單燁，鐘建華，丁冰曉

(1.福州大學(xué) 先進(jìn)制造學(xué)院，福建 泉州 362200;2.福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福建 福州 350116;3.吉首大學(xué) 物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

恒力機(jī)構(gòu)在一定的輸入位移范圍內(nèi)能夠輸出恒定或者接近恒定的力，在精密儀器[1]、振動隔離[2]、過載保護(hù)、微機(jī)電系統(tǒng)等方面應(yīng)用廣泛。柔順機(jī)構(gòu)是一種利用柔性構(gòu)件的彈性變形來實現(xiàn)運(yùn)動、能量、力的傳遞和轉(zhuǎn)化的機(jī)構(gòu)[3]。柔順恒力機(jī)構(gòu)是一種被動的力控方式，因此不需要精密的傳感器和復(fù)雜的控制算法[4]，降低了力控的成本和開發(fā)的難度。與傳統(tǒng)的恒力機(jī)構(gòu)相比，柔順恒力機(jī)構(gòu)不僅具有無摩擦，無磨損，無需潤滑等特點[5]，還具有與位置環(huán)境靈活交互的特點。

很多學(xué)者對柔順恒力機(jī)構(gòu)進(jìn)行了深入研究，如Ma等[6]利用柔順梁的第二彎曲模式開發(fā)出了大行程的常力機(jī)構(gòu),固定導(dǎo)向柔性梁的雙梁約束模型(Bi-BCM)表明，當(dāng)固定導(dǎo)向梁偏轉(zhuǎn)到其第二彎曲模式(即偏轉(zhuǎn)的梁帶有兩個拐點)時，其頂端軸力保持不變；Hao等[7]利用正剛度機(jī)構(gòu)和負(fù)剛度機(jī)構(gòu)并聯(lián)構(gòu)成了準(zhǔn)零剛度機(jī)構(gòu)即恒力機(jī)構(gòu)并分析了影響恒力機(jī)構(gòu)特性的參數(shù)，同時利用兩個對稱的恒力機(jī)構(gòu)設(shè)計了一種恒力夾具，通過調(diào)節(jié)在正剛度機(jī)構(gòu)上施加的力，可以調(diào)節(jié)恒力機(jī)構(gòu)恒力的大小。針對空間恒力機(jī)構(gòu)，Zhou等[8]通過將新型負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與正剛度機(jī)構(gòu)并聯(lián)連接，開發(fā)了一種具有良好軸向?qū)蚰芰Φ臏?zhǔn)零剛度抗干擾機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)呈現(xiàn)出空間對稱性，使得機(jī)構(gòu)具有較大的平面內(nèi)橫向剛度。本文提出一種新型恒力機(jī)構(gòu)，并對機(jī)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和有限元分析。

1 恒力機(jī)構(gòu)的設(shè)計

常見的恒力機(jī)構(gòu)是由具有正剛度特性的正剛度機(jī)構(gòu)和具有負(fù)剛度特性的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)并聯(lián)而成[9]。正剛度機(jī)構(gòu)符合胡克定律，其彈性力與位移成正比；負(fù)剛度機(jī)構(gòu)一般為具有雙穩(wěn)態(tài)特性的雙穩(wěn)態(tài)梁。并聯(lián)型恒力機(jī)構(gòu)設(shè)計原理[10]如圖1所示。

圖1 并聯(lián)型恒力機(jī)構(gòu)原理Fig.1 Principle of parallel constant force mechanism

根據(jù)圖1可得：

(1)

(2)

式中：F1為正剛度機(jī)構(gòu)的彈力；F2為雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)在負(fù)剛度特性階段的彈力；F為恒力機(jī)構(gòu)的彈力；K1為正剛度機(jī)構(gòu)的剛度；K2為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)在負(fù)剛度特性階段的剛度；K為恒力機(jī)構(gòu)剛度；x為機(jī)構(gòu)的輸入位移。

當(dāng)K1和K2大小相同時，相互抵消，機(jī)構(gòu)表現(xiàn)出零剛度特性，實現(xiàn)常力輸出[11]。因此

(3)

式中：Δx為恒力機(jī)構(gòu)的位移；Δx1為正剛度機(jī)構(gòu)的位移；Δx2為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的位移。

(4)

式中K為恒力機(jī)構(gòu)的剛度。

根據(jù)上述原理，構(gòu)建出如圖2所示的恒力機(jī)構(gòu)[12]，該機(jī)構(gòu)由雙穩(wěn)態(tài)梁和折疊直梁組成的正剛度機(jī)構(gòu)并聯(lián)而成[13]。

圖2 恒力機(jī)構(gòu)模型圖Fig.2 Model drawing of constant force mechanism

正剛度機(jī)構(gòu)基于柔性的線性彈簧原理實現(xiàn)，設(shè)計結(jié)構(gòu)如圖3所示。正剛度線性彈簧機(jī)構(gòu)是一種對稱折疊的設(shè)計，能使機(jī)構(gòu)在平面內(nèi)進(jìn)行較大的平移運(yùn)動，且易于制造[14]。折疊設(shè)計消除了正剛度機(jī)構(gòu)軸向位移的負(fù)面影響，使載荷在主平移方向上加強(qiáng)。

圖3 正剛度機(jī)構(gòu)參數(shù)Fig.3 Parameters of positive stiffness mechanism

1.1 負(fù)剛度機(jī)構(gòu)

本文提出的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)由一對空間對稱傾斜直梁組成，如圖4所示。雙穩(wěn)態(tài)梁的尺寸參數(shù)見表1。

圖4 雙穩(wěn)態(tài)梁機(jī)構(gòu)Fig.4 Bistable beam mechanism

表1 雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Bistable mechanism parameters

雙穩(wěn)態(tài)梁在機(jī)構(gòu)的變形過程中有兩個穩(wěn)定的狀態(tài)，當(dāng)處于這兩個穩(wěn)定的狀態(tài)時，機(jī)構(gòu)并不需要外力便可維持自身的狀態(tài)[15]。

雙穩(wěn)態(tài)梁是由兩對固定傾斜梁對稱分布而成，由于結(jié)構(gòu)的對稱分布，使雙穩(wěn)態(tài)梁具有負(fù)剛度特性。如圖5所示，D0-D1和D3-D4階段為正剛度階段[16]，D1-D3為負(fù)剛度階段，其中D1-D2與D2-D3階段機(jī)構(gòu)彈力的方向相反[17]。

圖5 雙穩(wěn)態(tài)梁特性圖Fig.5 Bistable beam characteristic diagram

1.2 雙穩(wěn)態(tài)梁的結(jié)構(gòu)分析

對于柔順梁的大變形問題，可以把懸臂梁看做歐拉-伯努利梁來處理，符合平截面假定和垂直法線假定，只考慮彎曲變形，忽略梁的剪切變形。Euler-Bernoulli梁方程為[18]

(5)

懸臂梁的模型分析如圖6所示，初始形狀是直的懸臂梁受到力ηP和M0的組合作用，其中ηP可以分解為水平方向的nP和豎直方向的P。懸臂梁變形過后自由端的坐標(biāo)值為(a,b)，自由端的變形角為θ0[19]，取懸臂梁上任意一點坐標(biāo)為(x,y),則該點處力矩可以表示為

圖6 懸臂梁的模型分析Fig.6 Model analysis of cantilever beam

(6)

M=P(a-x)+nP(b-y)+M0。

(7)

將式(5)、式(7)代入可得

(8)

式中：E為懸臂梁的楊氏模量；I為慣性矩；式(8)又可以寫成

(9)

式中θ0是懸臂梁末端彎曲的角度。由式(9)可得

(10)

式中：a/L和b/L分別是懸臂梁變形后在x軸和y軸上的無量綱坐標(biāo)。根據(jù)彈性理論，彎曲梁中可以有任意個拐點[20-21]，令拐點的數(shù)量為m，如圖7所示。

圖7 懸臂梁的大變形彎曲模式Fig.7 Large deformation bending mode of cantilever beam

圖8 彎曲梁角度θ的變化Fig.8 Bending beam angle θ change

(11)

(12)

第一和第二類不完全橢圓積分定義如下：

(13)

(14)

式中：γ為振幅；t為橢圓模。當(dāng)γ=π/2時，變?yōu)榈谝?、第二類完全橢圓積分，由于橢圓積分的限制，橢圓積分被劃分為兩部分|γ|>η和|γ|≤η。

當(dāng)|γ|>η時，變形曲線呈單調(diào)變化[22]，因此沒有拐點(m=0)，此時

(15)

式中：

當(dāng)|γ|≤η，彎曲曲線可以有任意多個拐點(m≥0),此時

(17)

式中：

式(15)—式(18)中包括7個未知數(shù)：3個負(fù)載參數(shù)(α,k,n)、3個彎曲參數(shù)和1個形狀參數(shù)(m)。計算時，應(yīng)首先明確傾斜梁的彎曲模式即拐點數(shù)目。當(dāng)拐點數(shù)目m=0時，變形可以通過式|γ|>η或|γ|≤η求解;當(dāng)拐點數(shù)目m≥1時，可以通過式(17)、式(18)，在其他的6個參數(shù)中任意給定其中3個，另外3個就可以得到求解。

2 模型仿真分析

2.1 雙穩(wěn)態(tài)梁模型的仿真分析

圖4所示的雙穩(wěn)態(tài)梁機(jī)構(gòu)中，設(shè)L為傾斜梁的長度，β為傾斜梁與水平方向的夾角，h為傾斜梁的厚度，w為平面外寬度，d為兩個傾斜梁的間距。采用有限元分析軟件Workbench對雙穩(wěn)態(tài)梁的參數(shù)進(jìn)行建模分析，結(jié)果如圖9—圖12所示。

由圖9可知，隨著角度的增大，機(jī)構(gòu)的負(fù)剛度也隨著增大，同時傾斜角度的增大也使得機(jī)構(gòu)的負(fù)剛度特性范圍變大。由圖10可知，隨著長厚比的減小，雙穩(wěn)態(tài)梁的剛度在增加。由圖11可以看出，傾斜梁的間距對傾斜梁特性的影響比較小，一般根據(jù)機(jī)構(gòu)的尺寸來選取合適的傾斜梁間距。由圖12可知，傾斜梁寬度的增加使得傾斜梁的負(fù)剛度增加，且三條曲線相交于一點；雖然傾斜梁的寬度不同，但彈力方向變化的臨界點處于同一位置，且負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的負(fù)剛度特性范圍也是一致的。

圖9 角度β對雙穩(wěn)態(tài)特性的影響Fig.9 The influence of the angle β on the bistable characteristics

圖10 長厚比對雙穩(wěn)態(tài)特性的影響Fig.10 The influence of the length-to-thickness ratio on the bistable characteristics

圖11 間距對雙穩(wěn)態(tài)特性的影響Fig.11 The influence of the spacing on the bistable characteristics

圖12 平面外寬度對雙穩(wěn)態(tài)特性的影響Fig.12 The influence of the out-of-plane width on the bistable characteristics

綜上所述，雙穩(wěn)態(tài)梁的參數(shù)對負(fù)剛度特性的影響各不相同。雙穩(wěn)態(tài)梁的傾斜角度β、長厚比L/h、傾斜梁的寬度w對雙穩(wěn)態(tài)梁的特性有較大影響，雙穩(wěn)態(tài)梁的間距d對雙穩(wěn)態(tài)梁的特性影響較小。

2.2 恒力機(jī)構(gòu)的仿真分析

利用仿真軟件Workbench對恒力機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真分析，材料使用ABS樹脂塑料。首先設(shè)置合適的邊界條件，然后給恒力機(jī)構(gòu)施加5 mm的位移,得到的整體變形圖如圖13所示。從圖13可以看出，恒力機(jī)構(gòu)的最大變形為6.200 8 mm，在恒力機(jī)構(gòu)的最大變形范圍之內(nèi)。

圖13 恒力機(jī)構(gòu)的整體變形圖Fig.13 Total deformation diagram of constant force mechanism

圖14為恒力機(jī)構(gòu)的等效應(yīng)力圖，從圖14中可以看出，整體機(jī)構(gòu)的最大應(yīng)力為11.785 MPa,最大應(yīng)力在ABS的許用應(yīng)力2 GPa之內(nèi)，并且恒力機(jī)構(gòu)的整體應(yīng)力分布均勻，應(yīng)力集中現(xiàn)象出現(xiàn)較少。

圖14 恒力機(jī)構(gòu)的等效應(yīng)力圖Fig.14 Equivalent stress of constant force mechanism

圖15為柔順恒力機(jī)構(gòu)的恒力特性圖，從圖15中可以看出，當(dāng)施加的位移從0開始至1.3 mm時，機(jī)構(gòu)呈現(xiàn)正剛度機(jī)構(gòu)特性；位移大于1.3 mm后，機(jī)構(gòu)開始呈現(xiàn)出恒力機(jī)構(gòu)特性，恒力值大約為6.2 N,恒力特性范圍從1.3 mm至3.2 mm;位移大于3.2 mm后,恒力機(jī)構(gòu)再次呈現(xiàn)出正剛度特性[23]

圖15 恒力機(jī)構(gòu)特性Fig.15 Constant force mechanism characteristics

3 結(jié)束語

本文設(shè)計了一種新型的恒力機(jī)構(gòu)，對負(fù)剛度機(jī)構(gòu)即雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)的參數(shù)進(jìn)行了對比分析，明確了各參數(shù)對負(fù)剛度機(jī)構(gòu)特性的影響程度，同時對恒力機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有限元仿真分析。仿真結(jié)果表明,所設(shè)計的柔順恒力機(jī)構(gòu)有約2 mm恒力范圍且恒力大小約為6.2 N。本文所設(shè)計的柔順恒力機(jī)構(gòu)恒力范圍較小，且并沒有對恒力的可調(diào)性能進(jìn)行測試，今后可進(jìn)一步擴(kuò)大恒力范圍并對恒力機(jī)構(gòu)的恒力可調(diào)性能進(jìn)行測試。