史太川 呂 偉

深圳勁嘉集團(tuán)股份有限公司 廣東 深圳 518105

0 引言

越來(lái)越多的印刷企業(yè)采用計(jì)算機(jī)配色軟件進(jìn)行專色油墨配色，以提高配色的準(zhǔn)確性與效率。計(jì)算機(jī)配色的關(guān)鍵是建立準(zhǔn)確的、與模型相匹配的配色基礎(chǔ)數(shù)據(jù)庫(kù)。大部分配色模型是以Kubelka-Munk理論（K-M理論）為依據(jù)[1]。構(gòu)建基于K-M單常數(shù)理論配色模型的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)庫(kù)時(shí)，配色光學(xué)常數(shù)（吸收系數(shù)K和散射系數(shù)S）的求解會(huì)直接影響配色效率、顏色預(yù)測(cè)精度。目前，基墨配色光學(xué)常數(shù)求解方法主要有基墨色調(diào)階梯法和數(shù)學(xué)算法[2]。

基墨色調(diào)階梯法是將制備于不透明基底上的基墨純色樣本的光譜反射率R代入K-M理論簡(jiǎn)化方程即K/S=(1-R)2/(2R)，或?qū)⒅苽溆谕该鞅∧ぃ僭O(shè)透射率為1）的基墨純色樣本分別背襯黑白的光譜反射率R、R0及白背襯的光譜反射率Rg代入公式[3-4]a=1+K/S=1/2[R+(R0-R+Rg)/(R0Rg)]，求得基墨光學(xué)常數(shù)。但多數(shù)純色基墨光吸收能力強(qiáng)、反射率相較不高，導(dǎo)致基墨光學(xué)常數(shù)求解結(jié)果誤差較大。Cairns色調(diào)階梯法[5]通過(guò)制備多組不同質(zhì)量配比的基墨與沖淡劑混合樣本，使用最小二乘法[6-7]求解基墨光學(xué)常數(shù)。因基墨混合樣本的質(zhì)量配比與吸收散射比的關(guān)系用Duncan色料混合光學(xué)模型的線性加和定律描述不準(zhǔn)確，故常選取8～12個(gè)色調(diào)階梯[8-9]，以降低各質(zhì)量配比所求光學(xué)常數(shù)的差異對(duì)配色精度的影響。此外，根據(jù)樣本配比與吸收散射比的關(guān)系曲線，可選取少量曲線特征點(diǎn)求解光學(xué)常數(shù)，但目前特征點(diǎn)的選取并無(wú)量化依據(jù)[10]。

數(shù)學(xué)算法是對(duì)線性顯著的低配比段進(jìn)行線性內(nèi)插求解光學(xué)常數(shù)[11]，或?qū)⒏髋浔榷嗡蠊鈱W(xué)常數(shù)的均值代入非線性擬合關(guān)系函數(shù)得到初步配比，再對(duì)初步配比的相鄰兩基準(zhǔn)配比段的光學(xué)常數(shù)進(jìn)行內(nèi)插，得到接近實(shí)際的光學(xué)常數(shù)[12]。前者預(yù)測(cè)精度不高，后者僅理論上成立。兩種算法得到的光學(xué)常數(shù)難以綜合表征基墨在質(zhì)量配比范圍內(nèi)的光學(xué)特性。此外，隨著質(zhì)量配比的增加，曲線振蕩越大[13]。

針對(duì)基墨色調(diào)階梯法中色調(diào)階梯選取不當(dāng)、建庫(kù)工作量大等問(wèn)題，本研究擬先分析膠印配色數(shù)據(jù)庫(kù)中基墨混合樣本的質(zhì)量配比與吸收散射比的關(guān)系，再用兩種色調(diào)階梯法選取色調(diào)階梯，縮減制樣數(shù)量，提高配色建庫(kù)效率。

1 K-M單常數(shù)理論和光學(xué)常數(shù)求解

1.1 K-M單常數(shù)理論

K-M單常數(shù)理論由K-M理論和色料線性加和定律組成。任一波長(zhǎng)處，混合色料膜層的吸收系數(shù)K與散射系數(shù)S適用線性加和定律，即將各單組份色料光譜間復(fù)雜的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)換為吸收與散射系數(shù)間簡(jiǎn)單的線性關(guān)系（見(jiàn)公式（1））。若色料混合介質(zhì)膜層不透明，通過(guò)Saunderson修正[4]光譜反射率，再求吸收散射比。

部分情況下（如印刷呈色），色料以分子形態(tài)附著于基底表面，其尺寸遠(yuǎn)小于可見(jiàn)光波長(zhǎng)，故其對(duì)光的散射作用可忽略不計(jì)?；诖?，色料配比變化對(duì)S影響不大，S可視為基底散射系數(shù)。將記為，式（1）可簡(jiǎn)化為

1.2 光學(xué)常數(shù)

基于K-M單常數(shù)理論的光譜配色模型中，光學(xué)常數(shù)即為單組份基墨的吸收散射比。多數(shù)純色基墨的光吸收能力強(qiáng)、反射率相對(duì)不高，導(dǎo)致光學(xué)常數(shù)的求解結(jié)果誤差較大。為解決此問(wèn)題，將基墨與沖淡劑混合以減弱純色基墨的光吸收能力。已知混合樣本的基底在波長(zhǎng)λ處的吸收散射比，則混合樣本的吸收散射比為

式中：c為基墨質(zhì)量配比；為單組份基墨在波長(zhǎng)λ處的吸收散射比。

通過(guò)單個(gè)混合樣本求解光學(xué)常數(shù)，易受制備工藝誤差影響，且混合樣本的配比與吸收散射比并非理想線性關(guān)系。因皮，根據(jù)式（3），利用多組不同配比的混合樣本聯(lián)立方程組求解光學(xué)常數(shù)，即

式中：m為混合樣本個(gè)數(shù)；cm為第m個(gè)混合樣本的基墨質(zhì)量配比；為第m個(gè)混合樣本在波長(zhǎng)λ處的吸收散射比；為混合樣本的基底在波長(zhǎng)λ處的吸收散射比。

式（4）為多個(gè)方程對(duì)應(yīng)一個(gè)未知變量（單組份基墨吸收散射比）的超定方程組，故可通過(guò)線性最小二乘法求解。

令

則波長(zhǎng)λ處單組份基墨的吸收散射比為

2 色調(diào)階梯實(shí)驗(yàn)

2.1 混合樣本制備及其光譜獲取

混合樣本中膠印基墨的質(zhì)量配比為5%～100%，間隔為5%，即為基礎(chǔ)配比。實(shí)驗(yàn)均在恒溫恒濕環(huán)境（溫度為22～24 ℃；相對(duì)濕度為50%～55%）下進(jìn)行，承印物為金太陽(yáng)定量200 g/m2單面涂布白卡紙，無(wú)熒光效果；基墨為盛威科耐折系列黃（Y）、紅（M）、藍(lán)（C）、黑（K）。實(shí)驗(yàn)主要儀器如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)儀器Table 1 Experimental apparatus

在不同的打樣速度、打樣壓力及上墨量下，用印刷適性儀打印黑色樣張。經(jīng)密度測(cè)量，得到當(dāng)打樣條件為：打樣速度0.2 m/s、打樣壓力500 N、上墨量0.08 g時(shí)，黑色樣張的密度能達(dá)到膠印實(shí)地密度控制標(biāo)準(zhǔn)，且與膠印印張基色黑色標(biāo)密度匹配。故不同濃度梯度的基墨混合樣本均是在此打樣條件下制備，如圖1所示。

圖1 印刷樣張F(tuán)ig. 1 Printing proofs

彩圖

為確?；旌蠘颖竟庾V反射率的測(cè)量結(jié)果有效，測(cè)量時(shí)采用自體背襯（若干張相同白卡紙）[14]。以一半的印刷樣張為例，其光譜反射率如圖2所示。

圖2 印張光譜反射率Fig. 2 Spectral reflectivity of printing proofs

彩圖

2.2 樣本配比與吸收散射比的關(guān)系

用Saunderson修正光譜反射率后，利用公式（1）得到基墨混合樣本及基底的吸收散射比，并利用公式（3）得到單組份基墨混合樣本的吸收散射比。以混合樣本中半數(shù)為例，通過(guò)線性最小二乘法求解單組份基墨吸收散射比，并將其進(jìn)行極差歸一化變換，結(jié)果如圖3所示。

圖3 印張吸收散射比與其歸一化圖Fig. 3 The absorption and scattering ratios of printing proofs and its normalization

彩圖

由圖3可以看出，隨波長(zhǎng)的增加，各基墨混合樣本的吸收散射比與光譜反射率的變化趨勢(shì)相反。理論上，任一質(zhì)量配比的基墨混合樣本中單組份基墨散射吸收比應(yīng)相同，但實(shí)際卻存在一定偏差；基墨混合樣本吸收散射比歸一化后的曲線應(yīng)完全重合，但實(shí)際上除黃墨混合樣本外，其他三種基墨混合樣本的歸一化曲線并未完全重合，亦即吸收散射比與質(zhì)量配比呈非線性關(guān)系。因此，選擇合適的質(zhì)量配比基墨混合樣本是提高配色模型光譜預(yù)測(cè)精度的關(guān)鍵。

2.3 求解光學(xué)常數(shù)的樣本數(shù)量?jī)?yōu)化

基墨混合樣本的吸收散射比峰值與光譜反射率谷值相對(duì)應(yīng)，此處波長(zhǎng)對(duì)基墨混合樣本吸收散射性能的影響較大，故稱之為主吸收波長(zhǎng)。因此，本研究分析主吸收波長(zhǎng)處基墨混合樣本的質(zhì)量配比與吸收散射比的關(guān)系。

將主吸收波長(zhǎng)處基墨混合樣本的質(zhì)量配比與吸收散射比進(jìn)行非線性最小二乘法擬合，即

式中：ai為待定系數(shù)，具體數(shù)值見(jiàn)表2；m為多項(xiàng)式最高次數(shù)，m=3。

表2 4種基墨混合樣本的多項(xiàng)式擬合系數(shù)aiTable 2 Polynomial fitting coefficient ai of 4 based ink mixed samples

擬合結(jié)果見(jiàn)表3。由表可知，和方差（sum of squares for error，SSE）與均方根誤差（root mean square error，RMSE）皆接近0，決定系數(shù)（R-square，R2）與校正決定系數(shù)（adjustedR-square）皆接近1?？梢?jiàn)，當(dāng)m=3時(shí)，4種基墨混合樣本的擬合優(yōu)度最佳。

表3 4種基墨混合樣本的多項(xiàng)式擬合優(yōu)度Table 3 Polynomial goodness of fit of 4 based ink mixed samples

分別用線性最小二乘法和非線性最小二乘法對(duì)主吸收波長(zhǎng)處基墨混合樣本的質(zhì)量配比與吸收散射比進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖4所示。

圖4 4種基墨混合樣本的擬合結(jié)果圖Fig. 4 Fitting result of 4 based ink mixed samples

圖4中，黃墨、紅墨、藍(lán)墨、黑墨的線性回歸直線斜率分別為其在主吸收波長(zhǎng)處的吸收散射比，即6.91, 7.54, 8.96, 5.95。因去除了基底光學(xué)特性，故線性回歸直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。用線性回歸直線與非線性回歸曲線交點(diǎn)處的質(zhì)量配比求解光學(xué)常數(shù)，此配色模型的光譜預(yù)測(cè)精度最好。因而求解光學(xué)常數(shù)的質(zhì)量配比只需1～2個(gè)。但實(shí)際上，若僅選1～2個(gè)質(zhì)量配比求解光學(xué)常數(shù)，則樣本制備工藝誤差易導(dǎo)致光學(xué)常數(shù)求解不準(zhǔn)，故需增加求解光學(xué)常數(shù)的質(zhì)量配比數(shù)量。在保證正反向預(yù)測(cè)模型精度前提下，本研究提出用一階導(dǎo)和誤差排序兩種色調(diào)階梯法分別優(yōu)化求解光學(xué)常數(shù)的質(zhì)量配比數(shù)量。

1）一階導(dǎo)色調(diào)階梯法

基墨混合樣本的線性回歸直線與非線性回歸曲線的位置關(guān)系（見(jiàn)圖4）符合拉格朗日中值定理幾何意義，故求式（7）一階導(dǎo)數(shù)（見(jiàn)式（8）），并選取一階導(dǎo)數(shù)與線性回歸直線斜率最接近的兩個(gè)質(zhì)量配比及其左右相鄰的質(zhì)量配比各1（見(jiàn)表4）。各基墨混合樣本均選取6個(gè)質(zhì)量配比，用帶約束的線性最小二乘法求解單組份基墨吸收散射比。

表4 基墨混合樣本非線性回歸曲線的一階導(dǎo)數(shù)表Table 4 First derivative of nonlinear regression curve of based ink mixed samples

2）誤差排序色調(diào)階梯法

計(jì)算基墨混合樣本在線性回歸直線與非線性回歸曲線中同一質(zhì)量配比對(duì)應(yīng)的吸收散射比絕對(duì)誤差，并將其從小到大進(jìn)行排序。綜合來(lái)看，各基墨混合樣本的較小絕對(duì)誤差值主要位于較小質(zhì)量配比、中等質(zhì)量配比及較大質(zhì)量配比處。為降低樣本制備工藝誤差的影響，進(jìn)一步選取與此3種質(zhì)量配比差異最小的配比各1個(gè)，則每種基墨各選出絕對(duì)誤差較小的前6個(gè)質(zhì)量配比（見(jiàn)表5）。將6個(gè)質(zhì)量配比進(jìn)行帶約束的線性最小二乘法擬合，求解單組份基墨吸收散射比。

表5 基墨混合樣本線性與非線性回歸曲線的絕對(duì)誤差表Table 5 Absolute error of linear and nonlinear regression curve of based ink mixed samples

3 結(jié)果與分析

3.1 光學(xué)常數(shù)

為驗(yàn)證一階導(dǎo)色調(diào)階梯法與誤差排序色調(diào)階梯法的合理性與準(zhǔn)確性，將色調(diào)階梯法與混合樣本基礎(chǔ)配比分別得到的單組份基墨吸收散射比進(jìn)行比較，如5圖所示。

圖5 3種方法所得吸收散射比比較Fig. 5 Comparison of the absorption and scattering ratios calculated by 3 methods

從圖5可以看出，各波長(zhǎng)處黃墨和黑墨混合樣本由色調(diào)階梯法得到的單組份基墨吸收散射比均與基礎(chǔ)配比得到的單組份基墨吸收散射比較為接近；而對(duì)于紅墨和藍(lán)墨混合樣本而言，在主吸收波長(zhǎng)附近，用誤差排序色調(diào)階梯法得到的單組份基墨吸收散射比與基礎(chǔ)配比得到的單組份基墨吸收散射比更接近，但兩種色調(diào)階梯法求解效果的差異不顯著。

3.2 顏色預(yù)測(cè)精度

根據(jù)光學(xué)常數(shù)分析結(jié)果，選取膠印印張中三拼色?？Х扰c雙拼色專紅兩個(gè)目標(biāo)色（見(jiàn)圖6）進(jìn)行顏色預(yù)測(cè)精度驗(yàn)證分析。已知?？Х鹊幕浔萴黃:m紅:m黑=0.5563:0.3042:0.1395，專紅的基墨配比m黃:m紅=0.3356:0.6644，分別用一階導(dǎo)色調(diào)階梯法和誤差排序色調(diào)階梯法色階求解的基墨光學(xué)常數(shù)，對(duì)兩個(gè)目標(biāo)色進(jìn)行正向光譜預(yù)測(cè)和反向配比預(yù)測(cè)，并分析預(yù)測(cè)的配比差、光譜誤差及色差。

圖6 膠印印張?？Х扰c專紅色標(biāo)Fig. 6 Brown and red spot color batches of offset printed sheet

正向光譜預(yù)測(cè)模型建立了從單組份基墨的配比到輸出光譜反射率之間的預(yù)測(cè)模型，而反向配比預(yù)測(cè)模型是在已知復(fù)制光譜反射率的前提下，反向求解各單組份基墨配比。由于正向光譜預(yù)測(cè)模型通常無(wú)法求解反函數(shù)，故常視反向配比預(yù)測(cè)模型為帶約束的非線性優(yōu)化問(wèn)題。通過(guò)帶約束優(yōu)化問(wèn)題函數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行迭代尋優(yōu)，即尋找最小光譜匹配誤差。目標(biāo)函數(shù)為預(yù)測(cè)光譜rpre與目標(biāo)色混合樣本光譜rtar的誤差，即

分別用一階導(dǎo)色調(diào)階梯法、誤差排序色調(diào)階梯法的光學(xué)常數(shù)預(yù)測(cè)目標(biāo)色，并與基礎(chǔ)配比的光學(xué)常數(shù)預(yù)測(cè)目標(biāo)色的結(jié)果進(jìn)行比較，配比差（歐幾里得距離）、光譜誤差（RMSE）及色差（D65/2°條件下ΔEab）如表6所示。

表6 兩種色調(diào)階梯法的預(yù)測(cè)結(jié)果Table 6 Predictions of two tint ladder methods

由表6可知，一階導(dǎo)色調(diào)階梯法、誤差排序色調(diào)階梯法及基礎(chǔ)配比混合樣本的光學(xué)常數(shù)對(duì)?？Х鹊念A(yù)測(cè)，在配比差、光譜誤差及色差上均差異不大；三者對(duì)專紅的預(yù)測(cè)，光譜誤差與色差差異不大，但一階導(dǎo)色調(diào)階梯法的配比差明顯大于另外二者。

3種配比樣本光學(xué)常數(shù)對(duì)兩個(gè)目標(biāo)色的預(yù)測(cè)光譜如圖7所示。

圖7 3種配比樣本光學(xué)常數(shù)的預(yù)測(cè)光譜與目標(biāo)色光譜圖Fig. 7 Prediction spectrum of the 3 ratio samples optical constants and target color spectrum

由圖7可知，一階導(dǎo)色調(diào)階梯法、誤差排序色調(diào)階梯法及基礎(chǔ)配比混合樣本的光學(xué)常數(shù)對(duì)?？Х鹊念A(yù)測(cè)光譜較接近，但與目標(biāo)色光譜存在一定偏差；三者對(duì)專紅的預(yù)測(cè)光譜也較接近，且與目標(biāo)色光譜較為吻合。

4 結(jié)論

為構(gòu)建基于K-M單常數(shù)理論的膠印配色數(shù)據(jù)庫(kù)，本研究選取膠印基墨與沖淡劑混合樣本，基墨質(zhì)量配比在5%～100%之間，間隔為5%，對(duì)基墨質(zhì)量配比與吸收散射比之間的關(guān)系進(jìn)行理論與實(shí)驗(yàn)分析，并提出了一階導(dǎo)和誤差排序兩種色調(diào)階梯法，以選擇適量的質(zhì)量配比求解光學(xué)常數(shù)。通過(guò)基礎(chǔ)配比混合樣本、一階導(dǎo)色調(diào)階梯法及誤差排序色調(diào)階梯法建立的數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行顏色預(yù)測(cè)，結(jié)果表明：兩種色調(diào)階梯法的顏色預(yù)測(cè)精度（最大光譜誤差為0.0137，最大色差為1.73）均滿足實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用需求?？梢?jiàn)，本研究所提配色光學(xué)常數(shù)求解法可在保證顏色預(yù)測(cè)精度前提下，提高配色數(shù)據(jù)庫(kù)建立效率，對(duì)印刷包裝企業(yè)應(yīng)用計(jì)算機(jī)配色具有一定指導(dǎo)意義。