張軍，陳揚洋，張杰，楊明

(1.廣州數(shù)控設(shè)備有限公司，廣東廣州 510000；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001)

0 前言

數(shù)字伺服控制系統(tǒng)由于能夠提升生產(chǎn)效率和方便調(diào)試的優(yōu)點，在數(shù)控機床、工業(yè)機器人等高精密工業(yè)制造和生產(chǎn)場合中有著廣泛的運用。伺服系統(tǒng)中電機和負(fù)載之間往往通過諧波齒輪、滾軸絲杠、傳動皮帶等柔性傳動裝置相連接，以提高設(shè)備的兼容性和降低裝置的成本。在控制理論中，控制器的高增益往往代表著良好的性能。但相比剛性傳動，柔性傳動在高增益下更容易出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定，從而引發(fā)機械諧振，產(chǎn)生噪聲污染，降低加工精度。因此，如何在保持高帶寬的同時進(jìn)行諧振抑制，已經(jīng)成為提高伺服性能的一個關(guān)鍵課題。

關(guān)于機械諧振抑制，國內(nèi)外學(xué)者已進(jìn)行了大量研究，采用的方法主要分為兩大方面：一方面從機械特性入手，通過修改機械結(jié)構(gòu)或更改結(jié)構(gòu)材料，以提高機械諧振的峰值頻率或增加阻尼以降低諧振峰值：如增加電機轉(zhuǎn)動慣量或降低負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量，改變傳動結(jié)構(gòu)或材料以提高傳動剛性等，但其成本較高且適用范圍窄；另一方面則是通過在伺服系統(tǒng)中加入控制器、濾波器等環(huán)節(jié)改善系統(tǒng)閉環(huán)特性來抑制機械諧振。該方式的諧振抑制策略主要分為以下幾類：(1)通過增加傳感器或狀態(tài)觀測器的方式引入狀態(tài)反饋；其中，文獻(xiàn)[13-14]均利用加速度反饋有效增加電機端慣性矩從而降低驅(qū)動對機械共振的敏感度；文獻(xiàn)[15-19]是將負(fù)載對電機的扭轉(zhuǎn)振動看作外部負(fù)載擾動，將負(fù)載觀測器對負(fù)載端的擾動轉(zhuǎn)矩觀測值引入閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行補償或前饋，提高系統(tǒng)的抗諧振能力，進(jìn)而降低系統(tǒng)的速度波動；(2)根據(jù)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行輸入信號整形，來抑制諧振，該方式屬于被動抑制，通過將輸入指令信號進(jìn)行整形處理，消除指令信號中激發(fā)諧振的信號分量，從而實現(xiàn)減弱甚至消除諧振的效果；(3)在控制環(huán)路中串入低通或陷波濾波器調(diào)節(jié)相角裕度，減少諧振點處的增益，實現(xiàn)諧振抑制。其中，第三類方法由于需要的參數(shù)較少，算法簡單且配置靈活，在實際伺服系統(tǒng)中運用最為廣泛。為了準(zhǔn)確獲取諧振頻率來配置濾波器，國內(nèi)外學(xué)者提出了眾多基于FFT的在線和離線諧振頻率辨識的方法。但是由于阻尼、離散化和系統(tǒng)慣性的影響，實際系統(tǒng)所表現(xiàn)出的諧振頻率會出現(xiàn)偏離自然諧振頻率(Natural Torsional Frequency, NTF)的現(xiàn)象。對此，相關(guān)作者通過自適應(yīng)陷波可很好提高算法的自適應(yīng)性，但自適應(yīng)陷波固有的調(diào)節(jié)過程會加劇系統(tǒng)震蕩，甚至損壞傳動裝置。

基于以上分析，本文作者在機械諧振模型的基礎(chǔ)上，重點分析了采樣周期、阻尼和陷波器的串入對諧振狀態(tài)的影響，解釋了在線自適應(yīng)陷波中頻率配置錯誤下引起諧振頻率偏移的原因，并得出在諧振出現(xiàn)偏移現(xiàn)象時最有效的陷波頻率仍是系統(tǒng)自然諧振頻率的結(jié)論，最后通過仿真與實驗對理論分析進(jìn)行驗證。

1 諧振模型及諧振頻率偏移現(xiàn)象

1.1 機械及控制模型

出于實際工況和生產(chǎn)成本的考慮，現(xiàn)實中的驅(qū)動電機、執(zhí)行機構(gòu)及傳動機構(gòu)組成的典型柔性傳動雙慣量模型如圖1所示。其中：和為驅(qū)動電機和執(zhí)行機構(gòu)轉(zhuǎn)動慣量；為傳動軸阻尼系數(shù)；為電機轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角;為執(zhí)行機構(gòu)轉(zhuǎn)角；與分別為電機和執(zhí)行機構(gòu)的轉(zhuǎn)速；為電機電磁轉(zhuǎn)矩；為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。由于電機和執(zhí)行機構(gòu)在力的作用下產(chǎn)生轉(zhuǎn)角不同步，會使傳動軸發(fā)生形變，為形變所產(chǎn)生的傳動軸轉(zhuǎn)矩，為傳動軸扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)。

圖1 雙慣量系統(tǒng)模型

根據(jù)以上所設(shè)參數(shù)，可得到運動學(xué)方程組(1)及圖2所示的系統(tǒng)控制框圖。

圖2 雙慣量系統(tǒng)控制框圖

(1)

進(jìn)而可得到電磁轉(zhuǎn)矩、電機轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)速之間的傳遞函數(shù)組：

(2)

忽略相對較小的條件下，內(nèi)存在兩個諧振頻率。其中的共軛零點為抗諧振頻率點ARF(Anti-Resonance Frequency)，共軛極點為自然振動頻率點NTF。由式(2)可得出ARF與NTF表達(dá)式：

(3)

將數(shù)字伺服系統(tǒng)控制環(huán)路加以簡化，設(shè)反饋環(huán)路為單位負(fù)反饋，電流環(huán)等效為時間常數(shù)為的一階低通環(huán)節(jié)。由于重點在于分析諧振狀態(tài)，取速度環(huán)控制器為比例控制器，輸出限幅為±；同時使用零階保持器來近似離散化環(huán)節(jié)，可以得整個伺服系統(tǒng)的連續(xù)控制回路框圖如圖3所示。其中為比例系數(shù)，為轉(zhuǎn)矩系數(shù)，為速度環(huán)采樣周期。

圖3 離散系統(tǒng)控制框圖

1.2 諧振頻率偏移現(xiàn)象

根據(jù)圖3，可得出離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(4)

(4)

其中：為拉普拉斯算子；為采樣時間。

取=0.56 N·m/A；=1×10s；=569 N·m/rad；=1.82×10kg·m；=1×10kg·m；=1×10s;= 0.01 N·m·s/rad；=6.59。該參數(shù)下系統(tǒng)的伯德圖如圖4所示[由式(3)可得=306 Hz]。由控制理論可知，增益裕度為負(fù)會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且會產(chǎn)生穿越-180°處頻率的諧振。因此，圖4所示系統(tǒng)的諧振頻率偏移至730 Hz(設(shè)系統(tǒng)所表現(xiàn)出的諧振頻率為)，并非306 Hz(NTF)。在高增益的數(shù)字伺服控制系統(tǒng)中，目前主要采用在速度環(huán)輸出端串入改進(jìn)雙T形陷波濾波器進(jìn)行諧振抑制，其傳函和參數(shù)公式如式(5)所示，、和分別代表陷波頻率、陷波寬度和陷波深度。

圖4 離散系統(tǒng)伯德圖

(5)

為了提高算法的魯棒性，實際中會使用在線自適應(yīng)的方法對陷波濾波器的陷波頻率加以修正。但是在某些情況下，在線自適應(yīng)陷波也會導(dǎo)致諧振頻率的移動。選取速度環(huán)輸出限幅為±6 A，陷波參數(shù)：=314 rad/s，=-40 dB，在圖4系統(tǒng)中分別使用在線自適應(yīng)陷波和陷波NTF兩種算法，會存在如圖5所示的現(xiàn)象：系統(tǒng)本身NTF為306 Hz，陷波前諧振頻率已偏移至730 Hz。于0.1 s處啟用自適應(yīng)陷波濾波器，每0.1 s進(jìn)行諧振頻率辨識和陷波頻率修正。在修正的過程中，諧振幅值剛開始有增大的趨勢，系統(tǒng)所表現(xiàn)的諧振頻率會逐漸接近NTF(在線自適應(yīng)陷波下系統(tǒng)的當(dāng)前諧振頻率已在圖中標(biāo)出)。可見，當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)處于諧振頻率偏移狀態(tài)時，在線自適應(yīng)濾波難以實現(xiàn)快速、平穩(wěn)地諧振抑制。

圖5 機械諧振頻率偏移現(xiàn)象

2 諧振頻率偏移現(xiàn)象成因

由圖5可知，系統(tǒng)諧振頻率偏移NTF的原因可分為兩類：第一類是由于系統(tǒng)本身參數(shù)導(dǎo)致；第二類是人為加入陷波導(dǎo)致。從增益裕度角度出發(fā)，選取采樣周期、阻尼和陷波3個影響系統(tǒng)相頻特性的主要因素進(jìn)行分析。

2.1 采樣周期影響分析

在圖4參數(shù)的基礎(chǔ)上，取=0.01 N·m·s/rad，變化采樣頻率(1)，得到不同采樣頻率下的系統(tǒng)開環(huán)伯德圖如圖6所示。雖然連續(xù)系統(tǒng)增益裕度為正，但由于離散化帶來的相角滯后，各采樣頻率下離散控制系統(tǒng)皆處于不穩(wěn)定的諧振狀態(tài)。而且隨著采樣頻率的降低，離散控制系統(tǒng)的相角滯后增大，系統(tǒng)的諧振頻率會逐步從高頻段向NTF靠攏。

圖6 不同采樣頻率下系統(tǒng)開環(huán)伯德圖

2.2 阻尼影響分析

在圖4參數(shù)的基礎(chǔ)上，取=1×10s，變化，得到不同阻尼系數(shù)下的系統(tǒng)開環(huán)伯德圖如圖7所示。圖中的系統(tǒng)皆處于諧振狀態(tài)。其中阻尼系數(shù)影響了相頻曲線中NTF處的下降斜率，隨著阻尼系數(shù)的增大，NTF處的驟降趨勢會變緩，導(dǎo)致系統(tǒng)的諧振頻率會逐漸向高于NTF的頻段發(fā)生偏移。但是另一方面，阻尼的增大能夠有效地衰減NTF處的幅值增益，對系統(tǒng)趨于穩(wěn)定有一定的幫助。

圖7 不同阻尼系數(shù)下系統(tǒng)開環(huán)伯德圖

2.3 陷波影響分析

在圖4參數(shù)基礎(chǔ)上，取=0.01 N·m·s/rad，=1×10s，陷波濾波器參數(shù)=314 rad/s、=-40 dB，得到不同陷波頻率下系統(tǒng)開環(huán)伯德圖如圖8所示。系統(tǒng)自身NTF為306 Hz，表現(xiàn)出的諧振頻率為730 Hz，陷波前已經(jīng)處于諧振頻率偏離NTF的狀態(tài)。采用系統(tǒng)所表現(xiàn)的諧振頻率進(jìn)行兩次1.2節(jié)所述的在線自適應(yīng)陷波。根據(jù)陷波濾波器本身的相頻特性可知，它在減少陷波頻率往后頻段相角滯后的同時，會加劇往前頻段的相角滯后。因此，隨著陷波頻率的不斷修正，系統(tǒng)所表現(xiàn)的諧振頻率逐步向NTF靠攏，但是剛開始的修正過程也存在著增益裕度惡化現(xiàn)象，反映到時域即為諧振幅值的增大；而直接陷波NTF能夠有效、快速地使系統(tǒng)恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖8 不同陷波頻率下系統(tǒng)開環(huán)伯德圖

3 仿真驗證

仿真中數(shù)字伺服系統(tǒng)的主要參數(shù)為：電機轉(zhuǎn)動慣量1.82×10kg·m；負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量1×10kg·m；傳動軸扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)569 N·m/rad；電機額定功率750 W；電機額定電流3 A；電機定子電阻1.44 Ω；電機d、q軸電感為3.2×10H；轉(zhuǎn)子磁鏈0.093 9 WB；極對數(shù)為4；母線電壓300 V；電流環(huán)采樣頻率20 kHz；PWM載波頻率10 kHz；速度環(huán)輸出限幅6 A。通過選取不同的速度環(huán)采樣周期和阻尼系數(shù)，在速度給定為2 000 r/min階躍的情況下，得到諧振頻率分布如圖9(a)所示[由式(3)得NTF=306 Hz]。系統(tǒng)表現(xiàn)的諧振頻率隨著阻尼系數(shù)的增大而增大，逐漸遠(yuǎn)離NTF；隨著采樣周期的增大而減小，逐漸靠近NTF。

接下來選取=1×10s，=0.01 N·m·s/rad，陷波濾波器中取=2、=0.02，在轉(zhuǎn)速給定為1 000 r/min階躍的情況下，于0.2 s處進(jìn)行1.2節(jié)所描述的基于系統(tǒng)表現(xiàn)的在線自適應(yīng)陷波與基于傳函的NTF陷波，陷波結(jié)果如圖9(b)所示(陷波配置頻率已在圖中標(biāo)出)。隨著自適應(yīng)陷波的進(jìn)行，系統(tǒng)的諧振頻率逐漸靠近NTF。在這個過程中，初始階段存在諧振幅值增加的情況，當(dāng)陷波頻率接近NTF時，諧振現(xiàn)象逐漸收斂。

圖9 仿真結(jié)果

而相較自適應(yīng)陷波，直接陷波NTF能夠更快速地完成諧振抑制，同時避免了諧振幅值增加對系統(tǒng)機械結(jié)構(gòu)造成的勞損。綜上可知，仿真結(jié)果與理論推導(dǎo)相吻合。

4 實驗驗證

柔性傳動的對拖實驗平臺結(jié)構(gòu)如圖10所示。該實驗平臺的參數(shù)除負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量9.1×10kg·m,速度環(huán)輸出限幅4 A,連接剛度為256 N·m/rad，諧振頻率為190 Hz(通過系統(tǒng)平臺的Chirp掃頻測得)外，其他均與仿真參數(shù)相同。

圖10 750 W PMSM的柔性傳動研究實驗平臺

實驗的第一部分用于驗證諧振頻率偏移。由于阻尼系數(shù)是固定的常數(shù)且難以調(diào)整，因此僅記錄速度環(huán)在不同采樣周期下的諧振頻率。在圖11(a)中，隨著速度環(huán)的采樣周期從0.5 ms到1.5 ms逐步遞增，諧振頻率從230 Hz到190 Hz逐步遞減，這與第3節(jié)中的分析一致。

在第二部分實驗中，將陷波器分別按照諧振頻率(在線自適應(yīng)濾波器)設(shè)定以及按照自然諧振頻率NTF設(shè)定進(jìn)行比較(設(shè)定=05，=0.02)。在圖11(b)中，系統(tǒng)振蕩頻率為230 Hz。當(dāng)陷波器頻率設(shè)定230 Hz時，系統(tǒng)仍然不穩(wěn)定，并且產(chǎn)生了一個新的諧振頻率，該頻率減小為210 Hz。當(dāng)調(diào)整陷波頻率為190 Hz時系統(tǒng)最終穩(wěn)定。相反，如果陷波頻率設(shè)定為NTF時，系統(tǒng)快速穩(wěn)定下來并且無需自適應(yīng)陷波器的自適應(yīng)調(diào)節(jié)過程。圖11(b)同樣驗證了該結(jié)論，當(dāng)諧振頻率大于自然諧振頻率NTF時，按照諧振頻率進(jìn)行設(shè)定陷波頻率會導(dǎo)致一個新的且更低的諧振頻率出現(xiàn)。

圖11 實驗結(jié)果

5 結(jié)語

針對數(shù)字伺服系統(tǒng)機械諧振頻率偏移現(xiàn)象，文中重點分析了采樣周期、阻尼和陷波對諧振頻率的影響，解釋了系統(tǒng)在未加陷波濾波器時所體現(xiàn)的諧振頻率與NTF不符以及陷波濾波器的串入造成諧振頻率移動的原因，并給出了諧振頻率偏移狀態(tài)下陷波NTF的解決方案。雖然現(xiàn)實系統(tǒng)往往無法提前獲取NTF等信息，只能在線獲得實際諧振頻率值，但文中的機制分析解釋了諧振頻率偏移的現(xiàn)象。仿真和實驗結(jié)果證明了理論分析的正確性和有效性。在諧振頻率偏移的情況下，快速實現(xiàn)NTF辨識，將是下一步研究的重點。