許貞俊

(貴州裝備制造職業(yè)學院，貴州 貴陽 550000)

0 引言

與傳統(tǒng)的支撐軸承相比，磁力軸承在原理與方法上有著很大的差別，但其本質(zhì)并沒有發(fā)生改變，都是用于支承轉(zhuǎn)子的部件，即為旋轉(zhuǎn)部件提供所需的剛度與阻尼，故而磁力軸承亦針對其支撐剛度和阻尼進行研究。本磁力軸承是混合型磁力軸承，主要由永磁和電磁兩部分組成，因而本混合軸向磁力軸承的剛度和阻尼不僅與其結(jié)構(gòu)特征有關，還與其控制系統(tǒng)有關，即混合軸向磁力軸承的剛度和阻尼與傳統(tǒng)支承軸承的剛度和阻尼相似，但又不能照搬對傳統(tǒng)支承軸承的剛度和阻尼的研究方法。

1 混合磁軸承的剛度理論

目前磁力軸承還未有系統(tǒng)的理論，其剛度表述也未統(tǒng)一。通過傳統(tǒng)支承軸承剛度的定義，混合磁力軸承的剛度是指某方向上單位位移所需的增量力。

根據(jù)定義，在某方向上的剛度為[1-2]：

(1)

式中：Fz是磁軸承在z方向上的磁拉力，z是在此方向上的位移。

磁力軸承支承阻尼：磁軸承的方向阻尼為此方向上單位速度變化所需的增量力，本磁力軸承為軸向上的，則軸向阻尼可表示為[3-4]：

(2)

2 基于軸對稱特性的剛度與阻尼

2.1 混合磁力軸承的剛度矩陣

空間問題存在六個自由度，在本飛輪系統(tǒng)中，飛輪轉(zhuǎn)子處于豎直狀態(tài)，并繞其軸向z軸轉(zhuǎn)動，故不考慮繞z軸的旋轉(zhuǎn)自由度，但其余五個自由度都必須加以限制。對混合磁力軸承建立坐標系，如圖1所示。

因此建立5×5的剛度矩陣：

(3)

從簡化的混合磁力軸承分析模型可知，永磁體為一旋轉(zhuǎn)體，則Kxx=Kyy=Kr，Kαα=Kββ=Kφ。同時由于本磁場為保守場，因而剛度矩陣為一對稱競爭，即Kij=Kji。

當飛輪轉(zhuǎn)子在平衡位置受到軸向擾動時，飛輪轉(zhuǎn)子與混合磁力軸承在軸向上將產(chǎn)生相對位移，但此時對徑向力沒有影響且始終為零，因此除Kzz外，其余的Kzj和Kiz均為零。

當飛輪轉(zhuǎn)子在平衡位置受到徑向擾動時，飛輪轉(zhuǎn)子與混合磁力軸承在徑向方向?qū)a(chǎn)生相對位移。(在直角坐標系下分析)假設在x軸方向上產(chǎn)生相對位移，則Fy和Mx都將為零，且Kyx=Kαx=0。同理可得Kβα=Kxα=0，Kyβ=Kβy=0。

根據(jù)上述分析，剛度矩陣可簡化為：

(4)

因混合磁力軸承模型具有軸對稱特性，故在剛度上存在以下關系：Kxx=Kyy，Kαα=Kββ，Kαy=Kyα，Kβx=Kxβ，因而只需考慮三個變量，在文中我們著重考慮的是軸向恢復剛度和徑向不平衡剛度。

2.2 軸向恢復剛度與徑向不平衡剛度

根據(jù)等效電流分析法，混合磁力軸承與轉(zhuǎn)子間的受力情況可由洛倫茲定律求得：

(5)

同時根據(jù)電磁學基本理論可以得到：

(6)

(7)

(8)

將上述(6)式、(7)式、(8)式帶入到洛倫茲定律便可求得：

(9)

由Earnshaw定律可知軸向恢復剛度與徑向不平衡剛度存在以下關系：

2Kr+Kz=0

(10)

因而可得軸向恢復剛度與徑向不平衡剛度分別為：

(11)

3 基于PD控制系統(tǒng)的剛度和阻尼

混合磁力軸承利用永磁體對導磁物體的吸引力，使物體在軸向上能夠使電磁力與轉(zhuǎn)子重力相平衡而穩(wěn)定懸浮，這部分電磁不參與工作。當飛輪轉(zhuǎn)子在軸向上受到外界干擾產(chǎn)生軸向位移而偏離平衡位置時，根據(jù)位移傳感器的輸出信息，電磁參加工作使飛輪轉(zhuǎn)子重新回到平衡位置，如圖3為磁力軸承控制簡圖。

3.1 磁拉力和控制電流與位移的關系

磁力軸承在其功能上有著其他傳統(tǒng)支承軸承無法比擬的優(yōu)勢，其中無機械接觸、能耗低和多循環(huán)次數(shù)表現(xiàn)的極為優(yōu)秀，這也使得磁力軸承在高速旋轉(zhuǎn)機械中有著無法想象的應用前景。阻尼和剛度的合適性是磁力軸承使得轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性的前提條件，而其阻尼和剛度即受到磁力軸承本身結(jié)構(gòu)和磁路特性的影響，同時還受到控制環(huán)節(jié)的牽制。

永久磁體負責轉(zhuǎn)子重量的完全卸載，而電磁負責轉(zhuǎn)子在受到外界擾動時使轉(zhuǎn)子重新回到平衡位置，就其靜態(tài)偏置磁場和電磁場分別為：

(12)

(13)

式中：hpm永久磁鐵的磁化長度，Apm磁極面積，Hc永磁矯頑力，Agap氣隙面積，N線圈匝數(shù)，i控制電流，u0為真空磁導率，g0氣隙。

當轉(zhuǎn)子受到軸承擾動時，轉(zhuǎn)子將偏離平衡位置，相應磁極氣隙也將隨之變化，根據(jù)磁場強度和磁拉力的關系可得擾動磁場和磁拉力為：

(14)

(15)

由于飛輪儲能系統(tǒng)是置于真空環(huán)境中的，其最大的外界擾動是轉(zhuǎn)子本身的質(zhì)量不平衡分布，故轉(zhuǎn)子的不平衡位移是微量的且相對于氣隙是遠小于的，則將磁力進行線性化后可得：

=Kzz+Kii

(16)

式中：Kz為力-位移關系特征系數(shù)，Ki為電流-位移關系特征系數(shù)。從式中可以看出磁力軸承的磁拉力與軸向位移和控制電流有關，其中Kz和Ki主要由磁力軸承的結(jié)構(gòu)決定，因而磁拉力同時受到磁力軸承本身結(jié)構(gòu)及其控制系統(tǒng)的影響。

3.2 PD控制下的剛度和阻尼

混合型磁力軸承的電磁部分是由位移傳感器的反饋信息來驅(qū)動的，因而其控制系統(tǒng)為一閉環(huán)系統(tǒng)，其傳遞框圖見圖4，其中，H(s)為包括功率放大器、控制電路和位移傳感器等所有的控制環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)。

在磁力軸承控制系統(tǒng)中比例系統(tǒng)和微分系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的基礎，但實際控制電路系統(tǒng)中單純的微分環(huán)節(jié)存在噪聲，難以滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求，故一般采用的微分系統(tǒng)是帶有低通濾波環(huán)節(jié)的，在此可以選用的PD系統(tǒng)為[5-8]：

(17)

式中：K為包括所有環(huán)節(jié)的增益，cp為PD比例系數(shù)，cd為PD微分系數(shù)，τd為濾波時間系數(shù)。

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(18)

拉氏變換磁拉力與位移之比即為動剛度，即：

(19)

讓s=jω，并帶入式(19)，可得頻率特性為：

(20)

頻域里力和位移的關系可簡化為：

F(jω)=m(jω)2z(jω)+

(21)

現(xiàn)將磁力軸承比例成彈簧單元，彈簧單元的運動方程為：

(22)

式中：k為等效彈簧單元剛度，d為等效彈簧單元阻尼。

則有：

(23)

(24)

式(24)即為混合磁力軸承剛度與阻尼同PD控制特性的關系。

4 結(jié)論

(1)基于本混合軸向磁力軸承的軸對稱特性，對其剛度和阻尼在結(jié)構(gòu)上的特點進行了研究。

(2)由于混合型磁力軸承由永磁和電磁兩部分組成，針對電磁部分與剛度和阻尼的關系進行了研究，得出了本磁力軸承在PD控制下的頻率特性和頻域里力和位移的關系，為本混合軸向磁力軸承控制系統(tǒng)的設計做出了初步方案。

(3)根據(jù)有限元中磁力軸承動力學表征的特點，將磁力軸承等效為彈簧，得出了表征剛度與表征阻尼，為有限元分析邊界條件的加載提供了依據(jù)。