李玄，丁冰曉，李楊民

(1.吉首大學(xué)物理與機電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000；2.香港理工大學(xué)工業(yè)與系統(tǒng)工程學(xué)系，香港 999077)

0 引言

常力機構(gòu)是一種可在一定輸入位移范圍內(nèi)，提供幾乎恒定輸出力的機構(gòu)[1].因其力可調(diào)節(jié)特性，被廣泛應(yīng)用于超精密打磨和微操作等領(lǐng)域[2-4]，例如，使用常力機構(gòu)設(shè)計的微夾鉗，可用于對接觸力敏感的柔軟/易碎物體的夾持[5-6].傳統(tǒng)用于操作力敏感物體的機電系統(tǒng)，通常配備了一系列傳感器，通過閉環(huán)控制算法，輸出作用力可以維持在一個特定的值[7-8].然而，精密的傳感裝置并不適合于復(fù)雜的環(huán)境和微尺度空間應(yīng)用，同時力觸覺傳感器非常昂貴，控制裝置也很復(fù)雜.鑒于這些考慮，部分學(xué)者提出了柔順常力機構(gòu)來解決以上問題[9-11].

柔順機構(gòu)利用柔性構(gòu)件的彈性變形來實現(xiàn)力和運動傳遞，具有無需裝配、無運動副間隙和高運動精度等優(yōu)點，被廣泛用于常力機構(gòu)設(shè)計[12-14].為降低自動夾持過程中對果實的破壞，Miao等[15]設(shè)計了一種用于采摘機器人的恒力柔順機構(gòu)，其恒定夾持力約為8.03 N；為實現(xiàn)平穩(wěn)接觸未知對象，Meaders等[16]對一種近似恒力彈簧進行了優(yōu)化，可用于不確定面的力接觸；Liu等[17]設(shè)計了一種柔順恒力系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有較高的穩(wěn)定性，可減緩一定的外界負(fù)載干擾；Chen等[18]設(shè)計了一種可避免抓取物損壞的夾鉗，其恒定輸出力為220 N，常力范圍為440 μm；Pham等[19]設(shè)計了一種恒力雙穩(wěn)態(tài)機構(gòu)，其恒定力大約為11 N，對應(yīng)的輸入范圍為7～14 mm；Tolman等[20]設(shè)計了一種柔順常力機構(gòu)，通過偽剛體法和有限元法對其進行了建模與優(yōu)化.

雖然常力機構(gòu)的優(yōu)勢明顯且發(fā)展迅猛，但對于大尺寸工作面和大接觸力的場合，常力機構(gòu)的應(yīng)用通常受限于常力范圍小和常力輸出不足.針對此問題，優(yōu)化機構(gòu)性能顯得十分迫切，同時這也是每個結(jié)構(gòu)的需求.多數(shù)優(yōu)化方法較為復(fù)雜，如粒子群算法(PSO)的編碼過程較復(fù)雜，且具有易陷入局部最優(yōu)、無法有效解決組合優(yōu)化等缺點[21].有限元優(yōu)化法應(yīng)用較少，但其操作簡單、通用性強，且具有可進行響應(yīng)面分析、求出參數(shù)對結(jié)果的靈敏度并推薦最優(yōu)的參數(shù)組合等優(yōu)點[22].綜上，本研究運用有限元優(yōu)化法對常力機構(gòu)的性能進行優(yōu)化.首先，基于Z型梁和雙穩(wěn)態(tài)梁并聯(lián)的結(jié)構(gòu)，提出一種常力柔順機構(gòu)；其次，通過推導(dǎo)常力機構(gòu)的力-位移表達式，得到與機構(gòu)性能相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)；然后，使用有限元仿真，將所求結(jié)果與理論分析進行對比，并經(jīng)由Matlab計算，得出兩種梁的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)對機構(gòu)常力特性的影響關(guān)系；最后，選擇待優(yōu)化的參數(shù)組合，運用有限元優(yōu)化法求解其最優(yōu)值，以獲得機構(gòu)的最優(yōu)性能.

1 常力模塊設(shè)計與分析

不同于傳統(tǒng)機構(gòu)，零剛度機構(gòu)不滿足胡克定律，可通過正負(fù)剛度機構(gòu)組合來獲得.當(dāng)前，正剛度梁多采用柔性直梁，但柔性直梁存在應(yīng)力硬化現(xiàn)象，即隨著輸入位移的增大，其剛度會相應(yīng)增大，反過來拉伸應(yīng)力的增大，導(dǎo)致彎曲剛度的增大.同時，該機構(gòu)剛度非線性特性明顯，不利于獲得大范圍的常力輸出.為了彌補柔性直梁的不足，Z型梁被設(shè)計用于正剛度機構(gòu)，兩者的力-位移特性如圖1所示.可以看出，隨著輸入位移的增大，Z型梁相較于傳統(tǒng)柔性直梁具有更好的線性正剛度特性，能提供更大的位移行程，以便與負(fù)剛度中和形成零剛度.

圖1 兩種柔性梁的力-位移特性對比Fig.1 Comparison of the force-displacement characteristics of straight beam and Z type beam

1.1 模塊設(shè)計

為使分析與優(yōu)化方法更具典型性與通用性，選擇較具代表性的Z型折疊梁與雙穩(wěn)態(tài)梁組合的常力模塊作為研究對象，如圖2所示.該模塊采用正負(fù)剛度組合原理實現(xiàn)常力輸出特性，具有無摩擦、高輸出精度和結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點.整體結(jié)構(gòu)由2根Z型梁和4根雙穩(wěn)態(tài)梁組成，為提高機構(gòu)整體的剛度和緊湊性，雙側(cè)各由兩根雙穩(wěn)態(tài)梁并聯(lián)組成.由于雙穩(wěn)態(tài)梁的屈曲特性，機構(gòu)會在一定輸入位移范圍內(nèi)表現(xiàn)出零剛度特性，使得機構(gòu)末端輸出恒力.

圖2 常力模塊Fig.2 Designed constant force module

1.2 正剛度分析

通過分析兩種梁的力學(xué)特性，可了解機構(gòu)的常力特性，同時可得到影響其力學(xué)性能的相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)，

為參數(shù)的評估與有限元優(yōu)化做鋪墊.機構(gòu)的Z型梁由3段葉片柔性梁組成，其受力變形如圖3所示.當(dāng)輸出力F1時，單個葉片梁因受力而產(chǎn)生彎曲變形.圖中，l1、l2、l3分別為各葉片梁的長度；θ1、θ2、θ3分別為各葉片梁的變形角度；d為梁的厚度；b為梁的寬度；M1為梁固定端所受力矩.

圖3 Z型梁受力形變圖Fig.3 Deformation of the Z-shaped beam

處于懸臂狀態(tài)的葉片梁，其懸臂端受到力F作用時，其受力平衡可表示為

(1)

(2)

式中：δx為自由端的輸出位移；M為葉片梁固定端所受力矩；l為葉片梁的長度；E為材料的楊氏模量；I為梁的慣性矩.依據(jù)式(1)和(2)，可得

3．不同病理分級NEN的SCGN、CgA陽性表達： G1、G2、G3級NEN中SCGN陽性表達率的差異有統(tǒng)計學(xué)意義(H=8.472，P=0.018，表2)，其中G1與G2級、G2與G3級NEN的SCGN陽性率差異無統(tǒng)計學(xué)意義，而G3級NEN的SCGN表達率顯著低于G1級(秩均值：13.67比24.18)，差異具有統(tǒng)計學(xué)意義(Z=-2.506，P<0.017)。不同病理分級NEN的CgA表達差異無統(tǒng)計學(xué)意義。

(3)

由于Z型梁由3段葉片梁組成，所以其輸出力為

(4)

式中：Fθi為Z型梁中單個葉片梁的輸出力，i=1,2,3.依據(jù)式(1)～(3)，進一步得

(5)

依據(jù)圖3中Z型梁變形后的幾何關(guān)系，可得

(6)

結(jié)合式(6)，可通過式(4)和(5)，求出Z型梁的力-位移關(guān)系表達式.

1.3 負(fù)剛度分析

負(fù)剛度結(jié)構(gòu)采用具有屈曲特性的雙穩(wěn)態(tài)梁，建模如圖4所示.當(dāng)雙穩(wěn)態(tài)梁受到力F2作用時，會出現(xiàn)屈曲變形.圖中，L、d分別為雙穩(wěn)態(tài)梁的長度和寬度；θ為梁相對于垂直固定面平面的傾斜角度；ε為傾斜導(dǎo)向梁受到F2作用而輸出的位移.

圖4 雙穩(wěn)態(tài)梁建模Fig.4 Bi-stable beam model

其中導(dǎo)向梁第j個臨界點的屈曲力[23]為

(7)

可得到雙穩(wěn)態(tài)梁的負(fù)剛度表達式為

(8)

依據(jù)式(7)和(8)，雙穩(wěn)態(tài)梁的力-位移關(guān)系式為

(9)

式中：S=bd為梁的橫截面積.當(dāng)θ為零，利用式(9)可求出傳統(tǒng)直梁的力-位移關(guān)系式.

依據(jù)式(4)和(9)，可得常力機構(gòu)整體的力-位移表達式

(10)

2 仿真結(jié)果與分析

為驗證理論分析的正確性，利用Workbench進行仿真驗證.運用Matlab進行相關(guān)參數(shù)對機構(gòu)常力特性的影響分析.

2.1 有限元仿真

機構(gòu)采用的材料為具有較高彈性的ABSplus-P340.其密度為1 040 kg·m-3，楊氏模量E=2.2 GPa，泊松比μ=0.394，常力機構(gòu)的主要參數(shù)如表1所示.其中，dz、db分別為Z型梁和雙穩(wěn)態(tài)梁的寬度.

將機構(gòu)的三維模型導(dǎo)入有限元軟件，建立有限元模型，在所有定位孔的內(nèi)圓柱面施加固定約束，在提前建立的加載節(jié)點進行位移加載，理論與仿真的力-位移曲線如圖5所示.由圖5可知，理論與仿真結(jié)果較為吻合，常力輸出部分較為貼近.在輸入位移1.2 mm左右常力機構(gòu)曲線開始變得平整，常力輸出對應(yīng)的位移區(qū)間大約是[1.2,2.5] mm.恒定輸出力大約為18 N，恒力變化范圍大致為[16.8,17.5] N.

圖5 理論與仿真結(jié)果對比Fig.5 Comparison of analytical and simulation results

2.2 參數(shù)影響分析

常力機構(gòu)輸出恒力的大小、穩(wěn)定性及其輸出位移范圍與機構(gòu)中各結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān).因此，需評估機構(gòu)中部分參數(shù)對機構(gòu)力-位移輸出特性的影響，同時為結(jié)構(gòu)參數(shù)的進一步優(yōu)化奠定基礎(chǔ).

由式(10)和表1可知，模塊的常力特性主要受到Z型梁和雙穩(wěn)態(tài)梁各結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響.分析某一參數(shù)對常力特性的影響時，其他參數(shù)應(yīng)保持不變.選取的Z型梁參數(shù)l2、dz變化時，機構(gòu)的力-位移變化曲線如圖6所示.選取的雙穩(wěn)態(tài)梁參數(shù)θ、db變化時，機構(gòu)的力-位移變化曲線如圖7所示.

圖6 結(jié)構(gòu)參數(shù)對Z型梁力學(xué)性能的影響Fig.6 Effect of architectural parameters on the performance of the Z-shaped beam

圖7 結(jié)構(gòu)參數(shù)對雙穩(wěn)態(tài)梁力學(xué)性能的影響Fig.7 Effect of architectural parameters on the performance of the bi-stable beam

分析圖6、圖7，可得出：

1) 由圖6(a)可知，隨著l2的增大，正剛度值減小，常力曲線趨向于負(fù)剛度曲線.其值在[8,12] mm區(qū)間時，正剛度與負(fù)剛度中和形成常力.

2) 由圖6(b)可知，隨著dz的增大，正剛度增大，常力曲線趨向于正剛度曲線，其值在區(qū)間[0.8,1.2] mm內(nèi)時，正剛度與負(fù)剛度中和形成常力.

3) 由圖7(a)可知，隨著θ的增大，雙穩(wěn)態(tài)梁的屈曲點向位移更大的位置移動，且相應(yīng)的輸出力增大.負(fù)剛度曲線的陡峭程度變大，負(fù)剛度區(qū)域隨之增大.常力范圍增大，整體向位移更大的方向移動.

4) 由圖7(b)可知，隨著db的增大,屈曲點位置幾乎不變，但輸出力會增大，負(fù)剛度曲線越陡，常力范圍越小，常力曲線趨向于負(fù)剛度曲線.

綜上，4個結(jié)構(gòu)參數(shù)中dz和θ對機構(gòu)的力學(xué)性能影響最大.因此，有必要選定上述兩參數(shù)參與優(yōu)化，以獲得機構(gòu)的最優(yōu)性能.

3 優(yōu)化分析

由節(jié)2.2可知，通過改變結(jié)構(gòu)參數(shù)的大小，機構(gòu)可獲得不同的力-位移輸出特性.因此，在一定的參數(shù)變化范圍內(nèi)，通過優(yōu)化參數(shù)，選擇參數(shù)的最佳值，可實現(xiàn)機構(gòu)的最優(yōu)化設(shè)計.機構(gòu)的優(yōu)化分析可利用有限元軟件ANSYS Workbench完成.該方法采用多目標(biāo)遺傳算法，可求解出由不同優(yōu)化參數(shù)和輸出參數(shù)所組成的設(shè)計點，推薦最優(yōu)的優(yōu)化參數(shù)組合；并可獲得優(yōu)化參數(shù)對輸出結(jié)果的影響關(guān)系.本研究選取5個獨立的結(jié)構(gòu)參數(shù)作為優(yōu)化參數(shù)，其上限、下限值如表2所示.

表2 優(yōu)化參數(shù)變化范圍Tab.2 Range variation of optimized parameters

機構(gòu)的優(yōu)化目標(biāo)為在選定的參數(shù)變化范圍內(nèi)，獲得最大的常力范圍和大的常力值.為便于機構(gòu)的優(yōu)化分析，定義恒力比例因子(constant force ratio factor,CSRF) 這個物理量作為輸出參數(shù)，其值為常力輸出對應(yīng)的位移區(qū)間大小與總輸出位移的乘積.由定義可知，當(dāng)恒力比例因子增大，常力范圍會相應(yīng)增大.結(jié)合機構(gòu)的實際工作情況，另選機構(gòu)的總變形最大值(total deformation maximum,TDM)和等效應(yīng)力最大值(equivalent stress maximum,ESM)作為輸出參數(shù).優(yōu)化的效果應(yīng)使恒力比例因子和總變形最大值達到最大，等效應(yīng)力最大值達到最小.

為實現(xiàn)優(yōu)化目標(biāo)，系統(tǒng)會計算出足夠的設(shè)計點作為樣本參考.采集的樣本設(shè)計點越多，整體計算的誤差值越小，優(yōu)化的精確度越高.此次優(yōu)化一共采集了1 004個設(shè)計點，樣本如圖8所示.圖中上下兩條水平邊界線表示優(yōu)化參數(shù)和輸出參數(shù)的最大、最小值；每一條曲線對應(yīng)一個設(shè)計點，表示5個優(yōu)化參數(shù)的取值與對應(yīng)的輸出結(jié)果.圖9為輸出參數(shù)的響應(yīng)面預(yù)測值與計算觀察值之間的擬合關(guān)系，由圖9可知，ESM相較于TDM和CSRF展現(xiàn)出更好的線性擬合度，精確度較高.

圖8 設(shè)計點采樣圖Fig.8 Sampling of design point

圖9 預(yù)測值與觀察值擬合度Fig.9 Fitting of the predicted value to the observed value

通過響應(yīng)面分析，可得到優(yōu)化參數(shù)對輸出參數(shù)的關(guān)系.針對優(yōu)化目標(biāo)，主要分析不同優(yōu)化參數(shù)對CSRF的關(guān)系，如圖10所示.選取的4個優(yōu)化參數(shù)對ESM的關(guān)系如圖11所示.依據(jù)圖10、11，可得出：

圖11 結(jié)構(gòu)參數(shù)與ESM的關(guān)系Fig.11 Relationship between architectural parameters and ESM

1) 隨著l1、db和θ的增大，CSRF相應(yīng)呈不同幅度的增大，3個參數(shù)與CSRF為正比擬合關(guān)系；隨著l2和dz的增大，CSRF相應(yīng)呈不同幅度的減小，兩個參數(shù)與CSRF為反比擬合關(guān)系.根據(jù)CSRF的定義，各優(yōu)化參數(shù)對TDM的關(guān)系與CSRF一致.

2) 隨著l2、db和θ的增大，ESM相應(yīng)呈不同幅度的增大，3個參數(shù)與ESM為正比擬合關(guān)系；隨著l1的增大，ESM相應(yīng)呈不同幅度的減小，該參數(shù)與ESM為反比擬合關(guān)系.

由響應(yīng)面分析可知，各優(yōu)化參數(shù)對輸出參數(shù)的影響不盡相同.此外，其影響程度也不同，即個別優(yōu)化參數(shù)對輸出參數(shù)的影響大于其他參數(shù).優(yōu)化參數(shù)對輸出參數(shù)的靈敏度如圖12所示，由圖12可知，單個優(yōu)化參數(shù)對CSRF和TDM的影響程度相同，θ對兩輸出參數(shù)的影響程度最大，其次為l1和dz，最后為db和l2；各優(yōu)化參數(shù)對ESM的影響程度中，l1和l2對其影響程度最大，其次為db和θ，最后為dz.

圖12 優(yōu)化參數(shù)對輸出參數(shù)的靈敏度Fig.12 Sensitivity of the optimized parameters to the output parameters

在已知各優(yōu)化參數(shù)對輸出參數(shù)的影響關(guān)系及靈敏度的條件下，需根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)對優(yōu)化參數(shù)進行優(yōu)化.在ANSYS優(yōu)化模塊中，多目標(biāo)遺傳算法可在優(yōu)化參數(shù)與輸出參數(shù)生成的響應(yīng)面上，尋找最佳的優(yōu)化結(jié)果待選點.本研究最終選擇的5個優(yōu)化參數(shù)的最優(yōu)取值如表3所示.

表3 優(yōu)化參數(shù)的最優(yōu)值Tab.3 Obtained optimized parameters

運用SolidWorks建模，將5個參數(shù)的最優(yōu)值替換原值，導(dǎo)入Workbench進行仿真求解.優(yōu)化的常力機構(gòu)的力-位移輸出特性與優(yōu)化前進行對比，結(jié)果如圖13所示.優(yōu)化的常力機構(gòu)仍具有常力特性.在輸入位移2.0 mm左右,力-位移曲線開始變得平整，常力輸出對應(yīng)的位移區(qū)間大約是[2.0,4.5] mm.恒定輸出力大約為68.5 N，恒力變化范圍大致為[65.8,73.4] N.相較于未優(yōu)化的常力機構(gòu)，常力輸出區(qū)間增加了1.2 mm，常力值增加了50.5 N.因此，驗證了該優(yōu)化方法的有效性與可靠性.

圖13 優(yōu)化前后力-位移曲線對比Fig.13 Comparison of force-displacement curves between original and optimized module

4 結(jié)語

本研究提出面向正負(fù)剛度組合的常力機構(gòu)參數(shù)評估與有限元優(yōu)化方法，通過建立Z型梁與雙穩(wěn)態(tài)梁的數(shù)學(xué)模型，得出機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和常力輸出特性的關(guān)系.運用Matlab仿真，評估各結(jié)構(gòu)參數(shù)對機構(gòu)性能的影響，選擇5個結(jié)構(gòu)參數(shù)作為優(yōu)化變量，定義CSRF、TDM和ESM作為輸出參數(shù)，使用有限元優(yōu)化法進行優(yōu)化求解.基于優(yōu)化過程中的響應(yīng)面分析與參數(shù)敏感度分析，得出了θ對機構(gòu)常力特性的影響較大的結(jié)論.優(yōu)化的機構(gòu)常力輸出的位移區(qū)間為[2.0,4.5] mm，恒定輸出力為68.5 N，其恒力變化范圍為[65.8,73.4] N.研究成果可為常力機構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化和拓展應(yīng)用等方面的研究起到積極的推動作用.