張楷源，李圣雨，楊羽中，彭 柱，尹來容

(1.長沙理工大學(xué) 汽車與機(jī)械工程學(xué)院，湖南 長沙 410114; 2.衡陽泰豪通信車輛有限公司，湖南 衡陽 421099；3.湖南九宮格智能科技有限公司，湖南 長沙 410205)

0 引 言

受加工誤差、工作磨損、機(jī)械設(shè)計(jì)間隙配合等客觀因素的影響，間隙不可避免的存在于機(jī)械結(jié)構(gòu)中，并為系統(tǒng)帶來沖擊、混沌、精度下降等負(fù)面效應(yīng)。移動(dòng)副是機(jī)械系統(tǒng)中最為常見的運(yùn)動(dòng)副，存在于其中的間隙不可忽略。移動(dòng)副間隙最早由Wilson和Fawcett關(guān)注，由于柴油機(jī)活塞與氣缸套內(nèi)壁之間存在間隙，因此導(dǎo)致了振動(dòng)與噪聲問題[1]。Farahanchi和Shaw[2]研究了不同間隙尺寸、軸承摩擦、曲柄轉(zhuǎn)速和沖擊參數(shù)對系統(tǒng)周期響應(yīng)的影響。Flores[3]提出了一種含移動(dòng)副間隙剛體多體系統(tǒng)建模方法。Zhuang和Wang[4,5]給出了基于經(jīng)典庫侖摩擦定律的移動(dòng)副多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的LCP(線性互補(bǔ)法)及HLCP(水平線性互補(bǔ)法)建模及數(shù)值方法，將移動(dòng)副幾何約束視為雙邊約束，有效捕捉到了滑塊低速運(yùn)動(dòng)時(shí)的粘-滑轉(zhuǎn)變現(xiàn)象。Wang等[6]將移動(dòng)副中的滑塊視為柔性體，由于柔性滑塊與導(dǎo)軌接觸狀態(tài)和摩擦情況比較復(fù)雜，因此采用有限元建立了柔性滑塊的力學(xué)模型，給出含移動(dòng)副間隙機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的數(shù)值算法。Wu等[7]聚焦于空間移動(dòng)副特有的滑塊和導(dǎo)向表面之間的不完整面接觸的情況，以簡化曲柄壓力機(jī)模型為研究對象，采用變剛度接觸力模型計(jì)算面接觸力。Qian等[8]建立了帶間隙移動(dòng)副的三維模型，根據(jù)滑道與滑塊接觸段尖端的矢量關(guān)系，提出了一種區(qū)分碰撞過程中兩個(gè)元素之間位置關(guān)系的接觸檢測方法。

筆者采用數(shù)學(xué)方法描述含間隙移動(dòng)副中滑塊與導(dǎo)軌之間發(fā)生的碰撞、分離、連續(xù)接觸等非線性行為，并結(jié)合仿真結(jié)果，預(yù)測含移動(dòng)副間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為，定性分析移動(dòng)副間隙對機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。對于機(jī)械設(shè)計(jì)、機(jī)械性能改善、機(jī)械裝備開發(fā)等具有指導(dǎo)意義。

1 移動(dòng)副間隙數(shù)學(xué)模型

圖1為移動(dòng)副間隙模型，H為導(dǎo)軌上下邊界的垂直距離、W為滑塊寬度、L為滑塊長度、c為間隙尺寸，其大小為c=(H-W)/2。

圖1 移動(dòng)副間隙模型

由于移動(dòng)副間隙會導(dǎo)致滑塊與導(dǎo)軌之間發(fā)生接觸碰撞，因此建立有效的接觸檢測模型是研究的關(guān)鍵。圖2為接觸檢測模型，將移動(dòng)副間隙分為滑塊1和導(dǎo)軌2兩部分，P為導(dǎo)軌上表面一端點(diǎn)，A、B、C、D為滑塊四個(gè)角點(diǎn)，設(shè)定單位法向量n=[0,1]T，單位水平向量t=[1,0]T。由于導(dǎo)軌為水平放置，單位法向量垂直于導(dǎo)軌。以滑塊角點(diǎn)A的接觸檢測為例，存在幾何關(guān)系為：

圖2 接觸檢測

(1)

假設(shè)導(dǎo)軌上距離A最近的點(diǎn)為潛在接觸點(diǎn)A′，存在幾何關(guān)系為：

(2)

其中：

(3)

當(dāng)角點(diǎn)A發(fā)生侵徹時(shí)存在關(guān)系為：

nTδ<0

(4)

侵徹值大小可表示為：

(5)

點(diǎn)A速度vA可表示為：

(6)

點(diǎn)A法向速度即為侵徹速度，其表達(dá)式為：

(7)

點(diǎn)A切向速度vTA可表示為：

vTA=(tTvA)t

(8)

2 接觸力模型

滑塊與導(dǎo)軌之間存在多種接觸形式，為提升所建立模型的精度，需針對不同接觸形式，采用適合的法向接觸力模型來衡量法向接觸力。對于角接觸，由于接觸區(qū)域很小，在滑塊拐角處可視為存在一個(gè)小圓角，因此可視為球面與平面的接觸，采用考慮能量耗散效應(yīng)的L-N接觸力模型[9]：

(9)

(10)

(11)

對于面接觸，如圖3所示，由于接觸區(qū)域?yàn)榫匦吻矣行С叽缦鄬τ诮佑|物體尺寸及表面相對曲率較大，因此不滿足赫茲接觸假設(shè)前提條件[10]。文中采用變剛度彈性接觸力模型，接觸剛度與接觸面積有關(guān)[7]。以滑塊上表面為例，當(dāng)發(fā)生面接觸時(shí)，有如下關(guān)系：

圖3 面接觸矩形接觸區(qū)域

(12)

S=4ab

(13)

2a=Ls

(14)

式中：S為接觸矩形區(qū)域面積；a和b為接觸區(qū)域矩形的寬與長的一半；Ls為滑塊厚度。

面接觸力計(jì)算公式為：

Fn=Kδ

(15)

廣義接觸剛度K與接觸面尺寸的變化相關(guān)，可由下式表示：

(16)

摩擦力作為一種復(fù)雜的作用力對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生顯著影響，選擇合理的摩擦力模型至關(guān)重要。為充分考慮相對運(yùn)動(dòng)速度較低時(shí)摩擦力的高度非線性特點(diǎn)，采用Peter Brown提出的粘滯-滑移轉(zhuǎn)變的連續(xù)摩擦力模型[11]，圖4為其特性曲線，它的表達(dá)式如下：

圖4 考慮粘-滑轉(zhuǎn)變的連續(xù)摩擦力模型

(17)

式中：Ft為切向摩擦力；vr=‖vT‖/vt，vT為相對運(yùn)動(dòng)速度，vt是過渡速度，表示由粘滯階段向滑移階段開始轉(zhuǎn)變的速度；μd和μs分別為動(dòng)摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)。

3 含移動(dòng)副間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)多體動(dòng)力學(xué)建模

圖5為含移動(dòng)副間隙的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，曲柄長度L1=0.05 m、質(zhì)量m1=0.3 kg、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1=0.000 1 kg·m2；連桿長度L2=0.12 m，質(zhì)量m2=0.21 kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2=0.000 25 kg·m2；滑塊長度L=0.05 m、滑塊寬度W=0.05 m、滑塊厚度Ls=0.05 m、質(zhì)量m3=0.14 kg、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J3=0.000 1 kg·m2；恢復(fù)系數(shù)e=0.9、彈性模量Ek=207 GPa、泊松比vk=0.3。

圖5 含移動(dòng)副間隙曲柄滑塊機(jī)

平面多體系統(tǒng)獨(dú)立位置約束方程組形式為：

φ(q,t)=0

(18)

式中：t是顯式時(shí)間變量，方程組的數(shù)量等于系統(tǒng)中存在的獨(dú)立約束的個(gè)數(shù)。

上述方程組對時(shí)間求一階導(dǎo)，可得系統(tǒng)速度約束方程為：

(19)

上述方程組對時(shí)間繼續(xù)求導(dǎo)得到系統(tǒng)加速度約束方程為：

(20)

根據(jù)第一類拉格朗日方程可得到表達(dá)式為：

(21)

式中：M為廣義質(zhì)量矩陣；λ為拉格朗日乘子數(shù)組；Q為外力數(shù)組。

通過聯(lián)立式(19)、(20)，得到多體動(dòng)力學(xué)增廣方程式為：

(22)

4 仿真分析與結(jié)果討論

采用MATLAB內(nèi)置的ode45變步長積分算法求解系統(tǒng)微分方程組，可以在保證精度的同時(shí)有效避免因步長過小而導(dǎo)致積分效率低的問題。

為探究間隙尺寸對含移動(dòng)副間隙曲柄滑塊系統(tǒng)的影響，分別對不同間隙尺寸的系統(tǒng)進(jìn)行仿真，曲柄輸入速度均為500 r/min，選取同一時(shí)間區(qū)間數(shù)據(jù)繪制曲線圖。如圖6所示，隨著間隙尺寸逐漸減小，滑塊質(zhì)心加速度曲線波動(dòng)峰值逐漸減小，這說明間隙尺寸的減小會顯著降低滑塊碰撞接觸力的大小，因?yàn)檩^小的間隙可以限制驅(qū)動(dòng)力或外力對滑塊非理想運(yùn)動(dòng)方向做功，從而限制了滑塊在碰撞方向獲得動(dòng)能的能力。通過進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，隨著間隙尺寸的減小，滑塊質(zhì)心加速度曲線由碰撞導(dǎo)致的波動(dòng)由大幅值低頻率向小幅值高頻率轉(zhuǎn)變，這說明較小的間隙尺寸會導(dǎo)致高頻率的微小碰撞，據(jù)此可以推斷小尺寸間隙有助于增加滑塊與導(dǎo)軌的接觸頻率。

圖6 不同間隙尺寸滑塊質(zhì)心X方向加速度曲線

衡量系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的一個(gè)重要指標(biāo)是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的周期性，圖7展示了不同間隙尺寸下滑塊質(zhì)心Poincaré圖，包含了系統(tǒng)穩(wěn)定后的三個(gè)連續(xù)驅(qū)動(dòng)周期。通過觀察發(fā)現(xiàn)隨著間隙尺寸減小，局部峰值發(fā)生位置隨驅(qū)動(dòng)周期由分散轉(zhuǎn)變?yōu)榫奂钡街丿B，這說明在驅(qū)動(dòng)速度等其他參數(shù)不變的前提下系統(tǒng)響應(yīng)隨間隙尺寸減小而逐漸呈現(xiàn)周期性。

圖7 不同間隙尺寸滑塊質(zhì)心Poincaré圖

驅(qū)動(dòng)速度作為系統(tǒng)的關(guān)鍵要素對系統(tǒng)性能產(chǎn)生不可忽視的影響，為探究驅(qū)動(dòng)速度與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的關(guān)系，分別在曲柄處施加不同大小的勻速驅(qū)動(dòng)，截取并記錄系統(tǒng)在穩(wěn)定運(yùn)行后的兩個(gè)周期，圖8展示了曲柄不同轉(zhuǎn)速下滑塊質(zhì)心X方向加速度曲線。加速度局部峰值隨轉(zhuǎn)速降低而減小，而峰值發(fā)生頻率隨轉(zhuǎn)速降低而增加，這說明當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)速降低時(shí)，滑塊處發(fā)生的非線性行為由劇烈而稀疏的碰撞轉(zhuǎn)變?yōu)槲⑿《芗佑|。進(jìn)一步觀察，發(fā)現(xiàn)當(dāng)驅(qū)動(dòng)速度為低速時(shí)(100 r/min)，加速度曲線中波動(dòng)方向始終與滑塊運(yùn)動(dòng)方向相反，這說明滑塊在低速運(yùn)動(dòng)時(shí)受重力作用只與導(dǎo)軌下表面發(fā)生接觸，摩擦力成為影響系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的主要因素。圖9為曲柄不同轉(zhuǎn)速下滑塊質(zhì)心Poincaré對比圖。

圖8 不同驅(qū)動(dòng)速度滑塊質(zhì)心X方向加速度曲線

圖9 不同驅(qū)動(dòng)速度滑塊質(zhì)心Poincaré圖

通過觀察發(fā)現(xiàn)曲柄轉(zhuǎn)速在1 500 r/min、1 000 r/min、500 r/min三種狀況下局部峰值散布程度并沒有較為明顯區(qū)別，當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)速為100 r/min時(shí)，局部峰值的出現(xiàn)呈現(xiàn)明顯的均勻散步，并且三個(gè)驅(qū)動(dòng)周期峰值發(fā)生位置具有重疊的趨勢。這說明系統(tǒng)低驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速下更趨向于周期性響應(yīng)。

5 結(jié) 論

文中建立了移動(dòng)副間隙的數(shù)學(xué)模型，針對不同接觸形式采用合理的接觸力模型描述滑塊與導(dǎo)軌間的接觸行為。將所建立的間隙模型引入曲柄滑塊機(jī)構(gòu)多體動(dòng)力學(xué)模型中，并開展了仿真分析，結(jié)論如下。

(1) 文中所建立的間隙模型是有效的，能夠準(zhǔn)確捕捉含間隙系統(tǒng)的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

(2) 較小的間隙尺寸有助于減輕系統(tǒng)的混沌程度，緩解沖擊的劇烈程度，但間隙尺寸過小將導(dǎo)致高頻振蕩。驅(qū)動(dòng)速度對于滑塊與導(dǎo)軌間的接觸行為產(chǎn)生顯著影響，較低的驅(qū)動(dòng)速度有助于獲得周期性響應(yīng)。

(3) 在工程實(shí)際中需要充分考慮移動(dòng)副間隙的影響，可以通過合理限制間隙尺寸與驅(qū)動(dòng)速度來改善含間隙機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。