孫 璪

(貴州省遵義四中)

極值點(diǎn)偏移問題因?yàn)槠渚C合性強(qiáng)、難度大,經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)在高考試卷中.面對(duì)復(fù)雜多變的極值點(diǎn)偏移問題,應(yīng)總結(jié)處理該問題的通性通法.本文以2022年全國(guó)甲卷理科第21題為例,總結(jié)解決極值點(diǎn)偏移問題的方法.處理極值點(diǎn)偏移問題一般有四種解法:構(gòu)造輔助函數(shù)法、對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)、對(duì)數(shù)均值不等式、雙變量齊次化構(gòu)造.四種方法各有優(yōu)劣,其中構(gòu)造輔助函數(shù)和對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移問題的通法,是從“形”的角度解決問題.對(duì)數(shù)均值不等式是優(yōu)法,通過進(jìn)一步優(yōu)化構(gòu)造函數(shù)的方法把極值點(diǎn)偏移問題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均的問題,是從“數(shù)”的角度解決問題.雙變量齊次化構(gòu)造是妙法,通過引入?yún)?shù)t減元,將其轉(zhuǎn)化為單變量不等式問題,最后結(jié)合分析法證明不等式.

例1已知函數(shù).證明:若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則x1x2＜1.

分析lnx－a,令x－lnx＝t,則g(t)＝et＋t－a(t≥1),故f(x)是以t(x)＝x－lnx(x＞0)為內(nèi)層函數(shù),g(t)＝et＋t－a(t≥1)為外層函數(shù)的復(fù)合函數(shù).又t(x)＝x－lnx在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,g(t)＝et＋t－a在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,且fmin(x)＝f(1)＝e＋1－a,則當(dāng)f(1)＜0,即e＋1＜a時(shí),存在x1,x2,使得f(x1)＝f(x2)＝0.

1 構(gòu)造函數(shù)——輔助函數(shù)

對(duì)于例1可以通過構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－直接證明,詳細(xì)證明如下.

點(diǎn)評(píng)構(gòu)造輔助函數(shù)的核心是把要證問題中的多元變量不等式x1x2＜1轉(zhuǎn)化為證明單元變量不等式),即判斷h(x)＝f(x)－與0的大小關(guān)系.該方法通過構(gòu)造函數(shù)巧妙地把多變量問題轉(zhuǎn)為化為單變量問題,但是在探究輔助函數(shù))與0的大小關(guān)系時(shí),由于原函數(shù)f(x)的解析式比較復(fù)雜,導(dǎo)致輔助函數(shù)h(x)解析式更為復(fù)雜,從而成為學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn).因此在后面的方法中進(jìn)一步轉(zhuǎn)化問題,簡(jiǎn)化函數(shù).

轉(zhuǎn)化問題此題可轉(zhuǎn)化為內(nèi)層函數(shù)t(x)＝xlnx的極值點(diǎn)偏移問題,由題目分析可知:若a＞e＋1,外層函數(shù)g(t)＝et＋t－a在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,則存在唯一的實(shí)數(shù)t0∈(1,＋∞)使得g(t0)＝0;又因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)t(x)＝x－lnx在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,則例1可轉(zhuǎn)化為例2.

2 數(shù)形結(jié)合——對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)

2.1 極值點(diǎn)偏移的本質(zhì)

從形的角度看,如果一個(gè)函數(shù)關(guān)于x＝a(其中a為函數(shù)的極值點(diǎn))對(duì)稱,則該函數(shù)不會(huì)發(fā)生極值點(diǎn)偏移.而一旦出現(xiàn)如圖1、圖2所示的情況,則會(huì)發(fā)生極值點(diǎn)偏移,其中圖1(快減慢增)極值點(diǎn)左偏,即a＜,圖2(慢減快增)極值點(diǎn)右偏,即

如圖1所示,函數(shù)f(x)在x＝a左側(cè)切線斜率變化速率比右側(cè)變化速率快,極值點(diǎn)向左偏移,圖像“左快右慢,單峰不對(duì)稱”,對(duì)于任意x＞0,f(a－x)＞f(a＋x),若f(x1)＝f(x2),且x1＜a＜x2,令ax＝x1,則a＋x＝2a－x1(2a－x1＞a),則f(x1)＝f(x2)＞f(2a－x1),由f(x)在(a,＋∞)上單調(diào)遞增可知x2＞2a－x1,即x1＋x2＞2a.

圖1

如圖2所示,函數(shù)f(x)在x＝a左側(cè)切線斜率變化速率比右側(cè)變化速率慢,極值點(diǎn)向右偏移,圖像“左慢右快,單峰不對(duì)稱”,對(duì)于任意x＞0,f(a－x)＜f(a＋x),若f(x1)＝f(x2),且x1＜a＜x2,令a＋x＝x2,則a－x＝2a－x2(2a－x2＜a),則f(2a－x2)＜f(x1)＝f(x2),由f(x)在(－∞,a)上單調(diào)遞減可知x1＜2a－x2,即x1＋x2＜2a.

圖2

若f(x)＝c的兩個(gè)解分別是x1,x2,且x1＜a＜x2,要證明x1＋x2＞2a或x1＋x2＜2a,實(shí)質(zhì)上是證明極值點(diǎn)左偏或右偏的問題.證明此類問題的本質(zhì)就是對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)將自變量轉(zhuǎn)移到極值點(diǎn)的同側(cè),再利用單調(diào)性比較大小.

2.2 對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)解題

例2對(duì)于函數(shù)t(x)＝x－lnx,若存在0＜x1＜1＜x2,使得t(x1)＝t(x2)＝t0,證明:x1x2＜1.

證明由于0＜x1＜1＜x2,要證x1x2＜1,即證lnx1x2＜ln1＝0,即lnx1＋lnx2＜0,令lnx＝z(z∈R),則x＝ez,函數(shù)t(x)＝x－lnx轉(zhuǎn)化為新函數(shù)m(z)＝ez－z(z∈R),函數(shù)m(z)在(－∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,則問題轉(zhuǎn)化為存在z1＝lnx1＜ln1＜lnx2＝z2,即z1＜0＜z2,使得m(z1)＝m(z2),故只需證明z1＋z2＜0.函數(shù)m(z)的圖像如圖3所示.

圖3

構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)h(x)＝m(x)－m(－x)(x＞0),下面比較h(x)與h(0)＝0的大小.由于

即h′(x)＝ex－1＋e－x－1＝ex＋e－x－2＞0,h(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,則h(x)＞h(0)＝0.當(dāng)x＞0時(shí),m(x)－m(－x)＞0,即m(x)＞m(－x).令x＝z2,則m(z2)＞m(－z2),又m(z1)＝m(z2),即m(z1)＞m(－z2).又m(z)在(－∞,0)上單調(diào)遞減,故z1＜－z2,即z1＋z2＜0.因此,x1x2＜1成立.

2.3 對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)解決極值點(diǎn)偏移問題的推廣

圖4

圖5

3 代數(shù)變形——對(duì)數(shù)均值不等式

從上面的分析可知,證明x1＋x2＜a(＞a),都是雙變?cè)牟坏仁絾栴},從不等式的結(jié)構(gòu)可以看出涉及算數(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均、平方平均等,因此極值點(diǎn)偏移的問題可考慮對(duì)數(shù)均值不等式.

3.1 對(duì)數(shù)均值不等式

兩個(gè)正數(shù)a和b的對(duì)數(shù)平均數(shù)的定義如下:

證明當(dāng)a＝b時(shí),等號(hào)顯然成立.

3.2 利用對(duì)數(shù)均值不等式解題

在處理原函數(shù)中含有ex或lnx的極值點(diǎn)偏移問題時(shí),可通過取自然對(duì)數(shù)等適當(dāng)變形,將原問題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)均值不等式模型,將不同的問題化歸為同一類型,這樣可以簡(jiǎn)化解題過程,利用對(duì)數(shù)均值不等式證明例2的具體解法如下.

對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)與對(duì)數(shù)均值不等式解決極值點(diǎn)偏移問題實(shí)質(zhì)上都是把兩個(gè)變?cè)牟坏仁睫D(zhuǎn)化為一元問題求解,本質(zhì)上都是構(gòu)造函數(shù).對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)是利用對(duì)稱性構(gòu)造函數(shù),對(duì)數(shù)均值不等式解法是利用捆綁構(gòu)造函數(shù)(證明對(duì)數(shù)均值不等式的方法).但是如果不能找到題目中的極值點(diǎn),對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)就失效了,此時(shí)可利用對(duì)數(shù)均值不等式來(lái)解決.

4 轉(zhuǎn)化化歸——雙變量齊次化構(gòu)造

對(duì)于極值點(diǎn)偏移問題,可以考慮依據(jù)已知條件f(x1)＝f(x2)列方程組,通過兩式作差或作商消去參數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為只含x1,x2的式子,再利用比值換元)或差值換元(即t＝x1－x2)化歸為關(guān)于t的函數(shù)解題.

以下利用比值換元法和差值換元法證明例2.

4.1 比值換元法

4.2 差值換元法

上面兩種解法都是巧引參數(shù)t,通過對(duì)含有x1,x2的方程組變形分別得到x1,x2關(guān)于參數(shù)t的等量關(guān)系式,最后從結(jié)論入手,結(jié)合分析法進(jìn)行證明.這種利用比值換元和差值換元(x1－x2＝t)將x1,x2統(tǒng)一為只含變量t的關(guān)系式的方法是一種常見的減元方法,通過換元將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題.該解法沒有分析原函數(shù)的圖像性質(zhì),而是另辟蹊徑構(gòu)造關(guān)于參數(shù)t的函數(shù),進(jìn)而將要證問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)進(jìn)行證明.只要找到x1,x2關(guān)于參數(shù)t的等量關(guān)系,不僅可以證明對(duì)稱結(jié)構(gòu)x1x2＜a(＞a),x1＋,對(duì)于不對(duì)稱的結(jié)構(gòu)ax1＋bx2＞c(＜c),alnx1＋blnx2＞c(＜c),也可進(jìn)行證明.但是此方法也存在一定的局限性,即有些題目無(wú)法順利找到x1,x2關(guān)于參數(shù)t的等量關(guān)系.

(完)