翟洪亮
(太湖高級(jí)中學(xué),江蘇 無(wú)錫 214125)
自2021年起江蘇省高考采用全國(guó)卷,在教材使用上,蘇州市和無(wú)錫市從2021年秋開(kāi)始率先選用人教A版普通高中《數(shù)學(xué)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)人教A版新教材).人教A版新教材與蘇教版新教材在立體幾何初步的編排上存在明顯差異,蘇教版新教材和原教材相比基本沒(méi)變,人教A版新教材分為兩大單元:一是空間幾何體單元;二是位置關(guān)系單元.空間幾何體單元包含簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積,并按幾何體的形狀分為:棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積;圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積.位置關(guān)系單元包含空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系;空間直線、平面的平行;空間直線、平面的垂直[1].這樣編排打破了原來(lái)以線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系等空間集合間的關(guān)系作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),重新以平行和垂直劃分作為兩大體系.
這種標(biāo)新立異的編排,有合理的一面,如位置關(guān)系分為平行與垂直兩大體系就顯得相對(duì)集中;也存在值得商榷之處,如對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積重新組合,在沒(méi)有學(xué)習(xí)垂直的前提下進(jìn)行體積教學(xué),只能通過(guò)標(biāo)注的形式給出棱臺(tái)的高.特別是在圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積中,一是直接給出圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式,顯得有些雜亂,不能較好地體現(xiàn)它們側(cè)面積間的內(nèi)在聯(lián)系;二是直接給出球的表面積公式,再推出球的體積公式,顯得有些突兀.筆者在圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積的教學(xué)中對(duì)教材進(jìn)行簡(jiǎn)單整合,凸顯極限思想的運(yùn)用.現(xiàn)將教學(xué)過(guò)程整理如下,請(qǐng)同行批評(píng)指正.
師:前面我們學(xué)習(xí)了棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積,今天我們一起學(xué)習(xí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積.首先請(qǐng)大家思考:
問(wèn)題1半徑為r、母線長(zhǎng)為l的圓柱的側(cè)面積公式是什么?
沿著圓柱的任一母線將其側(cè)面展開(kāi),可得長(zhǎng)為圓柱底面周長(zhǎng)、寬為母線長(zhǎng)的一個(gè)矩形,故半徑為r、母線長(zhǎng)為l的圓柱的側(cè)面積公式是S圓柱側(cè)=2πrl.
問(wèn)題2半徑為r、弧長(zhǎng)為l的扇形面積公式是什么?你是如何記憶的?
師:你是怎么想到的?
生1:由公式的形式想到的,特別是當(dāng)扇形弧長(zhǎng)很短時(shí),當(dāng)作等腰三角形就更直觀了.
圖1
師:這就是數(shù)學(xué)的直覺(jué)!如圖1,我們把扇形AOB分成n份,當(dāng)n越大時(shí),每一份所對(duì)應(yīng)的圓弧可近似地視為線段,每一個(gè)小扇形可以近似地看成一個(gè)以半徑為腰、弧長(zhǎng)為底的等腰三角形,它們的高都為半徑r,于是可得扇形的面積
通過(guò)極限分割的方法達(dá)到化曲為直的目的,故可把扇形直觀地視為“等腰三角形”來(lái)記憶它的面積.
問(wèn)題3底面半徑為r、母線長(zhǎng)為l的圓錐的側(cè)面積公式是什么?
如圖2,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為l、弧長(zhǎng)為2πr的扇形,故
圖2 圖3
問(wèn)題4下底面半徑為r、上底面半徑為r′、母線長(zhǎng)為l的圓臺(tái)的側(cè)面積公式是什么?
如圖3,設(shè)小圓錐的母線長(zhǎng)為x,則
從而圓臺(tái)的側(cè)面積為兩個(gè)圓錐側(cè)面積之差,即
由相似三角形知識(shí)可得
即
從而
(c-c′)x=c′l,
問(wèn)題5如何記憶和理解圓臺(tái)的側(cè)面積公式?
既然可以把扇形視為“等腰三角形”來(lái)記憶它的面積公式,那么圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖就可視為由大的“等腰三角形”截去一個(gè)小的“等腰三角形”所形成的“等腰梯形”,因此可以用梯形的面積公式來(lái)記憶圓臺(tái)的側(cè)面積公式,其中“梯形”的上底邊長(zhǎng)為圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)c′,下底邊長(zhǎng)為圓臺(tái)的下底面周長(zhǎng)c,高為圓臺(tái)的母線長(zhǎng)l,即
設(shè)計(jì)意圖從扇形面積公式出發(fā),聯(lián)想到三角形的面積公式,通過(guò)極限分割化曲為直,從而直觀地理解把扇形抽象為“等腰三角形”的可行性根源所在,快速理解和推導(dǎo)圓臺(tái)的側(cè)面積公式.
問(wèn)題6圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積之間有什么關(guān)系?你能用圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來(lái)解釋這種關(guān)系嗎?
根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),與記憶棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式一樣,也從中間狀態(tài)——圓臺(tái)出發(fā),擴(kuò)大圓臺(tái)的上底面,圓臺(tái)可以變成圓柱;將圓臺(tái)的上底面縮小成一個(gè)點(diǎn),圓臺(tái)可以變成圓錐.故將圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別加上它們的底面積可得它們的表面積.
設(shè)計(jì)意圖類(lèi)比棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式,從中間狀態(tài)——圓臺(tái)出發(fā),構(gòu)建旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積之間的公式體系.
問(wèn)題8圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積之間有什么關(guān)系?你能用圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來(lái)解釋這種關(guān)系嗎?
根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),同樣可得
特別地,對(duì)于正n棱柱、正n棱錐、正n棱臺(tái),當(dāng)n越大時(shí),
設(shè)計(jì)意圖從棱臺(tái)的體積公式出發(fā),可聯(lián)想到特殊的正棱臺(tái)的體積公式,再利用極限思想從正n棱臺(tái)的體積公式巧妙過(guò)渡到圓臺(tái)的體積公式,結(jié)合運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),再次認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐的體積公式之間的聯(lián)系,結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式,得到柱、錐、臺(tái)的體積公式間的內(nèi)在聯(lián)系,加深對(duì)祖暅原理的理解和認(rèn)識(shí).
圖4
由上述實(shí)驗(yàn)可知,半球的體積恰為圓柱的體積與圓錐的體積之差,從而引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)祖暅原理設(shè)計(jì)推導(dǎo)球的體積公式的數(shù)學(xué)模型.如圖4所示,根據(jù)半球的放置方式,若用平行于半球底面的平面去截半球,則上端是半徑為R的圓面,下端是半球的頂點(diǎn),從而讓學(xué)生自然想到將圓錐放入圓柱內(nèi),用膠水將圓錐的底與圓柱的底面粘得密閉后,向半球和該模型內(nèi)注入水.若二者的水深度都為h時(shí),則半球中水面的面積為
S=π[R2-(R-h)2],
模型內(nèi)圓環(huán)中水面的面積也為
S=π[R2-(R-h)2].
根據(jù)祖暅原理可知
從而
把球的表面分割成n個(gè)小網(wǎng)格,面積分別記為S1,S2,…,Sn,它們與球心構(gòu)成n個(gè)“小錐體”,當(dāng)n越大時(shí),每個(gè)“小錐體”的底面就越平,從而每個(gè)“小錐體”的高均為R,故
則
S球=4πR2.
設(shè)計(jì)意圖在小學(xué)階段,由圓柱的體積公式推導(dǎo)圓錐的體積公式是通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行的,故本節(jié)課從實(shí)驗(yàn)出發(fā),更貼近學(xué)生實(shí)際,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,利用祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式,再通過(guò)極限分割的思想方法推導(dǎo)球的表面積公式,顯得較為自然.
圖5
問(wèn)題10某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成,半球的直徑是0.3 m,圓柱高0.6 m.如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆,每平方米需要0.5 kg涂料,那么給1 000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料(π取3.14)?
問(wèn)題11如圖5,圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑,求球與圓柱的體積之比.
設(shè)計(jì)意圖繼續(xù)強(qiáng)化所學(xué)公式,解決實(shí)際問(wèn)題,體現(xiàn)新知的應(yīng)用價(jià)值,增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).
數(shù)學(xué)教材為“教”與“學(xué)”提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容[2].任何版本的新教材都很難做到完美無(wú)缺,還需在使用過(guò)程中廣泛聽(tīng)取使用者的意見(jiàn)和修改建議,反復(fù)修訂才能日趨完善,因此數(shù)學(xué)教學(xué)是“用教材教”而不是“教教材”,這需要數(shù)學(xué)教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容,結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)和自身理解,對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一定的整合,創(chuàng)造性地開(kāi)展教學(xué).在本節(jié)課中,盡管教材直接給出了表面積公式,這“淹沒(méi)”了圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面積之間的內(nèi)在聯(lián)系,需要教師以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)重新去“發(fā)掘”;對(duì)于圓臺(tái)側(cè)面積公式的理解與記憶,需要教師“點(diǎn)破”能以梯形面積公式加以理解和記憶的原因所在.所有這些只能建立在教師自己理解的基礎(chǔ)之上,彰顯個(gè)人的教學(xué)特色[3].
數(shù)學(xué)教學(xué)不僅傳授知識(shí)內(nèi)容,還要以知識(shí)內(nèi)容為載體進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透.在本節(jié)課教學(xué)中除了進(jìn)行數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的滲透外,還要注重?cái)?shù)學(xué)極限思想方法的滲透.為了便于學(xué)生理解和記憶扇形面積公式,通過(guò)極限分割的方法尋找可以視“小扇形”為“等腰三角形”的合理性根源所在,從而用三角形的面積公式來(lái)記憶扇形的面積公式,在此基礎(chǔ)上,將“扇環(huán)”視為“等腰梯形”,快速理解和記憶圓臺(tái)的側(cè)面積公式,并通過(guò)運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),構(gòu)建圓臺(tái)與圓柱、圓臺(tái)與圓錐的側(cè)面積之間的聯(lián)系.為了不直接給出球的表面積公式,在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,通過(guò)祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式,再用極限分割的方法推導(dǎo)球的表面積公式,這樣設(shè)計(jì)使教學(xué)內(nèi)容顯得自然,學(xué)生在不知不覺(jué)中接受數(shù)學(xué)思想方法的熏陶.
發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是新一輪課程改革的主要任務(wù),教學(xué)設(shè)計(jì)要把提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)[4].在新知的探究過(guò)程中,可發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力;在構(gòu)建新知體系的過(guò)程中,可提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)想象能力;在新知的運(yùn)用過(guò)程中,可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析能力.如本節(jié)課中,源于直觀可將扇形抽象成“等腰三角形”模型是本課的出發(fā)點(diǎn),將運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)貫穿于整個(gè)教學(xué)之中,通過(guò)問(wèn)題串的形式,啟迪學(xué)生進(jìn)行思考,激發(fā)學(xué)生對(duì)新知的探索,加強(qiáng)師生間數(shù)學(xué)思想的交流,以達(dá)到“春風(fēng)化雨,潤(rùn)物無(wú)聲”的效果.