李 濤，魏政君，上官文斌，呂 輝

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510641)

0 引言

多楔帶傳動(dòng)作為常見的機(jī)械傳動(dòng)方式，通過多楔帶與帶輪之間的摩擦力進(jìn)行傳動(dòng)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、傳動(dòng)平穩(wěn)、制造成本低等特點(diǎn)[1]。多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)通常是由一個(gè)驅(qū)動(dòng)輪，若干個(gè)附件輪和惰輪，一個(gè)張緊器以及一根多楔帶組成[2]，如圖1所示。當(dāng)驅(qū)動(dòng)輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)傳遞到該系統(tǒng)中，會(huì)引起相關(guān)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，如張緊器的擺動(dòng)、多楔帶的張力波動(dòng)等[3]。過大的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，會(huì)影響系統(tǒng)的平穩(wěn)傳動(dòng)，并降低多楔帶、張緊器等零部件的使用壽命[4]。因此，在設(shè)計(jì)開發(fā)初期，需要檢驗(yàn)多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)情況是否滿足使用要求。準(zhǔn)確預(yù)測(cè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，對(duì)該系統(tǒng)的設(shè)計(jì)開發(fā)具有重要的意義。

圖1 多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

目前已有大量學(xué)者對(duì)張緊器的建模以及多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)計(jì)算方法進(jìn)行了研究。在張緊器建模方面，Zhao等[5]將自動(dòng)張緊器內(nèi)部的摩擦視作干摩擦，摩擦力的大小與方向只與速度方向有關(guān)。該模型物理意義明確，表達(dá)式簡(jiǎn)單。Zhu等[6]也將自動(dòng)張緊器內(nèi)部的摩擦視為干摩擦，并利用雙曲正切函數(shù)對(duì)其進(jìn)行連續(xù)化，之后展開為傅里葉級(jí)數(shù)，得到了近似的張緊器模型。Michon等[7]將自動(dòng)張緊器的輸出力矩分解為3部分，即彈性力距、黏性阻尼力矩以及摩擦力矩。在Dahl模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)化，建立了描述自動(dòng)張緊器遲滯特性的Duhem模型，并推導(dǎo)了Duhem模型中張緊器輸出力矩與張緊器擺角的顯式表達(dá)式。Bastien等[8]則利用修正的Dahl模型和Masing模型描述自動(dòng)張緊器的遲滯特性。

在多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)計(jì)算方法的研究上，目前的計(jì)算方法主要分為3類：等效線性化法[3,9-10]、諧波平衡法[6,11]、迭代法[12-13]。將張緊器的摩擦特性簡(jiǎn)化為庫倫干摩擦，用諧波平衡法來求解，其計(jì)算精度比等效線性化法高，并可分析張緊器的粘滑運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。然而，張緊器的實(shí)際特性并不完全等同于庫倫干摩擦。為了將更準(zhǔn)確的張緊器特性考慮到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)計(jì)算中，可用迭代方法進(jìn)行計(jì)算，解決張緊器輸出扭矩與響應(yīng)幅值相互依賴的問題，具有很高的計(jì)算精度。但是當(dāng)系統(tǒng)的自由度較大時(shí)，需消耗大量的計(jì)算時(shí)間。

綜上所述，為了在保證較高計(jì)算精度的同時(shí)，又提高計(jì)算效率，提出用諧波平衡法-時(shí)頻域轉(zhuǎn)換技術(shù)(HB-AFT)計(jì)算多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。HB-AFT是一種半解析半數(shù)值方法，常被用來求解非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)[14-15]。其核心思想是在頻域內(nèi)求解系統(tǒng)微分方程，在時(shí)域內(nèi)求非線性力[16-18]。在計(jì)算過程中，通過在時(shí)域和頻域之間的切換，既可保證計(jì)算精度，又可提高計(jì)算速度。

以一個(gè)三輪多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，首先建立其數(shù)學(xué)模型，并基于HB-AFT方法計(jì)算在特定激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)情況，在求解過程中考慮了張緊器的非線性遲滯特性。將HB-AFT方法的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值積分結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證HB-AFT方法在計(jì)算多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)具有高精度、高效率的特性。

1 多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1 時(shí)域數(shù)學(xué)模型

1.1.1模型假設(shè)與簡(jiǎn)化

以三輪多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為例，在建立三輪多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之前，需要先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化[10]：

1)多楔帶在縱向上的質(zhì)量分布是均勻的，并且忽略多楔帶的蠕變效應(yīng)；忽略多楔帶的彎曲剛度以及縱向拉伸阻尼；忽略多楔帶與帶輪之間的滑移對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，并且不考慮多楔帶橫向振動(dòng)對(duì)縱向振動(dòng)的影響。

2)各輪的軸承摩擦等效為黏性阻尼，并認(rèn)為黏性阻尼系數(shù)不會(huì)改變。

3)忽略張緊器所受重力的影響。

圖2 三輪多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)示意圖

1.1.2系統(tǒng)激勵(lì)

在穩(wěn)態(tài)工況時(shí)，驅(qū)動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速往往不是保持不變的，而是在平均轉(zhuǎn)速附近波動(dòng)，工程上稱這種現(xiàn)象為扭振。此時(shí)，驅(qū)動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角可用下式表示：

(1)

式中：N為驅(qū)動(dòng)輪的平均轉(zhuǎn)速，k為扭振的階次，Ak(N)代表第k階扭振的幅值，φk(N)為第k階扭振的相位，t為驅(qū)動(dòng)輪的工作時(shí)間。

驅(qū)動(dòng)輪的扭振會(huì)傳遞到多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，引起多楔帶的張力波動(dòng)，帶輪的轉(zhuǎn)速波動(dòng)以及張緊器的往復(fù)擺動(dòng)。對(duì)于常見的四缸四沖程車用內(nèi)燃機(jī)，2階扭振是主激勵(lì)，在常用轉(zhuǎn)速區(qū)間其幅值遠(yuǎn)大于其他階次扭振的幅值，如圖3所示。因此，在本文的計(jì)算中只取2階扭振作為系統(tǒng)的激勵(lì)，忽略其他階次的扭振。

圖3 四缸四沖程車用內(nèi)燃機(jī)各階扭振振幅隨轉(zhuǎn)速的變化曲線

1.1.3運(yùn)動(dòng)方程

Ⅰ 張緊器的模型

如圖4(a)所示，利用Masing模型，將張緊器視作由3部分并聯(lián)組成，分別是黏性阻尼ct、線性彈簧Kt以及由干摩擦副與線性彈簧Kl串聯(lián)組成的元件[8]。黏性阻尼ct與線性彈簧Kt產(chǎn)生的作用力矩均是線性力矩，而干摩擦副與線性彈簧Kl串聯(lián)組成的元件產(chǎn)生的作用力矩則是非線性力矩Mt。Mt的非線性特性正是張緊器非線性遲滯特性的來源，Mt與張緊器擺角θt的關(guān)系如圖4(b)所示。

圖4 摩擦式張緊器的Masing模型示意圖

在圖4(b)中，Mf代表干摩擦副提供的滑動(dòng)摩擦力矩，θa為張緊臂擺動(dòng)的平衡位置，θm為張緊臂擺角的幅值，θs為黏滯運(yùn)動(dòng)的最大幅值。θs可按照式(2)計(jì)算：

(2)

已知張緊臂的擺動(dòng)角度、擺動(dòng)方向以及擺角幅值時(shí)，非線性力矩Mt的分段表達(dá)式如式(3)所示：

(3)

Ⅱ 張緊臂的運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于張緊臂，其受力情況如圖5所示。張緊器的加載方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，根據(jù)動(dòng)量矩定理，可以建立張緊臂關(guān)于其旋轉(zhuǎn)中心的力矩平衡方程[19]：

圖5 張緊臂的受力情況示意圖

(4)

式中：Ma為張緊器在平衡位置時(shí)的彈簧預(yù)載，Mb為張緊輪兩側(cè)帶段張力對(duì)張緊臂產(chǎn)生的合力矩，其計(jì)算方法如下[19]：

Mb=T2Ltsinβ2-T3Ltsinβ3

(5)

Ⅲ 帶段張力與帶輪的運(yùn)動(dòng)方程

帶段的張力與帶段的伸長量有關(guān)系，因此，各個(gè)帶段的張力可根據(jù)式(6)計(jì)算[3,10,19]：

(6)

(7)

式中：T01、T02、T03分別為各帶段的初始張力，Ki為帶段Bi的縱向剛度，E為楊氏模量，A為橫截面積，Δ2和Δ3分別為由于張緊臂擺動(dòng)引起的帶段B2、B3的長度變化，其精確計(jì)算方法見文獻(xiàn)[3]。

對(duì)于帶輪i，根據(jù)受力平衡關(guān)系，其運(yùn)動(dòng)方程為[3]：

(8)

1.1.4幾何線性化

式(5)中的β2和β3以及式(6)中的Δ2和Δ3都是關(guān)于張緊臂擺角θt的非線性函數(shù)，這種非線性關(guān)系稱為幾何非線性。在建立三輪多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的頻域數(shù)學(xué)模型之前，需要進(jìn)行幾何線性化。當(dāng)張緊臂的擺角較小時(shí)，可以在張緊臂擺動(dòng)的平衡位置附近進(jìn)行幾何線性化[10]。

如圖6(a)所示，當(dāng)張緊臂往加載方向小角度擺動(dòng)φt時(shí)，可以認(rèn)為張緊輪兩側(cè)帶段與張緊臂的夾角保持不變，即β2和β3分別保持為β20和β30不變。其中，β20和β30分別為張緊器在平衡位置時(shí)張緊輪兩側(cè)帶段與張緊臂的夾角。張緊臂擺動(dòng)前后，張緊輪圓心的距離為：

do≈Ltsinφt

(9)

兩張緊輪圓心的連線與帶段B2的夾角α可通過下式計(jì)算得到：

(10)

于是，帶段B2的伸長量Δ2為：

Δ2≈-Ltsinφtcosα≈-Ltφtsinβ20

(11)

同理，如圖6(b)所示，帶輪B3的伸長量Δ3為：

Δ3≈Ltφtsinβ30

(12)

如圖6(c)所示，由于假設(shè)β2和β3保持不變，則根據(jù)式(5)(6)(11)(12)可計(jì)算得張緊輪兩側(cè)帶段張力對(duì)張緊臂產(chǎn)生的合力矩為：

圖6 幾何線性化示意圖

Mb≈Lt[T02+K2(θ2R2-θ3R3)-Ltφtsinβ20]sinβ20-

Lt[T03+K3(θ3R3-θ1R1)+Ltφtsinβ30]sinβ30

(13)

經(jīng)過以上的幾何線性化過程，β2、β3、Δ2和Δ3都轉(zhuǎn)化為關(guān)于張緊臂擺動(dòng)的角度φt的線性函數(shù)。

1.2 頻域數(shù)學(xué)模型

當(dāng)驅(qū)動(dòng)輪不存在扭振時(shí)，張緊器處于平衡位置。再根據(jù)1.1.1中的假設(shè)，可得各帶輪之間的轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)速的關(guān)系：

(14)

于是，由式(6)得各帶段的張力為

T1=T01,T2=T02,T3=T03

(15)

將式(14)(15)代入式(8)可得

(16)

當(dāng)驅(qū)動(dòng)輪存在扭振時(shí)，作以下變量替換

(17)

將式(6)(16)(17)回代式(8)，再結(jié)合式(4)(11)—(13)可得三輪多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在張緊臂平衡位置處幾何線性化后的控制方程，整理為矩陣形式，可得：

(18)

(19)

(20)

(21)

在式(18)-(21)中，[φ2(ω)φ3(ω)φt(ω)]T可視為系統(tǒng)的狀態(tài)量，[φ1(ω)]為系統(tǒng)的輸入量，[Mt(ω)]為系統(tǒng)中的非線性量。

2 多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)時(shí)域穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解

2.1 HB-AFT法的原理

時(shí)頻域切換技術(shù)的核心思想是在時(shí)域中求非線性力，在頻域中求解控制方程[16]。時(shí)頻域切換技術(shù)與諧波平衡法結(jié)合，可以進(jìn)一步提高計(jì)算效率。HB-AFT法的原理與計(jì)算步驟如下。

對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)，其控制方程一般可以整理為如下的形式[17]：

(22)

將式(22)轉(zhuǎn)換到頻域可得：

L{ω,X(ω)}=F(ω)+Νf(ω,X(ω))

(23)

根據(jù)諧波平衡原理，系統(tǒng)的狀態(tài)量、非線性力以及外激勵(lì)均可表示為諧波函數(shù)疊加的形式[20]：

(24)

式中：ω0為外激勵(lì)的基頻，k為諧波階次，H為截?cái)嚯A次。

當(dāng)外激勵(lì)F(t)已知時(shí)，只需要求出諧波系數(shù)ak和bk，則可以確定系統(tǒng)的響應(yīng)情況。

步驟1：迭代初值的求解

(25)

3)假設(shè)非線性力為0，即ek和fk均為0向量。將式(24)(25)代入式(23)，可得方程：

(26)

(27)

步驟2：迭代求解過程

(28)

(29)

2)對(duì)非線性力的時(shí)域序列式進(jìn)行離散傅里葉變換，得到對(duì)應(yīng)的諧波系數(shù)：

(30)

3)將式(24)(25)(29)代入式(23)，可得方程：

(31)

(32)

4)當(dāng)需要的計(jì)算精度為1%時(shí)，如果相鄰2次求得的諧波系數(shù)滿足式(33)，可認(rèn)為迭代過程收斂，系統(tǒng)的響應(yīng)為式(34)。

(33)

(34)

式中：||·||1和||·||∞分別代表向量的1范數(shù)和無窮范數(shù)，P為系統(tǒng)的自由度數(shù)。

2.2 時(shí)域穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解

對(duì)一個(gè)已知系統(tǒng)參數(shù)以及激勵(lì)大小的三輪多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，可以使用HB-AFT法計(jì)算其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。計(jì)算流程如圖7所示。

圖7 使用HB-AFT法計(jì)算多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算流程框圖

一個(gè)三輪多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 三輪多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)

利用HB-AFT法計(jì)算以下2種工況的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：

1)工況1：驅(qū)動(dòng)輪的平均轉(zhuǎn)速為600 r/min，只考慮2階扭振，2階扭振的扭振幅值為3°，初始相位為0。采樣頻率fs取1 000 Hz，采樣時(shí)間T取1 s，截?cái)嚯A次H取5。

2)工況2：驅(qū)動(dòng)輪的平均轉(zhuǎn)速為900 r/min，只考慮2階扭振，2階扭振的扭振幅值為2°，初始相位為0。采樣頻率fs取1 000 Hz，采樣時(shí)間T取1 s，截?cái)嚯A次H取5。

將4階龍格庫塔算法與迭代方法進(jìn)行結(jié)合，計(jì)算三輪多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的過程見圖8。

圖8 使用數(shù)值迭代方法計(jì)算多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的過程框圖

利用以上2種方法計(jì)算得到的張緊臂擺角的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖9所示，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果及計(jì)算時(shí)間見表2。

圖9 張緊臂擺角的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線

表2 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果及計(jì)算時(shí)間

由圖9可以看到，2種計(jì)算方法求得的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值和相位非常接近。從表2可知，當(dāng)截?cái)嚯A次H取5時(shí)，HB-AFT法已經(jīng)有很高的計(jì)算精度，并且計(jì)算效率非常高，計(jì)算速度是數(shù)值迭代法的40倍以上。因此，HB-AFT是計(jì)算多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一種高精度、高效的方法，基于此方法可以方便地開展參數(shù)分析以及優(yōu)化的工作。

下面分析截?cái)嚯A次H對(duì)計(jì)算精度的影響。選擇工況1作為分析工況，截?cái)嚯A次H依次取為1、3、5、7、9，根據(jù)圖8的計(jì)算流程分別計(jì)算不同截?cái)嚯A次下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。計(jì)算結(jié)果以及誤差分析見表3和圖10。

表3 不同截?cái)嚯A次H下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果

圖10 計(jì)算結(jié)果、計(jì)算時(shí)間及相對(duì)誤差隨截?cái)嚯A次H的變化曲線

由表3和圖10可知，隨著截?cái)嚯A次H的增大，計(jì)算得到的張緊臂擺角峰峰值逐漸收斂于一個(gè)穩(wěn)定值，相對(duì)誤差逐漸減小。當(dāng)截?cái)嚯A次H取5時(shí)，已經(jīng)有相當(dāng)高的計(jì)算精度，相對(duì)誤差小于1%。計(jì)算時(shí)間隨著截?cái)嚯A次H的增大呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì)。截?cái)嚯A次H為1時(shí)計(jì)算時(shí)間不是最小的原因是，在計(jì)算過程中忽略了高階諧波響應(yīng)，導(dǎo)致計(jì)算誤差偏大。計(jì)算誤差偏大使迭代過程不容易收斂，因此需要進(jìn)行更多次的迭代計(jì)算，使消耗的計(jì)算時(shí)間增多。由于非線性系統(tǒng)不具有頻率保持性，在計(jì)算過程中不能忽略高階諧波響應(yīng)，只保留1階諧波會(huì)引起較大的計(jì)算誤差。因此，在使用HB-AFT法計(jì)算多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，截?cái)嚯A次H建議取5或7，此時(shí)兼具較理想的計(jì)算精度與計(jì)算速度。

3 結(jié)論

以三輪多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，在一定的扭振激勵(lì)下，采用HB-AFT法求解了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。采用HB-AFT法計(jì)算多楔帶附件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)能夠解決張緊器的輸出力矩與響應(yīng)幅值相互影響的問題，并且具有高精度、高效率的特點(diǎn)。保留5階諧波進(jìn)行計(jì)算時(shí)，與傳統(tǒng)的數(shù)值迭代法相比，響應(yīng)的相對(duì)誤差小于1%，而計(jì)算速度提高40倍以上。張緊臂的擺角響應(yīng)中除了含有激勵(lì)頻率的頻率成分，還包含一些高次諧波成分。在計(jì)算時(shí)忽略高次諧波成分，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算精度下降，計(jì)算速度也得不到明顯的提升。