為設(shè)計得到實(shí)現(xiàn)復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)與目標(biāo)系統(tǒng)達(dá)到同步的控制器，將根據(jù)隨機(jī)微分時滯方程的LaSalle型定理進(jìn)行下一步的工作。

定理1當(dāng)控制器輸入方程以及網(wǎng)絡(luò)中重要參量的識別率滿足如下方程時，可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與外部目標(biāo)系統(tǒng)的同步追蹤。

式中：ki(i=1,2,···,N)為任意正常數(shù)；bij(t)和gi(t)為基于網(wǎng)絡(luò)動態(tài)變化的自適應(yīng)參數(shù)，且當(dāng)t→∞時，有，其中i，j=1,2,···,N。

證明構(gòu)建Lyapunov函數(shù)

考慮以下n維隨機(jī)微分延遲方程[28]：

定義?V為

因此可得：

將控制方程以及未知參量識別率式(5)和式(6)代入，并整理：

根據(jù)不等式2xTy≤xTx+yTy以及假設(shè)2可知：

將上述方程其代入方程(9)，得：

可使得對任意e≠ 0都有ω1(e)＞ ω2(e)，根據(jù)LaSalle型定理可得

則

式中，Ker(ω1-ω2)表示的是(ω1-ω2)的內(nèi)核。同時有

式中，ξ= {x(θ):-τ≤θ≤0}為t≥ 0時的初始數(shù)據(jù)，如果Ker(ω1-ω2)=0，則有

可以看出，在同步控制器式(5)和(6)的作用下，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)式(1)與目標(biāo)系統(tǒng)式(2)間對應(yīng)節(jié)點(diǎn)的同步控制。證畢。

3 網(wǎng)絡(luò)同步仿真與討論

為進(jìn)一步驗(yàn)證理論分析的有效性，現(xiàn)以電路中的蔡氏電路混沌系統(tǒng)為例構(gòu)成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。蔡氏混沌系統(tǒng)在未構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)之前的狀態(tài)方程為[31]：

式中

蔡氏電路系統(tǒng)所對應(yīng)的相圖如圖1所示。

圖1 蔡氏混沌系統(tǒng)的相圖Fig. 1 Phase diagram of Chua chaotic system

根據(jù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，設(shè)定網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)數(shù)為6，耦合矩陣C滿足

此外，Γ=[1 1 0; 0 1 0; 0 0 1]，τ=0.003。另有噪聲干擾項中的噪聲強(qiáng)度定義

其中：對于i=1,2,···,6有σ0=1，此時σi(t,ei(t),ei(t-τ))可以滿足Lipschitz條件和線性增長條件。也就是說，用公式表示為

與此同時，假設(shè)w(t) =(w1(t),w2(t),w3(t))T是在完整概率空間上的一個三維布朗運(yùn)動。

當(dāng)t為[-τ,0]時，對應(yīng)參量選取為m0=-1/7，m1=2/7，a=9，β=15。選取適當(dāng)?shù)某跏贾?，自適應(yīng)增益初始值gi(t)(i= 1,2,···,6)，和自適應(yīng)參數(shù)bij(t)(i,j= 1,2,···,6)是在(0,1)中隨機(jī)選取的數(shù)值。

圖2～圖7分別展示了復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)系統(tǒng)間的誤差隨時間的演變圖。由圖可見，由于初始值的不同，在最初的一段時間內(nèi)網(wǎng)絡(luò)誤差很明顯。但在本文所設(shè)計的同步控制作用下，經(jīng)過短暫的時間演變，在接近1 s左右的時間時，網(wǎng)絡(luò)誤差值迅速趨于0，實(shí)現(xiàn)期望的穩(wěn)定的同步狀態(tài)。證明該理論方法可有效實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)與目標(biāo)系統(tǒng)間的同步追蹤。

圖2 同步誤差e1j(j=1,2,3)的時間演化Fig. 2 Time evolution of synchronous errore1j(j=1,2,3)

圖3 同步誤差e2j(j=1,2,3)的時間演化Fig. 3 Time evolution of synchronous errore2j(j=1,2,3)

圖4 同步誤差e3j(j=1,2,3)的時間演化Fig. 4 Time evolution of synchronous errore3j(j=1,2,3)

圖7 同步誤差e6j(j=1,2,3)的時間演化Fig. 7 Time evolution of synchronous errore6j(j=1,2,3)

本文只選取6個節(jié)點(diǎn)為例進(jìn)行分析，考慮到實(shí)際應(yīng)用過程中網(wǎng)絡(luò)接點(diǎn)水繁多，不便一一展示每個節(jié)點(diǎn)的同步狀態(tài)，定義網(wǎng)絡(luò)的總同步誤差‖e‖=，如圖8所示。由圖8可見，總的誤差跟之前每個節(jié)點(diǎn)誤差曲線一致，在控制實(shí)施的初期，由于受到初值以及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響，誤差很明顯，但隨著時間增加，控制器的作用越發(fā)的明顯，經(jīng)過短暫的時間演變，網(wǎng)絡(luò)的總誤差最終迅速趨于0。

圖8 同步誤差||e||的時間演化Fig. 8 Time evolution of total synchronization error ||e||

圖5 同步誤差e4j(j=1,2,3)的時間演化Fig. 5 Time evolution of synchronous errore4j(j=1,2,3)

圖6 同步誤差e5j(j=1,2,3)的時間演化Fig. 6 Time evolution of synchronous errore5j(j=1,2,3)

通過分析發(fā)現(xiàn)，在網(wǎng)絡(luò)同步過程中涉及到時滯以及外部噪聲等因素的影響，網(wǎng)絡(luò)同步過程中涉及許多重要的同步參量，而這些參量無法在同步之前一一給出。根據(jù)本文的設(shè)計方法，式（6）給出了位置參量的識別率，具體識別過程如圖9和圖10。

圖9 自適應(yīng)參數(shù)gi(i=1,2,...,6)的時間演化Fig. 9 Time evolution of adaptive parameter gi(i=1,2,...,6)

圖10 自適應(yīng)參數(shù)bij(i, j=1,2,...,6)的時間演化Fig. 10 Time evolution of adaptive parameter bij(i, j=1,2, …,6)

本文以6個節(jié)點(diǎn)為例進(jìn)行分析，所以自適應(yīng)增益初始值gi(i=1,2,···,6)有6個值，自適應(yīng)參量bij(i,j=1,2,···,6)有效識別出36的值。而初始時刻gi(t)和bij(t)的初值是在(0,1)中隨機(jī)選取的數(shù)值。在本文所設(shè)計的控制方案的作用下，經(jīng)過一段隨時間的演變，所有的未知參量均達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，并得到有效識別。進(jìn)一步證明該方法可用來解決受時滯以及噪聲擾動的復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)與外部信號間的同步問題。

4 結(jié) 語

本文主要研究了復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)與混沌系統(tǒng)間同步問題，設(shè)計了一種自適應(yīng)同步控制方法，基于隨機(jī)微分方程的LaSalle型不變性原理，給出了復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)與系統(tǒng)同步所需要的基本條件。同時該方法可有效地解決信號在傳輸過程中產(chǎn)生的時滯以及噪聲擾動的問題，并給出了網(wǎng)絡(luò)中重要參量的識別率。在該方法的控制可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與目標(biāo)系統(tǒng)間的同步控制。進(jìn)一步以6個蔡氏混沌電路為節(jié)點(diǎn)耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果證明了該方法有效性。