董安琪 張凱? 荊杰泰2)3)? 劉伍明

1)(華東師范大學(xué),精密光譜科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200062)

2)(中國科學(xué)院超強(qiáng)激光科學(xué)卓越創(chuàng)新中心,上海 201800)

3)(山西大學(xué),極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

4)(中國科學(xué)院物理研究所,北京凝聚態(tài)物理國家研究中心,北京 100190)

5)(中國科學(xué)院大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院,北京 100190)

6)(松山湖材料實(shí)驗(yàn)室,東莞 523808)

簇態(tài)是量子計(jì)算和量子信息處理的重要資源,因其具有獨(dú)特的糾纏性質(zhì)和豐富的結(jié)構(gòu)而受到廣泛的關(guān)注.本文從理論上提出一種基于級(jí)聯(lián)四波混頻過程產(chǎn)生四模糾纏態(tài)的方案,利用部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)和本征模分解研究其內(nèi)部糾纏特性.此外,通過調(diào)控平衡零拍探測的相對(duì)相位和后處理噪聲信號(hào),將輸出的糾纏態(tài)重構(gòu)優(yōu)化,最終生成三種不同結(jié)構(gòu)的四模簇態(tài).該方法可以有效地減少在有限的壓縮條件下產(chǎn)生簇態(tài)而引入的額外噪聲.本文理論結(jié)果為基于原子系綜四波混頻過程產(chǎn)生可擴(kuò)展的連續(xù)變量簇態(tài)提供可靠方案.

1 引言

連續(xù)變量簇態(tài)作為一種重要的物理資源,在基于測量的量子計(jì)算和量子信息處理領(lǐng)域起著至關(guān)重要的作用[1].為了在真實(shí)物理系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)可擴(kuò)展的量子計(jì)算,研究者們已經(jīng)在理論上提出多種方案,并且在不同系統(tǒng)中進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),其中單向量子計(jì)算機(jī)是基于測量的量子計(jì)算的重要理論框架[2],因此,簇態(tài)作為單向量子計(jì)算的基本資源而得到廣泛的關(guān)注.依據(jù)特定的順序和測量基矢對(duì)簇態(tài)做單模測量就可以實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算[3].在連續(xù)變量系統(tǒng)中,通常使用線性分束器網(wǎng)絡(luò)耦合多個(gè)獨(dú)立的單模壓縮態(tài)來構(gòu)造連續(xù)變量簇態(tài)[4,5].然而,隨著糾纏模式數(shù)的增加系統(tǒng)的復(fù)雜性也急劇增加.目前最新研究趨勢是通過空間[6]、時(shí)間[7-9]和頻率[10,11]復(fù)用多個(gè)非線性過程形成量子網(wǎng)絡(luò),這些方法產(chǎn)生的簇態(tài)適用于量子計(jì)算,但是由于產(chǎn)生的光束不易空間分離,所以很難應(yīng)用在量子通信網(wǎng)絡(luò).因此,需要一種可擴(kuò)展的確定性產(chǎn)生的方法生成空間分離的簇態(tài).

基于熱銣原子系綜的四波混頻(four-wave mixing,FWM)過程由于其獨(dú)特的優(yōu)勢,已經(jīng)證明是量子信息處理的重要資源[12-16].該系統(tǒng)由于原子相干特性而具有很強(qiáng)的非線性效應(yīng),使系統(tǒng)不需要借助光學(xué)腔而具有空間多模性,因此產(chǎn)生空間分離的非經(jīng)典光束[17].利用四波混頻的空間多模特性[18-19],可以將相互正交的軌道角動(dòng)量模式引入產(chǎn)生多組并行的連續(xù)變量糾纏[20-22],利用軌道角動(dòng)量模式匹配的參量放大器實(shí)現(xiàn)多通道量子隱形傳態(tài)[23].四波混頻因空間多模特性而成為高容量連續(xù)變量量子信息處理的重要資源.這些特點(diǎn)使得基于原子系綜的四波混頻過程取得一系列重要的研究進(jìn)展,例如實(shí)現(xiàn)全光量子隱形傳態(tài)[23]、可控的量子態(tài)延遲[24]、量子密集編碼[25]以及量子克隆等[26].基于該系統(tǒng)的獨(dú)特優(yōu)勢,本文理論上提出一種基于級(jí)聯(lián)四波混頻過程產(chǎn)生四模糾纏態(tài)的方案,通過非對(duì)稱結(jié)構(gòu)級(jí)聯(lián)三個(gè)熱銣原子池確定性地產(chǎn)生空間分離的四模糾纏態(tài).然后,通過優(yōu)化算法后處理從一組初始的正交振幅和正交相位壓縮態(tài)重構(gòu)出多模簇態(tài),這種方法可以減小在有限壓縮的條件下產(chǎn)生簇態(tài)而引入的額外噪聲[27-29].該方法通過調(diào)控平衡零拍探測的本振光和信號(hào)光的相對(duì)相位和利用實(shí)數(shù)正交矩陣來重組優(yōu)化結(jié)果以生成不同結(jié)構(gòu)的簇態(tài).

2 基于級(jí)聯(lián)四波混頻過程產(chǎn)生四模糾纏態(tài)

2.1 理論模型

圖1 通過非對(duì)稱結(jié)構(gòu)級(jí)聯(lián)三個(gè)四波混頻過程產(chǎn)生四模糾纏態(tài)的示意圖.,和是四波混頻過程FWM1,FWM2和FWM3 的信號(hào)光;,和是真空輸入模式;,,和是最終輸出的四個(gè)模式;Pump1,Pump2和Pump3 表示三個(gè)四波混頻過程的泵浦光;LO 表示用于平衡零拍探測(HD)的本振光場Fig.1.Schematic diagram of four-mode entangled states generated by cascading three four-wave mixing processes with asymmetric structure., and are seed beams of FWM1,FWM2 and FWM3,respectively., and are vacuum input modes.,, and are the final four output modes.Pump1,pump2 and pump3 denote the pump light of three fourwave mixing processes.LO denotes the local oscillator for balanced homodyne detection (HD).

2.2 四模量子糾纏特性

為了檢驗(yàn)基于級(jí)聯(lián)四波混頻過程產(chǎn)生的四模態(tài)糾纏情況,利用部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)來判斷該體系產(chǎn)生的四模態(tài)是否糾纏[31,32].部分轉(zhuǎn)置是反轉(zhuǎn)正交相位算符的符號(hào),即轉(zhuǎn)置為,k是被轉(zhuǎn)置的光束.因此,部分轉(zhuǎn)置的協(xié)方差矩陣可以表示為:σ′T2NσT2N,其中T2N表示 2N維的對(duì)角矩陣,并且除了T2k,2k-1 以外的所有對(duì)角元素均為1.通過轉(zhuǎn)置部分協(xié)方差矩陣把體系分成兩部分,從而判斷這兩部分的糾纏情況.對(duì)于N模系統(tǒng),需要驗(yàn)證 2N-1-1 種可能的兩分情況,如果所有的兩分情況均不可分,就可以證明產(chǎn)生了真正的N模糾纏態(tài).這里協(xié)方差矩陣的表達(dá)式定義為σ〈ζζT〉,可以將四個(gè)模式的正交分量的對(duì)易關(guān)系寫為,其中1和-1 分別表示對(duì)角元素為1和—1 的對(duì)角矩陣.對(duì)于高斯態(tài)的協(xié)方差矩陣必須滿足不確定性關(guān)系:σ+iΩ≥0,這意味著σ≥0,即協(xié)方差矩陣的所有最小辛本征值應(yīng)大于等于1.部分轉(zhuǎn)置后的協(xié)方差矩陣最小辛本征值可以通過求解 iΩσ的本征值得到,當(dāng)最小辛本征值小于1 時(shí)證明存在糾纏.對(duì)于四模態(tài)系統(tǒng)有兩種兩分情況需要分析,即4 種1×3和3 種2×2,共7 種情況.圖3 展示了不同強(qiáng)度增益下7 個(gè)最小辛本征值的計(jì)算結(jié)果,結(jié)果表明7 種情況的最小辛本征值均小于1,并且隨著強(qiáng)度增益的增加最小辛本征值逐漸減小,說明產(chǎn)生真正的四模糾纏態(tài).

圖2 當(dāng) G1=G2=G3=1.2 時(shí)四模態(tài)系統(tǒng)的協(xié)方差矩陣 (a)正交振幅的協(xié)方差矩陣 〈〉;(b)正交相位的協(xié)方差矩陣〈〉Fig.2.The covariance matrix of the four-mode state int he caseof G1=G2=G3=1.2 : (a)The covariance of amplitude quad-ratures 〈〉;(b)the covariance of phase quadratures 〈〉.

圖3 不同強(qiáng)度增益情況下,四模態(tài)的最小辛本征值.不同顏色的條形圖分別表示強(qiáng)度增益為1.2,1.5和1.8 時(shí)的最小辛本征值Fig.3.The smallest symplectic eigenvalues of four-mode state for different gains.Bar chart with different colors represent the smallest symplectic eigenvalues at gains of 1.2,1.5 and 1.8,respectively.

2.3 本征模

為進(jìn)一步研究四模態(tài)系統(tǒng)內(nèi)部的糾纏結(jié)構(gòu),還分析了系統(tǒng)中的本征模.多模高斯態(tài)經(jīng)過Bloch Messiah 分解可以得到一組相互正交的單模壓縮態(tài)和線性分束器網(wǎng)絡(luò)[33].分解過程可表示為σXX其中Kdiag(η1,η2,···)是由本征分解協(xié)方差矩陣得到的特征值組成的對(duì)角矩陣,其值在對(duì)數(shù)空間代表單模壓縮態(tài)的壓縮度,U0是本征分解協(xié)方差矩陣得到的本征向量,其可以用線性分束器網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn).這里我們分解協(xié)方差矩陣中與正交振幅相關(guān)的部分(分解協(xié)方差矩陣的正交相位部分和正交振幅部分結(jié)果相似),選擇強(qiáng)度增益G為1.2,1.5和8,分別得到本征值和對(duì)應(yīng)的本征向量如圖4 所示.通過對(duì)本征模進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)經(jīng)過級(jí)聯(lián)四波混頻過程產(chǎn)生的四模糾纏態(tài)可以等價(jià)為兩個(gè)單模壓縮態(tài)和兩個(gè)真空態(tài)經(jīng)過線性分束器網(wǎng)絡(luò)得到.同時(shí)發(fā)現(xiàn)壓縮值隨著強(qiáng)度增益G的增加而變大,這意味著糾纏度增強(qiáng).值得注意的是隨著強(qiáng)度增益G的增加,壓縮模和反壓縮模中的和在四個(gè)模中占的相對(duì)權(quán)重變低,使得相應(yīng)模式對(duì)整體的糾纏影響逐漸變小,這是由于系統(tǒng)的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的.

圖4 對(duì)于不同強(qiáng)度增益 G,基于級(jí)聯(lián)四波混頻過程生成的四模糾纏態(tài)的本征模及其相應(yīng)的壓縮值.每幅圖中的條形柱分別表示模,,和 的相對(duì)權(quán)重,圖上面的數(shù)字代表壓縮值.圖(a)—(d),圖(e)—(h)和圖(i)—(l)分別對(duì)應(yīng)強(qiáng)度增益 G 為1.2,1.5和8 時(shí)的本征模分解情況Fig.4.The supermodes of the four-mode entangled state generated based on the cascade four-wave mixing process and their corresponding squeezing levels for different gain values G.The bars represent the relative weight of the modes,,and,respectively.The number above the figure represents the squeezing levels.Figures (a)—(d),Figures (e)—(h)and Figures (i)—(l)correspond to the eigenmode decomposition when the gain values G are 1.2,1.5 and 8,respectively.

3 基于級(jí)聯(lián)四波混頻過程產(chǎn)生四模簇態(tài)

多模糾纏態(tài)作為量子信息技術(shù)的重要資源,不僅是基礎(chǔ)量子理論領(lǐng)域[34],也是量子計(jì)算和量子信息處理應(yīng)用領(lǐng)域的重要研究課題[35-41].簇態(tài)是具有很強(qiáng)的糾纏保持特性和豐富結(jié)構(gòu)的多模糾纏態(tài),作為量子計(jì)算的重要平臺(tái)而得到廣泛研究.第二節(jié)已經(jīng)證明基于級(jí)聯(lián)四波混頻過程的輸出態(tài)是四模糾纏態(tài),本節(jié)通過操縱這些輸出態(tài)生成連續(xù)變量簇態(tài).

簇態(tài)的相互作用僅局限于相鄰模式之間,各結(jié)點(diǎn)通過糾纏連接.在理想壓縮的情況下,連續(xù)變量簇態(tài)定義為

根據(jù)簇態(tài)的定義,構(gòu)造簇態(tài)的光學(xué)網(wǎng)絡(luò)可以通過一個(gè)酉矩陣UV描述.文獻(xiàn)[45]中已表明矩陣UV可分解為

其中XVRe[UV],為矩陣UV的實(shí)數(shù)部分;YVIm[UV],為矩陣UV的虛數(shù)部分.設(shè)此簇態(tài)在理想情況下對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣為V,該簇態(tài)的正交分量滿足(3)式,所以XV,YV和V之間滿足如下關(guān)系:

在四波混頻系統(tǒng)中可以從一組初始的正交相位壓縮態(tài)經(jīng)過后處理變換得到簇態(tài).首先引入對(duì)角移相矩陣D,通過對(duì)輸入態(tài)進(jìn)行 π /2相移使正交振幅壓縮變?yōu)檎幌辔粔嚎s,從而使得所有輸入模式均處于正交相位壓縮態(tài).在第二節(jié)將正交振幅的協(xié)方差矩陣進(jìn)行本征模分解得到一個(gè)正交相位壓縮態(tài)、兩個(gè)真空態(tài)和一個(gè)正交振幅壓縮態(tài),因此移相矩陣的具體形式為Ddiag(1,1,1,I).在四波混頻系統(tǒng)中酉矩陣UFWM可以表示為UFWMU0D,其中U0是第二節(jié)中本征分解協(xié)方差矩陣得到的本征向量[46].然后,根據(jù)文獻(xiàn)[29],引入兩個(gè)變換對(duì)輸出的糾纏態(tài)優(yōu)化后處理得到滿足條件的簇態(tài).總的變換結(jié)果U可表示為

其中Phdiag(ei?1···ei?N)是對(duì)本振光和信號(hào)光之間的相對(duì)相位進(jìn)行相移的對(duì)角矩陣.實(shí)驗(yàn)上通過控制每個(gè)平衡零拍探測本振光和信號(hào)光的相對(duì)相位來實(shí)現(xiàn).實(shí)數(shù)正交矩陣O可以通過調(diào)節(jié)噪聲信號(hào)的增益或衰減來優(yōu)化重構(gòu)結(jié)果.此時(shí)得到的簇態(tài)的每個(gè)結(jié)點(diǎn)不是空間分離的單一模式,而是多模糾纏態(tài)的疊加[10].將變換的結(jié)果與給定的簇態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣UV作比較,可以找到一組參數(shù)滿足如下關(guān)系:

那么就實(shí)現(xiàn)了從四波混頻系統(tǒng)生成的糾纏態(tài)經(jīng)過平衡零拍探測的相位調(diào)控和輸出信號(hào)的后處理到連續(xù)變量簇態(tài)網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)變.這種變換存在一些特征,定義矩陣,其中是對(duì)角矩陣,并且是(10)式成立的充分必要條件.整理替換以上方程式可以得到:

接下來將說明如何通過優(yōu)化后處理,以鄰接矩陣V給定的簇態(tài)UV為目標(biāo),將本文提出的基于級(jí)聯(lián)四波混頻系統(tǒng)生成的四模糾纏態(tài)優(yōu)化重構(gòu),最終生成三種不同結(jié)構(gòu)的四模簇態(tài).實(shí)數(shù)正交矩陣O(θ)有N(N-1)/2 個(gè)自由度可以選擇[46].特別地,對(duì)于四模態(tài)存在六個(gè)自由度.同時(shí)對(duì)角矩陣Ph有四個(gè)自由度.為了得到最優(yōu)的正交矩陣O和對(duì)角矩陣Ph,用搜索算法尋找使矩陣O(θ)和Ph滿足簇態(tài)條件的最小nullifiers值[41],該算法特別適用于高維參數(shù)搜索.當(dāng)nullifiers 值均低于散粒噪聲極限時(shí),意味著四個(gè)輸出態(tài)存在量子關(guān)聯(lián).然后根據(jù)van Loock和Furusawa[47]提出的連續(xù)變量多組份糾纏態(tài)的不可分判據(jù),推導(dǎo)出滿足連續(xù)變量四模線型簇態(tài)的條件為

其中,這些不等式的左側(cè)和右側(cè)分別是nullifiers方差的組合和邊界條件.當(dāng)左側(cè)的所有方差組合都小于 4 時(shí),說明重構(gòu)出連續(xù)變量四模簇態(tài).該方法可以減小在有限的壓縮條件下生成簇態(tài)而引起的額外噪聲.如果所有的輸入模的壓縮值不相等,則此方法可以以最佳的方式重新分配模式之間的相關(guān)性.

對(duì)于四模糾纏態(tài)存在三種簇態(tài)結(jié)構(gòu),即線型、T-型和方型簇態(tài).首先研究線型結(jié)構(gòu)的簇態(tài).令三個(gè)級(jí)聯(lián)四波混頻的強(qiáng)度增益相等,即G1.2,進(jìn)而可以得到實(shí)際的壓縮值和反壓縮值: {—6.7 db,0 db,0 db,6.7 db}.利用優(yōu)化算法找到滿足條件的正交矩陣O和Ph,實(shí)現(xiàn)線型簇態(tài),結(jié)果如下:

經(jīng)驗(yàn)證結(jié)果滿足(8)式、(11)式和(12)式.Nullifiers的值分別為{1.174,1.87,1.783,1.386}.對(duì)于線型簇態(tài),對(duì)應(yīng)的散粒噪聲極限為{2,3,3,2}.因此歸一化后的Nullifiers 方差為{0.59,0.62,0.59,0.69},數(shù)值結(jié)果都小于1,說明低于散粒噪聲極限.根據(jù)Nullifiers 的結(jié)果,可以計(jì)算出不等式(13)式—(15)式左側(cè)方差的組合分別為: {3.04,3.63,3.15}.所有的組合結(jié)果都小于4,這意味著四模線型簇態(tài)可以由四波混頻系統(tǒng)生成的糾纏態(tài)通過優(yōu)化后處理得到.同時(shí)研究了不同強(qiáng)度增益時(shí)的Nullifiers 值,結(jié)果列在表1 中.對(duì)于強(qiáng)度增益較小時(shí),不同的強(qiáng)度增益應(yīng)用優(yōu)化算法均找到最優(yōu)值使得Nullifiers的歸一化方差小于1,當(dāng)強(qiáng)度增益為1.5和1.8 時(shí),不等式(13)式—(15)式左側(cè)方差的組合分別為{3.04,3.12,2.42}和{2.58,2.97,2.09},Nullifiers 的方差組合都小于4,滿足van Loock-Furusawa 判據(jù).

同樣的方法也可以研究T-型和方型簇態(tài)的變換情況,滿足連續(xù)變量四模T-型簇態(tài)的條件為

T-型簇態(tài)的散粒噪聲極限為{2,4,2,2},歸一化后的Nullifiers 方差如表2 所列.當(dāng)強(qiáng)度增益為1.2,1.5和1.8 時(shí),不等式(16)式—(18)式左側(cè)方差的組合分別為{2.42,2.5,1.96},{1.76,1.84,1.6}和{1.52,1.52,1.44},Nullifiers 的方差組合都小于4,滿足van Loock-Furusawa 判據(jù).滿足連續(xù)變量四模方型簇態(tài)的條件為

方型簇態(tài)的散粒噪聲極限為{3,3,3,3},歸一化后的Nullifiers 方差如表3 所列.當(dāng)強(qiáng)度增益為1.2,1.5和1.8 時(shí),不等式(19)式—(21)式左側(cè)方差的組合分別為{2.7,2.7,2.1},{1.65,1.65,1.86}和{2.34,1.74,3.06},Nullifiers 的方差組合都小于4,滿足van Loock-Furusawa 判據(jù).結(jié)果表明當(dāng)強(qiáng)度增益較小時(shí),對(duì)于不同的強(qiáng)度增益,不同結(jié)構(gòu)的簇態(tài)均可以找到相應(yīng)的優(yōu)化矩陣滿足簇態(tài)條件.這意味著基于級(jí)聯(lián)四波混頻過程生成的四模糾纏態(tài),可以通過調(diào)控輸出光場的相位和后處理得到三種不同結(jié)構(gòu)的簇態(tài).但是對(duì)于強(qiáng)度增益較大時(shí),應(yīng)用此方法很難找到最優(yōu)的變換矩陣使Nullifiers的歸一化方差小于1,結(jié)果如表1、表2和表3 中的最后一行所示.這與非對(duì)稱的級(jí)聯(lián)四波混頻系統(tǒng)輸出端的模式結(jié)構(gòu)有關(guān),強(qiáng)度增益很大時(shí)和在四個(gè)輸出模中占的相對(duì)權(quán)重逐漸變小并趨于0,和的相對(duì)權(quán)重逐漸變大并趨于1,這導(dǎo)致無法通過后處理轉(zhuǎn)換為簇態(tài).

表1 對(duì)于不同的強(qiáng)度增益,四模線型簇態(tài)Nullifier 的歸一化方差Table 1.Normalized variances of the four-mode linear cluster state nullifiers for different intensity gains.

表2 對(duì)于不同的強(qiáng)度增益,四模T-型簇態(tài)Nullifier 的歸一化方差Table 2.Normalized variances of the four-mode Ttype cluster state nullifiers for different intensity gains.

表3 對(duì)于不同的強(qiáng)度增益,四模方型簇態(tài)Nullifier 的歸一化方差Table 3.Normalized variances of the four-mode square cluster state nullifiers for different intensity gains.

4 結(jié)論

本文提出基于級(jí)聯(lián)四波混頻系統(tǒng)產(chǎn)生四模糾纏態(tài)的方案,并調(diào)控輸出態(tài)的相位和對(duì)噪聲信號(hào)后處理重構(gòu)出三種不同結(jié)構(gòu)的簇態(tài).首先利用部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)證明該體系可以產(chǎn)生真正的四模糾纏態(tài).然后分析四模糾纏態(tài)的本征模,發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)可分解為兩個(gè)單模壓縮態(tài)和兩個(gè)真空態(tài).最后研究了不同強(qiáng)度增益下基于優(yōu)化算法重構(gòu)簇態(tài)的情況,并利用van Loock-Furusawa 判據(jù)判斷重構(gòu)的態(tài)是否為簇態(tài).結(jié)果表明在強(qiáng)度增益較小時(shí),可以重構(gòu)出線型、T-型和方型結(jié)構(gòu)的四模簇態(tài),強(qiáng)度增益很大時(shí)系統(tǒng)輸出端的雙模式結(jié)構(gòu)影響生成四模簇態(tài).這種基于級(jí)聯(lián)四波混頻過程重構(gòu)不同結(jié)構(gòu)簇態(tài)的多功能量子網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)在量子計(jì)算和量子信息處理中存在潛在的應(yīng)用.