林何，李瑞華，孟漁航

(1.西安工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西西安 710084；2.西安工程大學(xué)，西安市現(xiàn)代智能紡織裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安 710600)

0 前言

人字齒行星齒輪作為大功率、高轉(zhuǎn)速傳動(dòng)形式的一種，被廣泛應(yīng)用于風(fēng)電、航空航天、船舶重工等工業(yè)傳動(dòng)領(lǐng)域。隨著人字齒行星齒輪應(yīng)用范圍的擴(kuò)展和性能需求的提高，影響系統(tǒng)振動(dòng)不均的因素越來(lái)越受到重視。為了改善人字齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)載穩(wěn)定性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者不斷提出新的方法或技術(shù)對(duì)人字齒行星齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究。WEI等提出了一種利用虛擬等效軸單元的動(dòng)力學(xué)建模方法，構(gòu)建了人字齒行星齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。MO等基于集中參數(shù)理論和Lagrange方法建立了人字齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。李同杰等建立了直齒行星齒輪傳動(dòng)純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，分析了激勵(lì)頻率、齒側(cè)間隙對(duì)該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。但行星齒輪系在嚙合傳動(dòng)過(guò)程中各齒輪的動(dòng)載特性還會(huì)受到阻尼、綜合嚙合誤差和時(shí)變嚙合剛度等因素的影響。WANG和WU以風(fēng)電減速箱行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型為研究對(duì)象，對(duì)比并分析了不同阻尼比對(duì)該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，但是沒(méi)有涉及其他激勵(lì)因素對(duì)振動(dòng)的影響。國(guó)內(nèi)研究人員還分析了嚙合相位對(duì)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，發(fā)現(xiàn)嚙合相位差越小行星齒輪系統(tǒng)的平移振動(dòng)越小。這些研究主要集中于單個(gè)因素對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的分析。人字齒齒輪在結(jié)構(gòu)上可視為2對(duì)斜齒齒輪的組合體，獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特性使其在嚙合過(guò)程中同時(shí)存在多點(diǎn)嚙合和多源激勵(lì)的情形，輪齒不斷的接觸和脫離過(guò)程中不斷地承受沖擊降低了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，對(duì)其動(dòng)載特性的研究對(duì)于系統(tǒng)的整體穩(wěn)定尤為必要。

為進(jìn)一步探究激勵(lì)因素對(duì)系統(tǒng)在嚙合過(guò)程中動(dòng)態(tài)特性的綜合影響。本文作者建立人字齒行星輪系的純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型，使用Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值求解，分析激勵(lì)因素對(duì)內(nèi)、外嚙合副動(dòng)載性能的影響規(guī)律，并借助三維速度-頻率掃描瀑布圖、相圖和Poincaré映射研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)系統(tǒng)倍周期響應(yīng)進(jìn)行分析。

1 動(dòng)力學(xué)模型與求解

人字齒行星齒輪系傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖如圖1所示。行星齒輪系主要包括一個(gè)太陽(yáng)齒輪(s)、多個(gè)相同的行星齒輪(p)和一個(gè)內(nèi)齒圈(r)，行星齒輪主要由一個(gè)行星架(c)通過(guò)中間的滾動(dòng)軸承進(jìn)行剛性連接。輸入扭矩作用在太陽(yáng)輪上，輸出扭矩作用在行星架輸出軸上。圖2中-為系統(tǒng)全局坐標(biāo)系。動(dòng)力學(xué)模型中單個(gè)人字齒輪分為左斜齒輪和右斜齒輪，2個(gè)斜齒輪之間視為歐拉梁?jiǎn)卧暯印?/p>

圖1 人字齒行星齒輪系傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖

圖2 人字齒行星齒輪系的純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型

所建動(dòng)力學(xué)模型中作出如下假設(shè)：(1)模型中各個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)體均關(guān)于其扭轉(zhuǎn)中心對(duì)稱，各齒輪視為剛體且物理屬性相同。(2)斜齒輪由于接觸的齒對(duì)數(shù)量波動(dòng)而導(dǎo)致的嚙合剛度的時(shí)變分量被忽略。(3)輪齒滑動(dòng)產(chǎn)生的摩擦力忽略不計(jì)。(4)嚙合線位于嚙合平面內(nèi)，阻尼力和嚙合力視為嚙合位移函數(shù)。不考慮內(nèi)齒圈的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，采用集中質(zhì)量法建立含間隙人字齒行星齒輪動(dòng)力學(xué)方程組(式(1))：

(1)

內(nèi)齒圈固定，認(rèn)為內(nèi)齒圈不產(chǎn)生振動(dòng)，微分方程數(shù)量減1。

(sp,sp)是非線性間隙函數(shù)，具有分段線性特征。為等效實(shí)際嚙合傳動(dòng)，令齒側(cè)間隙為2，有:

(2)

取= 10 μm。

方程組后續(xù)需進(jìn)行消除剛體位移及量綱一化求解，需將角位移轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)基圓切線上的等價(jià)線位移。即

(3)

(4)

動(dòng)力學(xué)模型中，太陽(yáng)輪、行星輪和內(nèi)齒圈可視為兩個(gè)斜齒輪通過(guò)梁連接，則太陽(yáng)輪、行星輪和內(nèi)齒圈在扭轉(zhuǎn)方向存在剛體位移，使得方程組(1)成為奇異方程組，解不收斂。故引入轉(zhuǎn)動(dòng)剛體間的相對(duì)位移、p，即

(5)

將式(5)代入式(1)，再將方程組(1)代入式(3)和式(4)中消除剛體位移，消去剛體矩陣奇異性，構(gòu)建新方程組。

在數(shù)值計(jì)算中，若同一方程中的系數(shù)量級(jí)相差很大，計(jì)算時(shí)容易出現(xiàn)病態(tài)問(wèn)題，因此需要對(duì)方程組進(jìn)行量綱一化處理。

定義各構(gòu)件的等效質(zhì)量為:=，系統(tǒng)固有頻率為

(6)

(7)

將未經(jīng)量綱一化處理的參數(shù)代入消剛體位移后的方程組中，進(jìn)行量綱一化處理，得到不含剛體位移的含有16個(gè)自由度的間隙型非線性方程組，整理后統(tǒng)一形式為

(8)

式中:為量綱一化后的嚙合位移;、、和4個(gè)系數(shù)矩陣分別為量綱一化后的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和載荷矢量。其中=[,p,sp,rp]，=1,2,3，=1,2，1為左側(cè)，2為右側(cè)。需要說(shuō)明的是因系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)方程復(fù)雜，參數(shù)較多，故只將內(nèi)、外嚙合位移sp、rp的阻尼矩陣與剛度矩陣列出，即：

coscos()

利用Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式表達(dá)時(shí)變嚙合剛度，則時(shí)變嚙合剛度表達(dá)式為

(9)

式中:(sprp)為內(nèi)、外嚙合副時(shí)變嚙合剛度均值;為剛度波動(dòng)系數(shù);為嚙合頻率;為初相位;=1,2,3。

阻尼根據(jù)時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行確定，其表達(dá)式為

(10)

式中:為阻尼比;(sprp)為內(nèi)、外嚙合副的等效質(zhì)量;=1,2,3。

綜合嚙合誤差一般采用簡(jiǎn)諧函數(shù)描述，即

(sprp)()=(sprp)sin(+(sprp))

(11)

式中:(sp/rp)為各嚙合副綜合嚙合誤差幅值;(sp/rp)為各嚙合副綜合嚙合誤差初相位；=1,2,3。最后對(duì)量綱一化后的微分方程組使用Runge-Kutta法進(jìn)行求解。

2 振動(dòng)特性

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的行星輪數(shù)目=3；齒輪兩側(cè)斜齒輪的螺旋角=16°，法面壓力角=20°；輸入轉(zhuǎn)矩=891 N·m；外嚙合的嚙合剛度=8.38×10N/m，內(nèi)嚙合的嚙合剛度=7.62×10N/m；動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中其余主要物理參數(shù)如表1所示，為簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析計(jì)算，人字齒輪左右斜齒輪參數(shù)均視為相同。以下所有非線性參數(shù)分析均以人字齒左側(cè)齒輪為主。

表1 人字齒行星齒輪系統(tǒng)主要?jiǎng)恿W(xué)參數(shù)

2.1 阻尼變化激勵(lì)

圖3、圖4所示為外、內(nèi)嚙合的動(dòng)載特性隨阻尼的變化曲線。給定4種轉(zhuǎn)速考察系統(tǒng)的動(dòng)載特性，轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的量綱一嚙合頻率為1.5、1.7、1.9、2.1，阻尼比取值區(qū)間為∈[0.015,0.05]。圖3中:當(dāng)為1.7時(shí)，動(dòng)載系數(shù)在∈[0.021,0.023]區(qū)間內(nèi)突降到1.789,然后激增到1.84；然后隨著阻尼比數(shù)值增大動(dòng)載系數(shù)持續(xù)增長(zhǎng)，在=0.038時(shí)從1.859降低到1.842左右后緩慢降低；動(dòng)載系數(shù)在∈[0.021,0.023]內(nèi)和=0.038時(shí)均出現(xiàn)短時(shí)劇烈波動(dòng)，可能是外嚙合在此區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生非線性混沌振動(dòng)，使得載荷情況突變。內(nèi)嚙合(圖4)的動(dòng)載系數(shù)變化趨勢(shì)與外嚙合相似但變化范圍總體降低，說(shuō)明行星齒輪系統(tǒng)在重載工況下穩(wěn)定性更好。其激增原因與外嚙合激增類似。整體上來(lái)看，隨著與增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定趨勢(shì)明顯。

圖3 外嚙合的動(dòng)載特性隨阻尼的變化 4 內(nèi)嚙合的動(dòng)載特性隨阻尼的變化

2.2 時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)

圖5、圖6所示為外、內(nèi)嚙合的動(dòng)載特性隨時(shí)變嚙合剛度的變化曲線。選定剛度波動(dòng)系數(shù)∈[0.1,0.35]，量綱一嚙合頻率取1.7、1.9、2.1。圖5中，當(dāng)為1.7時(shí)，在>0.17時(shí)，動(dòng)載系數(shù)產(chǎn)生波動(dòng)；在剛度波動(dòng)系數(shù)=0.22時(shí)，動(dòng)載系數(shù)急劇增加到1.87，發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，使得系統(tǒng)嚙合傳動(dòng)狀況急劇變化，然后動(dòng)載系數(shù)下降至1.8左右，隨后動(dòng)載系數(shù)雖有波動(dòng)，但總體處于下降趨勢(shì)；當(dāng)為2.1時(shí)，動(dòng)載系數(shù)則在>0.2時(shí)在1.84上下發(fā)生波動(dòng)。如圖6所示：內(nèi)嚙合動(dòng)載系數(shù)的波動(dòng)相較于外嚙合動(dòng)載系數(shù)的變化更加平緩。整體上看，隨著剛度波動(dòng)系數(shù)的增大，系統(tǒng)的動(dòng)載特性會(huì)逐漸失穩(wěn)，但隨著齒輪轉(zhuǎn)換為純剛性件，系統(tǒng)的承載能力和傳動(dòng)效率將得到提高。

圖5 外嚙合的動(dòng)載特性隨時(shí)變嚙合剛度的變化 圖6 內(nèi)嚙合的動(dòng)載特性隨時(shí)變嚙合剛度的變化

2.3 綜合嚙合誤差激勵(lì)

圖7、圖8分別為外、內(nèi)嚙合的動(dòng)載系數(shù)變化。當(dāng)=1.7，綜合嚙合誤差∈[0.2,0.3]時(shí)，內(nèi)、外嚙合的動(dòng)載系數(shù)均出現(xiàn)突變，其產(chǎn)生劇烈波動(dòng)的原因推測(cè)是在此區(qū)間中出現(xiàn)了微弱的齒背沖擊，使得動(dòng)載波動(dòng)；當(dāng)>0.33時(shí)動(dòng)載系數(shù)發(fā)生劇烈變化，出現(xiàn)了非線性混沌振動(dòng)，使得系統(tǒng)的嚙合傳動(dòng)強(qiáng)烈振動(dòng)。在相同的系數(shù)范圍內(nèi)，內(nèi)嚙合的動(dòng)載系數(shù)變化趨勢(shì)與外嚙合基本一致，但內(nèi)嚙合動(dòng)載系數(shù)變化幅度較外嚙合有所減弱，行星齒輪均載能力得到驗(yàn)證?？傮w來(lái)看，隨著綜合嚙合誤差的增加，內(nèi)、外嚙合的動(dòng)載系數(shù)的變化主要呈遞增趨勢(shì)，則說(shuō)明在此系統(tǒng)中，綜合嚙合誤差應(yīng)越小越好。

圖7 外嚙合的動(dòng)載特性隨綜合嚙合誤差的變化 圖8 內(nèi)嚙合的動(dòng)載特性隨綜合嚙合誤差的變化

2.4 非線性特性

在上述動(dòng)載性能的分析中，=0.22、=0.22、=0.4時(shí)動(dòng)載系數(shù)的突變程度最大。將以上3個(gè)突出值輸入系統(tǒng)，然后對(duì)外嚙合不同輸入速度下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行傅里葉變換，獲得不同轉(zhuǎn)速下單獨(dú)的頻率內(nèi)容，最后得到如圖9所示速度-頻率掃描圖的系統(tǒng)整體振動(dòng)的三維瀑布圖。瀑布圖中每個(gè)轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)含有多個(gè)離散獨(dú)立分布的頻率。這種模擬形式可將振動(dòng)情況水平分成幾個(gè)網(wǎng)格諧波，一次諧波比其他高次諧波更多地支配振動(dòng)頻譜，特別是在運(yùn)行速度較高時(shí)。此外，一次諧波和二次諧波的最高峰均對(duì)應(yīng)同一頻率即1 671 Hz，該頻率為系統(tǒng)固有頻率的1/3，出現(xiàn)在激振頻率之后，系統(tǒng)出現(xiàn)超諧波共振，因此在系統(tǒng)運(yùn)行中應(yīng)注意共振情況。在兩次諧波之外，還存在一些諧、雜波，這些諧、雜波對(duì)于系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)會(huì)產(chǎn)生一定沖擊，但是影響范圍有限。

圖9 891 N·m輸入扭矩下量綱一位移和動(dòng)態(tài)嚙合力響應(yīng)的速度掃描瀑布圖

圖10 外嚙合量綱一位移-速度相圖和Poincaré映射

為進(jìn)一步分析系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，將一次諧波中的最大波峰對(duì)應(yīng)的太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)速5 013 r/min設(shè)定為系統(tǒng)輸入轉(zhuǎn)速,得到如圖10所示的外嚙合量綱一位移-速度相圖和Poincaré映射圖。圖10中相軌跡在不重合的前提下呈現(xiàn)交叉和纏繞現(xiàn)象最終形成閉環(huán)，吸引子充滿整個(gè)超環(huán)面，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中并未出現(xiàn)明顯的齒背沖擊；吸引子點(diǎn)集呈現(xiàn)一定的擬雙周期振動(dòng)特征，與圖9(a)三維瀑布圖中有2次諧波和一些諧、雜波的頻率信息相吻合，表明系統(tǒng)此時(shí)處于擬二倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但是存在一定的干擾。結(jié)合瀑布圖、相圖和Poincaré映射，說(shuō)明系統(tǒng)在給定值區(qū)間仍然處于收斂狀態(tài)。

3 結(jié)論

(1)內(nèi)、外嚙合的動(dòng)載系數(shù)變化趨勢(shì)大致相同情況下，r-p嚙合副的波動(dòng)總要低于s-p嚙合副，內(nèi)嚙合具有更好的振動(dòng)穩(wěn)定性。

(2)阻尼比變化下的動(dòng)載系數(shù)總體呈減小趨勢(shì)，但在∈[0.021,0.023]區(qū)間內(nèi)動(dòng)載系數(shù)發(fā)生突減現(xiàn)象；動(dòng)載系數(shù)隨著剛度波動(dòng)系數(shù)和綜合嚙合誤差數(shù)值增大而發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，產(chǎn)生激烈波動(dòng)，因此在系統(tǒng)中要避免兩者數(shù)值過(guò)大使得系統(tǒng)失穩(wěn)。

(3)系統(tǒng)發(fā)生了超諧波共振，在最高振幅對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速時(shí)系統(tǒng)處于擬二倍周期運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)在給定區(qū)間內(nèi)收斂不發(fā)散。實(shí)際工況中應(yīng)盡可能地使系統(tǒng)處于合適的激勵(lì)頻率區(qū)間，避開(kāi)大范圍混沌運(yùn)動(dòng)以減輕系統(tǒng)的振動(dòng)。