李艷艷， 李鐘慎

( 1. 華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 福建 廈門 361021； 2. 華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院， 福建 廈門 361021)

多智能體系統(tǒng)是分布式系統(tǒng)的一條重要分支，多智能體系統(tǒng)中的協(xié)調(diào)控制廣泛地應(yīng)用于電力系統(tǒng)[1]、電網(wǎng)群分布系統(tǒng)[2]、編隊(duì)控制[3]等領(lǐng)域.一致性問題是多智能體系統(tǒng)的研究熱點(diǎn)之一，它是指多智能體系統(tǒng)在沒有中央?yún)f(xié)調(diào)控制或者全局通信的情況下，隨著時(shí)間的推移，智能體之間相互通信，最終使各智能體的狀態(tài)趨于一致.目前，關(guān)于多智能體系統(tǒng)的一致性問題已有較多的研究成果.然而，在實(shí)際生活中，有時(shí)會(huì)要求多智能體系統(tǒng)收斂于多個(gè)狀態(tài)值.因此，許多學(xué)者對多智能體系統(tǒng)分組一致性問題進(jìn)行研究[4-12].分組一致性是指隨著時(shí)間的推移，智能體之間相互通信，最終使各智能體的狀態(tài)趨于多個(gè)平衡點(diǎn)(狀態(tài)值).在多智能體分組一致性問題中，時(shí)滯是一個(gè)不可忽視的因素.多智能體之間進(jìn)行通訊的過程中，當(dāng)智能體無法及時(shí)對接收到的數(shù)據(jù)做出反應(yīng)時(shí)，就會(huì)存在輸入時(shí)滯.由于許多物理因素及導(dǎo)致時(shí)延的其他因素難以避免，因此，研究時(shí)滯對多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響十分必要.

在現(xiàn)實(shí)生活中，相互聯(lián)系的多智能體之間不僅存在合作關(guān)系，也存在競爭關(guān)系.二分一致性是指在連通二部圖下，將多智能體系統(tǒng)分成兩組，不同組的多智能體系統(tǒng)收斂于不同平衡點(diǎn)，同組多智能體系統(tǒng)收斂于同一平衡點(diǎn).二分一致性是一種特殊的分組一致性問題[13]，根據(jù)連通二部圖的特征，針對有無時(shí)滯的情況，提出一種基于競爭的控制協(xié)議.基于競爭的多智能體系統(tǒng)的研究大多集中于一階、二階的多智能體系統(tǒng)[14-16]，而關(guān)于三階及高階多智能體系統(tǒng)的研究尚不多見.基于此，本文提出一種基于競爭的三階時(shí)滯多智能體系統(tǒng)控制算法.

1 預(yù)備知識(shí)與問題描述

考慮n個(gè)多智能體系統(tǒng)，智能體之間的關(guān)系為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖G=(V，E，A).其中，V為頂點(diǎn)的集合，即智能體的個(gè)數(shù)，V={V1，V2，…，Vn}；E為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的邊的集合，即多智能體之間進(jìn)行信息交換的關(guān)系，E=V×V，(Vi，Vj)∈E(i，j取值范圍為1～n)，(Vi，Vj)為智能體Vj能夠接收智能體Vi傳遞的信息；A為系統(tǒng)的鄰接矩陣，A=ai，j?Rn×n，ai，j為智能體Vi，Vj之間的連接權(quán)重.若智能體Vj是智能體Vi的鄰居，則ai，j>0，否則，ai，j=0.Ni為智能體Vi的鄰居集合.對于無向連通二部圖，ai，j=aj，i.文中不考慮自環(huán)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)度矩陣D=[di，j]n×n.di，j的計(jì)算公式為

(1)

以連續(xù)的三階多智能體系統(tǒng)為研究對象，各智能體的動(dòng)力學(xué)模型為

(2)

式(2)中：xi(t)，vi(t)，ai(t)，ui(t)分別為智能體i在t時(shí)刻的位移、速度、加速度及控制輸入.

(3)

式(3)中：γ，β均為耦合系數(shù)，γ>0，β>0；τ為輸入時(shí)滯.

將式(3)帶入式(2)，可得

(4)

式(4)的矩陣形式為

(5)

式(5)中：L為系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣，L=D+A，D為連通二部圖對應(yīng)的度矩陣；In為單位矩陣.

2 主要結(jié)果及其證明

對系統(tǒng)(2)的二分一致性問題進(jìn)行研究，給出引理1，2.

引理1[15]如果拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖G的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為連通二部圖，則在適當(dāng)排序下，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖G對應(yīng)的鄰接矩陣為

(6)

引理2[13]如果拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖G的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為連通二部圖，則系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣L的秩為n-1，L的非零特征值為正實(shí)數(shù).

證明：系統(tǒng)(5)表示的特征方程式為

det(sI3n-Γ-He-τs)=0.

(7)

式(7)可轉(zhuǎn)化為

(8)

等效于

det(s3+s2Lβe-τs+sLγe-τs+Le-τs)=det(s3+s2λiβe-τs+sλiγe-τs+λie-τs)=0.

(9)

由式(9)可得

(10)

令

Y(s)=s3+s2λiβe-τs+sλiγe-τs+λie-τs=0.

(11)

當(dāng)λi=0時(shí)，式(11)的3個(gè)零解s1～s3均為0.當(dāng)λi≠0時(shí)，式(11)為

(12)

將s=jω代入式(12)，可得

(13)

(14)

根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，式(12)的特征值位于復(fù)平面左半平面的條件是式(13)不包含(-1，j0)點(diǎn).

式(14)滿足條件

(15)

因此，當(dāng)滿足式(15)的條件時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定.由此可知，滿足式(15)的條件是系統(tǒng)問題的充分性條件.

證明：當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)特征方程的非零特征值位于復(fù)平面的左半平面，證明過程與充分性證明過程相似.由此可知，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，式(12)的特征值位于復(fù)平面的左半平面的條件為

(16)

由此可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是滿足式(16)，且式(15)與式(16)相同.

由上述的充分性和必要性證明可知，式(15)是多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性的充要條件.

證明：由引理2可知，當(dāng)λi≠0時(shí)，λi為正實(shí)數(shù).由式(15)可得

(17)

式(17)中：ω滿足

ω6-ω4|λi|2β2-ω2|λi|2(γ2-2β)-|λi|2=0.

(18)

由式(17)可知：ω隨λi的增大而增大，τ隨ω的增大而減小，故τ有最大值，即

(19)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

8個(gè)多智能體的連通二部圖，如圖1所示.圖1中：{1，2，3，4}為一組智能體，{5，6，7，8}為一組智能體，智能體之間的權(quán)重為1.8個(gè)智能體的位移(x)初始值分別為-8，21，36，45，70，60，0，55 m，8個(gè)智能體的速度(v)初始值分別為-3，10，6，-2，0，9，-5，8 m·s-1，8個(gè)智能體的加速度(a)初始值分別為-1，-1，3，-4，6，-2，3，-4 m·s-2.由圖1可得系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣為

圖1 8個(gè)多智能體的連通二部圖Fig.1 Connected bipartite graph of eight multi-agents

(20)

當(dāng)γ=1，β=2時(shí)，τ*=0.141 2.當(dāng)τ<0.141 2，τ=0.141 2，τ>0.141 2時(shí)，多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)分別如圖2～4所示.

圖2 多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)(τ<0.141 2)Fig.2 State responses of multi-agent system(τ<0.141 2)

圖3 多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)(τ=0.141 2) 圖4 多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)(τ>0.141 2) Fig.3 State responses of multi-agentsystem(τ=0.141 2) Fig.4 State responses of multi-agentsystem(τ>0.141 2)

由圖2～4可知：當(dāng)滿足定理1的條件時(shí)，系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)二分一致性；當(dāng)剛好達(dá)到定理1的條件時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)不滿足定理1的條件時(shí)，系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)二分一致性.

4 結(jié)束語

提出一種基于競爭的三階時(shí)滯多智能體系統(tǒng)控制算法，得到多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)二分一致性的充要條件，同時(shí)給出多智能體實(shí)現(xiàn)二分一致性允許的最大輸入時(shí)滯.文中研究僅針對帶有相同輸入時(shí)滯的三階多智能體系統(tǒng)，而帶有不同通信時(shí)滯和不同輸入時(shí)滯的三階多智能體系統(tǒng)的二分一致性問題將是今后研究的方向.