朱涵智 梅 平 劉云平 趙中原 張婷婷

（南京信息工程大學自動化學院 南京210044）

（陸軍工程大學指揮控制工程學院 南京210017）

0 引言

固定翼無人機（unmanned aerial vehicle,UAV）因其巡航時間長、飛行范圍廣、使用成本低、信息感知率強等優(yōu)勢,被廣泛運用于巡邏偵察、電子干擾、戰(zhàn)場支援、森林滅火以及地形繪制等軍民用領域。由于以上優(yōu)點,固定翼無人機被普遍認為是未來信息化發(fā)展的重要平臺。然而,不同于旋翼無人機運動模型,固定翼無人機是典型的具有非完整線性約束的運動體,其動力學模型具有階次高、非線性強等特性,且存在最大、最小空速以及最大航向角速度等的限制[1],同時風速的干擾是隨機和時變的,對于不同重量和不同重心的固定翼無人機,飛行姿態(tài)與速度的控制效果也不盡相同,因此,固定翼無人機的控制相較于旋翼等其他無人機控制更為復雜,控制難度也更大。采用奇異攝動法能夠降低系統(tǒng)階次、消除系統(tǒng)剛性問題。同時由于奇異攝動法的基礎是系統(tǒng)的時間尺度特性,因此它能夠同時適用于線性及非線性系統(tǒng)[2]。

目前,固定翼無人機控制方法主要有比例積分微分（proportional integral derivative,PID）控制[3-4]、自適應控制[5]、魯棒控制[6]以及多種控制方法融合等。對于固定翼飛行策略優(yōu)化控制問題,眾多國內外優(yōu)秀學者都有不同的見解、設計與實踐。王力等人[7]在設計固定翼控制方法時,引入了非線性干擾觀測器對復合干擾進行精確估計,同時設計自適應二階PID 滑?？刂破飨饲袚Q控制引起的抖震現(xiàn)象。宗群等人[5]針對固定翼無人機的姿態(tài)和速度控制中存在不確定和外部擾動的問題,設計自適應超螺旋滑模干擾觀測器和控制器,從而實現(xiàn)固定翼無人機對速度和姿態(tài)命令的有限時間精確跟蹤。Raza[8]等人利用輸出反饋控制拓撲為非線性固定翼模型設計魯棒控制器并且引入不確定性對控制器和觀測器的魯棒性進行了評估。以上各飛行優(yōu)化方法使得固定翼無人機在有外部氣體擾動的情況下的飛行姿態(tài)和速度控制響應時間和魯棒性有了很大的提高。然而,由于固定翼控制器的設計復雜性,上述優(yōu)化控制方法很難應用于實際飛行,當前應用較為廣泛的仍為傳統(tǒng)PID 控制器,因此,本文在傳統(tǒng)PID 控制上采用奇異攝動方法進行優(yōu)化,以提高系統(tǒng)的響應速度和穩(wěn)定性。

在系統(tǒng)理論與控制工程中,建模是一個基本問題。多數(shù)物理系統(tǒng)都含有快、慢動態(tài)耦合的現(xiàn)象。早期對這類系統(tǒng)的處理方法是簡單地忽略快變模態(tài)從而降低系統(tǒng)的階數(shù),然而,大量事實證明,基于這樣的簡化模型設計的控制效果往往與設計要求相距甚遠。奇異攝動方法是有效處理這類問題的工具。其思想是首先忽略快變量以降低系統(tǒng)階數(shù),然后通過引入邊界層校正來提高近似程度。這兩個降階的系統(tǒng)就可以用來近似原系統(tǒng)的動力學行為。文獻[9]指出在飛機的姿態(tài)控制中,角速度的變化遠遠快于速度和角度,可以考慮將此類系統(tǒng)建為奇異攝動模型。

針對傳統(tǒng)PID 控制無法使固定翼無人機達到較好的控制效果,使用奇異攝動法進行固定翼無人機PID 優(yōu)化控制率設計。仿真結果表明,相較于傳統(tǒng)PID 控制方法,采用奇異攝動法進行快慢分解的雙閉環(huán)PID 控制器能夠保證線速度等慢變量響應不變情況下,大大提高角速度等快變量的響應時間,更快達到期望控制量。

1 固定翼無人機奇異攝動系統(tǒng)建模

1.1 坐標系的建立與變換

運動中的固定翼飛機,其運動方程可以用獨立的一階常微分方程組表示。由于方程組中包含相關的空氣動力、轉動慣量等因素,縱向、橫向和航向的運動之間會發(fā)生耦合,為了有效地分離耦合變量且簡化非線性方程組,建立合適的坐標系是極其必要的。

為了描述固定翼無人機的速度和姿態(tài)變化,本文采用地面坐標系和機體坐標系來描述無人機的飛行狀態(tài),并給出相應的變換矩陣。

在地面上選一點為地面坐標系原點O,OR軸指向正北,OS軸指向正東并在地面上與OR軸垂直,OT軸指向地心且與面ORT垂直,符合右手坐標系。機體坐標系原點o位于固定翼無人機質心處,ox軸指向固定翼機頭方向,oy軸垂直于ox軸指向飛機右側,oz軸垂直于oxy軸指向固定翼機腹,為右手坐標系。坐標系示意圖如圖1 所示。

圖1 坐標系示意圖

為建立固定翼無人機模型,現(xiàn)將各方向運動由參數(shù)表示,參數(shù)及其含義見表1。

表1 機體坐標系下運動參數(shù)及其含義

同時,固定翼無人機的運動姿態(tài)和位置也能夠由地面坐標系相對于機體坐標系的角度變化和坐標來確定。在地面坐標系下固定翼無人機的各參數(shù)及其含義見表2。

表2 地面坐標系下運動參數(shù)

1.2 固定翼無人機動力學建模

為減少不必要的干擾,簡化無人機運動學方程推導,本文將做出如下假設。

（1） 飛機為剛體,不會出現(xiàn)彈性形變,機身任意兩點距離相對不變,飛行時不受到外界干擾。

（2） 慣量積為0。

（3） 忽略地球自轉對飛機的影響,且重力加速度g不隨著飛機運動而改變。

可將非線性固定翼運動方程描述為

采用小擾動理論[10]可將方程組線性化處理,其理論簡化步驟如下。

（1） 將式（1）中所有變量表示為基準值與擾動值之和,對于構造對稱的飛機在水平飛行無干擾情況下,設定橫、航向基準值為0。

（2） 選定無角速度的對稱基準飛行狀態(tài)（水平飛行）,使得v0=w0=p0=q0=r0=Φ0=0,并定義u0為基準的飛行速度,θ0為航跡角。

（3） 假設所有干擾量都很小,其時間導數(shù)也很小。角度余弦值可視為1,正弦值為0。

可獲得以擾動增量為變量的線性方程組:

氣動力與氣動力矩的表達式如下,其中包含了系統(tǒng)產(chǎn)生的推力與力矩:

其中ρ為空氣密度,θ0為俯仰角基準值,vT為基準速度（在小擾動線性化后即為u0）,Sa為機翼面積,b為機翼長度,C（D,Y,L,l,n,m）為空氣動力系數(shù),通常由實驗測得,其計算方式可參考文獻[11]。

1.3 奇異攝動模型建立

為滿足奇異攝動法進行快慢分解的要求,可將各變量表示為矩陣與行列式形式,其表示方法如式（4）所示。

由式（2）可將固定翼動力學模型表示為

奇異攝動系統(tǒng)是帶有小參數(shù)ε的系統(tǒng),時標分解法在奇異攝動分解領域具有重要的作用。其原理為假設一個整體能夠分解為快變化（非主導因素）和慢變化（主導因素）的系統(tǒng)?？熳酉到y(tǒng)較于慢子系統(tǒng)的變化速率更快,達到穩(wěn)定時所采用的時間也更少。引入小參數(shù)ε（0<ε <1）,令z=εz1,可將式（5）表示為[12]

式（6）即為固定翼無人機的奇異攝動模型,其中F（x）=εF1（x）,G=εB。

1.4 快慢子系統(tǒng)分解

奇異攝動方法能夠根據(jù)不同的時間尺度,將系統(tǒng)分解為快子系統(tǒng)與慢子系統(tǒng),對兩個降階子系統(tǒng)分別設計控制器以達到預期的控制目標。

顯然可見常矩陣G為可逆矩陣,假設慢子系統(tǒng)的時間尺度為t,輸入為u2s（t）,則令ε=0,則由式（6）可求得降階慢子系統(tǒng):

式（8）即為慢子系統(tǒng)數(shù)學模型。

由于z1=z1s +z1f,u2=u2s +u2f,在新的時間尺度下,能夠近似認為慢變量保持不變,即,將式（7）代入下式:

可求得快子系統(tǒng)的數(shù)學模型為

綜上,式（8）、（10）構成了固定翼無人機的快慢子系統(tǒng)分解模型,其中x為線速度與姿態(tài)角向量,z為角速度向量。

2 優(yōu)化PID 控制

2.1 傳統(tǒng)PID 控制方法

傳統(tǒng)的PID 控制方法所控制的對象通常為期望輸出u0（t） 與實際輸出y（t）的差值e（t）,即:

傳統(tǒng)PID 控制方法將e（t） 作為控制目標,通過比例（P）、積分（I）、微分（D） 3 個控制過程進行累加,從而得到控制量u（t）,即:

然而,在固定翼模型使用傳統(tǒng)PID 控制時,其對角速度等快變量的變化控制較為遲緩,調整時間過長,從而影響飛機舵機的調節(jié)能力,導致飛機穩(wěn)定性變差。

2.2 基于奇異攝動的PID 優(yōu)化控制

本設計采用奇異攝動時標分解方法,將固定翼無人機的系統(tǒng)飛行控制問題轉化為不同的回路,分別設計控制器,此方法能夠大大提高快系統(tǒng)回路的相應速度,同時提高各回路的控制精確性,其系統(tǒng)結構圖如圖2 所示。

圖2 基于奇異攝動的優(yōu)化方法結構框圖

首先,將原方程按照變化速率分解為快慢子系統(tǒng),從而針對快子系統(tǒng)z（t）與慢子系統(tǒng)x（t）采用奇異攝動方法求得近似解xs（t） 與zf（t）。接著,根據(jù)求得的快慢系統(tǒng)近似解分別設計相應的PID 控制器,從而實現(xiàn)對無人機系統(tǒng)的優(yōu)化控制。

針對式（8）所表示的慢子系統(tǒng)模型,設計對應的PID 控制量u1（t）:

其中,Ksp、Ksi、Ksd分別為慢子系統(tǒng)的P（比例）I（積分）D（微分）系數(shù),es（t） 為輸出誤差,us（t） 為系統(tǒng)控制量,u0s（t） 為慢系統(tǒng)輸入期望值,xs（t） 為慢子系統(tǒng)輸出。

同理,針對式（11）能夠設計快子系統(tǒng)控制量:

對式（6）設計原系統(tǒng)PID 控制方法,其中:

即可求得固定翼無人機的奇異攝動控制優(yōu)化PID 控制模型。

3 仿真與分析

由文獻[11]可獲得固定翼無人機的質量、翼展、面積等數(shù)據(jù),再由其風洞實驗可獲得對應固定翼無人機的氣動力參數(shù)等數(shù)據(jù)。

本文所做的仿真實驗在Simulink 中運行,仿真目標是實現(xiàn)對機體坐標系下x軸的線速度和角速度進行控制,同時觀測其在三維坐標系下的運動軌跡變化曲線。其中所涉及的參數(shù)及其數(shù)值如表3 所示。

表3 仿真相關參數(shù)

設置期望線速度為30 m/s,角速度為3 r/s,將參數(shù)代入式（7）可獲得具體的快慢子系統(tǒng),對快慢子系統(tǒng)分別做PID 控制器設計,在保證快慢子系統(tǒng)分別得到良好的控制情況下,獲得的相應PID 參數(shù)為

整合快慢子系統(tǒng)控制方法,分別得到快慢系統(tǒng)以及原系統(tǒng)控制率為

將式（6）在Simulink 中進行仿真得到基于奇異攝動法的PID 優(yōu)化模型（singularly perturbed PID control method,SP）并與傳統(tǒng)PID 控制方法（traditional PID control method,TP）進行比較,得出的控制效果如圖3 所示。

圖3 為在固定翼無人機系統(tǒng)中加入TP 與SP 算法所得到的系統(tǒng)x軸線速度輸出曲線?？梢钥吹?采用SP 控制算法能夠達到與TP 控制方法近乎相同的控制效果,都能夠很快地達到穩(wěn)態(tài),并且其穩(wěn)定時間與超調量都能夠得到較為優(yōu)異的控制。此驗證說明對于慢子系統(tǒng)的優(yōu)化控制,基于奇異攝動的優(yōu)化方法能夠達到與目前常用的PID 算法一樣優(yōu)異,對于角速度等快子系統(tǒng)的優(yōu)化,其控制效果更優(yōu),如圖4 所示。

圖3 兩種算法線速度效果比較

圖4（a）所示為TP 方法輸出的x軸角速度曲線,圖4（b）為SP 控制方法輸出的角速度曲線,圖4（c）為兩種方法輸出對比曲線。由圖可得,對于快變系統(tǒng)的控制,傳統(tǒng)PID 方法的跳變量較小,所需的調節(jié)時間過長,無法快速地達到期望值;這是由于奇異攝動法未忽略快子系統(tǒng)變化,而是單獨考慮快子系統(tǒng)的控制方法而造成的。因此,經(jīng)奇異攝動方法優(yōu)化后的PID 控制能夠在極短的時間內完成接近期望值的階躍變化,同時能夠極大地縮小調節(jié)時間,其對于角速度等快變量的控制效果要遠高于傳統(tǒng)PID。為驗證SP 優(yōu)化后的固定翼位置變化穩(wěn)定性,本實驗設置期望以x軸線速度30 m/s,z軸線速度10 m/s爬升5 s 后保持平飛。圖5（a）為設定的仿真15 s 的固定翼速度變化軌跡,圖5（b）為固定翼三軸位置變化軌跡。

圖4 兩種算法角速度效果比較

由圖5 可以看出,固定翼無人機在爬升階段與平飛階段能夠保持較為平滑的線段,其飛行誤差在運動中近似接近于0。此仿真表明本優(yōu)化方法能夠較好地控制固定翼無人機的飛行速度及姿態(tài),對于位置控制也較為精確,相較于傳統(tǒng)的固定翼控制方法,其理論有效性和先進性得到了證實。

圖5 固定翼速度及位置變化軌跡

4 結論

本文針對固定翼無人機進行了動力學建模,后采用奇異攝動法和PID 控制方法設計了固定翼無人機的奇異攝動優(yōu)化PID 方法,并與傳統(tǒng)PID 控制方法進行對比,實現(xiàn)了對固定翼無人機線速度與角速度輸出的控制優(yōu)化。仿真結果表明,對于線速度和角度等慢變量,奇異攝動優(yōu)化PID 方法能夠做到與傳統(tǒng)PID 相同較為優(yōu)異的控制效果;對于角速度等快變量,奇異攝動優(yōu)化PID 方法能夠達到更快的響應速度與更少的調節(jié)時間,其對于快變量的控制效果遠遠好于傳統(tǒng)PID 控制方法。對于位置于姿態(tài)變化,本文方法能夠進行有效的跟蹤控制,同時減少控制時間,增加控制精度。