文／陳雅蓉

引 言

數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程?？v觀(guān)數(shù)的發(fā)展歷史，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)的發(fā)展過(guò)程竟與學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程如此相似。數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系是密不可分的。從歷史中教師可以甄別學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙，捕捉知識(shí)的核心價(jià)值，明確教學(xué)方向，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更“深”、更“透”。下面，本文以“數(shù)的認(rèn)識(shí)”拓展課為例，談?wù)勅绾握驹贖PM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系）的視角下開(kāi)展小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

一、尋跡

（一）認(rèn)知起點(diǎn)與計(jì)數(shù)發(fā)展

孩子從一出生就不斷接觸到數(shù)，進(jìn)入小學(xué)校園，豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)幫助學(xué)生積累了豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。到了四年級(jí)，為了了解學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)掌握情況，課前，筆者先讓學(xué)生根據(jù)已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)用不同的方式表示出26。新課伊始，學(xué)生展示匯報(bào)，其作品見(jiàn)表1。

表1

表1作品其實(shí)很好地說(shuō)明了學(xué)生對(duì)“數(shù)的概念”的建立過(guò)程：“數(shù)的概念”建立初期，主要是用一一對(duì)應(yīng)的方式，一個(gè)圈對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)量；隨著認(rèn)知水平的不斷發(fā)展，這時(shí)學(xué)生懂得將“10 根小棒捆成一捆”表示10，出現(xiàn)了按群計(jì)數(shù)的方法，這是“十進(jìn)制進(jìn)位”的啟蒙；在計(jì)數(shù)器上表示“26”是一個(gè)巨大的飛躍，數(shù)字符號(hào)在不同的“位”表示基數(shù)不同的量。學(xué)生“數(shù)概念”的建立正是經(jīng)歷“實(shí)物對(duì)應(yīng)—符號(hào)累加—位值占位”的過(guò)程。

（二）認(rèn)知邏輯與位值發(fā)展

為了讓學(xué)生更深入地了解數(shù)的發(fā)展過(guò)程，理解“數(shù)概念”的本質(zhì)，本節(jié)課筆者設(shè)計(jì)了三次用不同的方式表示26：課前讓學(xué)生用自己的方式表示26（見(jiàn)表1），旨在尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)；課上用古人看得懂的方式表示26（見(jiàn)表2），站在歷史的角度感受不同時(shí)代的人表示數(shù)的過(guò)程與方法；課尾用不同進(jìn)制表示26（見(jiàn)表3），再次理解“進(jìn)制”與“位值”的概念，凸顯“位值”的價(jià)值。學(xué)生在數(shù)學(xué)史料的引領(lǐng)下，用多元的方法表示出26，豐富了認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，把握了數(shù)的發(fā)展過(guò)程。

表2

表3

表2是課上學(xué)生用三種不同時(shí)代的方式表示26，從學(xué)生作品中我們看到了數(shù)的發(fā)展：有體現(xiàn)遠(yuǎn)古時(shí)代的一一羅列；有體現(xiàn)古埃及時(shí)代的有位無(wú)值，但已經(jīng)有十進(jìn)制的雛形；還有體現(xiàn)古代算籌的有位有值。原來(lái)數(shù)是按照“實(shí)物對(duì)應(yīng)—符號(hào)累加—位值占位”這樣的順序發(fā)展的。

續(xù)表

表3是課尾借助微視頻介紹，學(xué)生用不同進(jìn)制表示26。通過(guò)與“十進(jìn)制”對(duì)比，學(xué)生紛紛表示：“十二進(jìn)制”至少要11 個(gè)數(shù)字，計(jì)數(shù)和運(yùn)算會(huì)比“十進(jìn)制”復(fù)雜；“五進(jìn)制”和“二進(jìn)制”雖然數(shù)字比較少，但是沒(méi)有“數(shù)位”的要求，在讀數(shù)和寫(xiě)數(shù)上會(huì)比較麻煩。學(xué)生通過(guò)對(duì)不同進(jìn)制表示方法再次進(jìn)行對(duì)比，感受到了現(xiàn)代十進(jìn)制計(jì)數(shù)法中“位值”的優(yōu)越性。

二、探因

（一）兒童認(rèn)知與數(shù)的發(fā)展歷史

回顧歷史，我們知道數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了“實(shí)物計(jì)數(shù)—象形符號(hào)計(jì)數(shù)（不同進(jìn)制）—位值制計(jì)數(shù)—阿拉伯?dāng)?shù)字計(jì)數(shù)”這樣的發(fā)展過(guò)程。由于人有10 根手指，所以產(chǎn)生十進(jìn)制并不難，古埃及數(shù)字、中國(guó)甲骨文都是采用十進(jìn)制，但十進(jìn)制計(jì)數(shù)法最關(guān)鍵的一步是“位值制”。中國(guó)古代算籌的出現(xiàn)在計(jì)數(shù)史上創(chuàng)造了奇跡，它的優(yōu)越性是顯而易見(jiàn)的：古埃及、古羅馬數(shù)字沒(méi)有“位值制”，如果要表示大一點(diǎn)的數(shù)就相當(dāng)煩瑣；古巴比倫和瑪雅數(shù)字雖然有“位值制”，但用的不是十進(jìn)制進(jìn)位，需要19 或59 個(gè)數(shù)碼，這使計(jì)數(shù)變得十分復(fù)雜，不如9個(gè)數(shù)碼就可以表示任意自然數(shù)的十進(jìn)位制來(lái)得簡(jiǎn)捷[1]。但中國(guó)算籌的缺點(diǎn)就是沒(méi)有表示“0”的符號(hào)，只能用“空格”來(lái)表示沒(méi)有，這樣容易產(chǎn)生混淆。“0”和十進(jìn)位值制的產(chǎn)生使阿拉伯?dāng)?shù)系成為當(dāng)前最簡(jiǎn)潔的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，被后人認(rèn)同并沿用至今。觀(guān)察歷史，我們知道“位值制”的發(fā)明要比“十進(jìn)制”晚得多，而“位值”正是小學(xué)生在“數(shù)的概念”形成過(guò)程中難以理解的。

（二）兒童認(rèn)知與教材體系的安排

教材中“數(shù)的概念”教學(xué)主要分布在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第一冊(cè)、第二冊(cè)、第四冊(cè)、第七冊(cè)，四個(gè)階段螺旋上升，經(jīng)歷了“實(shí)物對(duì)應(yīng)—符號(hào)累加—位值計(jì)數(shù)”的過(guò)程。可見(jiàn)，“數(shù)的概念”形成過(guò)程與數(shù)的發(fā)展史是一致的，尤其“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”更是貫穿整個(gè)認(rèn)數(shù)過(guò)程。

教材中“數(shù)的概念”數(shù)學(xué)史的分布主要在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第一冊(cè)介紹古代算籌和古埃及數(shù)字，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第四冊(cè)從石子計(jì)數(shù)到算盤(pán)記數(shù)，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊(cè)數(shù)的產(chǎn)生及阿拉伯?dāng)?shù)字的來(lái)歷，從“你知道嗎？”板塊來(lái)呈現(xiàn)，比較零散，缺乏整體性與連貫性。從學(xué)生的心理年齡和思維水平來(lái)看，一年級(jí)數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)比較抽象，學(xué)生不能理解古代計(jì)數(shù)方法與現(xiàn)代所用的計(jì)數(shù)方法有何關(guān)聯(lián)，也與數(shù)的發(fā)展過(guò)程脫節(jié)，學(xué)生無(wú)法系統(tǒng)了解數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展源于人類(lèi)生活的需要。對(duì)此，教師需要將人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一至三年級(jí)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容與教材中“數(shù)的認(rèn)識(shí)”相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行整合，融文化與知識(shí)于一體，引導(dǎo)學(xué)生從發(fā)展的角度，真正理解數(shù)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升文化素養(yǎng)。

三、索果

蔡宏圣教授指出：“歷史呈現(xiàn)了知識(shí)的來(lái)龍去脈，敘說(shuō)了人類(lèi)認(rèn)識(shí)如何步步深入，在抽象的過(guò)程中我們就能體會(huì)和把握認(rèn)識(shí)提升的關(guān)鍵?！盵2]了解自然數(shù)的起源史，學(xué)生可以知道數(shù)的發(fā)展過(guò)程，領(lǐng)悟“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”與人有十根手指有密切聯(lián)系，感受“位值制”的優(yōu)勢(shì)，真正理解計(jì)數(shù)系統(tǒng)，站在文化的橋梁上重新思考，進(jìn)而形成概念脈絡(luò)。下面，筆者從以下片段來(lái)感受HPM 理念下“數(shù)的認(rèn)識(shí)”拓展課上所展現(xiàn)的文化魅力及HPM 視野下的思辯課堂。

（一）在還原歷史的過(guò)程中深化理解

走進(jìn)歷史將使學(xué)生從歷史的角度理解數(shù)，理解數(shù)的產(chǎn)生，認(rèn)識(shí)到古人的智慧。在教學(xué)中，筆者用微視頻的形式向?qū)W生展示了數(shù)的發(fā)展過(guò)程（如圖1）。

圖1

師：看完視頻，請(qǐng)同學(xué)們來(lái)分享你看懂了什么。古人是怎樣表示數(shù)的？你有什么感受？

生1：原始時(shí)代的人捕獲一只羊就擺一個(gè)石子，撈到一條魚(yú)就在木頭上刻一道刻痕，是用實(shí)物來(lái)表示數(shù)字的。

師：是的，一只羊?qū)σ粋€(gè)石頭，一條魚(yú)對(duì)一道刻痕，數(shù)學(xué)上我們把這種方法叫作——

生2：一一對(duì)應(yīng)。我知道了，原始時(shí)代的人是用一一對(duì)應(yīng)的方法數(shù)數(shù)的。

生3：我來(lái)說(shuō)說(shuō)古埃及時(shí)代。古埃及時(shí)代是用9根小棒表示1～9 的，用一條彎曲的繩子代表10，一條長(zhǎng)繩代表100，一朵花代表1000，一根手指代表10000……

生4：我發(fā)現(xiàn)古埃及時(shí)代懂得了用不同的圖形（符號(hào)）來(lái)表示更大的數(shù)，如整百、整千……

生5：我來(lái)說(shuō)中國(guó)古代算籌吧。中國(guó)古代算籌有縱式和橫式的區(qū)分，縱式、橫式交替使用。

生6：我補(bǔ)充，算籌前面的1 到5，都是一根小棍對(duì)應(yīng)1；6 到9 的擺法就不同，如縱式的7 上面橫的一根代表5，下面2 根代表2，合起來(lái)是7。

生7：我知道了數(shù)是不斷發(fā)展的，古人非常了不起。

……

在以上片段，筆者引導(dǎo)學(xué)生走入遠(yuǎn)古時(shí)代、古埃及時(shí)代、中國(guó)古代算籌三個(gè)時(shí)代，讓學(xué)生感受數(shù)的表示方法，感受數(shù)的發(fā)展過(guò)程中三個(gè)重要?dú)v程，讓學(xué)生在腦海中形成一條“數(shù)的發(fā)展”時(shí)間軸，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的歷史性、多元性、人文性。通過(guò)對(duì)史料信息的閱讀，我們可以看到，學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀(guān)察信息，用不同的時(shí)代語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，用數(shù)學(xué)的思維來(lái)思考，其數(shù)學(xué)素養(yǎng)顯著提升。

（二）在“思辨”對(duì)話(huà)中深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心。數(shù)學(xué)課上要有學(xué)生的聲音，要有學(xué)生不同的聲音，要“百家爭(zhēng)鳴”。本節(jié)課筆者抓住歷史發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)思辯性的問(wèn)題，讓學(xué)生站在歷史的角度思考，推進(jìn)學(xué)生思維走向深層。

如在筆者提問(wèn)“對(duì)比古代三種數(shù)的表示方法，哪種方法更簡(jiǎn)潔？”時(shí)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)兩種聲音。

生1：我認(rèn)為古埃及數(shù)字更簡(jiǎn)潔，幾個(gè)10 就用幾個(gè)“∩”表示，幾個(gè)1 就用幾個(gè)“│”表示，直接累加起來(lái)算。

生2：我認(rèn)為中國(guó)算籌更簡(jiǎn)潔，只有9 個(gè)符號(hào)，表達(dá)方式是唯一的。

師：兩位同學(xué)說(shuō)得都有道理，那不如我們來(lái)場(chǎng)辯論賽吧，認(rèn)為古埃及數(shù)字簡(jiǎn)潔的請(qǐng)舉手，認(rèn)為中國(guó)算籌簡(jiǎn)潔的請(qǐng)舉手，請(qǐng)用你們的方式來(lái)說(shuō)服對(duì)方。

生3：古埃及數(shù)字比較麻煩，還要記符號(hào)，而且數(shù)越大用的符號(hào)就越多。

生4：中國(guó)古代算籌有縱式和橫式容易混亂。

生5：不如我們來(lái)一場(chǎng)比賽吧！用古埃及數(shù)字和中國(guó)古代算籌分別表示999，誰(shuí)快就說(shuō)明誰(shuí)更簡(jiǎn)潔。

全班學(xué)生都同意，于是立馬動(dòng)筆比賽，結(jié)果顯示中國(guó)古代算籌更快。

師追問(wèn)：為什么中國(guó)古代算籌會(huì)更快呢？

生6：因?yàn)橹袊?guó)古代算籌有數(shù)位的要求，右邊第一位表示幾個(gè)1，第二位表示幾個(gè)10，第三位表示幾個(gè)100，在不同位置上寫(xiě)的數(shù)單位不同，不像古埃及數(shù)字每個(gè)單位符號(hào)不同，還要一個(gè)一個(gè)畫(huà)下來(lái)。

這時(shí)，又有一位學(xué)生質(zhì)疑：可是中國(guó)古代算籌沒(méi)有0，那0 怎么表示？遇到10、100、1000 這樣的數(shù)怎么辦？

這時(shí)全場(chǎng)一片寧?kù)o，陷入沉思……

從以上片段我們可以看出，學(xué)生在文化浸潤(rùn)下能將自己的思考與理解轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，呈現(xiàn)“百家爭(zhēng)鳴”的學(xué)習(xí)場(chǎng)景。學(xué)生在意見(jiàn)產(chǎn)生分歧時(shí)展開(kāi)辯論，甚至通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)比賽來(lái)證明，再次感受到“位值”的優(yōu)越性，并在思維的碰撞中發(fā)現(xiàn)了中國(guó)古代算籌的缺陷……HPM 視野下的課堂既有思維的暗流涌動(dòng)，又有語(yǔ)言的交鋒碰撞；既有思路的辨析，又有思路的拓展，由此，思辯對(duì)話(huà)將課堂學(xué)習(xí)推向深層。

結(jié) 語(yǔ)

數(shù)學(xué)史是當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)新領(lǐng)域。學(xué)生讀數(shù)學(xué)史，不僅能厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈，還能通過(guò)歷史尋找人類(lèi)認(rèn)識(shí)曾經(jīng)走過(guò)的彎路、遇到的挫折和困惑，提煉出人類(lèi)發(fā)展中的障礙（這往往是學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)），感受歷史背后的數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和精神，實(shí)現(xiàn)歷史與現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)與人文、思想與方法的溝通。相信HPM 理念下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)會(huì)更有深度，更有溫度，也更有思維的碰撞。