劉湘楠，趙學智，何寬芳

（1.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣東廣州 510641；2.佛山科技學院機電工程與自動化學院，廣東佛山 528225）

引 言

隨著旋轉(zhuǎn)機械向智能化、精密化方向發(fā)展，旋轉(zhuǎn)機械中某一部件產(chǎn)生故障可能導致較大的安全事故和經(jīng)濟損失。滾動軸承具有摩擦系數(shù)小、傳遞效率高和徑向承載能力大等優(yōu)點被廣泛應用于旋轉(zhuǎn)機械設備。據(jù)相關統(tǒng)計，旋轉(zhuǎn)機械失效的案例中，45%～55%是由于滾動軸承發(fā)生故障而導致的［1］。實際工程應用中，滾動軸承通常在變轉(zhuǎn)速、變負載和強沖擊等惡劣工況下進行作業(yè)，磨損、疲勞、過載等因素都可能導致滾動軸承產(chǎn)生局部損傷，進而影響旋轉(zhuǎn)機械設備運行的安全性和可靠性［2］。滾動軸承故障測試實驗中，傳感器采集的振動信號中含有大量的軸承運行狀態(tài)信息，對振動信號進行分析可有效實現(xiàn)滾動軸承故障診斷［3］。傳統(tǒng)的基于振動信號分析的滾動軸承故障診斷方法主要針對恒定工況，對變工況下的滾動軸承進行故障診斷的案例較少［4］。變工況下的振動信號更為復雜，包含了更多的運行狀態(tài)信息［5］。因此，開展變工況下滾動軸承故障診斷方法研究，對旋轉(zhuǎn)機械可靠性及安全性具有十分重要的意義。

由于旋轉(zhuǎn)機械復雜的結(jié)構(gòu)，導致傳感器采集的滾動軸承振動信號通常具有非平穩(wěn)特性［6］。在特征提取方面，傅里葉變換法作為一種全局變換方法，缺乏時間和頻率“定位”功能，只適用于分析平穩(wěn)信號［7］。時頻分析法能夠提供信號在時域和頻域的聯(lián)合分布信息，適用于分析非平穩(wěn)信號［8］。常用的時頻分析方法主要有：短時傅里葉變換（Short Time Fournier Transform，STFT）、連續(xù)小波變換（Con?tinue Wavelet Transform，CWT）、S 變換和廣義S變換等［9?12］。STFT 作為一種加窗傅里葉變換方法，窗函數(shù)的長度決定了信號的時間分辨率和頻率分辨率［9］。另外，由于受Heisenberg 不確定準則的限制，采用STFT 對信號進行時頻分析時，難以同時獲得良好的時域分布和頻域分布［13］。CWT 作為一種窗函數(shù)可變的時頻分析方法，克服了STFT 的不足，具有多分辨率分析特性［10］。但是小波基函數(shù)的選取缺乏自適應性，采用CWT 對信號進行分析時，其時頻譜圖存在頻率干擾、能量泄漏和邊界失真等不足［14］。S 變換是在STFT 和CWT 基礎上發(fā)展形成的，既含有STFT 的相位信息，同時又保留了CWT 的多尺度分辨能力，并且其逆變換完全無損［15］。S 變換窗函數(shù)尺度與頻率成反比，即在低頻處頻率分辨率較高，高頻處時間分辨率較高。然而，由于S 變換中采用的小波函數(shù)是固定的，采用S 變換對信號進行分析時，存在時頻分辨率調(diào)節(jié)力度不夠，能量聚集性不足等缺點［16］。為克服S 變換的不足，Pinnegar 等［12］在S 變換的基礎上引入窗函數(shù)調(diào)節(jié)系數(shù)，提出了GST 方法。GST 作為一種新的時頻分析方法，在地震信號［17］、焊接裂紋聲發(fā)射信號［18］中得到了廣泛的應用，部分學者也將GST 應用于機械故障診斷領域［19?20］。但是采用GST 獲得的時頻矩陣存在維數(shù)過高、冗余信息過多等不足［21?22］。直接將GST 獲得的時頻矩陣作為智能診斷算法的輸入，多的特征量會訓練出更為復雜的模型，從而影響狀態(tài)識別精度。

奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）具有良好的穩(wěn)定性，適用于提取時頻矩陣中的特征信息［23］。TIAN 等［24］提出一種基于LMD?SVD 的變工況下滾動軸承故障特征信息的方法。郭鳳儀等［25］采用S 變換對回路電流進行時頻域變換，采用SVD 對時頻矩陣進行分解，實現(xiàn)了不同電流條件下的串聯(lián)型故障電弧特征信息提取。將GST 與SVD 相結(jié)合用于提取變工況下滾動軸承振動信號特征信息研究的成果尚未可見。

基于以上分析，本文將GST 和SVD 方法相結(jié)合，提出一種適用于提取變工況下滾動軸承故障振動信號特征信息的方法。搭建了某型特種車輛變速箱圓柱滾子軸承實驗臺架，并在實驗臺架上采集不同輸入轉(zhuǎn)速作用下圓柱滾子軸承典型狀態(tài)件振動信號。在此基礎上，利用GST?SVD 方法提取表征圓柱滾子軸承典型狀態(tài)件特征信息的奇異值向量組，然后采用支持向量機對圓柱滾子軸承典型狀態(tài)件進行分類識別。實驗分析結(jié)果表明：該方法可有效實現(xiàn)變工況下圓柱滾子軸承振動信號特征提取及狀態(tài)識別，為旋轉(zhuǎn)機械在線監(jiān)測提供一種有效手段。

1 理論基礎

1.1 廣義S 變換

對于一維連續(xù)信號x（t），其S 變換定義為［26］：

式中f表示頻率，τ表示時移因子，g（t）表示高斯窗函數(shù)，σ表示尺度因子，且

由式（2）可知，高斯窗既是時間也是頻率的函數(shù)，這就使得窗函數(shù)在低頻處能夠提供較高的頻率分辨率，在高頻處，提供較高的時間分辨率。

由于S 變換中高斯窗的尺度因子被限定為頻率的導數(shù)，導致在實際工程應用中，S 變換存在時頻分辨率調(diào)節(jié)力度不夠，能量聚集性不足等缺點［16］。因此，為了克服S 變換的不足，Pinnegar 等［12］在高斯窗的尺度因子中引入調(diào)節(jié)參數(shù)p，改造S 變換的高斯窗函數(shù)，進一步加快或減慢時窗寬度隨信號頻率變化的速度，更好地適應具體信號的分析。

令尺度因子為：

結(jié)合方程（1）～（3）可得GST 的數(shù)學表達式為：

對于離散信號x（n），其GST 可表示為：

式中T表示采樣時間間隔，N表示采樣總點數(shù)，X（n/NT）表示x（n）的離散時間序列。

結(jié)合式（5）和（6）可知：原始信號經(jīng)GST 時頻域變換后，獲得的時頻矩陣是一個二維復數(shù)矩陣，行向量表示不同的頻率值，列向量對應不同的時間點，矩陣元素表示信號的幅值和相位角。信號x（t）的GST 變換結(jié)果可表示為［25］：

式中Am×n表示幅值矩陣，θm×n表示相位矩陣。

另外，由方程（3）可知：GST 高斯窗的寬度可以通過選取不同的參數(shù)p值進行調(diào)整，從而改善時頻分辨率，提高時頻聚焦性能。當p=1 時，GST 等價于S 變換；當p>1時，高斯窗的寬度隨著頻率的增加而減小，不利于描述低頻信號特征；當p<0 時，高斯窗的寬度隨著頻率的增加而增加，不利于描述高頻信號特征。

參數(shù)p的取值決定了GST 的時頻集聚性能的好壞，為實現(xiàn)參數(shù)p的選取，文獻［27］提出一種時頻分布聚焦性度量準則，根據(jù)該準則可有效選取高斯窗口函數(shù)最優(yōu)調(diào)節(jié)參數(shù)p值，定義時頻分布聚焦性度量準則為：

式（8）的離散形式可表示為：

評價的標準為：M（p）取最小值表示時頻分布聚焦性最好，此時所對應的p值即為高斯窗口函數(shù)的最優(yōu)調(diào)節(jié)參數(shù)。

本文選取參數(shù)p值的步驟如下：

（1）對于任意的p∈(0，1 ]，根據(jù)方程（4）對信號x（t）進行GST；

（2）對GST 系數(shù)進行能量歸一化：

（3）根據(jù)方程（8）計算GST 的時頻聚焦性，本文取q=2；

（4）通過求取M（p）的最小值選取窗口函數(shù)最優(yōu)調(diào)節(jié)參數(shù)popt：

1.2 SVD 基本理論

對于矩陣H∈Rm×n，其SVD 定義為［23］：

式中U和VT分別為m×m和n×n階矩陣，S為m×n階對角矩陣，即：

式中 0 表示零矩陣，k=min（m，n），σ1≥σ2≥…≥σk>0，σ1≥σ2≥…≥σk>0 稱為矩陣Hm×n的奇異值。

基于以上分析，式（12）可表示為：

式中ui和vi分別表示矩陣U和V中的列向量，且ui∈Rm×1，vi∈Rn×1。

定義一個包含ui和vi的子矩陣Hi=uivTi，因此，式（14）可表示為：

根據(jù)式（15）可知，采用SVD 提取矩陣中的有效信息的關鍵在于選取有效奇異值。本文采用文獻［28］所提出的方法選取有效奇異值個數(shù)r，定義有效奇異值個數(shù)r為：奇異值由迅速衰減向趨于平緩的轉(zhuǎn)折點所對應的序數(shù)。

1.3 SVM 模型

SVM 主要通過尋找一個超平面來對樣本進行分割，在基于間隔最大化的分割原則下，其最終問題歸類于在約束條件下求解二次規(guī)劃問題［29］。

設樣本集{xi，yi}，i=1，2，…，N，其中xi為第i個樣本，yi∈{-1，1}，那么最優(yōu)超平面方程定義為：

式中ω表示該平面的法向量，b為常數(shù)項。

根據(jù)SVM 的定義，將上述最優(yōu)超平面選取問題轉(zhuǎn)換為二次規(guī)劃問題：

通過Langrange 乘子法解決上述規(guī)劃問題，那么原問題的對偶問題為：

式中ai表示Langrange 乘子，Q（a）的最大值取決于訓練集{xiT，xj}和{yi，yj}。

假定a*i為最優(yōu)Langrange 乘子，x表示測試數(shù)據(jù)，那么最優(yōu)超平面函數(shù)（fx）定義為：

1.4 本文方法

本文結(jié)合GST，SVD 和SVM，提出一種變工況下圓柱滾子軸承振動信號特征提取及狀態(tài)識別方法，其基本流程如圖1所示。

圖1 本文方法診斷流程Fig.1 The proposed method diagnostic process

該方法的具體步驟如下：

（1）搭建某型特種車輛變速箱圓柱滾子軸承實驗臺架，在實驗臺架上采集不同轉(zhuǎn)速工況下的滾動軸承不同狀態(tài)件振動信號，并從中隨機選取多個樣本構(gòu)成訓練集和測試集；

（2）采用GST 分別對訓練集中的單個樣本信號進行時頻域轉(zhuǎn)換，將得到時頻矩陣作為特征矩陣；

（3）對特征矩陣進行SVD 分析，選取有效奇異值構(gòu)建特征向量集；

（4）將得到的特征集輸入SVM 模型中對其進行訓練；對測試集中的樣本信號重復上述步驟（2）和（3）進行特征參數(shù)提取，然后輸入到已訓練好的SVM 模型中實現(xiàn)故障狀態(tài)分類識別。

2 時頻分析方法仿真分析

構(gòu)造了非平穩(wěn)仿真信號模擬滾動軸承局部損傷引起的沖擊信號，分別采用STFT，CWT，S 變換和GST 方法對仿真信號進行分析，以驗證GST 良好的時頻聚集性。仿真信號的數(shù)學表達式如下：

式中t1=mod（t，1/33），故障引起的沖擊信號特征頻率為33 Hz，mod 表示求余函數(shù)，f1=3500 Hz，f2=450 Hz，f3=150 Hz，f4=48 Hz，r（t）表示均值為0，方差為0.16 的高斯白噪聲。

仿真信號采樣頻率為8 kHz，采樣點數(shù)為4000個，圖2為仿真信號時域波形及其頻譜圖。

由圖2可知，由于噪聲信號的干擾，傳統(tǒng)的頻譜分析難以獲取故障特征頻率，缺乏“定位功能”，僅從信號時域波形圖中無法獲取仿真信號中的沖擊特征信息。

圖2 仿真信號波形圖Fig.2 Waveform of the simulated signal

采用STFT，CWT，S 變換（p=1）和GST（popt=0.76）等時頻方法分別對仿真信號進行分析，其中STFT 采用Hamming 窗，CWT 采用尺度為64 的Morlet 小波。圖3為仿真信號經(jīng)不同時頻分析方法處理后獲得的時頻譜圖。

圖3 不同時頻分析方法處理后獲得的時頻譜圖Fig.3 Time-frequency spectrum obtained by different timefrequency analysis methods

如圖3（a）所示，采用STFT 對仿真信號進行分析，能夠提取低頻成分（f2，f3，f4），但由于時間分辨率的限制，難以有效提取高頻成分（f1）和沖擊信號頻率成分（f0）。如圖3（b）所示，采用CWT 對仿真信號進行分析，能夠提出提取低頻成分（f2，f3，f4）、高頻成分（f1）和沖擊信號頻率成分（f0），但高頻成分和沖擊信號頻率成分分辨率較低，存在能量泄露。如圖3（c）所示，采用S 變換對仿真信號進行分析，能夠提出提取低頻成分（f2，f3，f4）、高頻成分（f1）和沖擊信號頻率成分（f0），但由于其窗函數(shù)尺度與頻率成反比，因此，低頻成分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，高頻成分和沖擊信號具有較低的頻率分辨率和較高的時間分辨率。如圖3（d）所示，采用GST 對仿真信號進行分析，能夠有效提取低頻成分（f2，f3，f4），且在高頻成分（f1）附近檢測到明顯的沖擊特征，沖擊時間間隔約為0.03 s，與沖擊信號頻率成分（f0=33 Hz）相對應。

基于以上分析可知，GST 相較于傳統(tǒng)的時頻分析方法在沖擊信號時頻分辨率方面具有顯著的優(yōu)越性，且GST 時頻矩陣中包含了沖擊信號特征信息。

3 案例分析

3.1 實驗方案及數(shù)據(jù)獲取

如圖4所示，搭建了某型特種車輛變速箱圓柱滾子軸承實驗臺架。在臺架上分別采集了某特種車輛變速箱中N218 圓柱滾子軸承外圈磨損、滾動體故障和軸承正常三種典型狀態(tài)件的振動信號。表1為圓柱滾子軸承N218 基本參數(shù)。

圖4 臺架模擬故障試驗臺Fig.4 The bench simulation fault test bench

表1 N218 圓柱滾子軸承基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of the cylindrical roller bearings

在軸承故障件制作過程中，外圈磨損狀態(tài)是在軸承外圈外表面一圈磨掉0.15 mm 而成；滾動體故障狀態(tài)是對軸承的1 個滾動體磨損0.15 mm 而成。圖5為圓柱滾子軸承故障件。

圖5 圓柱滾子軸承故障件Fig.5 Faulty parts of the cylindrical roller bearing

試驗過程中，利用加速度傳感器采集圓柱滾子軸承三種典型狀態(tài)件在不同轉(zhuǎn)速下的振動信號。

本文的研究目的在于分析GST?SVD 方法應用于提取變工況下圓柱滾子軸承故障特征信息的可行性，因此，僅對傳感器A1 采集的振動信號進行分析。傳感器A1 垂直貼在變速箱輸出軸端箱蓋表面。

在變速箱處于三擋時進行信號采集，三擋齒輪傳動比為1.9286。采樣頻率為20 kHz，采樣點數(shù)為20000 個，負載為100 HP，輸入轉(zhuǎn)速分別設定為500，800，1000 和1200 r/min。

表2為本文選取的實驗數(shù)據(jù)集，A，B，C 和D 分別表示四種不同工況，每種工況隨機選取150個樣本（包含三種典型狀態(tài)件各50 個樣本），共600 個樣本。其中訓練集包含360個樣本、測試集包含240個樣本。

表2 實驗數(shù)據(jù)集Tab.2 Experimental data set

3.2 圓柱滾子軸承典型狀態(tài)件時頻特征分析

以變速箱處于三擋，輸入轉(zhuǎn)速為500 r/min，負載為100 HP 時，傳感器A1 檢測到的振動信號為例，對GST 應用于提取故障特征信息的有效性進行分析。圖6為傳感器A1 檢測到的圓柱滾子軸承三種典型狀態(tài)件振動信號波形圖。分別采用STFT，CWT，S 變換和GST 對傳感器A1 檢測到的實驗數(shù)據(jù)進行時頻分析，分析結(jié)果如圖7所示。

圖6 圓柱滾子軸承典型狀態(tài)件振動信號波形Fig.6 Vibration signal waveform of cylindrical roller bearing in typical state

根據(jù)文獻［28］中所提及的滾動軸承故障特征頻率計算公式計算，可得外圈故障頻率為31.32 Hz，滾動體故障頻率為14.34 Hz。如圖7（a）所示，采用STFT 對圓柱滾子軸承典型狀態(tài)件進行時頻分析，由于時間分辨率的限制難以有效識別沖擊信號特征。如圖7（b）所示，采用CWT 對圓柱滾子軸承典型狀態(tài)件進行時頻分析，沖擊信號頻率成分分辨率較低，存在能量泄露。如圖7（c）所示，采用S 變換對圓柱滾子軸承典型狀態(tài)件進行時頻分析，能夠有效識別電機輸入轉(zhuǎn)頻（8.333 Hz）、外圈故障頻率（31.0559 Hz）及滾動體故障頻率（14.34 Hz），但頻率分辨率較低。由圖7（d）可知，正常軸承的時頻譜圖中，在頻率軸約2237 Hz 處存在周期性沖擊特性，其周期約為0.1056 s，對應的頻率約為9.4697 Hz，剛好與電機輸入轉(zhuǎn)頻（8.333 Hz）相近，正常軸承時頻譜中不存在故障特征信息；外圈故障的時頻譜圖中，在頻率軸約2237 Hz 處存在周期性沖擊特性，其周期約為0.0322 s，對應的頻率約為31.0559 Hz，剛好與外圈故障頻率（31.32 Hz）相近；滾動體故障的時頻譜圖中，在頻率軸約2237 Hz 處存在周期性沖擊特性，其周期約為0.1053 和0.0657 s，對應的頻率約為9.4967 和15.2207 Hz，剛好與電機輸入轉(zhuǎn)頻（8.333 Hz）和滾動體故障頻率（14.34 Hz）相近。

圖7 不同時頻分析方法處理后獲得的時頻譜圖Fig.7 Time-frequency spectrum obtained by different time-frequency analysis methods

基于以上分析可知，GST 相較于傳統(tǒng)的時頻分析方法在沖擊信號時頻分辨率方面具有顯著的優(yōu)越性，且GST 時頻矩陣中包含了沖擊信號特征信息。

3.3 基于GST?SVD 的圓柱滾子軸承振動信號特征提取

采用GST 分別對實驗數(shù)據(jù)集600 個樣本進行時頻域轉(zhuǎn)換，將獲得的時頻矩陣作為特征矩陣，對特征矩陣進行SVD 分解，獲得特征矩陣的奇異值向量。圖8為實驗數(shù)據(jù)集600 個樣本的奇異值曲線圖。

由圖8可知，變工況下圓柱滾子軸承振動信號經(jīng)GST?SVD 處理后，獲得的奇異值向量具有較好的一致性和穩(wěn)定性，且每個特征矩陣所包含的特征信息可以由28 個奇異值向量表征。當軸承發(fā)生故障時，特征矩陣的奇異值數(shù)值大小發(fā)生了明顯的變化，因此，由多組奇異值向量組成的矩陣包含了原始振動信號中的故障特征信息，可作為變工況下圓柱滾子軸承不同狀態(tài)件狀態(tài)類型識別的特征參數(shù)。

圖8 變工況下圓柱滾子軸承振動信號經(jīng)GST-SVD 后獲得的奇異值曲線Fig.8 Singular value curve obtained by GST-SVD for signal of cylindrical roller bearing under variable operating conditions

3.4 圓柱滾子軸承振動信號狀態(tài)識別

將GST?SVD 所提煉出的特征參數(shù)輸入SVM。本文采用網(wǎng)格尋優(yōu)法對SVM 中的核函數(shù)參數(shù)c和懲罰函數(shù)g進行篩選，得到的最優(yōu)的h和p分別為1.4 和2.2。圖9為SVM 模型對變工況下圓柱滾子軸承不同狀態(tài)件的分類識別結(jié)果。標簽1～3 分別表示軸承正常、外圈故障和滾動體故障等軸承三種典型狀態(tài)。

由圖9可知，采用本文方法對不同轉(zhuǎn)速工況下圓柱滾子軸承進行診斷時，訓練集識別誤差為0，測試集識別誤差為2.083%。因此，采用本文方法可以有效實現(xiàn)變工況下圓柱滾子軸承故障診斷。

圖9 本文方法識別結(jié)果Fig.9 Identification results by the proposed method

3.5 方法對比

為了驗證本文提出的變工況下圓柱滾子軸承振動信號特征提取方法的優(yōu)越性和有效性，分別采用以下方法對變工況下圓柱滾子軸承進行故障特征提取。

（1）S 變換和SVD：首先采用S 變換將一維時域信號轉(zhuǎn)變成二維時頻矩陣，選取時頻矩陣作為特征矩陣；采用SVD 對特征矩陣進行分解，獲取表征不同故障類型的特征向量。

（2）局部均值分解（Local Mode Decomposi?tion，LMD）和SVD：采用LMD 分解原始信號，獲得若干生產(chǎn)函數(shù)（Product Functions，PFs）分量；采用SVD 對PFs 分量構(gòu)成的矩陣進行分解，獲取表征不同故障類型的特征向量［24］。

（3）小波包近似熵：選用db5 小波基函數(shù)對原始信號進行四層小波包分解，通過計算各層頻帶的近似熵得到特征向量［30］。

將上述特征提取方法提取的特征向量分別作為SVM 輸入，采用SVM 對變工況下圓柱滾子軸承三種典型狀態(tài)件進行分類識別，表3為不同特征提取方法的SVM 狀態(tài)識別結(jié)果。

表3 不同轉(zhuǎn)速工況下圓柱滾子軸承故障診斷模型的分類結(jié)果Tab.3 Classification results of fault diagnosis model for cylindrical roller bearings under different working conditions

由表3可知，本文所提出的方法能有效地提高圓柱滾子軸承故障狀態(tài)識別的效率和精度。

4 結(jié) 論

（1）構(gòu)造了非平穩(wěn)仿真信號模擬滾動軸承局部損傷引起的沖擊信號，采用STFT，CWT，S 變化和GST 分別對仿真信號進行時頻域轉(zhuǎn)換，驗證了GST相較于其他時頻分析方法具有更高的時頻分辨率。

（2）結(jié)合GST 和SVD 提出一種變工況下滾動軸承振動信號特征提取方法。搭建了某型特種車輛變速箱圓柱滾子軸承實驗臺架，在實驗臺架上采集了不同轉(zhuǎn)速下圓柱滾子軸承三種典型狀態(tài)件振動信號。采用本文方法對實驗獲得的振動信號進行分析，結(jié)果表明：該方法獲得的奇異值向量具有較好的一致性和穩(wěn)定性，由多組奇異值向量組成的矩陣包含了原始振動信號中的故障特征信息，可作為變工況下圓柱滾子軸承不同狀態(tài)件模式識別的特征參數(shù)。

（3）采用SVM 對不同特征提取方法提取的特征信息進行分類識別，結(jié)果表明：本文方法具有較高的識別精度和效率。