顧起豪，張雙虎，劉 吟，王 丹，2

（1.中國水利水電科學研究院 水資源所，北京 100038；2.大連理工大學，遼寧 大連 116024）

1 研究背景

水庫優(yōu)化調(diào)度特別是發(fā)電優(yōu)化調(diào)度是一個多階段、強約束、非線性的組合優(yōu)化問題［1］，水庫優(yōu)化調(diào)度模型求解方法始終是水庫優(yōu)化調(diào)度研究的熱點。目前，求解水庫調(diào)度模型的方法有兩種：一種是以線性規(guī)劃（LP）、動態(tài)規(guī)劃［2-4］（DP）為代表的傳統(tǒng)優(yōu)化方法。該類方法的缺點是效率和精度難以兼顧，容易陷入“維數(shù)災”。因此，專家學者提出了很多降維方法，例如：耦合KL理論與調(diào)度特征的降維方法［5］、逐步優(yōu)化算法（POA）［6］、離散梯度逐步優(yōu)化算法（DGPOA）［7］、三層并行逐步優(yōu)化算法［8］、雙層動態(tài)規(guī)劃算法（BDSP）［9］等。另一種是基于生物學、物理學和人工智能的具有全局優(yōu)化性能、穩(wěn)健性強、通用性強且適于并行處理的現(xiàn)代啟發(fā)式算法［10］，如改進粒子群算法［11-13］、混沌優(yōu)化算法［14］、狼群算法［15］、群居蜘蛛優(yōu)化算法［16］、改進遺傳算法［17］等?，F(xiàn)代啟發(fā)式算法魯棒性強，在一定程度克服了傳統(tǒng)算法的求解效率低的缺點。但這些算法以模擬自然界的生物進化或動物運動為主，無明確的物理背景。

風驅(qū)動優(yōu)化算法（Wind Driven Optimization，WDO）是由 Zikri Bayraktar等［18］在 2010年提出的模擬空氣運動的一種優(yōu)化算法?？諝庵械娜魏我晃⑿〔糠挚梢砸暈辄c，簡稱為“空氣質(zhì)點”。空氣質(zhì)點在外力的作用下，相互影響相互作用，朝著同一方向運行，當氣壓達到平衡時不再運動，該位置可以理解為最優(yōu)解?？諝膺\動過程中，每個空氣質(zhì)點位置組合可以認為一個是候選解，空氣質(zhì)點的運動軌跡就是尋優(yōu)的過程。WDO算法的核心是研究空氣質(zhì)點在大氣中的受力運動情況，并結(jié)合牛頓第二定律及理想氣體狀態(tài)方程，推導出空氣質(zhì)點在每次迭代中的速度和位置更新方程［19］。算法中的每一項都具有明確完整的物理意義，在實際運用中更加簡便、容易理解。近幾年，風驅(qū)動優(yōu)化算法已經(jīng)被廣泛應用到電磁優(yōu)化［20-22］、醫(yī)學［23］、人工智能［24］、遙感［25］等領域，但尚未在水庫優(yōu)化調(diào)度領域中得到運用。

本文對WDO在水庫優(yōu)化調(diào)度模型求解中的應用進行了詳細的闡述，并提出通過加入擾動策略解決WDO后期收斂速度慢、容易陷入局部最優(yōu)解的缺陷，通過引入空間壓縮機制提高模型求解效率，并將該算法應用到某水庫發(fā)電優(yōu)化調(diào)度模型求解中。

2 風驅(qū)動優(yōu)化算法

根據(jù)牛頓第二運動定律，作用在空氣質(zhì)點上的合力與運動加速度關系如式（1）所示，且加速度和合力的方向始終保持一致。

式中：ρ為空氣密度；為加速度；為施加在空氣質(zhì)點i方向上的力。

作用于大氣的力包括真實力和視示力。真實力又包括氣壓梯度力、萬有引力和摩擦力；視示力主要是科氏力?？剖狭Σ蛔龉?，只改變空氣質(zhì)點運動方向，是地球自轉(zhuǎn)效應的反映。

（1）氣壓梯度力是空氣運動的最基本力，氣壓梯度力合力可以表示為：

式中：m為空氣質(zhì)點質(zhì)量；ρ為氣體密度；δV為空氣質(zhì)點體積；?p為氣壓梯度；“-”表示從高壓指向低壓運動。

（2）空氣質(zhì)點之間的摩擦力非常復雜，簡化如下：

式中：κ為摩擦系數(shù)；u為速度矢量；“-”表示摩擦力與運動方向相反。（3）空氣質(zhì)點的重力是垂直與地球表面方向的力，可以表示為：

（4）科里奧氏力是指由于地球自轉(zhuǎn)而使空氣質(zhì)點運行發(fā)生偏轉(zhuǎn)的力?？剖狭Σ蛔龉?，只改變運動方向，可以表示為：

式中Ω為地球自轉(zhuǎn)的角速度。

根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程p=ρRT，有

式中：p為氣體壓強；R為干空氣比氣體常數(shù)；T為理想氣體的熱力學溫度。

令 Δt=1，δV=1，，并把式（2）—式（6）帶入式（1），等式兩邊同時除以ρ，則有：

設ut、ut+1分別為空氣質(zhì)點在t、t+1時刻的速度，則Δu=ut+1-ut。根據(jù)牛頓第二運動定律的“瞬時性”特點，即加速度和力同時產(chǎn)生、同時變化、同時消失，則式（7）可轉(zhuǎn)化為：

氣壓梯度力的方向從高壓指向低壓。定義目前為止空氣質(zhì)點最小壓強為popt，即群體當前最優(yōu)解，與之對應的空氣質(zhì)點位置為xopt。根據(jù)氣壓梯度公式定義，空氣質(zhì)點當前位置與最優(yōu)位置的氣壓梯度關系如下：

根據(jù)文獻［21］，

把式（9）和式（10）帶入式（8），則有：

為避免氣體壓力過大，影響模型穩(wěn)定性，用壓強大小排序來代替實際壓力值，popt為1，pt為j；

設RT=α，-2ΩRT=β；科氏力是一種慣性力，為刻畫空氣質(zhì)點當前速度受其它維度速度的影響，用近似代替ut，則式（11）可改寫為下式：

式（12）是空氣質(zhì)點運動速度更新公式。位置更新公式如下：

3 水庫優(yōu)化調(diào)度數(shù)學模型

本文建立了兼顧保證出力的發(fā)電量最大為目標的水庫優(yōu)化調(diào)度模型。即在調(diào)度期內(nèi)根據(jù)歷史來水過程或預報來水過程，考慮各約束條件，在保證各時段出力不小于電站保證出力的前提下，尋找水庫運行調(diào)度過程，以達到年發(fā)電量最大的目標。具體目標函數(shù)如下：

式中：Nt為水電站出力；k為出力系數(shù)；Qt為t時段發(fā)電流量；Ht為t時段發(fā)電水頭；T為調(diào)度期內(nèi)時段數(shù)；Δt為每個計算時段內(nèi)的小時數(shù)。

主要約束條件包括：

4 應用于水庫優(yōu)化調(diào)度WDO算法的改進

4.1 算法設計 WDO算法可以描述為一個由M個空氣質(zhì)點組成的群體在D維空間內(nèi)運行。速度矩陣U、位置矩陣Z如下：

WDO在水庫優(yōu)化調(diào)度模型求解時，空氣質(zhì)點數(shù)可以用來描述初始解的個數(shù)，空氣質(zhì)點運動空間維數(shù)可以用來描述水庫優(yōu)化調(diào)度求解時段，速度矩陣U可以用來描述迭代求解過程中水位或庫容的變化，位置矩陣Z可以用來描述迭代求解過程中某一狀態(tài)下的水位或庫容。按照一定的隨機方法可以生成M個庫容變化向量和初始庫容向量，。

WDO算法速度更新公式共有4項，其中前3項決定速度更新大小和方向，根據(jù)科氏力定義，第4項只改變速度方向、不改變速度大小。WDO算法在求解水庫優(yōu)化調(diào)度時，先根據(jù)式（12）計算前3項計算速度即時段末的庫容變化量，再根據(jù)這一庫容變化后相鄰前后時段是否有棄水，動態(tài)調(diào)整λ。庫容變化更新公式如式（18）所示，時段末水位更新公式如式（19）所示，λ計算公式如式（20）所示：

式中f(·)為根據(jù)時段初、時段末庫容計算發(fā)電棄水函數(shù)。

4.2 算法改進 針對風驅(qū)動算法求解優(yōu)化問題存在的易于陷入早熟和搜索效率不高的缺點，本文主要從以下兩個方面進行改進。

（1）空間壓縮。水庫優(yōu)化調(diào)度求解是一個強約束、序貫決策過程，當前的決策不僅影響到當前時段效益，還影響到下一時段效益。在用智能優(yōu)化算法求解水庫優(yōu)化調(diào)度模型時，經(jīng)常會生成大量的不可行解，導致模型求解效率不高。為此，引入空間壓縮策略來提高模型求解效率?？臻g壓縮方法的核心思想是：在求解過程中，根據(jù)，考慮各種約束，計算滿足約束條件的上下限，并根據(jù)下式計算約束更新后的庫容：

在進行空間壓縮時，采用奇偶相間的方式來更新庫容向量，即進行第i+1代庫容序列更新時，只對奇數(shù)時段末的庫容進行更新；進行第i+2代庫容序列更新時，只對偶數(shù)時段末的庫容進行更新，依次來更新提高模型求解效率。水庫優(yōu)化調(diào)度求解空間壓縮示意圖如圖1所示。

圖1 水庫優(yōu)化調(diào)度模型求解空間壓縮示意圖

（2）擾動。在室內(nèi)放一個氣球，氣球在經(jīng)歷一系列運動后會飄在空中靜止，此時氣球達到平衡狀態(tài)，處于當前最佳位置。若在氣球任一方向上稍微加一點力，氣球即會重新開始運動，直到達到新的平衡狀態(tài)，處于新的最佳位置，這就是擾動的原理。

WDO在求解水庫優(yōu)化調(diào)度模型時，若連續(xù)多代適應度值變化不大，則可以認為是陷入早熟。對當前最優(yōu)適應度值對應的庫容向量中的任一個時段蓄水狀態(tài)進行擾動，且隨著迭代次數(shù)的增加，擾動量要逐漸減少。為此構(gòu)建以下擾動量計算函數(shù)：

式中：ε為擾動量；γ為（0，1）的隨機數(shù)；θ為常量，經(jīng)大量試算，θ=4求解效率最高。通過擾動，更新早熟的最優(yōu)解，使其跳出早熟，繼續(xù)尋優(yōu)。

4.3 求解步驟

（1）確定進化代數(shù)和群體規(guī)模，設置相應參數(shù)。

（2）生成初始庫容序列（初始解）和速度更新序列。為提高模型求解速度，要保證初始庫容序列中有一定比例滿足約束條件的解。

（3）開始迭代。按照式（18）—式（21）進行庫容變化序列和庫容序列的迭代更新，并計算相應的適應度值。

（4）擾動。判斷是否陷入早熟，若早熟，對當前最優(yōu)解進行擾動，進行下一代迭代。

（5）模型終止判斷。判斷是否滿足模型終止條件，滿足條件、模型終止；不滿足條件，返回第（3）步再次進行迭代。

5 實例計算

為充分驗證改進WDO算法的有效性并比較該算法與標準WDO算法及PSO算法的性能差異［26］，以某水庫優(yōu)化調(diào)度模型求解為實例進行驗證。該水庫是以發(fā)電為主，兼有防洪任務的年調(diào)節(jié)水庫。水庫的正常蓄水位630 m，相應庫容為55.63億m3；死水位590 m，相應庫容為26.62 m3；6—7月份汛限水位為626.24 m，8月份汛限水位為628.12 m；電站裝機容量為3000 MW，電站保證出力600 MW；水電站綜合出力系數(shù)8.5。為了避免或盡可能減少社會用水擠占河道生態(tài)用水產(chǎn)生的不利影響［27］，該水庫中最小生態(tài)下泄流量設置為300 m3/s。為兼顧保證出力的發(fā)電量最大為目標進行優(yōu)化調(diào)度計算，計算時段為月。

5.1 合理性分析 表1為引入改進策略的風驅(qū)動算法（IWDO）求解水庫優(yōu)化調(diào)度模型計算結(jié)果。由表1可知：6、7月份水位不高于汛限水位626.24 m，8月份水位不高于汛限水位628.12 m，其余月份水位均高于死水位590 m，低于正常蓄水位630 m；各月平均下泄流量均大于最小生態(tài)下泄流量300 m3/s；電站出力均大于保證出力600 MW。計算結(jié)果表明，IWDO求解水庫發(fā)電優(yōu)化調(diào)度模型是可行的。

表1 IWDO運算結(jié)果

5.2 改進策略效率分析 為了分析本文提出的空間壓縮和擾動策略在模型求解的作用，進行了三種情景對比。一是標準風驅(qū)動算法WDO；二是增加了空間壓縮策略的風驅(qū)動算法；三是增加了空間壓縮和擾動策略的風驅(qū)動算法IWDO。三種算法求解水庫優(yōu)化調(diào)度，適應度值隨迭代次數(shù)的變化過程如圖2所示。從圖2可以看出，標準風驅(qū)動在第62代開始就陷入了早熟，此后迭代幾十次內(nèi)適應度值變化很小，適應度值為97.93億kW·h；加入空間壓縮策略后在第29代達到最大適應度值98.53億kW·h；再加入擾動策略，從第29代之后，適應度在持續(xù)緩慢的增加，到100代時適應度值達到98.88億kW·h，到200代時適應度時達到99.01億kW·h，到500代結(jié)束迭代時，適應度值達到最大99.25億kW·h。上述分析結(jié)果表明，在標準風驅(qū)動中加入空間壓縮策略可以明顯提高迭代效率；加入擾動策略后，能持續(xù)緩慢地提高適應度值。

圖2 改進策略效率分析

5.3 IWDO算法搜索性能分析 為了進一步分析IWDO算法在求解水庫優(yōu)化調(diào)度模型時的性能，本文又應用了粒子群算法（PSO）進行優(yōu)化求解，目標函數(shù)與約束條件均不變。兩種算法適應度值對比如圖3所示。從圖3可以看出，IWDO和PSO兩種方法求解水庫優(yōu)化調(diào)度，最終適應度值相差不大，但是IWDO效率更高。IWDO第30代適應度值就與PSO第195代適應度值相當。上述分析結(jié)果表明，IWDO求解水庫優(yōu)化調(diào)度，效率更高。

圖3 IWDO搜索性能分析

6 結(jié)論

本文以風驅(qū)動算法為基礎，提出了改進的風驅(qū)動算法IWDO，并將其應用到水庫優(yōu)化調(diào)度模型求解中，通過實例研究可得：

（1）標準風驅(qū)動算法仍然存在著早熟和收斂速度慢的問題。經(jīng)過實例計算，標準風驅(qū)動優(yōu)化算法在第62代陷入早熟，且最終適應度值為97.93億kW·h。在對其改進的過程中，當僅加入空間壓縮策略時，在第29代就達到最大適應度值，為98.53億kW·h；若再加入擾動策略，適應度值隨著迭代次數(shù)的增加，不斷上升，最終達到99.25億kW·h。由此可見，本次研究提出的空間壓縮策略可明顯提高風驅(qū)動算法求解水庫優(yōu)化調(diào)度的效率，提出的擾動策略能有效避免算法“早熟”，兩種策略同時具有顯著提高風驅(qū)動算法求解水庫優(yōu)化調(diào)度的性能。

（2）改進的風驅(qū)動算法在迭代30次得到的適應度值與粒子群算法迭代195次得到的適應度值相當；優(yōu)化后的風驅(qū)動算法迭代200次適應度值為99.02億kW·h，比PSO算法迭代相同代數(shù)適應度值增加0.1億kW·h；優(yōu)化后的風驅(qū)動算法最終求解適應度值為99.25億kW·h，比PSO算法增加0.33億kW·h。

（3）空間壓縮策略還可以應用到其它智能算法中，提高算法求解效率。

因此，改進的風驅(qū)動優(yōu)化算法（IWDO）為解決水庫優(yōu)化調(diào)度模型的有效算法。