吳傳花，王自強

(貴州民族大學數(shù)據(jù)科學與信息工程學院，貴州 貴陽 550025)

經(jīng)過多年來的研究，人們發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微積分能夠更好地描述反常擴散的冪律結(jié)構，分數(shù)階微分方程因此受到了人們的高度重視，從而被應用于各個科學與工程領域[1-2]。而生活中發(fā)生的大多現(xiàn)象都是隨機的，人們逐漸認識到隨機擾動是不可忽略、不可避免的，需要在研究的確定性控制方程的基礎上加入相應的隨機項，因此隨機微分方程逐漸發(fā)展成為數(shù)學領域的重要分支，為了更有效地刻畫具有記憶和噪聲擾動的自然現(xiàn)象，分數(shù)階隨機微積分方程開始被人們所關注。

近年來，許多學者為求解分數(shù)階隨機積分微分方程提供許多的數(shù)值方法，比如在文獻[3]中運用了簡單的歐拉方法，通過對布朗運動B(t)的導數(shù)，構造了數(shù)值格式，分析了格式的適定性，并進行了數(shù)值實現(xiàn)。文獻[4]針對求解一類隨機微分方程，提供了Milstein方法和Euler-Maruyama方法。還有譜配置方法、Tau方法、三次B-樣條函數(shù)逼近方法等[5-10]。

本文首先基于[0，1]上的正交函數(shù)移位勒讓德函數(shù)，利用高斯-勒讓德求積公式與譜配置方法相結(jié)合的思想構造求解一類分數(shù)階隨機積分微分方程的新的譜配置方法。然后針對構造的數(shù)值方法進行數(shù)值實現(xiàn)，以驗證算法的有效性。

1 數(shù)值算法的構造

我們考慮如下的微分積分形式的分數(shù)階隨機積分微分方程：

(1)

其中，Γ(·)表示Gamma函數(shù)，y，f，ki，i=1，2是定義在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的隨機過程，y是未知的，B(s)為眾所周知的布朗運動，并且(1)式中右端的第三項帶有布朗運動的積分稱為伊藤積分，y0為已知常數(shù)。

下面我們給出伊藤積分的一些性質(zhì)，先給出布朗運動的定義：

定義1[4-5](布朗運動過程)

一個實值隨機過程B(t)，t∈[0，1]，如果滿足如下性質(zhì)，則稱為布朗運動。

(1)(獨立增量)對于t>s，B(t)-B(s)與過去無關，即與B(u)，0≤u≤s無關，或者與B(u)，u≤s生成的σ-域Fs無關；

(2)(正態(tài)分布)對任意的0≤u

(3)(路徑的連續(xù)性)當t≥0時，B(t)是一個與t有關的連續(xù)函數(shù)。

注意，B(0)=0(概率為1)。

定義2[5](伊藤積分)

設v(S，T)是函數(shù)類，f∈v(S，T)，那么在空間L2(P)中f的伊藤積分形式為：

其中，φn是一個初等函數(shù)的序列，使得當n→∞時，有如下的逼近關系：

性質(zhì)1[5](分部積分)

設f(s，w)=f(s)僅依賴于變量s，f在[0，t]上是連續(xù)的且有界變化的。那么

性質(zhì)2[5](伊藤引理)

設f∈v(S，T)，則

接下來，基于移位勒讓德多項式，引進高斯-勒讓德求積公式和譜配置方法相結(jié)合的思想，對給出的一類隨機分數(shù)階積分微分方程進行求解。基于文獻[5]，給出區(qū)間[0，1]上的i次移位勒讓德多項式：

φi(t)=Li(2t-1)，i=0，1，…，

其中Li是區(qū)間[-1，1]的i次勒讓德多項式。移位勒讓德多項式相鄰三項有如下關系：

φ0(t)=1，φ1(t)=2t-1，

i=1，2，…

當權函數(shù)w=1時，Φ(t)的正交性如下：

其中δi，j是克羅內(nèi)克符號。

下面，將運用移位勒讓德多項式的前N+1項展開(1)式中的y(t)和k(s，t)：

(2)

(3)

(4)

將(1)式中右端含有隨機過程的第三項按性質(zhì)1展開

(5)

接下來，將(2)式和(3)式代入(5)式中，用移位勒讓德多項式的前N+1項逼近y(t)，ki(s，t)可得

(6)

簡化(6)式如下，

(7)

其中

CT=[c0，c1，…，cN]，

Φ(t)=(φ0(t)，φ1(t)，…，φN(t))T。

對(7)式中的積分項運用高斯-勒讓德求積公式，首先進行積分區(qū)間的變換：

s：=tθ，θ∈[0，1]，s∈[0，t]，

(8)

再次對積分區(qū)間[0，1]作變換：

(9)

用M點高斯-勒讓德求積公式，則(9)式為：

(10)

其中，wm和τm是求積公式的權和節(jié)點。將(10)式中含有CT項都整理到等式左端：

=f(t)

(11)

在N個配置點處配置(11)式，我們給出一組合適的配置點，即切比雪夫-高斯點：

那么，(11)式變?yōu)椋?/p>

=f(tr)

(12)

Bj=Bj-1+dBj，j=0，1，…，P

則(12)式簡化為：

(13)

現(xiàn)在結(jié)合初始條件和(13)式，有

CT(A，Φ(0))=(F，y0)

(14)

其中，A=Air，F(xiàn)=(f0，…，fN-1)。

(15)

因此，就可以得到y(tǒng)N(t)=CTΦ(t)。

綜上所述，我們可以通過構造的數(shù)值算法計算方程在任意點t的值。

2 數(shù)值實現(xiàn)

例1 考慮如下分數(shù)階隨機積分微分方程[5-6]

其中，y0=0，t∈[0，1]，當σ=0時，該方程的解析解為y(t)=t3。

由于分數(shù)階隨機積分微分方程的精確解是很難找到的，所以我們使用最簡單的Euler-Maruyama法求解方程的解作為該方程的精確解，也就是圖1中的虛線部分作為本次數(shù)值實現(xiàn)的參考解，其中P=104。接下來，利用構造的新的譜配置方法求出的解作為數(shù)值解，即圖1中的實線。

圖1是σ=1時數(shù)值解與參考解的逼近圖。在進行數(shù)值實現(xiàn)時發(fā)現(xiàn)，當N=17時，逼近效果是比較好的。通過圖1右上角的局部放大圖，我們發(fā)現(xiàn)，即使從整體上看，數(shù)值解逼近參考解的逼近效果還是可以的，但從局部上看，參考解和數(shù)值解之間還是有一定的誤差的。所以，要使得分數(shù)階隨機積分微分方程的參考解與數(shù)值解之間的誤差盡可能的小，仍然是一個漫長的研究過程，尤其是分數(shù)階導數(shù)具有的特殊的性質(zhì)，使得高效的數(shù)值算法的構造存在一定的困難。