文|黃偉華

信息時(shí)代，幾乎所有的事物都在以某種速度發(fā)生著變化，有的甚至是翻天覆地的，比如傳遞方式、人際交往等?？墒腔赝覀兊慕逃?，本質(zhì)上發(fā)生的變化卻是微乎其微，這顯然和快速發(fā)展的社會需求發(fā)生了某種沖突。基于數(shù)學(xué)這門學(xué)科，筆者思考，如果課堂仍然只是教給學(xué)生知識和技能，始終停留在學(xué)習(xí)的淺層目的，終將被時(shí)代的潮流所淹沒，那絕對不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終方向。處在互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代的我們，已經(jīng)迎來了最大的挑戰(zhàn)——從“知識為本”轉(zhuǎn)向“能力為本”“育人為本”，時(shí)代對人解決問題的能力要求越來越高。那么，數(shù)學(xué)教學(xué)該如何以知識為載體，處理好數(shù)學(xué)知識與育人之間的關(guān)系，幫助學(xué)生擁有應(yīng)對未來挑戰(zhàn)的素養(yǎng)？

帶著這些思考，筆者琢磨《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》一課，反復(fù)斟酌課堂該如何幫助學(xué)生帶著數(shù)學(xué)應(yīng)有的理性視角，不僅與知識對話，更與知識說理，發(fā)起“知識之后是什么”的追問，從而實(shí)現(xiàn)對符號知識的超越和真正認(rèn)知，在解決問題的過程中學(xué)會學(xué)習(xí)，獲得精神上的成長。

一、思“理”——發(fā)展質(zhì)疑的能力

在大多數(shù)情況下，只要知道問題是什么，就能想到多種多樣的解決問題的方案。我們常常覺得學(xué)校教育培養(yǎng)出的問題解決者能力不足，與學(xué)生很少甚至沒有機(jī)會自己去發(fā)現(xiàn)問題、去質(zhì)疑有關(guān)。所以，就教學(xué)而言，我們需要的不是定義好問題，老師說問題是什么就是什么，而是站在學(xué)生的角度思考，關(guān)于這節(jié)課，學(xué)生真正的困惑是什么，啟發(fā)學(xué)生叩問“知識背后的道理”，體會學(xué)習(xí)是從真問題開始的，發(fā)展質(zhì)疑的能力、批判的能力。

細(xì)讀《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》，所表達(dá)的“分?jǐn)?shù)的大小不變”指的是一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以一個(gè)不為零的數(shù)，所得到的“另一個(gè)分?jǐn)?shù)”與“原來的分?jǐn)?shù)”是相等的。所以，這就涉及到“相等分?jǐn)?shù)”這一問題。分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的數(shù)學(xué)價(jià)值也就在于揭示分?jǐn)?shù)“表示形式的不唯一”和“等值”的本質(zhì)。但在對已學(xué)過本課知識的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查的過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生雖然知道分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，卻不了解這一概念背后的本質(zhì)道理是什么，不能理解相等的分?jǐn)?shù)中隱含著分?jǐn)?shù)單位、分割、合并及單位量轉(zhuǎn)換等概念。筆者思考，這與教師在教學(xué)中忽視等值分?jǐn)?shù)的理解，而把學(xué)習(xí)的重點(diǎn)落在分子、分母的變化規(guī)律上有關(guān)。但事實(shí)上，學(xué)生只有在理解等值分?jǐn)?shù)為什么相等的基礎(chǔ)上才能真正理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

那么，關(guān)于本課，學(xué)生已經(jīng)知道了什么？還有什么困惑？怎么使教學(xué)立足于學(xué)生的真問題？

基于以上思考，筆者對來自不同縣區(qū)的三個(gè)班級學(xué)生做了學(xué)情前測，提出三個(gè)問題：

1.有相等的分?jǐn)?shù)嗎？如果有，請你舉個(gè)例子，并說明理由。

2.仔細(xì)觀察這幾個(gè)分?jǐn)?shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

3.你有什么疑問嗎？

前測結(jié)果顯示，問題1 中，96.2%的學(xué)生知道有相等的分?jǐn)?shù)，能舉出等簡單的例子來說明，并且能主動(dòng)觀察和發(fā)現(xiàn)，借助畫圖，從直觀的角度或者文字等來說明相等的理由，但對其中隱含著的分?jǐn)?shù)單位分割、合并等本質(zhì)卻難以自發(fā)發(fā)現(xiàn)。問題2 中，94.2%的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)分子和分母發(fā)生變化，其中有一半的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)分子和分母的變化規(guī)律。問題3 中，大部分學(xué)生都提了問題，其中有28.8%的學(xué)生提出了同一個(gè)問題：為什么分子和分母都不一樣，但分?jǐn)?shù)的大小卻相等呢（如圖1）？可見，雖然學(xué)生知道有相等的分?jǐn)?shù)，能從畫圖直觀得到相等的結(jié)果，卻仍質(zhì)疑分?jǐn)?shù)相等的理由。

圖1

在前測的基礎(chǔ)上，教學(xué)立足于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和質(zhì)疑，從學(xué)生舉例的相等分?jǐn)?shù)開始，并圍繞學(xué)生的真問題，以“為什么分?jǐn)?shù)的分子和分母都不一樣，分?jǐn)?shù)的大小卻相等呢”為本課核心問題展開學(xué)習(xí)。既肯定學(xué)生質(zhì)疑的能力，又激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，觸發(fā)學(xué)生對知識本質(zhì)道理的思考與追尋，從而打開理性思維的窗口，真正的學(xué)習(xí)從這里拉開序幕。

我們知道，如果只看具體的知識，學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問題就會浮于表面，思維探及不到深處，窺見不到本質(zhì)。“你有什么疑問嗎”這一問題，使得學(xué)生將知識重置，不再停留在表面符號的“是什么”，主動(dòng)對知識發(fā)起質(zhì)疑，產(chǎn)生追尋本質(zhì)道理的好奇與欲望，叩問“是什么”背后的“為什么”。發(fā)展學(xué)生質(zhì)疑能力的同時(shí)，啟發(fā)學(xué)生意識到自己的認(rèn)知存在著缺口，自覺尋求改變，產(chǎn)生打破知識桎梏、填補(bǔ)缺口的動(dòng)力，想把知識的理解推得更深一些、更遠(yuǎn)一些，使學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

二、析“理”——構(gòu)建學(xué)習(xí)的方式

我們知道，解決問題的方法有很多種，但最有力最有效的那一個(gè)，一定是透過現(xiàn)象洞察本質(zhì)的方法。繼“為什么”之后，我們還應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生思考“怎么做”。啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)剖開知識的表象，用自己的方式和知識講道理，產(chǎn)生自己的思考，從不同角度來表達(dá)、來輸出，和他人進(jìn)行思維的碰撞交流，從而深入知識的本質(zhì)，厘清問題的根源，提升解決問題的能力，構(gòu)建起學(xué)習(xí)的認(rèn)知方式。

教學(xué)尊重學(xué)生的現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)，基于“為什么相等”這一困惑，借“想辦法說明理由”將知識與學(xué)生的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)、思維方式聯(lián)系起來，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)地開展探索性活動(dòng)，使學(xué)生在獨(dú)立思考中，遷移、運(yùn)用原有的認(rèn)知，從不同的角度來解釋說理。靜悄悄的思考過后，有的學(xué)生從部分與整體的關(guān)系分析（如圖2），結(jié)合面積模型等畫圖的方法，提出雖然分的份數(shù)不同，但三個(gè)分?jǐn)?shù)所代表的量是相等的；有的學(xué)生打通分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成除法，在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，通過計(jì)算證明其結(jié)果都相等，都是0.5；還有的學(xué)生借助上節(jié)課學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)墻（如圖3），從測量的意義來理解，三個(gè)分?jǐn)?shù)選取的分?jǐn)?shù)單位雖然不同，但測量的值是相等的……基于不同的背景意義來理解，同樣發(fā)現(xiàn)這三個(gè)分?jǐn)?shù)形式不同，意義不同，但大小卻相等的數(shù)學(xué)事實(shí)。

圖2

圖3

“分?jǐn)?shù)的大小沒變，那變的是什么呢？這之間有什么聯(lián)系嗎？”“為什么分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變？”等追問，使得學(xué)生不斷地超越已有的知識，進(jìn)一步探索新出現(xiàn)的困惑，并再次從直觀的角度，主動(dòng)比較和發(fā)現(xiàn)，借助圖示分析分?jǐn)?shù)的分子和分母的變化規(guī)律是有道理的。在畫圖中展開交流辨析，在表達(dá)中與他人的思考鏈接起來，從均分或合并分?jǐn)?shù)單位的角度上（如圖4），體會把每一份繼續(xù)平均分，原來1 個(gè)就被分割成2個(gè)、4 個(gè)；反之把份中的每2 小份、每4 小份進(jìn)行合并，4 個(gè)就合并成了2 個(gè)、1 個(gè)。分?jǐn)?shù)單位變了，表示的形式也就變了，但分?jǐn)?shù)的大小不變。從直觀到說理，從原來“部分——整體”的關(guān)系到分?jǐn)?shù)單位的轉(zhuǎn)換，從量的守恒到關(guān)系的守恒，突破變化規(guī)律的表象，逐步洞察等值分?jǐn)?shù)的潛在道理，勾勒出分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的本質(zhì)屬性。

圖4

人不可能獨(dú)立于社會而存在，人是社會的人。正因?yàn)槭巧鐣?，所以不僅要擁有獨(dú)立思考的能力，更要擁有表達(dá)的能力、與他人協(xié)作解決問題的能力。在以上的辨析說理活動(dòng)中，學(xué)生不斷地思考、表達(dá)與交流，不僅真正以自我生成的邏輯去理解、去經(jīng)歷、去構(gòu)建自己的思維方式，更在解決問題、追溯知識原貌的過程中，體會學(xué)習(xí)不是孤立的、簡單的輸入儲存，而是一種協(xié)作下的再經(jīng)歷、再創(chuàng)造的輸出活動(dòng)。在這個(gè)過程中，思維質(zhì)量變得更高、迭代更快，也更理性、更本質(zhì)地建立起知識的認(rèn)知方式、問題的解決方式，拓寬認(rèn)知視角的同時(shí)，豐厚了學(xué)習(xí)的社會性意義。

三、明“理”——完善認(rèn)知的結(jié)構(gòu)

知識與知識之間往往有著千絲萬縷的關(guān)聯(lián)，但教材為了教與學(xué)的實(shí)際需要，為了降低學(xué)習(xí)的難度，常將知識進(jìn)行一些分割和細(xì)化。如此，學(xué)生頭腦中的知識是零散無序的。所以，學(xué)習(xí)不能只是簡單地將每次學(xué)到的知識進(jìn)行堆積，還得洞察知識與知識之間的關(guān)聯(lián)，從局部到整體，從知識結(jié)構(gòu)的發(fā)展到思維結(jié)構(gòu)的內(nèi)化，促進(jìn)理性思維的發(fā)展，使學(xué)習(xí)走向深入。

課的最后，教學(xué)立足于整體知識的結(jié)構(gòu)之處，提出“今天學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，感覺它熟悉嗎”引發(fā)學(xué)生把研究的知識與已有商不變的規(guī)律橫向關(guān)聯(lián)。主動(dòng)從分?jǐn)?shù)與除法的角度溝通分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與商不變的規(guī)律，在不斷地回顧內(nèi)涵、擴(kuò)充外延中遷移生長，從整體上窺見概念間本質(zhì)的聯(lián)結(jié)，打通關(guān)聯(lián)知識的阻隔，將看似散亂的概念有機(jī)融合，體會這二者雖形式上不同，但事實(shí)上是用不同的形式表示相同的規(guī)律。進(jìn)一步感受分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)合理性的同時(shí)，豐富概念理解的深度與維度，主動(dòng)建構(gòu)新的知識體系。繼而思考“還能是什么？”“還有新的疑問嗎？”使得思維的碰撞不斷產(chǎn)生更多的聯(lián)想，延伸思考，打開知識的縱向聯(lián)系，將分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)置身于日后的分?jǐn)?shù)運(yùn)算等不同情境或場合中，體會分?jǐn)?shù)的應(yīng)用不僅可以而且需要選擇適當(dāng)?shù)摹疤嫔怼?，豐厚思維的同時(shí)，走向深度的學(xué)習(xí)。

從某個(gè)角度來說，學(xué)習(xí)就是在知識探尋與自我創(chuàng)造的過程之中，主動(dòng)連接起碎片化的知識，溝通事物的內(nèi)在聯(lián)系，明晰知識的本質(zhì)。在這個(gè)過程中，觸發(fā)學(xué)生向下扎根，從局部知識看到整體知識，建構(gòu)知識的結(jié)構(gòu)；又向上生長，從知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)到思維結(jié)構(gòu)的內(nèi)化，從不同側(cè)面完善對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知，獲得理性的智慧。

知識總有被遺忘的一天，而學(xué)習(xí)的過程卻能使得各種新知不斷被發(fā)現(xiàn)?！笆鞘裁础薄盀槭裁础薄霸趺醋觥边@三個(gè)問題有著各自不同的價(jià)值，但“為什么”“怎么做”的知識對學(xué)生發(fā)展的價(jià)值越來越顯得重要。所以，對數(shù)學(xué)教學(xué)而言，說理就似催化劑，啟發(fā)學(xué)生不滿足于知道知識“是什么”，更透過現(xiàn)象追究“為什么”，思考“怎么做”，不斷催化學(xué)生的思維深度參與?！敖讨R”絕不是數(shù)學(xué)教育的全部價(jià)值，知識的真正價(jià)值應(yīng)該在于育人，在于開發(fā)學(xué)生的思維品質(zhì)與精神發(fā)育。數(shù)學(xué)教學(xué)只有直面學(xué)生的發(fā)展現(xiàn)實(shí)，啟發(fā)學(xué)生在質(zhì)疑中展開對知識本質(zhì)道理的思考與辨析，方能洞悉知識的原貌，遇見“知識之后”的學(xué)習(xí)樣態(tài)，幫助學(xué)生于再經(jīng)歷再創(chuàng)造的學(xué)習(xí)中，催生思維方式、認(rèn)知方式、學(xué)習(xí)觀念等逐節(jié)生長發(fā)育，獲得素養(yǎng)的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)知識學(xué)習(xí)真正的目的與價(jià)值。