李 琳， 于靜茹， 孫佳安

(新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(華北電力大學(xué))， 北京 102206)

0 引 言

隨著電力電子裝置等非線性設(shè)備在電力系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，諧波和無(wú)功補(bǔ)償問(wèn)題日益嚴(yán)重[1]。在非正弦條件下，傳統(tǒng)功率定義不再適用，這也給系統(tǒng)的狀態(tài)評(píng)估、無(wú)功補(bǔ)償方案的設(shè)計(jì)等造成了很大的難題[2]。

直到20世紀(jì)中后期，電力電子技術(shù)的發(fā)展激發(fā)了人們對(duì)于非正弦功率理論的思考[10，11]，眾多學(xué)者相繼提出了非正弦條件下的功率理論[12-31]。Shepherd和Zakihani定義有功電流iR與Fryze定義一致，無(wú)功電流iX定義為與電壓波形相移90°的電流分量，二者相互正交，其與電壓的乘積分別定義為有功視在功率SR和無(wú)功視在功率SX，進(jìn)而得到視在功率方程S2=SR2+SX2。如果負(fù)載是非線性的，電流的分解不變，只需增加畸變視在功率SD，將視在功率方程修正為[12]S2=SR2+SX2+SD2。但該方法定義的無(wú)功視在功率與無(wú)功功率沒(méi)有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系，相關(guān)的功率定義不準(zhǔn)確，功率現(xiàn)象也難以描述。隨后D.Sharon對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)和修正，但所定義的補(bǔ)充無(wú)功功率依然沒(méi)有清晰的物理意義[13]。Kusters和Moore修正了Fryze定義，進(jìn)一步將除有功電流以外的電流分量劃分為感性(容性)無(wú)功電流和剩余電流，其中感性(容性)無(wú)功電流iql(iqc)定義為同等電壓下，電感(電容)元件中流過(guò)的等效電流，其余為剩余電流ilr(icr)，這樣就將視在功率劃分為有功功率P、無(wú)功功率Ql(Qc)和剩余無(wú)功功率Qlr(Qcr)[15]。但該定義方法是從單個(gè)電感或電容支路無(wú)功補(bǔ)償出發(fā)，無(wú)功功率的定義并不具有普適性。

為了解決非正弦下三相系統(tǒng)的無(wú)功補(bǔ)償問(wèn)題，1984年Akagi在時(shí)域下建立了三相瞬時(shí)無(wú)功理論[17]，它通過(guò)將三相電壓、電流的瞬時(shí)值變化到另一正交系上，從而計(jì)算出瞬時(shí)的有功功率和無(wú)功功率。該理論一般需要通過(guò)檢測(cè)無(wú)功電流來(lái)補(bǔ)償無(wú)功，在有源濾波器(APF)等電力電子裝置中得到了比較成功的運(yùn)用[32]。但該瞬時(shí)無(wú)功功率是不同軸上電壓與電流的乘積之和，僅表示系統(tǒng)各相之間交換的能量大小，并不能描述負(fù)載與電源之間的能量流，不能很好地解釋相關(guān)的功率現(xiàn)象，物理意義也不夠清晰，只適用于三相系統(tǒng)，僅僅是一種“實(shí)用性”的功率理論[33]。

2008年，Czarnecki提出了電流物理分量(Currents’ Physical Components，CPC)功率理論[30]。其中有功電流iF與Fryze定義一致，由于各次諧波下的負(fù)載電導(dǎo)不同于負(fù)載等效電導(dǎo)而產(chǎn)生的電流分量定義為分散電流is，無(wú)功電流ir定義為與電壓波形相移90°的電流分量。如果負(fù)載是非線性的，電流中可能出現(xiàn)不同于電壓諧波頻率的諧波電流，這部分電流分量定義為發(fā)生電流iC。各個(gè)電流分量相互正交，都對(duì)應(yīng)著明確的物理現(xiàn)象。通過(guò)電流的正交分解i=iF+is+ir+iC，功率成分也得到相應(yīng)的劃分S2=P2+Ds2+Qr2+DC2。但該方法分解復(fù)雜，忽略了系統(tǒng)電源內(nèi)阻，在實(shí)際不平衡系統(tǒng)中各分量的正交性并不確定，其應(yīng)用十分受限[34]。

即便存在著很多的功率理論，但在非正弦條件下，無(wú)功功率的定義仍然沒(méi)有在數(shù)學(xué)表達(dá)與物理意義上達(dá)到統(tǒng)一[1]，單相電路與三相電路之間也相互獨(dú)立[35]，功率理論并沒(méi)有被大眾普遍接受。2007年，希臘學(xué)者M(jìn)enti首次提出在單相電路中利用幾何代數(shù)法(Geometric Algebra，GA)將電壓與電流的幾何積定義為多重矢量功率(Power Multivector)[36]，其中內(nèi)積為一個(gè)標(biāo)量(Scalar)，該部分對(duì)應(yīng)于有功功率；外積由二重矢量(Bivector)組成，每個(gè)二重矢量表征著有向平面，其大小等于平面的面積，該部分對(duì)應(yīng)于非有功功率。與傳統(tǒng)基于復(fù)數(shù)定義的視在功率相比，基于幾何代數(shù)法定義的多重矢量功率可以提供更多的信息—功率方向(坐標(biāo)正負(fù))和形成原因(不同頻次間或不同相間組成的二重矢量)，因此更適合應(yīng)用在非正弦條件下。但是，Menti提出的多重矢量功率僅針對(duì)單相線性電路進(jìn)行討論，也沒(méi)有劃分不同的功率成分。2009年，Lev-Ari學(xué)者首次將幾何代數(shù)法應(yīng)用于多相系統(tǒng)[37，38]，建立了多相系統(tǒng)多重矢量功率的初步概念，但未能對(duì)其在實(shí)際系統(tǒng)中的適用性作出說(shuō)明或驗(yàn)證。

本文在以上學(xué)者建立的多重矢量功率基礎(chǔ)上，根據(jù)電壓的頻率成分及相角建立基矢量，進(jìn)而形成電壓和電流矢量，二者的幾何積定義為多重矢量功率，對(duì)其成分劃分為有功功率、分散功率、Budeanu無(wú)功功率、畸變無(wú)功功率和相間不平衡功率五類，建立了多重矢量功率理論。該功率理論適用于非正弦單相與三相電路，能夠?yàn)榉钦蚁碌臒o(wú)功功率提供辨識(shí)與分析。最后通過(guò)具體算例和仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 幾何代數(shù)及功率的幾何積表示

1.1 幾何代數(shù)

在十九世紀(jì)末，Clifford和Grassmann提出一種新的數(shù)學(xué)工具—幾何代數(shù)，隨后經(jīng)Hestenes完善[39]。以一個(gè)n維矢量空間為例，選定一組正交基矢量{e1,e2,…,en}，則該空間內(nèi)任意兩個(gè)矢量可表示為

(1)

定義兩個(gè)矢量的內(nèi)積和外積分別為

(2)

式中：‖·‖表示矢量的模(大小)，θ表示兩個(gè)矢量之間的夾角，兩個(gè)矢量作內(nèi)積的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量；外積滿足反交換律a∧b=-b∧a，兩個(gè)矢量的外積a∧b為矢量a沿矢量b掃過(guò)的有向平行四邊形區(qū)域，其結(jié)果是一個(gè)二重矢量，大小為該平面的面積[38]。

定義兩個(gè)矢量的幾何積為

(3)

幾何積的結(jié)果為一個(gè)多重矢量，它等于兩矢量的內(nèi)積與外積之和，〈·〉k為多重矢量的k重矢量。通過(guò)乘法和加法運(yùn)算，矢量生成了一個(gè)更大的線性空間—幾何代數(shù)域Gn，它在加法和乘法下是封閉的，且乘法的規(guī)則是幾何積。多重矢量的模為

(4)

式中：(·)*為多重矢量的反轉(zhuǎn)(Reverse)，對(duì)于一階矢量，其反轉(zhuǎn)類似于復(fù)數(shù)中的共軛運(yùn)算，多重矢量的反轉(zhuǎn)計(jì)算為

(5)

在多重矢量的計(jì)算過(guò)程中，一組正交基矢量之間滿足以下關(guān)系：

eiei=ei·ei+ei∧ei=1+0=1，?i

eiej=ei·ej+ei∧ej=ei∧ej=eij=-eji，i≠j

(6)

幾何代數(shù)可以在任意維空間下作多重矢量運(yùn)算，它還可以將向量、矩陣、四元數(shù)、復(fù)數(shù)等代數(shù)系統(tǒng)統(tǒng)一起來(lái)，是個(gè)強(qiáng)大又靈活的工具，目前已經(jīng)成功地應(yīng)用于工程和科學(xué)領(lǐng)域等[39，40]。

1.2 功率的幾何積表示

在具有非正弦周期性電壓和電流波形的單相電路中，根據(jù)電壓和電流的頻域分解，在n維幾何代數(shù)域Gn內(nèi)，將其表示為正交基函數(shù)線性組合的形式：

(7)

式中：ej(t)為正交基函數(shù)，由于基函數(shù)的正交性質(zhì)，有

(8)

x矢量的?！瑇‖與x(t)的均方根值‖x(t)‖一致。

功率可以表示為電壓和電流矢量的幾何積所產(chǎn)生的多重矢量：

(9)

式中：內(nèi)積產(chǎn)生的標(biāo)量部分代表有功功率P(Active power)；外積產(chǎn)生的二重矢量部分代表非有功功率N(Non-active power)。進(jìn)一步可以將有功功率P、非有功功率N分別表示為

(10)

多重矢量功率S的大小為

(11)

由上式可知，多重矢量功率S的大小等于視在功率。

基于幾何代數(shù)法，將非正弦下功率表示為多重矢量，而不再以簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)形式表示，在矢量空間內(nèi)滿足守恒定律[36]。由于基矢量與時(shí)域函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使視在功率多重矢量和瞬時(shí)功率方程之間相互統(tǒng)一。簡(jiǎn)而言之，非正弦情況下的多重矢量功率可以理解為正弦情況下的復(fù)功率的推廣。

2 多重矢量功率理論

2.1 單相電路

設(shè)電壓是非正弦周期函數(shù)，且滿足Dirichlet條件，經(jīng)過(guò)Fourier分解，可以將其表示為

(12)

式中：NV為計(jì)算中考慮的電壓最大諧波次數(shù)；ω為基波角頻率；Vk、φk分別為k次諧波下電壓的有效值和相角。

根據(jù)電壓的頻域分解結(jié)果，選取基矢量及其擴(kuò)展基矢量：

(13)

式中：偽標(biāo)量J為虛數(shù)，表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，且J2=-1。

在幾何代數(shù)域內(nèi)，電壓矢量可表示為

(14)

經(jīng)過(guò)Fourier分解，將電流表示為

(15)

式中：NI為計(jì)算中考慮的電流最大諧波次數(shù)；Ik、ψk分別為k次諧波下電流的有效值和相角。

電流中可能出現(xiàn)不同于電壓諧波子集的諧波電流子集，這部分電流分量是由非線性負(fù)載引起的，定義其為帶外電流(out-of-band current)i⊥[37]。i⊥包含多個(gè)諧波分量，成分復(fù)雜，為了將電流統(tǒng)一表示為正交基線性組合的形式，這里引入基矢量e⊥，它與式(13)中的基矢量相互正交，其坐標(biāo)(大小)為I⊥。

在幾何代數(shù)域內(nèi)，電流矢量可表示為

(16)

帶外電流i⊥的大小滿足：

(17)

各次諧波下，與電壓波形相似且同相位的電流分量定義為平行電流ip(parallel current)；與電壓波形相移90°的電流分量定義為正交電流iq(quadrature current)，其表達(dá)式分別為

(18)

Fryze有功電流iF定義為[4]

(19)

式中：iF為負(fù)載消耗有功功率所需的最小電流；P為系統(tǒng)的有功功率；Ge為負(fù)載的等效電導(dǎo)。由于各頻率下的負(fù)載電導(dǎo)Gk不同于等效電導(dǎo)Ge而產(chǎn)生的電流分量定義為分散電流(scattered current)is，它是平行電流ip中除去有功電流iF以外的電流分量[34]；而無(wú)功電流ir定義為與電壓相移90°的電流分量[12]，即

(20)

因此，在非線性條件下，電流的正交分解為

(21)

將上式代入到式(9)中，進(jìn)而可以將多重矢量功率劃分為

(22)

式中：Ds表示各頻率下負(fù)載電導(dǎo)不同于等效電導(dǎo)而產(chǎn)生的分散功率；QB表示各頻率下的Budeanu無(wú)功功率；Qh表示不同頻次的電壓和電流諧波相互作用產(chǎn)生的畸變無(wú)功功率；Q⊥表示負(fù)載非線性引起的無(wú)功功率。

將電壓、電流矢量表達(dá)式(14)和(16)代入式(22)中，得到各部分功率的具體表達(dá)式如下：

Qh=v∧(ir(-J))=

(23)

多重矢量功率S的大小滿足：

(P)2+‖Ds‖2+(QB)2+

‖Qh‖2+‖Q⊥‖2

(24)

2.2 三相電路

在三相電路中，將三相電壓和電流寫為

(25)

式中：v和i分別為三相電壓和電流所組成的列向量，va,b,c為三相電壓，ia,b,c為三相電流。設(shè)電壓是非正弦周期函數(shù)，且滿足Dirichlet條件，經(jīng)過(guò)Fourier分解，可以將其表示為

(26)

式中：l為三相標(biāo)識(shí)，ηl為3維列向量，l=a,b,c時(shí)分別對(duì)應(yīng)向量中第1,2,3項(xiàng)為1，其余為0，Vl,k、φl(shuí),k分別為l相k次諧波下電壓的有效值和相角。

根據(jù)電壓的頻域分解結(jié)果，選取基矢量及其擴(kuò)展基矢量：

(27)

在幾何代數(shù)域內(nèi)，電壓矢量可表示為

(28)

經(jīng)過(guò)Fourier分解，將電流表示為

(29)

式中：Il,k、ψl,k分別為l相k次諧波下電流的有效值和相角。

同理，三相系統(tǒng)中平行電流ip、正交電流iq、帶外電流i⊥為各相電流分量的矢量和，因此這三個(gè)分量也相互正交。在幾何代數(shù)域內(nèi)，電流矢量可表示為

(30)

將電壓、電流矢量表達(dá)式(28)和(30)代入式(22)中，得到l相中各部分功率的具體表達(dá)式如下：

Sl=Pl+Ds,l+QB,lJ+Qh,lJ+Q⊥,l

‖Sl‖2=(Pl)2+‖Ds,l‖2+(QB,l)2+

‖Qh,l‖2+‖Q⊥,l‖2

(31)

式中：Pl表示l相有功功率；Ds,l表示l相中各頻率下負(fù)載電導(dǎo)不同于等效電導(dǎo)而產(chǎn)生的分散功率；QB,l表示l相在各頻率下的Budeanu無(wú)功功率；Qh,l表示l相中不同頻次的電壓和電流諧波相互作用產(chǎn)生的畸變無(wú)功功率；Q⊥,l表示l相中負(fù)載非線性引起的無(wú)功功率；Sl表示l相多重矢量功率。

需要注意的是，以上的功率分量是由單相電路擴(kuò)展而來(lái)，是a,b,c各相的功率，而當(dāng)三相電路不平衡時(shí)，功率不僅在電源與負(fù)載間流動(dòng)，而且還在各相間流動(dòng)[35]。因此在三相電路中功率還需包括相間不平衡功率Dn，在形式上可以將其表示為

(32)

式中：Dn由各相電壓與不同相電流之間的外積產(chǎn)生，Dab為ab相的相間功率，方向?yàn)閍相流向b相，且Dba=-Dab，bc相與ca相的相間功率同理。Dn的大小為

(33)

三相多重矢量功率S滿足：

S=Sa+Sb+Sc+Dn

‖S‖2=‖Sa+Sb+Sc‖2+‖Dn‖2

(34)

可以看出，在非正弦條件下，通過(guò)引入表示相間功率的多重矢量，可將多重矢量功率的概念從單相電路擴(kuò)展到三相電路，實(shí)現(xiàn)單相與三相電路相統(tǒng)一。該理論根據(jù)電壓的頻域分解結(jié)果建立基矢量，即使在電壓畸變的情況下，也可以得到電流相對(duì)于電壓的廣義諧波，直觀地提供負(fù)載的線性程度信息，從而把該功率理論與諧波理論相聯(lián)系[35]。各功率成分能夠被準(zhǔn)確劃分，物理意義明確，有利于對(duì)諧波和無(wú)功功率進(jìn)行辨識(shí)與分析，為諧波抑制和無(wú)功補(bǔ)償提供理論支撐。

3 多重矢量功率分析

為更好說(shuō)明以上理論，下面分別對(duì)單相電路、三相電路和三相三線制系統(tǒng)進(jìn)行功率分析計(jì)算。

3.1 單相電路

圖1 單相RLC電路

v=v1+v3=100e1+100e3

(35)

在幾何代數(shù)域內(nèi)，k次諧波下的阻抗表示為[41]

(36)

那么，基波和3次諧波阻抗和導(dǎo)納分別為

Z1=1-3e1e1J→Y1=0.1+0.3e1e1J

Z3=1+0.33e3e3J→Y3=0.9-0.3e3e3J

(37)

因此，電流可以表示為

i=i1+i3=Y1v1+Y3v3

=10e1+30e1J+90e3-30e3J

(38)

多重矢量功率S經(jīng)計(jì)算得

S=vi

=10+8e1e3+(3e1e1J-3e3e3J)+

(-3e1e3J-3e1Je3)

=P+Ds+QBJ+QhJ

(39)

在該算例中，有功功率P為10 kW，其余為非有功功率N，它包括分散功率Ds、Budeanu無(wú)功功率QB和畸變無(wú)功功率Qh。多重矢量功率S的大小為

(40)

電流矢量的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 圖1中電流矢量的計(jì)算結(jié)果

CPC理論通過(guò)電流的正交分解，可以清晰地表征電流的物理意義，目前備受關(guān)注[34,42]。若采用電流物理分量(CPC)理論計(jì)算功率[30]，則有功功率P、分散功率Ds和無(wú)功功率Qr分別為

(41)

通過(guò)以上兩種功率理論得到各部分功率分量的計(jì)算結(jié)果，如表2所示。

表2 圖1中各功率計(jì)算結(jié)果

由表2可知，多重矢量功率理論中各功率分量根據(jù)式(4)求得的模值與CPC理論中對(duì)應(yīng)的功率分量相同。相比而言，CPC理論中各部分功率僅是一個(gè)數(shù)值，不能進(jìn)行矢量運(yùn)算；而多重矢量功率理論可以準(zhǔn)確對(duì)各功率成分進(jìn)行數(shù)學(xué)表示，解決了非有功功率的運(yùn)算問(wèn)題。

3.2 三相電路

圖2 三相RL電路

根據(jù)本文方法建立正交基，在幾何代數(shù)域內(nèi)，將三相電壓表示為

(42)

每一相阻抗和導(dǎo)納相同，基波和2次諧波阻抗和導(dǎo)納分別為

Z1=0.707+0.707e1e1J→

Y1=0.707-0.707e1e1J

Z2=0.707+1.414e2e2J→

Y2=0.283-0.566e2e2J

(43)

因此，電流可以表示為

i=i1+i2=Y1v1+Y2v2=

162.63ea,1+162.63eb,1+162.63ec,1+

(162.63ea,1+162.63eb,1+162.63ec,1)J+

31.11ea,2+31.11eb,2+31.11ec,2+

(62.22ea,2+62.22eb,2+62.22ec,2)J

(44)

由于三相負(fù)載線性平衡，不存在相間不平衡功率Dn。這里給出a相多重矢量功率，如式(45)所示，b、c相同理。

=Pa+Ds,a+QB,aJ+Qh,aJ

(45)

計(jì)算出各功率分量的大小分別為

P=40.83×3=122.49

‖Ds‖=10.73×3=32.19

QB=(37.41+6.85)×3=132.78

‖Qh‖=(17.89-14.31)×3=10.74

‖S‖=‖v‖‖i‖=441.59×416.18=183.78

(46)

這里考慮的情況只涉及基波和一個(gè)諧波，但只要選擇適當(dāng)?shù)膸缀未鷶?shù)域，同樣的分析也可以很容易地?cái)U(kuò)展到涉及任意數(shù)量諧波的一般情況。

3.3 三相三線制系統(tǒng)

在圖3所示的三相三線制系統(tǒng)中，阻抗用于模擬線性負(fù)載，三相不可控整流裝置用于模擬非線性負(fù)載。根據(jù)負(fù)載特性和電壓諧波情況，選取12種工況，算例的具體參數(shù)如表3所示。三相電壓對(duì)稱，這里僅表示a相電壓，有正弦i和非正弦ii兩種形式。通過(guò)MATLAB/Simulink仿真，對(duì)不同的功率分量進(jìn)行分析研究，得到功率的具體計(jì)算結(jié)果如表4所示。

圖3 算例拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

表3 算例參數(shù)

表4 各算例的功率計(jì)算結(jié)果

以算例12為例，具體寫出電壓、電流的表達(dá)式如下：

v=219.42ea,1+219.42eb,1+219.42ec,1+

21.94ea,5+21.94eb,5+21.94ec,5+

21.94ea,7+21.94eb,7+21.94ec,7

i=60.52ea,1+55.05eb,1+51.73ec,1+

(9.56ea,1+16.54eb,1+8.31ec,1)J-

0.56ea,5+8.78eb,5+7.66ec,5+

(0.67ea,5-3.43eb,5+6.71ec,5)J-

4.07ea,7-1.80eb,7-1.51ec,7+

(1.52ea,7-0.14eb,7+2.66ec,7)J+

11.76ea,⊥+9.04eb,⊥+9.35ec,⊥

(47)

這里給出a相多重矢量功率和各功率分量的大小，分別如式(48)和(49)所示，b、c相同理。

(48)

(49)

在該算例中，Ds(含ek1ek2項(xiàng))是由于基波電導(dǎo)、5次諧波電導(dǎo)和7次諧波電導(dǎo)各不相同而產(chǎn)生的分散功率。QBJ(含ekekJ項(xiàng))中包含了各相的基波、5次和7次諧波的Budeanu無(wú)功功率，k次諧波下的Budeanu無(wú)功功率是該頻率下電壓與無(wú)功電流之間產(chǎn)生的無(wú)功功率，這與頻域的分析結(jié)果一致。QhJ(含ek1ek2J項(xiàng))是基波、5次和7次諧波中不同頻次的電壓和無(wú)功電流之間產(chǎn)生的畸變無(wú)功功率，Q⊥(含eke⊥項(xiàng))是由于存在非線性整流裝置使得電流中出現(xiàn)其他諧波分量所形成的無(wú)功功率?？梢钥闯?，在非正弦條件下，非有功功率分量不能簡(jiǎn)單地通過(guò)復(fù)數(shù)表示，更不能進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算，需將復(fù)平面擴(kuò)展到幾何代數(shù)域，引入多重矢量功率概念解決該問(wèn)題。

根據(jù)式(47)～(49)，計(jì)算出三相各功率分量和多重矢量功率的大小如下：

(50)

在非正弦多重矢量功率理論中，正交基根據(jù)電壓矢量v選取，在該基矢量的坐標(biāo)下形成的電流分量定義為平行電流ip。由于各次諧波下負(fù)載的電導(dǎo)值不相同，雖然各頻率下的平行電流ip與負(fù)載電壓波形相似，但所有頻率下的總平行電流ip并不一定與負(fù)載電壓波形相似，可以將其進(jìn)一步分解為有功電流iF和分散電流is。其中有功電流iF與Fryze定義一致，它是與電壓成比例的電流分量，電壓與有功電流iF的內(nèi)積定義為有功功率P，該有功功率的定義方法本質(zhì)上與Fryze等傳統(tǒng)功率定義保持一致。分散電流is與CPC理論中分散電流的定義一致，它是由于各次諧波下的負(fù)載電導(dǎo)不同于等效電導(dǎo)而產(chǎn)生的電流分量，電壓與分散電流is的外積定義為分散功率Ds。由表4可知，只有當(dāng)電壓中存在諧波時(shí)，才可能出現(xiàn)分散功率。因此分散功率Ds不僅與負(fù)載的屬性相關(guān)，還與電壓特性相關(guān)。

各次諧波下與負(fù)載電壓波形相移90°的電流分量定義為正交電流iq，它與無(wú)功電流ir定義相同，將電壓與無(wú)功電流ir的內(nèi)積定義為Budeanu無(wú)功功率QB。這種定義方法從幾何代數(shù)的角度，說(shuō)明了各次諧波下Budeanu無(wú)功功率的功率方向和符號(hào)含義，解釋了其隱藏的物理意義?；儫o(wú)功功率本質(zhì)上是電壓和電流在不同頻率下相互作用而引起的無(wú)功功率，它包含了兩部分，一是無(wú)功電流ir與電壓形成的外積Qh，它表征了電壓諧波或電流諧波所產(chǎn)生的無(wú)功功率，直觀反映了電壓的畸變程度；二是由于傳統(tǒng)非線性負(fù)載，使得電流產(chǎn)生不同于電壓諧波次數(shù)的分量—帶外電流i⊥，它與電壓形成的外積Q⊥，直接體現(xiàn)了負(fù)載的非線性度。

相間不平衡功率Dn的大小是由ab相、bc相、ca相的相間功率決定的。由表4可知，當(dāng)三相負(fù)載平衡且為線性時(shí)，Dn的大小為0，這說(shuō)明它與三相負(fù)載之間的不平衡度有很大的關(guān)系。但在算例12中，Dn的值遠(yuǎn)大于在算例7、8和11中的值，并且算例12中Dn的值恰好為算例10(只含整流負(fù)載)下的值和算例8(只含不平衡負(fù)載)下的值之和，這說(shuō)明當(dāng)電源電壓含諧波時(shí)，在三相整流電路中會(huì)產(chǎn)生不平衡分量，使Dn增大。

4 結(jié) 論

本文基于幾何代數(shù)法，建立了非正弦多重矢量功率理論，對(duì)功率的成分進(jìn)行了分類，并使非正弦單相與三相電路相統(tǒng)一。在不同算例和仿真實(shí)驗(yàn)下，通過(guò)多重矢量功率計(jì)算，對(duì)該理論進(jìn)行深入分析，證明各功率分量在數(shù)學(xué)表達(dá)與物理意義上達(dá)到統(tǒng)一，為非正弦下三相系統(tǒng)的功率分析提供了理論基礎(chǔ)，為電能質(zhì)量評(píng)價(jià)、無(wú)功補(bǔ)償?shù)染唧w應(yīng)用提供了新的思路。