趙凱岐，劉 洋

(哈爾濱工程大學智能科學與工程學院，哈爾濱 150000)

0 引言

永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor,PMSM)具有損耗小、功率密度大、起動轉(zhuǎn)矩大、效率高等優(yōu)點，已經(jīng)廣泛地應用在航空航天、船舶電力推進等諸多領域，成為電力傳動領域的研究熱點[1-4]。在傳統(tǒng)永磁同步電機控制策略中，矢量控制(field oriented control,FOC)是應用較為廣泛的控制方式，F(xiàn)OC通過坐標變換將定子電流完全解耦為勵磁電流和轉(zhuǎn)矩電流分別控制，擁有較高的控制精度，但是需要較為精確的轉(zhuǎn)子位置角，傳統(tǒng)方法是通過機械位置傳感器確定轉(zhuǎn)子初始位置，這不僅增加了電機成本，還降低了電機的可靠性和穩(wěn)定性[5-7]。因此PMSM的無傳感器矢量控制技術應運而生[8]，如滑模觀測器、自適應觀測器、擴展卡爾曼濾波器、龍貝格觀測器等。在電機運行過程中，不可避免存在參數(shù)的實時變化、外界不確定的干擾等問題，PI控制器對線性系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單，穩(wěn)定性好等優(yōu)點，但是PMSM是非線性系統(tǒng)，當調(diào)速范圍要求很寬時，PI控制器很難在不同負載情況下保持良好的控制精度。

彭思齊等[9]設計了自適應模糊觀測器的PMSM矢量控制，雖然自適應觀測器保證了轉(zhuǎn)子位置的精度，解決了傳統(tǒng)滑模觀測器的抖振問題，但是整個系統(tǒng)還是基于PI控制，不能保證在電機運行過程中，參數(shù)變化時的控制性能，進而會引起轉(zhuǎn)速超調(diào)等問題?，F(xiàn)如今對PI控制器優(yōu)化的方法有很多，如將算法與PI控制器結(jié)合并對PI參數(shù)在線整定，或者利用滑模控制器取代PI控制器。劉宗鋒等[10]采用PI和內(nèi)?？刂葡嘟Y(jié)合的方法，實現(xiàn)了PI參數(shù)的在線整定，提高了系統(tǒng)的調(diào)速性能，在一定程度上提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。王飚等[11]采用二階滑模觀測器的內(nèi)嵌式永磁同步電機改進PI控制，取消了傳統(tǒng)滑模觀測器的低通濾波器和位置補償環(huán)節(jié)，抑制了抖振及相位延遲問題，改善了系統(tǒng)動態(tài)性能；唐文秀等[12]采用優(yōu)化擴展卡爾曼濾波器的電機參數(shù)估算方法，保證控制器電機模型電感和磁鏈同步跟隨實際的電機電感和磁鏈，達到消除電流靜差的目的；孫斌等[13]采用自抗擾控制代替?zhèn)鹘y(tǒng)的PI控制，能夠提高系統(tǒng)的抗擾能力，抑制了轉(zhuǎn)速超調(diào)，提高了系統(tǒng)的魯棒性。通過對PI控制器進行優(yōu)化創(chuàng)新或替代，在一定程度上系統(tǒng)抗干擾能力會提高許多，但是轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的精度沒有得到保障，在增強抗干擾能力的同時能夠保證觀測精度是如今的研究熱點。

針對PI控制的缺陷，韓京清[14]提出了自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)。雖然ADRC相較于傳統(tǒng)控制系統(tǒng)具有更好的控制性能，但是電機在實際運行過程中，隨著轉(zhuǎn)速的變化以及負載的改變，相應參數(shù)是時刻改變的，這使得轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速出現(xiàn)誤差，給系統(tǒng)補償干擾帶來困難。擴展卡爾曼濾波器(extended Kalman filter,EKF)是一種遞推算法，通過反復迭代抑制環(huán)境的未知白噪聲，針對非線性系統(tǒng)具有良好的觀測性能，能夠精確觀測電機參數(shù)。文中提出EKF結(jié)合ADRC引入FOC系統(tǒng)中，具體分析了實現(xiàn)方法。將ADRC替代傳統(tǒng)PI速度調(diào)節(jié)器，利用EKF對轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置精確估計，在滿足系統(tǒng)非線性的同時，還保證了參數(shù)估計的精度。仿真結(jié)果表明：該策略保持了FOC良好的穩(wěn)定性以及EKF有效地抑制噪聲能力，增大了系統(tǒng)的抗干擾能力，提高了系統(tǒng)魯棒性，實現(xiàn)了PMSM的無傳感器矢量控制。

1 PMSM 數(shù)學模型

FOC的基本思想是建立在旋轉(zhuǎn)坐標系下，因此在d、q同步旋轉(zhuǎn)坐標系下，PMSM數(shù)學模型表示為：

(1)

PMSM轉(zhuǎn)矩方程表示為：

Te=Pψfiq

(2)

PMSM機械運動方程表示為：

(3)

由于在α、β靜止坐標系下定子電壓和電流的測量值不需要通過復雜的坐標變換轉(zhuǎn)換到旋轉(zhuǎn)坐標系，降低了PMSM數(shù)學模型的非線性，使系統(tǒng)采樣周期變短，系統(tǒng)計算時間也會減少，估算精度將得到提高，因此在α、β靜止坐標系下，PMSM數(shù)學模型表示為：

(4)

式中，uα、uβ為定子電壓α、β軸的分量；iα、iβ為定子電流對應α、β軸的分量；ψα、ψβ為定子磁鏈對應α、β軸的分量；θ為轉(zhuǎn)子位置角。

2 擴展卡爾曼濾波器算法分析

2.1 EKF原理

具有隨機干擾的線性離散過程的狀態(tài)方程和觀測方程為：

(5)

式中，xk是系統(tǒng)狀態(tài)變量；wk為系統(tǒng)的隨機噪聲；vk為測量噪聲，其協(xié)方差矩陣分別為R、Q。由于系統(tǒng)運行過程中，系統(tǒng)噪聲和測量噪聲時刻變化，為了方便計算，將協(xié)方差矩陣R、Q取為常數(shù)。wk和vk為未知白噪聲，有p(w)～N(0,Q)，p(v)～N(0,R)成立。

預測階段：

(6)

(7)

更新階段：

(8)

(9)

(10)

2.2 EKF觀測器設計

由式(4)電流方程，構(gòu)建狀態(tài)方程和輸出方程，選取α、β靜止坐標系下電流分量、電機轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置作為狀態(tài)變量，定子電壓作為輸入控制量。對于EKF，狀態(tài)變量一般為不可直接測量的量，而輸出量為方便直接檢測的量。結(jié)合PMSM特性選擇如下：

x=[iαiβωθ]T

u=[uαuβ]T

則系統(tǒng)的非線性方程：

(11)

式中，

由于i可直接觀測到，定義測量方程為：

y=h(x)+v

(12)

由上式可知PMSM為一個四階非線性系統(tǒng)，一些不可直接測量的量被選作狀態(tài)量時就可以借助EKF狀態(tài)觀測的功能得到。因此選取電流分量、電機轉(zhuǎn)速和位置作為狀態(tài)變量，電壓作為輸入。

要實現(xiàn)非線性系統(tǒng)線性化，對f(x),h(x)進行矩陣求導處理，乘以采樣周期Ts離散化后得到：

擴展EKF算法因為可靠性和精度都較高，能夠同時對轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速進行估計，符合FOC對參數(shù)精度的要求，在電氣傳動領域得到了廣泛采用。

2.3 協(xié)方差矩陣參數(shù)選取策略

關于上述方程式(6)～式(10)的幾個參數(shù)：Q、R、p0一般取為對角陣即可，因為相對于對角元素，非對角元素影響很小，忽略不計。EKF的核心是通過測量值與預測值的偏差對預測狀態(tài)進行反饋校正，進而得到最優(yōu)值，因此合理設計EKF增益矩陣是技術關鍵。對系統(tǒng)是否收斂以及穩(wěn)態(tài)的觀測精度影響較大的是Q、R的選取。系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣Q反映系統(tǒng)噪聲的影響，它代表著控制對象本身對干擾噪聲的抑制能力。增大Q由式(7)和式(8)可知，便是增大系統(tǒng)的擾動，濾波器增益Kk變大，則修正量變大，使系統(tǒng)動態(tài)性變快，但是Q不可能無限增大，因為這樣意味著系統(tǒng)不可靠。通常設置為q11=q22，調(diào)整參數(shù)時q11與q22越小，或q33越大，則估計滯后越小，系統(tǒng)響應越快，但是取值不當容易導致系統(tǒng)發(fā)散，q44對系統(tǒng)幾乎沒有影響。測量噪聲協(xié)方差矩陣R，代表觀測器或電流電壓檢測裝置引入的測量誤差大小，增大R表示抑制噪聲干擾能力差，濾波器增益Kk會變小，與Q的調(diào)節(jié)矛盾，導致觀測系統(tǒng)滯后嚴重，動態(tài)性能變差，因此通常先調(diào)節(jié)Q獲得理想的動態(tài)響應速度，再調(diào)節(jié)R改善穩(wěn)態(tài)性能。通常R取為2×2對角陣，為方便調(diào)試r11=r22影響不大。而估計協(xié)方差矩陣初始值p0對動態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)精度影響很小，其中p33不同會導致位置估計θ起點不同，但不影響形狀。實際系統(tǒng)運行過程中，系統(tǒng)噪聲和測量噪聲時刻變化不可能得到精確的信息，因此協(xié)方差矩陣Q、R選擇是調(diào)試過程的難點，通常根據(jù)隨機特性確定。本實驗中擴展EKF觀測器的幾個參數(shù)設置如下：

3 基于ADRC控制器設計

3.1 ADRC原理及參數(shù)分析

ADRC是由非線性跟蹤微分器(TD)、擴張觀測器(ESO)、非線性狀態(tài)誤差反饋(NLSEF)組成的[15]。TD作用是為給定信號設置過渡過程并且提取信號的微分值；ESO能實時估計出控制系統(tǒng)所受擾動并加以補償；NLSEF將TD與ESO進行組合，利用非線性函數(shù)將狀態(tài)誤差變?yōu)槌跏伎刂屏?。一階被控系統(tǒng)的ADRC方程可以表示為：

一階系統(tǒng)非線性跟蹤微分器：

(13)

式中，fal(e0,r,T)可以定義為：

式中，v1為ADRC的給定信號；v*為v1的跟蹤信號；r為速度因子；T為采樣周期；fal(e0,r,T)為最優(yōu)綜合控制函數(shù)；sgn為符號函數(shù)。

由上式可知TD中只有參數(shù)速度因子r需要整定。通過調(diào)整r的大小可以改變估計轉(zhuǎn)速對轉(zhuǎn)速給定值的跟蹤速度，為確定其調(diào)節(jié)方向，給出不同r下的轉(zhuǎn)速仿真波形。

由圖1可知，隨著r的增大，過渡過程達到給定轉(zhuǎn)速100 r/min所需要的時間越短，但是r不可以無限增大，否則會導致轉(zhuǎn)速波形超調(diào)甚至發(fā)散，本系統(tǒng)r取1000。

一階系統(tǒng)擴張觀測器：

(14)

式中，α1、α2為非線性因子；β1、β2為誤差增益；δ1為濾波因子；b0為補償因子；z1為y的跟蹤信號；z2為擾動估計值。

圖1 不同r的電機空載轉(zhuǎn)速波形

ESO中需要整定的參數(shù)有α1、α2、β1、β2以及δ1，非線性因子α1、α2為經(jīng)驗參數(shù)，取值范圍一般為0.9～1，本系統(tǒng)中均取0.9；濾波因子δ1也為經(jīng)驗參數(shù)，取值范圍一般小于0.01，本系統(tǒng)取0.001。誤差增益β1、β2參數(shù)取值方向需要根據(jù)仿真波形具體分析，其空載轉(zhuǎn)速波形如圖2、圖3所示。

圖2 不同β1的電機空載轉(zhuǎn)速波形 圖3 不同β2的電機空載轉(zhuǎn)速波形

由上圖可知，β1、β2對轉(zhuǎn)速均有相似的影響，當β1取值過大時，轉(zhuǎn)速曲線左移并且出現(xiàn)超調(diào)，反之轉(zhuǎn)速曲線右移，但是也會出現(xiàn)超調(diào)。當β2取值過大時，轉(zhuǎn)速會出現(xiàn)超調(diào)，反之峰值則達不到給定轉(zhuǎn)速，但并不會影響曲線的上升速度。因此在整定誤差增益時，應該按照從小到大的方向整定，當轉(zhuǎn)速波形出現(xiàn)明顯超調(diào)時，再略微減小，直至取到最優(yōu)值，本系統(tǒng)β1取值7000，β2取值100 000。

非線性狀態(tài)誤差反饋：

(15)

式中，β3為誤差增益；δ2為濾波因子。

fal函數(shù)的表達式為：

(16)

NLSEF中需要調(diào)節(jié)的參數(shù)有δ2和β3，其中濾波因子為經(jīng)驗參數(shù)，本系統(tǒng)取0.001；β3與β1、β2的調(diào)節(jié)方式相同這里就不再贅述，本系統(tǒng)β3取值25 000。

3.2 基于ADRC的速度調(diào)節(jié)器設計

由PMSM的運動方程得：

(17)

從上式可以看出，轉(zhuǎn)速ω受到TL、iq的影響，進而影響系統(tǒng)的控制精度，根據(jù)ADRC原理將以上參數(shù)視為速度環(huán)的擾動，記作w(t)。進而由ADRC觀測并加以補償，因此上式可以整理為：

(18)

式中，

設計一階TD模型，如下：

v1=-rf(v1-ω*,r,T)

(19)

設計ESO模型，如下：

(20)

ADRC速度調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

圖4 基于ADRC的速度調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖

4 基于EKF的PMSM矢量控制MATLAB仿真及結(jié)果分析

為驗證方案的可行性，根據(jù)圖5所示的系統(tǒng)控制框圖，在MATLAB軟件中的Simulink功能模塊搭建系統(tǒng)仿真模型，對PMSM基于傳統(tǒng)PI，基于PI-EKF，基于ADRC-EKF分別進行仿真。本模型采用固定步長2e-6，ode23tb算法。采樣時周期為2 μs，仿真時間為0.4 s，進行空載和負載試驗。首先給出仿真過程中PMSM模型參數(shù)設定情況，如表1所示。

圖5 基于ADRC-EKF的三相PMSM無傳感器矢量控制圖

表1 電機仿真模型參數(shù)

給定轉(zhuǎn)速為100 r/min，運行到0.1 s時轉(zhuǎn)速上升為200 r/min，在0.2 s時加入1.5 N·m負載，圖6、圖7分別為采用基于傳統(tǒng)PI、基于PI-EKF和基于ADRC-EKF的FOC控制轉(zhuǎn)速波形。

圖6 3種控制方法的電機低速波形

圖7 3種控制方法的電機低速波形局部放大圖

前0.1 s給定轉(zhuǎn)速為100 r/min時，在基于傳統(tǒng)PI的系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速波形的超調(diào)在0.025 s時達到了120 r/min，在0.08 s系統(tǒng)才達到穩(wěn)定的100 r/min；在基于PI-EKF的系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速波形的超調(diào)已經(jīng)得到明顯改善，曲線平滑，但轉(zhuǎn)速上升階段的響應速度相對于另外兩種控制方法較慢；在基于ADRC-EKF系統(tǒng)中，電機啟動階段，轉(zhuǎn)速曲線上升比較平滑，無超調(diào)，在0.025 s時達到穩(wěn)定的100 r/ min。0.1 s～0.2 s給定轉(zhuǎn)速加至200 r/min時，和上述情況相同，這里不再贅述。0.2 s時加入1.5 N·m負載，基于傳統(tǒng)PI的系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速重新達到200 r/min用時0.1 s；在基于PI-EKF的系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速重新達到200 r/min用時0.15 s；在基于ADRC-EKF系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速重新達到200 r/min用時0.08 s。具體如圖8～圖10所示。

圖8 基于傳統(tǒng)PI的電機低速轉(zhuǎn)矩波形 圖9 基于PI-EKF的電機低速轉(zhuǎn)矩波形

前0.1 s給定轉(zhuǎn)速為100 r/min時，在基于傳統(tǒng)PI的系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)矩達到穩(wěn)定值用時較長，并且轉(zhuǎn)矩變化出現(xiàn)明顯的抖振。相比較而言，另外兩種控制方法可以有效改善電磁轉(zhuǎn)矩的抖振現(xiàn)象。

給定轉(zhuǎn)速為1200 r/min，在0.2 s時加入5 N·m負載，圖11、圖12分別為采用基于傳統(tǒng)PI、基于PI-EKF和基于ADRC-EKF的FOC控制轉(zhuǎn)速波形。

圖10 基于ADRC-EKF的電機低速轉(zhuǎn)矩波形 圖11 3種控制方法的電機高速波形

圖12 3種控制方法的電機高速波形局部放大圖

前0.2 s給定轉(zhuǎn)速為1200 r/min電機空載運行，在基于傳統(tǒng)PI的系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速波形的超調(diào)在0.038 s時達到了1420 r/min，在0.08 s系統(tǒng)才達到穩(wěn)定的1200 r/min；在基于PI-EKF的系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速波形的超調(diào)在0.048 s達到了1280 r/min，已經(jīng)得到明顯改善，曲線平滑，在0.07 s系統(tǒng)才達到穩(wěn)定的1200 r/min，但轉(zhuǎn)速上升階段的響應速度仍較慢；在基于ADRC-EKF系統(tǒng)中，電機啟動階段，轉(zhuǎn)速曲線上升速度較快，甚至已經(jīng)超過了傳統(tǒng)PI的響應速度，無超調(diào)，在0.029 s時轉(zhuǎn)速超調(diào)達到1250 r/min，相較于另外兩種控制方法，轉(zhuǎn)速超調(diào)已經(jīng)得到明顯的優(yōu)化，在0.065 s時達到穩(wěn)定的1200 r/min，達到穩(wěn)定的時間也得到優(yōu)化。0.2 s時加入5 N·m負載，基于傳統(tǒng)PI的系統(tǒng)中，0.27 s時轉(zhuǎn)速出現(xiàn)了30 r/min的明顯超調(diào)，轉(zhuǎn)速重新達到1200 r/min用時0.15 s；在基于PI-EKF的系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速重新達到1200 r/min用時0.1 s；在基于ADRC-EKF系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)速重新達到1200 r/min用時0.1 s，在加入負載時出現(xiàn)的轉(zhuǎn)速跌落更小。

圖13、圖14分別為轉(zhuǎn)速1200 r/min時，采用基于PI-EKF和基于ADRC-EKF的FOC控制電流波形。

圖13 基于PI-EKF的電流波形 圖14 基于ADRC-EKF的電流波形

空載時，在基于ADRC-EKF系統(tǒng)中，0.05 s前電機兩相靜止電流的估計值和實際值就穩(wěn)定在零附近，而基于PI-EKF的系統(tǒng)中電流穩(wěn)定在零附近所用時間均大于0.05 s。負載時，在基于ADRC-EKF系統(tǒng)中，電流為平滑穩(wěn)定的正弦波形，而基于PI-EKF的系統(tǒng)中存在電流超調(diào)現(xiàn)象，相比之下基于ADRC-EKF系統(tǒng)性能更優(yōu)越。

由圖15、圖16可知在前0.012 5 s時，轉(zhuǎn)子位置的估計值跟蹤實際值存在一定誤差，而基于ADRC-EKF的系統(tǒng)轉(zhuǎn)子位置估計值能很好的跟蹤實際值，因為電機在剛啟動時轉(zhuǎn)速較低，ADRC調(diào)節(jié)器具有良好的動穩(wěn)態(tài)性能和補償性能，提高了轉(zhuǎn)子位置估計在動態(tài)時候的跟蹤速度和精度。隨著仿真時間的增加，兩種控制方式誤差逐漸減小，最終轉(zhuǎn)子位置估計值都更接近實際值。

圖15 基于PI-EKF的轉(zhuǎn)子位置波形 圖16 基于ADRC-EKF的轉(zhuǎn)子位置波形

5 結(jié)論

本文的研究對象是PMSM，將基于EKF觀測器和ADRC速度調(diào)節(jié)器相結(jié)合，從而實現(xiàn)無傳感器設計。以PMSM數(shù)學模型為基礎，完成了基于傳統(tǒng)PI，基于PI-EKF以及基于ADRC-EKF的系統(tǒng)設計。通過3種控制方式的仿真結(jié)果對比，驗證了基于ADRC-EKF的控制系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速控制、位置辨識以及參數(shù)估算精度上都有更優(yōu)越的性能，具有比傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器更強的抗干擾能力和補償能力。將ADRC與擴展EKF相結(jié)合，進一步滿足了FOC對參數(shù)精度的要求，提高了系統(tǒng)的可靠性，該系統(tǒng)在工程中滿足要求寬調(diào)速范圍、高精度和高抗擾能力的場所。