馮 澤，張曉紅 ，羅元庚 ，胡尚舉

(1.太原科技大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，太原 030024;2.山西太鋼不銹鋼精密帶鋼有限公司，太原030032)

維修問題在工業(yè)系統(tǒng)的運營中一直扮演一個很重要的角色。系統(tǒng)的故障有可能會造成無法估計的損失。預(yù)防維修是改善系統(tǒng)可靠性的有效手段之一，但復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和技術(shù)同時也增大了維修的復(fù)雜度，使得維修的成本居高不下。最優(yōu)維修決策問題成為了系統(tǒng)工程師和專家學(xué)者們共同關(guān)注的焦點問題。

近年來，越來越多的專家和學(xué)者關(guān)注可修系統(tǒng)的維修決策問題，提出了針對可修系統(tǒng)維修方式以及不同狀態(tài)下的維修策略。Rosmaini Ahmad[1]等綜述了文獻中廣泛討論的兩種維修技術(shù)，分析了TBM和CBM技術(shù)在維修決策中的作用，以及進展。祁鑫，左德承[2]、 Horenbeek A V，Bure J，Cattrysse D[3]對可修系統(tǒng)的維修與備件做了一些綜述。張曉紅[4]研究了基于壽命的多部件維修決策。林琳[5]針對可修系統(tǒng)壽命預(yù)測受不確定性因素影響較大的問題，建立了一個基于視情維修的機隊多目標(biāo)維修決策優(yōu)化模型。

前期的研究中，先后提出了T，N多種不同的維修策略。Barlow和Hunter[6]最早在1960年中提出了年齡更換策略，他認為系統(tǒng)達到年齡T但是沒有發(fā)生故障時進行更換，或系統(tǒng)未達到T時故障也對其立即更換。Nakagawa[7]中提出故障次數(shù)限制策略，也稱N策略，他的模型是系統(tǒng)故障后進行維修，當(dāng)維修次數(shù)達到N時進行更換。文獻[8-11]對不同系統(tǒng)不同狀態(tài)的基于壽命的更換策略有不同的描述。文獻[12]對故障次數(shù)N策略進行過研究。文獻[13-15]都對(T，N)策略以及N、T策略進行比較研究，分析了各自的優(yōu)劣勢。近年來，大部分學(xué)者運用(T，N)策略以及衍生策略對基于時間和狀態(tài)的可修系統(tǒng)進行建模研究[16-19]。

以往的研究中，對于可修系統(tǒng)維修問題的策略，無論是T策略、N策略，還是(T，N)策略，均采用在線維修方式，維修期間的系統(tǒng)停機對其生產(chǎn)造成極大的影響。為了減少停機時間，張曉紅[20]針對可修系統(tǒng)提出了一種離線式預(yù)防維修策略，在原定的預(yù)防周期時刻，用一個同型的部件對缺陷部件進行替換，替換后系統(tǒng)繼續(xù)運行，并對缺陷件進行離線的維修，運行時間與維修時間同步。這種維修方式可大大縮短維修對系統(tǒng)的干預(yù)停機時間，提高生產(chǎn)效率，降低生產(chǎn)損失。

維修投入度是對系統(tǒng)維修之前所有需要準(zhǔn)備的維修工具、人員、備件等維修資源的總和。對可修系統(tǒng)而言，系統(tǒng)的維修投入度的不同直接招致了不同的維修的成本與維修時間，且不同的維修投入度系統(tǒng)的可靠性恢復(fù)程度也不盡相同。較小的維修投入程度，雖然因維修資源的投入較少而節(jié)省維修成本，但要達到相同的維修效果，需要的維修時間增多，且因維修不充分而導(dǎo)致系統(tǒng)運行性能下降，進而使得生產(chǎn)質(zhì)量的下降，招致成本懲罰。相反，較大的投入程度，可以在有限的時間內(nèi)達到較好的維修效果，但因所需的維修資源較多而成本較高。適度的維修不僅可以節(jié)約維修成本，也可以延遲系統(tǒng)的使用壽命。本文引入的維修度的概念對系統(tǒng)維修活動的投入程度進行建模，通過對維修度的最優(yōu)控制，保證滿足系統(tǒng)維修及運行性能需求的同時，降低維修成本。

綜上，在以往的研究中很少有把離線更換式維修和維修投入結(jié)合起來研究可修系統(tǒng)的最優(yōu)維修決策。尤其是諸如煤礦通風(fēng)系統(tǒng)長期在礦井環(huán)境中運行，如若長時間停機井下風(fēng)流壓力降低，有可能使采空區(qū)瓦斯流出量增加，造成瓦斯?jié)舛冗^大發(fā)生爆炸等安全事故。離線更換式預(yù)防維修可以有效的減少停機時間，提高安全性。但同時需要定期預(yù)防維修，每次預(yù)防維修成本若控制不好，會加大成本浪費，而本文引入維修度，可以更好的控制每次預(yù)防維修所需成本以及維修時間。因此離線式預(yù)防維修與維修度結(jié)合，既可以在有限的時間內(nèi)達到較好的維修效果，節(jié)約維修成本，又可以延遲系統(tǒng)的使用壽命，提高安全性。

本文在離線式預(yù)防維修策略的基礎(chǔ)上，引入了維修度的概念。以分析維修度對維修效果、維修時間及成本的影響關(guān)系，以及離線更換式維修影響下的系統(tǒng)可靠性建模問題。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建系統(tǒng)的最優(yōu)維修費用率模型，以確定最優(yōu)的運行間隔T、維修次數(shù)N、維修度m，使得更新周期內(nèi)費用率最小。

1 系統(tǒng)定義

1.1 系統(tǒng)特征

本文關(guān)注的是一個可修系統(tǒng)，系統(tǒng)包含一個修理后可以運行的關(guān)鍵部件，該部件的劣化可近似表征整個系統(tǒng)劣化。系統(tǒng)的壽命服從概率密度函數(shù)為f(t)的隨機分布。

1.2 維修策略

為了節(jié)省因維修而導(dǎo)致的系統(tǒng)停機時間，保證系統(tǒng)連續(xù)運行，對系統(tǒng)采用離線更換式維修策略。該策略下，除運行部件外，另需庫存一件相同的部件，與運行部件進行交替使用和修理。具體策略如下：

(1)當(dāng)系統(tǒng)運行預(yù)定的時間間隔T后，用備用件替換運行件，系統(tǒng)繼續(xù)運行。相對于較長的運行時間，替換時間可以忽略不計，單次離線更換成本Csr.

(2)替換后立即對替換下來的缺陷部件執(zhí)行離線式預(yù)防維修，維修要考慮修理能力，本文引入維修度m來表示賦予維修活動的投入。離線式預(yù)防維修效果、維修成本Cp均與維修度m相關(guān)的隨機變量。

(3)由于修理時間τ的隨機性，可能會導(dǎo)致替換時備件的不可用而停機。若τ≤T，修理活動在間隔T內(nèi)完成，下一次更換活動可順利進行，系統(tǒng)可以正常運行；若τ>T，運行一個間隔T系統(tǒng)需要替換時，缺陷件的修理活動仍未結(jié)束，無法及時更換，此時系統(tǒng)停機等待修理活動結(jié)束后再實施更換，系統(tǒng)的停機時長W=τ-T，單位時間的停機成本為Cw.維修是非完美的，在每一次預(yù)防維修后，系統(tǒng)的故障率隨維修次數(shù)的增加逐漸遞增，故障率遞增因子b是與維修度m相關(guān)的函數(shù)b(m).

(4)系統(tǒng)在運行過程中，系統(tǒng)故障隨機發(fā)生，對更換周期內(nèi)的故障，需要進行小修恢復(fù)系統(tǒng)運行，但故障率不變，小修時間忽略，每次小修費用Cm.

(5)系統(tǒng)在經(jīng)歷過2NT運行后，運行件和缺陷件均被離線更換N次，對其執(zhí)行報廢，兩個部件的報廢總成本Cdis.由于訂購時間較長，為保證備件的可用率。在第(2N-2)T的周期結(jié)束后同時訂購兩個同類型部件，訂購時間L服從概率密度函數(shù)為S(L)的隨機分布。訂購時間過長也會造成系統(tǒng)停機。停機時間為W=L-2T，單位停機成本Cw，訂購活動結(jié)束后系統(tǒng)開始全新的運行周期。

2 費用率模型

為保證系統(tǒng)的經(jīng)濟運行，以系統(tǒng)的平均費用率為目標(biāo)建立最優(yōu)決策模型：

(1)

R表示一個更新周期，C(R)表示更新周期內(nèi)的系統(tǒng)運行成本。由于系統(tǒng)中兩部件是交替運行的，當(dāng)部件1運行(2N-2)T后報廢重新訂購，訂購活動發(fā)生在部件1和部件2最后一個運行間隔內(nèi)。因此對于系統(tǒng)而言，更新周期由2N運行區(qū)間T、系統(tǒng)的停機時間組成。

綜合整個更新周期內(nèi)選取更換間隔T、更換次數(shù)N，維修度m為決策變量，使之成本最小，最小費用率公式可由決策變量的函數(shù)如下表示：

(2)

由所定義的策略可得：

E(C(R))=

(3)

其中，Csr為單次預(yù)防更換成本，Cp(m，k)為離線式預(yù)防維修成本函數(shù)，Pw為因修理時間導(dǎo)致的停機概率；Cw為因修理時間導(dǎo)致的單位時間停機成本，停機時間為變量W1；Pow、Cow、W2在分別為因訂購時間導(dǎo)致的停機概率和單位時間成本、停機時間；Cdis在為報廢成本，Cmin整個周期內(nèi)的系統(tǒng)小修費用。k1、k2分別為部件1和部件2的離線式更換次數(shù)。

(4)

類似地，部件2的任意更換周期內(nèi)小修發(fā)生的次數(shù)

(5)

(6)

(7)

設(shè)F(x)為系統(tǒng)的壽命分布函數(shù)，f(x)為工作時間概率密度函數(shù)，G(τ)為維修時間的分布函數(shù)；g(τ)為維修時間的概率密度函數(shù)；S(L)為訂購時間的分布函數(shù)，s(L)為訂購時間的概率密度函數(shù)。兩個部件的維修時間服從相同的概率密度函數(shù)，兩個部件均服從相同分布。

系統(tǒng)在第一個周期由部件1在運行，部件2處于準(zhǔn)備狀態(tài)，第一個周期結(jié)束時，部件1被更換進行離線維修狀態(tài)，部件2開始運行第二個周期，因為第一個周期結(jié)束時，部件2是新的，不會存在停機。第二個周期結(jié)束，需要部件1進行替換部件2，此時會出現(xiàn)兩種情況，部件1維修完畢可以按時替換；部件1未完成維修，無法準(zhǔn)時替換。故在第三個周期開始時系統(tǒng)可能會出現(xiàn)停機等待。部件1的一個完整周期包括一個運行間隔T和維修時間。

總之，系統(tǒng)在一個運行過程中的期望成本可表示為：

(8)

E(R)為該更新周期內(nèi)的期望長R=2NT+W.

兩個部件因為修理導(dǎo)致停機時間和因為訂購造成的停機時間的期望長度：

(9)

(10)

(11)

系統(tǒng)的期望停機時間：

策略：平面鏡所成像與物體大小相等，關(guān)于平面鏡對稱，利用數(shù)學(xué)上的“對稱法”作圖，注意像與輔助線用虛線表示。

(12)

3 維修成本、時間、效果與維修度和維修次數(shù)的關(guān)系分析

3.1 維修度和維修次數(shù)、維修成本的關(guān)系建模

通常的研究將預(yù)防維修的成本設(shè)定為一個常量，與系統(tǒng)的劣化程度和修理程度無關(guān)，這樣的假設(shè)是不合理的。文獻[19]將預(yù)防維修成本建模為維修效果、維修次數(shù)的線性函數(shù)。文獻[22]中運用二次函數(shù)建模了預(yù)防維修與役齡回退量之間的關(guān)系。

以部件1為例，圖1顯示了三種關(guān)系模型的示意圖。從圖中可看出，指數(shù)函數(shù)增長的速率比較快，線性函數(shù)稍次之，對數(shù)函數(shù)最小。具體選取哪一個應(yīng)該與實際的研究對象有關(guān)。本文以指數(shù)函數(shù)為例進行研究。a=10是邊際成本，b=20是每次維修的固定成本。

圖1 部件1的維修成本與維修度、維修次數(shù)的關(guān)系模型比較Fig.1 Comparison of maintenance cost and number of repairs of part 1

3.2 維修時間與維修度的關(guān)系建模

仍以部件1為例，假設(shè)其維修時間服從的威布爾分布W(β，η)，圖2顯示了不同維修度下，不同參數(shù)對應(yīng)的維修時間的概率密度函數(shù)。

圖2 維修度對維修時間的影響關(guān)系圖Fig.2 The impact diagram of maintenance degree on maintenance time

圖2分別顯示了維修度為0.5，0.8對于維修時間概率密度的影響，如果投入度變大，維修準(zhǔn)備充分，維修時間會相應(yīng)的縮小，期望停機時間有所減少。

3.3 維修效果與維修度的關(guān)系建模

由于部件1和部件2是相同類型部件，設(shè)其初始壽命分布為W(β1，η1)，則初始故障率函數(shù)為：

(13)

圖3 故障率因子與維修度關(guān)系圖Fig.3 Plot of failure rate factor and maintenance degree

4 數(shù)值實驗

實驗參數(shù)設(shè)定如表1所示。單位為萬元，軋輥的壽命服從分布W(β1，η1)，維修時間服從W(β，η)分布，訂購時間服從E(θ)，預(yù)防維修固定成本為b，邊際成本a，小修成本Cm，報廢成本Cdis，更換成本Csr，訂購成本Cow，單位停機成本Cw.

表1 實驗參數(shù)設(shè)置

4.1 決策變量對目標(biāo)函數(shù)的影響

圖4(a)m，T固定時，在前期，隨著維修次數(shù)的增加，故障發(fā)生趨勢較緩，小修次數(shù)以及成本少，費用率自然下降，后期隨著故障率遞增因子的變大，更換成本和維修成本增加，費用率變大；圖4(b)N，T固定，前期劣化慢，維修度雖小但是修理合格，維修成本少，費用率下降，之后，隨著維修度不斷變大，維修成本變大，費用率變大；圖4(c)m，N固定時，費用率隨著運行間隔T增加，出現(xiàn)先降后升趨勢。通過對三個變量與費用率目標(biāo)值關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)三個變量單獨都會使費用率存在一個最低值，因此驗證了模型的正確性。

圖4 三個變量對費用率的影響Fig.4 The effect of three variables on expense rates

4.2 聯(lián)合優(yōu)化

利用GA尋找最優(yōu)解，設(shè)置種群大小設(shè)置為10，最大遺傳代數(shù)為30，通過輪盤賭的方式進行選擇，相應(yīng)的算子概率為0.8，交叉類型為兩點交叉，每次交叉的概率為0.8，同時算術(shù)變異的概率為0.2.可以得到近似最優(yōu)解T=14，N=10，m=0.413 6，成本費用率CR(T，N，m)=800.505 8.

4.3 靈敏度分析

模型的有效性一般取決于該模型對于參數(shù)的適應(yīng)度，分別對模型中的成本參數(shù)進行縮小或放大，分析其對決策結(jié)果的影響。

表2-表4是對涉及到的成本參數(shù)縮小或者變大去分析參數(shù)對于總體費用率的影響。該模型中出現(xiàn)的各項費用增加都會導(dǎo)致維修費用增加，費用率也增加，這種情況符合費用率的定義，因此驗證了模型的可行性。當(dāng)調(diào)整因子變大時，故障率遞增因子反而變小，小修成本變小，費用率自然變小。

表2 小修、報廢成本費用率影響

表3 更換成本與訂購導(dǎo)致停機成本對費用率影響Tab.3 The impact of replacement cost and ordering cost on cost rate

表4 單位停機成本、故障率調(diào)整因子對費用率影響Tab.4 The impact of unit shutdown cost and failure rate adjustment factor on cost rate

5 結(jié)論與展望

本文在非完美預(yù)防維修的基礎(chǔ)上，加入了離線式預(yù)防維修方式，減少在線維修不必要的等待時間，分析了維修度對于維修時間，維修效果的影響，分別構(gòu)建了與維修時間和效果相關(guān)的更新函數(shù)模型，并以此模型為基石，提出了離線式預(yù)防維修策略下的考慮維修度的定周期離線式預(yù)防維修決策模型，利用了遺傳算法，尋找到一個全局最優(yōu)解，對相關(guān)參數(shù)進行靈敏度分析，確定了該模型的正確性。

本文研究的是定周期更換策略，實際生活中，定周期不能適用于所有系統(tǒng)維修，因此，接下來考慮基于幾何過程的不定周期的離線式更換策略。若部件的狀態(tài)可以被檢測，則可以更好的把握系統(tǒng)劣化情況及維修時刻，進一步對基于視情維修的離線更換式維修決策進行研究。