第五鵬祥 張 瀟 李彥閱 李阿巧 趙旭東 李俊鍵

(1.中國(guó)石油大學(xué)(北京)理學(xué)院 北京 102249； 2.中海石油(中國(guó))有限公司天津分公司 天津 300452；3.中國(guó)石油大學(xué)(北京)石油工程學(xué)院 北京 102249)

致密油藏中普遍存在不同發(fā)育程度的裂縫，水力壓裂和高壓注水使裂縫互相溝通，容易在注采井間形成裂縫網(wǎng)絡(luò)[1]。注入水在井間裂縫網(wǎng)絡(luò)內(nèi)低效-無(wú)效循環(huán)，導(dǎo)致采油井見(jiàn)水時(shí)間提前、含水上升速度加快，出現(xiàn)嚴(yán)重的水竄現(xiàn)象，限制致密油藏注水開發(fā)效果[2]。準(zhǔn)確地量化導(dǎo)致注入水竄流的井間裂縫網(wǎng)絡(luò)，既是提高水驅(qū)開發(fā)效果的重要工作，也為后續(xù)介入提高采收率技術(shù)提供油藏地質(zhì)認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)[3]。

裂縫靜態(tài)反演技術(shù)利用地震、測(cè)井等資料，可以得到儲(chǔ)層裂縫發(fā)育情況，能夠回答儲(chǔ)層中裂縫多少的問(wèn)題。目前致密油藏裂縫靜態(tài)反演可總結(jié)為基于井點(diǎn)裂縫參數(shù)的插值法、基于地震數(shù)據(jù)的裂縫分布預(yù)測(cè)方法和多參數(shù)智能判斷方法。直接插值法利用井點(diǎn)處巖心觀察、薄片分析、測(cè)井等得到的裂縫數(shù)據(jù)，結(jié)合地震資料約束，通過(guò)插值預(yù)測(cè)儲(chǔ)層裂縫的井間分布[4-6]?；诘卣饠?shù)據(jù)的裂縫分布預(yù)測(cè)方法通過(guò)計(jì)算地層曲率、巖石破裂值、古構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)等，對(duì)儲(chǔ)層裂縫分布進(jìn)行預(yù)測(cè)[7]，主要包括曲率法[8]、能量法與巖石破裂法(二元法)[9]、地震法[10-11]、構(gòu)造應(yīng)力場(chǎng)數(shù)值模擬法[12]等。多參數(shù)智能判斷方法綜合井點(diǎn)裂縫參數(shù)、巖石材料參數(shù)和應(yīng)力場(chǎng)資料，以解決裂縫發(fā)育影響因素眾多帶來(lái)的反演問(wèn)題[13-16]。上述方法的基本思想是根據(jù)靜態(tài)資料反映的裂縫參數(shù)，反演儲(chǔ)層裂縫分布，得到的是油藏投產(chǎn)初始狀態(tài)的裂縫分布特征。

對(duì)于致密油藏水竄問(wèn)題，不但需要量化井間裂縫網(wǎng)絡(luò)規(guī)模，即注采井間裂縫多少的問(wèn)題；而且需要明確井間裂縫網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出的滲流能力，即注采井間裂縫開度和連通關(guān)系的問(wèn)題。由于致密油藏一般注水壓力高，水驅(qū)過(guò)程中裂縫常會(huì)膨脹、延伸[17]和轉(zhuǎn)向[18]，形成誘導(dǎo)裂縫[1]。趙向原 等明確了注水誘導(dǎo)裂縫(Waterflood Induced Fracture)的概念，這種裂縫是在長(zhǎng)期注水開發(fā)過(guò)程中，當(dāng)注水壓力超過(guò)裂縫開啟壓力或地層破裂壓力而形成的[1]。誘導(dǎo)裂縫使得儲(chǔ)層裂縫分布異于初始狀態(tài)[19]，裂縫連通關(guān)系得到改善[20]。同時(shí)，采油井和注入井近井地帶地應(yīng)力場(chǎng)會(huì)重新分布，導(dǎo)致裂縫閉合或裂縫轉(zhuǎn)向的情況[21]。注水開發(fā)過(guò)程中井點(diǎn)裂縫參數(shù)和地應(yīng)力場(chǎng)都會(huì)發(fā)生變化，井間誘導(dǎo)裂縫生成于重分布的地應(yīng)力場(chǎng)，擴(kuò)展方向和裂縫參數(shù)異于天然裂縫。因此，需要建立一種致密油藏井間裂縫網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)反演方法，解決水驅(qū)過(guò)程中裂縫分布和連通關(guān)系發(fā)生變化后帶來(lái)的量化難題，實(shí)現(xiàn)井間裂縫網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和滲流能力特征參數(shù)的量化。

綜上，針對(duì)致密油藏水驅(qū)開發(fā)中井間裂縫網(wǎng)絡(luò)量化的需求，設(shè)計(jì)以低效-無(wú)效循環(huán)注入水反演井間裂縫動(dòng)態(tài)特征參數(shù)的思路。首先綜合考慮裂縫開度的隨機(jī)性質(zhì)和形態(tài)的二叉樹特征，建立了致密油藏水驅(qū)中井間裂縫網(wǎng)絡(luò)物理模型；然后構(gòu)建了注入水運(yùn)移數(shù)學(xué)模型并解析求解；最后開展了井間裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)反演的實(shí)例應(yīng)用，討論了致密油藏水驅(qū)過(guò)程井間裂縫分布特征。本文實(shí)現(xiàn)了基于動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的井間等效裂縫形態(tài)、數(shù)量和開度量化，為提高致密油藏水驅(qū)開發(fā)效果提供了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

1 井間裂縫網(wǎng)絡(luò)的物理模型

1.1 井間裂縫的形態(tài)特征

水力壓裂在近井地帶形成天然裂縫和壓裂裂縫溝通的裂縫網(wǎng)絡(luò)，高壓注水則會(huì)形成以水井為中心的高滲透性開啟大裂縫或快速水流通道[22]，并指向采油井方向[23-24]，形成由誘導(dǎo)裂縫溝通形成的致密油藏水竄通道。假設(shè)若干條溝通的裂縫構(gòu)成了注采井間的裂縫網(wǎng)絡(luò)。通過(guò)分析井間溝通裂縫的分布特征，明確單條裂縫和井間裂縫網(wǎng)絡(luò)的形態(tài)特征。

1)井間溝通裂縫可近似為二叉樹模型。

由于儲(chǔ)層改造和高壓注入，近井地帶裂縫發(fā)育且開度較大，井間地帶裂縫開度較小，井間溝通裂縫形態(tài)類似“從樹干逐漸擴(kuò)展到連接的樹枝”[13，25]。因此可選用二叉樹模型描述井間溝通裂縫形態(tài)，二叉樹模型中每級(jí)裂縫單元的分叉角度、開度比、長(zhǎng)度比和縱橫比為常數(shù)[26]。在高壓控制下，當(dāng)裂縫交點(diǎn)的流體壓力大于作用在天然裂縫面上的正應(yīng)力時(shí)，天然裂縫將發(fā)生膨脹，使裂縫暫時(shí)偏離垂直最小主應(yīng)力方向[27]。裂縫延伸方向和垂直最小主應(yīng)力方向形成交叉，構(gòu)成一個(gè)二叉樹結(jié)構(gòu)[28-29]。鄂爾多斯盆地王窯區(qū)延長(zhǎng)組的高角度天然裂縫在平面上呈雁列式排列，相鄰的兩條裂縫之間有較小的間距，單條裂縫在平面上的伸展長(zhǎng)度有限，連通關(guān)系近似二叉樹裂縫[20]。

2)井間溝通裂縫的開度近似服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

受儲(chǔ)層本身性質(zhì)及應(yīng)力大小的影響，井間溝通裂縫之間開度的差異較大。礦場(chǎng)中采油井見(jiàn)水時(shí)間和水淹類型各不相同[30]，也間接證明了開度的差異性。為描述井間溝通裂縫開度的分布，統(tǒng)計(jì)學(xué)是一個(gè)首選的方法[31]。自1997年SPE和SEC聯(lián)合頒布規(guī)定承認(rèn)概率法儲(chǔ)量評(píng)估結(jié)果以來(lái)，概率法目前已被國(guó)內(nèi)外很多石油公司采用[32]。在地質(zhì)統(tǒng)計(jì)和砂巖儲(chǔ)層滲透率分布規(guī)律研究中，普遍認(rèn)可小層滲透率符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布[33]。由于裂縫的滲流能力實(shí)際由裂縫的張開程度決定，因此也可認(rèn)為井間溝通裂縫的開度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

3)井間溝通裂縫是高角度的且貫穿注采井間。

由于致密儲(chǔ)層的巖石脆性程度大，在應(yīng)力場(chǎng)的作用下容易產(chǎn)生高角度裂縫[1]。例如鄂爾多斯盆地安塞南部地區(qū)，構(gòu)造擠壓作用在巖石中形成了大量的高角度裂縫。高壓注水下高角度裂縫開啟，并在最大主應(yīng)力方向延伸，形成近乎垂直且延伸規(guī)模大的井間裂縫網(wǎng)絡(luò)。

4)井間溝通裂縫貫穿儲(chǔ)層，高度為儲(chǔ)層厚度。

野外露頭、巖心觀察及實(shí)驗(yàn)分析表明，在碎屑巖能干層與非能干層互層(如砂泥巖互層)的地層中，不同巖性層對(duì)應(yīng)不同的巖石力學(xué)層，裂縫大多數(shù)終止于層面[27]。

綜上，致密油藏水驅(qū)井間裂縫網(wǎng)絡(luò)近似為高角度、延伸長(zhǎng)、貫穿儲(chǔ)層和開度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的二叉樹裂縫模型。單條井間溝通裂縫由一對(duì)二叉樹裂縫組成(圖1a)，單個(gè)二叉樹裂縫中(圖1a單側(cè)部分)包含m級(jí)裂縫單元，即二叉樹裂縫的深度為m。第i級(jí)裂縫單元的開度、高度和長(zhǎng)度分別為bi、hi、li，且裂縫開度bi是服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。井間裂縫網(wǎng)絡(luò)由n組二叉樹裂縫對(duì)組成(圖1b)，第1級(jí)裂縫單元由n條井間溝通裂縫組成，開度為nb1。

圖1 井間裂縫網(wǎng)絡(luò)物理模型示意圖(注采井位于兩側(cè))

1.2 井間裂縫網(wǎng)絡(luò)的假設(shè)

基于井間裂縫網(wǎng)絡(luò)由若干組二叉樹裂縫組成的物理模型，建立注入水在井間裂縫網(wǎng)絡(luò)中流動(dòng)的假設(shè)條件。

1)注采井間由二叉樹裂縫對(duì)溝通，二叉樹裂縫對(duì)由2條二叉樹裂縫相對(duì)組成(圖1a)，n條二叉樹裂縫對(duì)組成井間裂縫網(wǎng)絡(luò)(圖1b)。

2)二叉樹裂縫中每級(jí)裂縫單元開度是隨機(jī)變量，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

3)二叉樹裂縫中每級(jí)裂縫單元的分叉角度、開度比、長(zhǎng)度比和縱橫比為常數(shù)。

4)每組二叉樹裂縫對(duì)的兩端壓差相等。

5)采油井定液量生產(chǎn)，其產(chǎn)水量包括井間裂縫網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)水和基質(zhì)產(chǎn)水。

6)井間裂縫網(wǎng)絡(luò)的流動(dòng)中，忽略油水流度差異和重力、毛管力作用。

2 二叉樹裂縫開度概率密度函數(shù)和等效滲透率

物理模型中假設(shè)井間裂縫網(wǎng)絡(luò)由若干組二叉樹裂縫組成，且二叉樹裂縫的開度是服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。因此，建立二叉樹裂縫開度的概率密度函數(shù)和等效滲透率表達(dá)式，為后續(xù)井間裂縫網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)水模型推導(dǎo)提供參數(shù)方程。

2.1 二叉樹裂縫開度概率密度函數(shù)

根據(jù)假設(shè)條件(2)，二叉樹裂縫每級(jí)裂縫單元的開度皆服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。實(shí)際儲(chǔ)層中，裂縫開度存在最小值0和最大值bmax，即在(0，bmax]內(nèi)累積概率為1。在區(qū)間(0，bmax]內(nèi)歸一化對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，得到二叉樹裂縫開度的概率密度函數(shù)f(b)。

(1)

2.2 二叉樹裂縫滲透率表征

由于二叉樹裂縫對(duì)是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，選取單條二叉樹裂縫建立滲透率表達(dá)式。首先分別求取二叉樹裂縫兩端壓差、平均滲流面積，然后利用達(dá)西定律得到二叉樹裂縫的等效滲透率表達(dá)式。

1)二叉樹裂縫空間形態(tài)表征。

對(duì)于單條二叉樹裂縫(圖1a單側(cè)部分)，其深度為m，第i級(jí)裂縫單元的開度、高度和長(zhǎng)度分別為bi、hi、li。根據(jù)假設(shè)條件(3)，二叉樹裂縫開度比、長(zhǎng)度比和縱橫比系數(shù)可表示為

β=bi+1/bi

(2)

γ=li+1/li

(3)

λ=hi/bi

(4)

式(2)～(4)中：β、γ、λ分別為二叉樹裂縫的開度比、長(zhǎng)度比和縱橫比，為常數(shù)；bi+1、bi分別為第i+1、i級(jí)裂縫單元的開度,i=1,2,…,m;m為二叉樹裂縫的深度；li+1、li分別為第i+1、i級(jí)裂縫單元的長(zhǎng)度；hi為第i級(jí)單元的裂縫高度。

因此，第i級(jí)裂縫單元的開度、高度和長(zhǎng)度均可以由第1級(jí)裂縫單元的參數(shù)表示。

bi=b1βi-1

(5)

hi=λb1βi-1

(6)

li=l1γi-1

(7)

式(5)～(7)中：b1、l1分別為第1級(jí)單元的裂縫開度、長(zhǎng)度。

2)二叉樹裂縫兩端壓差表征。

二叉樹裂縫由m級(jí)裂縫單元組成，第i級(jí)裂縫單元壓差Δpi之和即為二叉樹裂縫兩端壓差Δpt?？紤]第i級(jí)裂縫單元的粗糙度和迂曲度，將第i級(jí)裂縫單元的滲透率Ki表示為

(8)

式(8)中：Ki為第i級(jí)單元的裂縫滲透率；c為粗糙度和迂曲度對(duì)裂縫滲透率的影響系數(shù)，取0.75[34]。

當(dāng)單條二叉樹裂縫中流量為q時(shí)，由于第i級(jí)單元中共有2i-1條裂縫(i=1,2,…,m)，則可根據(jù)物理模型假設(shè)條件(4)～(6)，利用達(dá)西定律和式(8)將第i級(jí)單元兩端對(duì)應(yīng)壓差Δpi表示為

(9)

式(9)中：Δpi為單條二叉樹裂縫中第i級(jí)裂縫單元兩端的壓差；負(fù)號(hào)表示消耗；q為單條二叉樹裂縫中的流量；μ為二叉樹裂縫中流體平均黏度。因此，單條二叉樹裂縫兩端的壓差Δpt可表示為

(10)

式(10)中：Δpt為單條二叉樹裂縫兩端的壓差。

3)二叉樹裂縫平均滲流截面積表征。

首先求取二叉樹裂縫總體積V與總距離l，然后利用二者之商構(gòu)造二叉樹裂縫平均滲流截面積。第i級(jí)單元中共有2i-1條裂縫(i=1,2,…,m)，單條二叉樹裂縫第i級(jí)裂縫單元的體積Vi可表示為

(11)

式(11)中：Vi為單條二叉樹裂縫第i級(jí)裂縫單元的體積。因此，單條二叉樹裂縫的總體積V可表示為m級(jí)裂縫單元體系的總和。

(12)

式(12)中：V為單條二叉樹裂縫的總體積。

如圖1b所示，二叉樹裂縫的第1級(jí)裂縫單元沿注采方向，其他裂縫單元與注采方向存在夾角，所以二叉樹裂縫的總距離l可表示為第1級(jí)單元長(zhǎng)度與其他單元長(zhǎng)度之和。

(13)

式(13)中：l為單條二叉樹裂縫的總距離；θ為二叉樹裂縫分叉角度(θ<90°)，為常數(shù)。

根據(jù)體積相等原則，單條二叉樹裂縫的平均滲流截面積A可表示為總體積V與總距離l之商。

(14)

式(14)中：A為單條二叉樹裂縫的平均滲流截面積。

4)二叉樹裂縫等效滲透率表征。

將二叉樹裂縫兩端壓差Δpt、總距離l和平均滲流截面積A代入達(dá)西定律，得到單條二叉樹裂縫等效滲透率K的表達(dá)式。

(15)

式(15)中：K為單條二叉樹裂縫的等效滲透率。如式(15)所示，二叉樹裂縫等效滲透率K是第1級(jí)裂縫單元開度b1、二叉樹裂縫分叉角度θ、開度比β、長(zhǎng)度比γ、二叉樹裂縫級(jí)數(shù)m的函數(shù)。當(dāng)二叉樹裂縫退化為單條平板縫，即m=1、c=1時(shí)，式(15)退化為立方法則。

令X為式(15)中包含裂縫滲透率影響系數(shù)c、二叉樹裂縫分叉角度θ、開度比β、長(zhǎng)度比γ和二叉樹裂縫深度m的參數(shù)團(tuán)，則單條二叉樹裂縫的等效滲透率K可表示為修正的立方法則形式。

(16)

3 井間裂縫網(wǎng)絡(luò)反演模型和方法

3.1 數(shù)學(xué)建模

1)井間裂縫網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)水量模型。

如假設(shè)條件(2)所述，二叉樹裂縫第1級(jí)裂縫單元開度b1是服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，定義域?yàn)?0，bmax]。所以，第1級(jí)裂縫單元開度值為b的裂縫條數(shù)應(yīng)為nf(b)，橫截面積為nf(b)hb。第1級(jí)裂縫單元開度為b的二叉樹裂縫的總產(chǎn)水量可表示為

(17)

式(17)中：q(b)為第1級(jí)裂縫單元開度為b的二叉樹裂縫總產(chǎn)水量；n為井間誘導(dǎo)裂縫總條數(shù)；h為裂縫高度；Δp為注采壓差；L為注采井距。

水驅(qū)過(guò)程中，注入水將首先沿開度最大的裂縫到達(dá)采油井井底，然后依裂縫開度大小依次到達(dá)采油井井底，使得采油井產(chǎn)水量逐漸增大。在采油井見(jiàn)水后的時(shí)刻t，假設(shè)第1級(jí)裂縫單元開度大于b(t)的裂縫已完全被注入水占據(jù)。對(duì)第1級(jí)裂縫單元開度大于b(t)的裂縫產(chǎn)水量求和，可得到見(jiàn)水后井間裂縫網(wǎng)絡(luò)總產(chǎn)水量Qw(t)。

(18)

式(18)中：Qw(t)為采油井見(jiàn)水后井間裂縫網(wǎng)絡(luò)在時(shí)刻t的總產(chǎn)水量；t為注水時(shí)間，t=0為開始注水的時(shí)刻；t1為采油井含水開始上升的時(shí)刻；bmax、b(t)分別為被注入水占據(jù)的裂縫中第1級(jí)裂縫單元最大開度、時(shí)刻t被注入水占據(jù)的裂縫中最小的第1級(jí)單元開度。

(19)

(20)

裂縫開度b是連續(xù)型隨機(jī)變量，將概率密度函數(shù)代入式(18)并在裂縫開度范圍內(nèi)作積分，得到見(jiàn)水后井間裂縫網(wǎng)絡(luò)總產(chǎn)水量模型。

(21)

2)采油井理論含水率模型。

基于假設(shè)條件(5)，令采油井產(chǎn)液量為Q。利用井間裂縫網(wǎng)絡(luò)總產(chǎn)水量Qw(t)與采油井產(chǎn)液量Q之商，得到采油井見(jiàn)水后理論含水率的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

(t≥t1)

(22)

式(22)中：fw(t)為采油井見(jiàn)水后t時(shí)刻的理論含水率；fw0為油藏初始含水飽和度對(duì)應(yīng)的含水率，fw0=Qw0/Q；Qw0為采油井產(chǎn)出的地層水量，為常數(shù)；Q為采油井產(chǎn)液量。

利用泰勒級(jí)數(shù)、誤差函數(shù)性質(zhì)和換元法，t時(shí)刻采油井見(jiàn)水后理論含水率的解析表達(dá)式可表示為

(23)

式(23)中：efrc()為互補(bǔ)誤差函數(shù)。

3)限制條件。

根據(jù)裂縫開度和含水率的物理意義，采油井理論含水率模型的限制條件應(yīng)包括：①裂縫開度的期望和方差大于0且期望小于bmax；②理論含水率在(fw0，1]內(nèi)。

裂縫開度b的期望E(b)和方差D(b)恒大于0，所以限制條件①對(duì)應(yīng)不等式如式(24)所示。

(24)

(25)

(26)

3.2 井間裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)影響規(guī)律分析

表1 敏感性分析基礎(chǔ)數(shù)據(jù)表

1)第1級(jí)裂縫單元開度的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差影響規(guī)律。

當(dāng)?shù)?級(jí)裂縫單元開度的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σ從0.02增至0.10，對(duì)應(yīng)理論含水率曲線如圖2所示。隨著σ增大，理論含水率的上升形狀逐漸變緩，最大含水率有較小幅度上升。當(dāng)裂縫開度的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σ增大時(shí)，裂縫開度服從的對(duì)數(shù)正態(tài)分布變得平緩(圖3)，裂縫開度分布范圍變廣，因此理論含水率上升速度變緩。同時(shí)，根據(jù)裂縫開度期望E(b)的定義式(式(24))，σ增大時(shí)E(b)存在較小幅度的增加，導(dǎo)致最大含水率略有上升。

圖2 第1級(jí)裂縫單元開度取不同對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)得到的理論含水率曲線

圖3 第1級(jí)裂縫單元開度取不同對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)得到的概率分布

2)第1級(jí)裂縫單元開度的對(duì)數(shù)均值影響規(guī)律。

圖4 第1級(jí)裂縫單元開度取不同對(duì)數(shù)均值時(shí)得到的理論含水率曲線

3)井間誘導(dǎo)裂縫條數(shù)n影響規(guī)律。

當(dāng)井間誘導(dǎo)裂縫條數(shù)n從1 000增至3 000，對(duì)應(yīng)理論含水率曲線如圖5所示。隨著n增大，理論含水率的最大值單調(diào)遞增。這是由于當(dāng)n增大時(shí)，井間裂縫網(wǎng)絡(luò)內(nèi)產(chǎn)水流量對(duì)應(yīng)增加，從而最大含水率上升。

圖5 取不同井間誘導(dǎo)裂縫條數(shù)時(shí)得到的理論含水率曲線

3.3 井間裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)反演次序確定

影響規(guī)律分析結(jié)果顯示，裂縫開度的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σ主要影響含水率曲線的上升形狀，裂縫開度的對(duì)數(shù)均值主要影響含水率曲線的上升時(shí)間和最大值，井間誘導(dǎo)裂縫條數(shù)n主要影響含水率曲線的最大值。因此，推薦的井間裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)反演次序?yàn)椋菏紫日{(diào)整裂縫開度的對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σ擬合上升形狀，然后調(diào)整裂縫開度的對(duì)數(shù)均值擬合上升時(shí)間，最后調(diào)整井間誘導(dǎo)裂縫條數(shù)n擬合最大值。上述參數(shù)反演次序基本實(shí)現(xiàn)了曲線特征與反演參數(shù)的一一對(duì)應(yīng)，能大幅降低反演方法的多解性。

4 算例應(yīng)用結(jié)果與分析

4.1 井間裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)反演結(jié)果

1)井間裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)反演。

表2 井間裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)反演基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

表3 井間裂縫網(wǎng)絡(luò)特征參數(shù)量化結(jié)果

圖6 W1井含水率擬合曲線

2)反演結(jié)果多解性分析。

井間裂縫網(wǎng)絡(luò)反演的多解性一般來(lái)自兩處，一是二叉樹裂縫參數(shù)的不確定性，二是含水率曲線擬合時(shí)的多解性。在含水率曲線擬合中，推薦的參數(shù)反演次序已經(jīng)大幅降低了擬合過(guò)程的多解性。因此，二叉樹裂縫參數(shù)的不確定性是反演多解性的主要原因。

圖7 W2井含水率擬合曲線

圖8 W3井含水率擬合曲線

以W2井為例，分析不同二叉樹裂縫參數(shù)時(shí)反演結(jié)果的變化情況。若二叉樹裂縫開度沿井距變化較小，即每級(jí)裂縫單元的開度接近時(shí)，例如裂縫開度比β=0.8、長(zhǎng)度比γ=0.8、裂縫級(jí)數(shù)m=22、分叉角度θ=45°，采用推薦的反演次序，得到井間裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)如表4所示。W2井對(duì)應(yīng)井間裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)反演結(jié)果顯示(表3、4)，當(dāng)井間二叉樹裂縫各級(jí)單元開度變得接近時(shí)，W2井對(duì)應(yīng)的第1級(jí)裂縫單元平均開度E(b)從108 μm降至12 μm，二叉樹裂縫條數(shù)從78條增至750條，對(duì)近井地帶裂縫的認(rèn)識(shí)從大縫降至中縫。

表4 二叉樹裂縫單元開度接近時(shí)量化結(jié)果

致密儲(chǔ)層中，近井地帶往往存在壓裂縫溝通或高壓注入溝通的裂縫網(wǎng)絡(luò)，井距中部地帶未被壓裂等措施改造且壓力梯度整體較低，因此可認(rèn)為井間誘導(dǎo)裂縫開度沿井距變化較大，即表1中的二叉樹裂縫參數(shù)相對(duì)合理、表3中反演結(jié)果更為可信。

4.2 近井地帶裂縫分布特征分析

以第1級(jí)裂縫單元為代表，分析3口單井近井裂縫開度分布區(qū)間、半長(zhǎng)和裂縫級(jí)別。利用反演得到的裂縫特征參數(shù)，計(jì)算得到了第1級(jí)裂縫單元開度期望、分布區(qū)間和長(zhǎng)度，并和試井、調(diào)剖動(dòng)態(tài)進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證(表5)。結(jié)果顯示，W1、W2和W3井的近井地帶分別發(fā)育小縫—大縫、大縫和中縫。

表5 第1級(jí)裂縫單元參數(shù)分析結(jié)果

1)近井井間裂縫開度分布特征。

利用反演結(jié)果(表3)和概率密度函數(shù)(式(1))，分別計(jì)算得到W1、W2和W3井對(duì)應(yīng)的第1級(jí)裂縫開度概率(圖9a)和對(duì)應(yīng)條數(shù)分布(圖9b)。以裂縫開度對(duì)應(yīng)條數(shù)不小于1條作為區(qū)間截?cái)鄻?biāo)準(zhǔn)，得到3口單井第1級(jí)裂縫開度分布區(qū)間依次為[3,175]、[102,114]和[52,67](單位為μm)，區(qū)間距離依次為173、13、16 μm，區(qū)間距離的大小關(guān)系和含水率上升持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)短吻合。反演得到的3口單井第1級(jí)裂縫開度對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差依次為1、0.025、0.04，對(duì)應(yīng)含水率上升階段持續(xù)時(shí)間分別為90、10、80 d。結(jié)果顯示裂縫開度對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差越大，含水率上升階段越長(zhǎng)。究其物理原因，裂縫開度對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差越大時(shí)，裂縫開度分布范圍越廣，注入水沿著裂縫到達(dá)采油井底的時(shí)間差異越大，因此表現(xiàn)出含水率上升階段持續(xù)更久。

圖9 反演得到的W1、W2、W3井第1級(jí)裂縫單元開度概率和對(duì)應(yīng)條數(shù)分布

2)近井地帶裂縫半長(zhǎng)分析。

根據(jù)如圖1a所示的二叉樹裂縫對(duì)，二叉樹裂縫長(zhǎng)度為井距之半。利用式(13)，得到第1級(jí)裂縫單元長(zhǎng)度l1表達(dá)式。

(27)

計(jì)算得到W1、W2和W3井對(duì)應(yīng)的第1級(jí)裂縫單元長(zhǎng)度分別為38.3、73.7、88.4 m，是井距的0～29.5%，顯示注采井距的兩端各1/3段可能存在中—大縫，這與試井解釋得到的裂縫半長(zhǎng)35～88 m基本吻合。

3)近井地帶裂縫級(jí)別判斷。

W1、W2、W3井第1級(jí)裂縫單元開度分別服從對(duì)數(shù)均值4.00、4.84、4.26和對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差1.00、0.025、0.05的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，對(duì)應(yīng)第1級(jí)裂縫單元開度期望分別為90、108、59 μm，符合試井和調(diào)剖施工反映的特征。W1試井解釋成果顯示，近井縫網(wǎng)裂縫平均滲透率2.65 mD，是儲(chǔ)層平均滲透率的153倍；W2單井調(diào)剖時(shí)可以2 m3/h注入約200 m3強(qiáng)化凍膠。上述結(jié)果顯示近井滲流條件得到了大幅度的改善，近井存在中縫—大縫網(wǎng)絡(luò)。

結(jié)合三口單井第1級(jí)裂縫開度分布區(qū)間[3,175]、[102,114]和[52,67](單位為μm)，綜合判斷W1、W2和W3井的近井地帶分別發(fā)育小縫—大縫、大縫和中縫。

4.3 井間裂縫網(wǎng)絡(luò)分布特征分析

結(jié)合井間裂縫網(wǎng)絡(luò)反演結(jié)果(表3)，分析W1和W2井對(duì)應(yīng)的井間裂縫分布特征。結(jié)果顯示，W1井水竄方向?qū)?yīng)的井間通道主要由較高注采壓差導(dǎo)致的誘導(dǎo)裂縫組成，W2水竄方向?qū)?yīng)的井間通道由發(fā)育的天然裂縫和較高的注采壓差形成(表6)。

表6 井間裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)分析結(jié)果

W1井第1級(jí)裂縫開度最小、最為分散(圖9a黑線)，裂縫總條數(shù)為475條(表3)，顯示W(wǎng)1井由一簇開度整體較小但分布區(qū)間廣，裂縫條數(shù)數(shù)量中等的井間裂縫網(wǎng)絡(luò)溝通至注水井。裂縫開度概率分布顯示W(wǎng)2井第1級(jí)裂縫開度最大、最為集中(圖9a紅線)，且裂縫總條數(shù)最少(表3)，說(shuō)明W2井由一簇裂縫開度較大且分布區(qū)間小，裂縫數(shù)量較少的井間裂縫網(wǎng)絡(luò)溝通至注水井。

綜合判斷，W1井對(duì)應(yīng)井間裂縫開度整體偏小且差異大，裂縫條數(shù)較多，推測(cè)井間裂縫網(wǎng)絡(luò)主要由較高的注采壓差形成；W2井對(duì)應(yīng)井間裂縫開度整體偏大且差異小，裂縫條數(shù)較少，結(jié)合井間天然裂縫發(fā)育的地質(zhì)特征，井間裂縫網(wǎng)絡(luò)由發(fā)育的天然裂縫和較高的注采壓差形成。

4.4 討論

1)反演多解性的消除。

多解性是反演方法難以避免的難題，得到準(zhǔn)確的二叉樹裂縫參數(shù)是消除井間裂縫反演多解性的核心難題。為解決該難題，一方面可以直接開展井間誘導(dǎo)裂縫延伸的研究，將近井裂縫延伸的實(shí)驗(yàn)研究拓展至井間裂縫，從理論上完善二叉樹裂縫對(duì)形態(tài)的物理模型；另一方面可以嘗試在反演時(shí)引入井間注采壓差的限定，二叉樹裂縫參數(shù)控制裂縫等效滲透率，從而影響井間裂縫網(wǎng)絡(luò)兩端的注采壓差，因此在反演中引入注采壓差，有望消減裂縫參數(shù)的多解性。

2)反演參數(shù)應(yīng)用的設(shè)計(jì)。

反演得到的井間誘導(dǎo)裂縫條數(shù)和第1級(jí)裂縫單元長(zhǎng)度、開度均值，可用于致密儲(chǔ)層調(diào)剖堵水選井選劑和用量設(shè)計(jì)。根據(jù)第1級(jí)裂縫單元開度均值，可選取匹配藥劑封堵能力的單井。根據(jù)第1級(jí)裂縫單元長(zhǎng)度、開度均值，可進(jìn)行藥劑強(qiáng)度和微球粒徑、水化膨脹速度的優(yōu)選；根據(jù)井間誘導(dǎo)裂縫條數(shù)和第1級(jí)裂縫單元長(zhǎng)度、開度均值，可進(jìn)行藥劑用量設(shè)計(jì)。

5 結(jié)論

1)井間裂縫網(wǎng)絡(luò)可近似為若干組開度服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的二叉樹裂縫對(duì)，二叉樹裂縫等效滲透率可由修正的立方法則表示，為二叉樹第1級(jí)裂縫單元開度b1，二叉樹裂縫分叉角度θ、開度比β、長(zhǎng)度比γ、二叉樹裂縫級(jí)數(shù)m的函數(shù)。

2)3口現(xiàn)場(chǎng)單井的應(yīng)用結(jié)果表明，第1級(jí)裂縫單元開度期望分別為90、108、59 μm，致密儲(chǔ)層近井地帶存在中縫—大縫，范圍約為注采井距的兩端各1/3段；不同的井間裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)差異較大，與天然裂縫發(fā)育程度有關(guān)。

3)得到的裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)能夠?yàn)檎{(diào)堵設(shè)計(jì)提供依據(jù)，其反演多解性主要來(lái)自二叉樹裂縫參數(shù)的不確定。研究井間裂縫延伸形態(tài)和引入注采壓差限定，有望得到更準(zhǔn)確的井間裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。