張 程，徐小宇，任卓翔

（1.中國(guó)科學(xué)院微電子研究所，北京 100029；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.索邦大學(xué)，巴黎 75006）

集成電路加工工藝不斷更迭，器件特征尺寸不斷減小，集成度的不斷提高使得電路信號(hào)延遲，功耗等問(wèn)題不斷加劇。就集成電路設(shè)計(jì)中的電路參數(shù)提取環(huán)節(jié)而言，寄生電容與電阻會(huì)產(chǎn)生RC 延遲，影響電路信號(hào)的同步。電路參數(shù)提取的結(jié)果必須達(dá)到一定的精度才能保證電路能夠?qū)崿F(xiàn)其設(shè)計(jì)功能。以手機(jī)、顯示器的顯示屏信號(hào)線(xiàn)等特定電路為例，為保障各個(gè)像素點(diǎn)的同步刷新，各個(gè)線(xiàn)路上的信號(hào)延遲必須保持同步，這就需要精確地對(duì)電路進(jìn)行電阻和電容參數(shù)提取分析[1-9]。

電阻和電容等參數(shù)提取通常采用有限元法等數(shù)值算法[10-12]，根據(jù)目標(biāo)問(wèn)題對(duì)應(yīng)的物理系統(tǒng)建立偏微分方程以及設(shè)定適當(dāng)?shù)某跏紬l件，通過(guò)場(chǎng)分析獲取電路系統(tǒng)的電阻參數(shù)。由于求解精確度要求的提高，需要將求解域剖分非常細(xì)密的網(wǎng)格才能得到較為理想的解，使得計(jì)算效率低下[13-14]。在近年來(lái)電磁學(xué)對(duì)偶方法的發(fā)展與應(yīng)用的基礎(chǔ)上，該文引入電流場(chǎng)對(duì)偶方程方法[10,15]，以提升場(chǎng)求解與參數(shù)提取的效率，并通過(guò)實(shí)際算例求解驗(yàn)證所提出方法的精確性與高效性。

1 穩(wěn)恒電流場(chǎng)的對(duì)偶有限元法

1.1 穩(wěn)恒電流場(chǎng)的控制方程

其中，σ為導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率。根據(jù)電荷守恒定律，從電流場(chǎng)中任一閉合曲面S流出的電流應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)該面所包圍空間V的電荷的減少量，即：

將所研究閉合面不斷縮小至一點(diǎn)，得到：

其中，ρ為電荷密度，i為電流源。設(shè)空間某點(diǎn)的標(biāo)量電勢(shì)為v，則有e=-gradv。進(jìn)而可以得到：

將以上所得方程與靜電場(chǎng)方程進(jìn)行類(lèi)比[11,15]，d為電位移矢量，ε為介電常數(shù)，靜電場(chǎng)問(wèn)題可以描述為：

可以看出，靜電場(chǎng)與穩(wěn)恒電流場(chǎng)在數(shù)學(xué)形式上十分相似。根據(jù)麥克斯韋方程組，穩(wěn)恒電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)均為無(wú)旋場(chǎng)，滿(mǎn)足：

對(duì)于靜電系統(tǒng)，電容提取需要模擬導(dǎo)體間的靜電場(chǎng)，其電場(chǎng)分布與系統(tǒng)中各帶電體的相對(duì)位置、形狀、尺寸和電介質(zhì)的分布有關(guān)，其能量分散在導(dǎo)體周?chē)目臻g中。電阻提取需要模擬導(dǎo)體內(nèi)的穩(wěn)恒電流場(chǎng)。對(duì)比于靜電場(chǎng)，由于電流、能量總是被約束在導(dǎo)電線(xiàn)路中，穩(wěn)恒電流場(chǎng)的計(jì)算分析相對(duì)容易。

1.2 對(duì)偶格式的有限元法控制方程

實(shí)際問(wèn)題中的研究區(qū)域多為不規(guī)則幾何體，為了更好地適應(yīng)不同的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，三維有限元法可采用四面體單元網(wǎng)格對(duì)所研究的空間Ω進(jìn)行離散（如圖1 所示的四面體單元ijkl），并在各個(gè)離散單元上建立單元矩陣方程。

(1)患者一般情況及疼痛部位、性質(zhì)、評(píng)分、不良反應(yīng);(2)患者服藥情況,包括鎮(zhèn)痛藥名稱(chēng)、劑量、用法、不良反應(yīng)等;(3)患者的心理狀態(tài)及情緒;(4)遵醫(yī)行為的評(píng)估以及飲食管理;(5)工作與休息管理,是否因疼痛影響日?；顒?dòng)及休息,是否與家人、朋友能融洽相處。每周由護(hù)理聯(lián)絡(luò)員對(duì)護(hù)理干預(yù)內(nèi)容進(jìn)行收集,由資料收集員對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行縱向?qū)Ρ扰c總結(jié)。

通常，有限元法將單元節(jié)點(diǎn)上的標(biāo)量電勢(shì)作為未知量，建立單元方程，如圖1中節(jié)點(diǎn)i上的電勢(shì)vi。對(duì)于體單元棱邊上的矢量電勢(shì)，同樣也可以作為未知量建立單元矩陣方程，如圖1中體單元棱邊ij上的uij，滿(mǎn)足：

圖1 有限元法四面體單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)及自由度位置

其中，矢量u可以理解為恒流場(chǎng)中的電流矢量位，通過(guò)式（4）與式（7），可以分別推導(dǎo)出二者相應(yīng)的方程：

采用矢量電勢(shì)作為未知量會(huì)導(dǎo)致多值問(wèn)題，因而，需要加入“連接”（link）結(jié)構(gòu)來(lái)連通所有Dirichlet邊界（即有外加電壓的區(qū)域），也就是式（10）中的右端項(xiàng)所描述的部分。兩種方法對(duì)應(yīng)的單元材料矩陣分別采用基于Whitney 棱單元ωe和面單元ωf的伽遼金方法來(lái)獲得[11]，即：

以上兩種方法分別稱(chēng)為點(diǎn)單元法（又稱(chēng)標(biāo)量有限元法）和棱單元法（又稱(chēng)矢量有限元法），它們構(gòu)成對(duì)偶關(guān)系，因此也分別稱(chēng)為原始（Primal）方法和對(duì)偶（Dual）方法。

2 電阻及電阻網(wǎng)絡(luò)

對(duì)多端口電路，端口兩兩之間存在互電阻，從而組成待提取的電阻網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于具有n個(gè)端口的電路，當(dāng)計(jì)算其第i個(gè)端口與其他端口之間的電阻時(shí)，可在第i個(gè)端口上施加1 V 的電壓，其他端口上施加0 V 電壓，通過(guò)上述恒流場(chǎng)分析計(jì)算得到各互電阻值Ri，也可推知，第i個(gè)端口自電阻的倒數(shù)等于與之關(guān)聯(lián)的所有互電阻倒數(shù)之和。當(dāng)需要計(jì)算電路中所有互電阻時(shí)，則需要對(duì)所有端口逐一按照前述步驟進(jìn)行一次計(jì)算。

以圖2中的三端口線(xiàn)路模型為例[10,16]，當(dāng)給#1端口施加1 V電壓（作為主端口），而#2，#3施加0 V電壓（作為相關(guān)端口，或次端口，或從端口），可以計(jì)算得到電阻R12、R13，并以此推得自電阻R11，依次將其他端口作為主端口，計(jì)算互電阻與自電阻，從而得到電阻矩陣R。

圖2 兩種多端口線(xiàn)路模型示例

理論上，只需要計(jì)算出電阻矩陣的上三角部分（不含對(duì)角線(xiàn)）即可推得整個(gè)電阻矩陣，即：

在實(shí)際工程應(yīng)用中，也可以通過(guò)該方式節(jié)省計(jì)算時(shí)間。

對(duì)于某些只需關(guān)心其中部分電阻的問(wèn)題，根據(jù)需求設(shè)定相應(yīng)的主端口即可。

3 算例驗(yàn)證

3.1 算例模型

在實(shí)際電子工程設(shè)計(jì)中，電路連接線(xiàn)的模型結(jié)構(gòu)有多種形式，這些連接線(xiàn)路擔(dān)負(fù)著電能輸送或者信號(hào)傳遞（或兼而有之）的任務(wù)，而針對(duì)電路連接線(xiàn)上的電阻參數(shù)提取對(duì)于電路整體的場(chǎng)分布、電能損耗、熱效應(yīng)、信號(hào)延時(shí)等分析都有著重要意義。這里選取一種電路連接結(jié)構(gòu)作為典型算例，如圖3所示。該連接結(jié)構(gòu)整體材質(zhì)為銅（電導(dǎo)率σ取5.998×107S/m），其總體輪廓為L(zhǎng) 型，寬為1.70 cm，高為0.74 cm。提供4個(gè)端口接入電路。

圖3 一種金屬導(dǎo)線(xiàn)連接結(jié)構(gòu)

3.2 建立連接

對(duì)于電流場(chǎng)的有限元對(duì)偶方程方法，在基于棱單元法計(jì)算電場(chǎng)分布時(shí)，為避免多值問(wèn)題，需要預(yù)先建立各Dirichlet 邊界（也就是從端口到端口）及多連通域之間的連接，如圖4 所示。

圖4 各端口及多連通域之間的連接

3.3 電阻參數(shù)提取結(jié)果

依照上文所述提取電阻矩陣的流程，分別將電路中各個(gè)端口設(shè)為主端口,得到相應(yīng)的場(chǎng)分布結(jié)果（如圖5 所示是以#1 作為主端口的示例），以及對(duì)應(yīng)的電阻參數(shù)矩陣，如表1 所示。

表1 電阻參數(shù)提取結(jié)果

圖5 電場(chǎng)分布情況

3.4 隨網(wǎng)格加密的收斂性

一般情況下，以電路中#1 和#4 端口的互電阻提取為例，不斷加密所研究區(qū)域的網(wǎng)格，得到的電阻參數(shù)如表2 所示，并將其與參考值0.821 284 μΩ進(jìn)行對(duì)比，參考誤差如表3 所示，可以看出，通過(guò)利用對(duì)偶方程方法，即使在稀疏的網(wǎng)格條件下也能夠獲得精確的解；隨著對(duì)研究區(qū)域剖分網(wǎng)格的不斷加密，原始解與對(duì)偶解的誤差不斷減小，并趨于一致。

表2 #1與#4端口互電阻參數(shù)提取結(jié)果

表3 #1與#4端口互電阻參數(shù)提取結(jié)果的參考誤差

將表2 中的平均解、原始解、對(duì)偶解隨網(wǎng)格加密的計(jì)算結(jié)果繪制成圖，如圖6 所示。由此可以發(fā)現(xiàn)，端口#1 和端口#4 之間互電阻的原始解與對(duì)偶解分別從上、下方收斂逼近至參考解，顯示出上、下界以及互補(bǔ)特性，這也表明對(duì)偶解與原始解分別低估和高估了電流系統(tǒng)的能量，同時(shí)采用原始方程和對(duì)偶方程兩種方法，取兩者解的平均值，可以在網(wǎng)格剖分較為稀疏的情況下獲得近似精確的結(jié)果。其中，參考解是利用有限元法，采用極為稠密的網(wǎng)格計(jì)算得到的，經(jīng)驗(yàn)上可以視為近似精確解。

圖6 端口#1、#4互電阻隨網(wǎng)格加密的變化

3.5 其他算例

該文將所提出的方法用于如下多種常見(jiàn)結(jié)構(gòu)的電阻提取，進(jìn)一步驗(yàn)證了方法的有效性。

1）帶孔洞的導(dǎo)體兩端的等效電阻提取

算例如圖7 所示，所提取的線(xiàn)電阻值取為0.135 4 μΩ，具體如表4 所示。

表4 帶孔洞的導(dǎo)體電阻參數(shù)提取結(jié)果

圖7 帶孔洞的導(dǎo)體電阻提取算例

2）蛇形線(xiàn)路

蛇形線(xiàn)路常見(jiàn)于顯示屏的布線(xiàn)[10，16],可以視作兩端口的導(dǎo)體電路，如圖8 所示。所提取的電阻值取為5.245 8 μΩ，具體結(jié)果如表5 所示。

圖8 蛇形導(dǎo)體電阻提取

表5 蛇形導(dǎo)體電阻參數(shù)提取結(jié)果

4 結(jié)論

該文在利用有限元法提取電路電阻參數(shù)矩陣的基礎(chǔ)上引入了電流場(chǎng)的對(duì)偶方程方法，即點(diǎn)單元法與棱單元法，同時(shí)為了避免在采用矢量電勢(shì)作為未知量時(shí)會(huì)出現(xiàn)的多值問(wèn)題，通過(guò)建立從端口到端口或多連通域的連接，以使所列的線(xiàn)性方程組有唯一解。

通過(guò)分析算例計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，隨著網(wǎng)格剖分的不斷加密，即所研究區(qū)域的單元數(shù)與節(jié)點(diǎn)數(shù)不斷增加，使用點(diǎn)單元法所得的原始解與使用棱單元法所得的對(duì)偶解有逐步收斂的趨勢(shì)，原始解從參考值的下界開(kāi)始收斂，對(duì)偶解從參考值的上界開(kāi)始收斂，兩者具有一定對(duì)稱(chēng)性，也就是說(shuō)，對(duì)于所研究的電流場(chǎng)問(wèn)題，原始解與對(duì)偶解在電路系統(tǒng)中的能量具有互補(bǔ)關(guān)系，將該特性應(yīng)用于相關(guān)電路的電阻參數(shù)提取過(guò)程中，能夠使計(jì)算效率得到大幅提升，即當(dāng)所研究區(qū)域網(wǎng)格剖分較為粗糙時(shí)，同時(shí)采用這兩種對(duì)偶方法，取原始解與對(duì)偶解的平均值作為最終解，其結(jié)果具有相對(duì)較小的誤差，從而保證了最終的求解精度。若只利用有限元法進(jìn)行計(jì)算，需要剖分非常精細(xì)的網(wǎng)格才能達(dá)到與參考值相當(dāng)?shù)挠?jì)算精度，并伴隨急劇增加的計(jì)算量，當(dāng)問(wèn)題尺度較大時(shí)，求解效率大幅降低。綜上所述，通過(guò)利用對(duì)偶方程有限元法，不僅可以極大地提高電路電阻參數(shù)矩陣的提取效率，同時(shí)還能夠保證精確性，解決了針對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的電路電阻提取效率低、精度差的問(wèn)題。